बेटमैन समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:45, 14 July 2023

नाभिकीय भौतिकी में, बेटमैन समीकरण गणितीय मॉडल है जो क्षय दर और प्रारंभिक प्रचुरता के आधार पर क्षय श्रृंखला में बहुतायत और गतिविधियों को समय के कार्य के रूप में वर्णित करता है। मॉडल 1905 में अर्नेस्ट रदरफोर्ड द्वारा तैयार किया गया था ^[1] और इस प्रकार विश्लेषणात्मक समाधान 1910 में हैरी बेटमैन द्वारा प्रदान किया गया था।^[2]

यदि, समय t पर समस्थानिकों $i$ के $N_{i}(t)$ परमाणु हैं जो $\lambda _{i}$ की दर से समस्थानिकों $i+1$ में क्षय हो जाते हैं, जिससे k-चरण क्षय श्रृंखला में समस्थानिकों की मात्रा इस प्रकार विकसित होती है:

{\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}

(यह क्षय शाखाओं को संभालने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है)। जबकि इसे i = 2 के लिए स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है,इस प्रकार लंबी श्रृंखलाओं के लिए सूत्र के द्वारा निगमन हो जाते हैं।^[3] बेटमैन समीकरण मौलिक मास्टर समीकरण है जहां संक्रमण दर केवल एक वर्ण (i) से अगली (i+1) तक की अनुमति है किन्तु कभी भी विपरीत अर्थ में नहीं (i+1 से i वर्जित है)।

बेटमैन ने चरों के लाप्लास रूपांतरण को लेकर राशियों के लिए सामान्य स्पष्ट सूत्र का निगमन किया था।

N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}

(इसे स्रोत नियमो के साथ भी विस्तारित किया जा सकता है, यदि समस्थानिकों i के अधिक परमाणु स्थिर दर पर बाहरी रूप से प्रदान किए जाते हैं)।^[4]

241Pu के लिए बेटमैन-फलन के साथ मात्रा की गणना

जबकि बेटमैन सूत्र को कंप्यूटर कोड में प्रयुक्त किया जा सकता है, यदि $\lambda _{j}\approx \lambda _{i}$ कुछ समस्थानिकों जोड़ी के लिए, महत्व के हानि से कम्प्यूटेशनल त्रुटियां हो सकती हैं। इसलिए, अन्य विधियाँ जैसे कि साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ या आव्यूह घातांक विधि भी उपयोग में हैं।^[5]

उदाहरण के लिए, तीन समस्थानिकों की श्रृंखला के साधारण स्थिति के लिए संबंधित बेटमैन समीकरण कम हो जाता है

{\begin{aligned}&A\,\xrightarrow {\lambda _{A}} \,B\,\xrightarrow {\lambda _{B}} \,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}

जो आइसोटोप $B$ की गतिविधि के लिए निम्नलिखित सूत्र देता है ( $A=\lambda N$ को प्रतिस्थापित करके)।

{\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}

यह भी देखें

हैरी बेटमैन
परमाणु और कण भौतिकी में समीकरणों की सूची
क्षणिक संतुलन
धर्मनिरपेक्ष संतुलन
फार्माकोकाइनेटिक्स, अस्पष्ट प्रयोज्यता

संदर्भ

↑ Rutherford, E. (1905). Radio-activity. University Press. p. 331
↑ Bateman, H. (1910, June). The solution of a system of differential equations occurring in the theory of radioactive transformations. In Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, pp. 423–427) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843
↑ "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2013-09-27. Retrieved 2013-09-22.
↑ "Nucleonica".
↑ Logan J. Harr. Precise Calculation of Complex Radioactive Decay Chains. M.Sc thesis Air Force Institute of Technology. 2007. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a469273.pdf

[1] Rutherford, E. (1905). Radio-activity. University Press. p. 331

[2] Bateman, H. (1910, June). The solution of a system of differential equations occurring in the theory of radioactive transformations. In Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, pp. 423–427) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843

[3] "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2013-09-27. Retrieved 2013-09-22.

[4] "Nucleonica".

[5] Logan J. Harr. Precise Calculation of Complex Radioactive Decay Chains. M.Sc thesis Air Force Institute of Technology. 2007. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a469273.pdf

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-{{Short description|Mathematical model in nuclear physics}}नाभिकीय भौतिकी में, बेटमैन समीकरण एक गणितीय मॉडल है जो [[क्षय दर]] और प्रारंभिक प्रचुरता के आधार पर [[क्षय श्रृंखला]] में बहुतायत और गतिविधियों को समय के कार्य के रूप में वर्णित करता है। मॉडल 1905 में [[अर्नेस्ट रदरफोर्ड]] द्वारा तैयार किया गया था<ref>Rutherford, E. (1905). Radio-activity. University Press. p.&nbsp;331</ref> और विश्लेषणात्मक समाधान 1910 में [[हैरी बेटमैन]] द्वारा प्रदान किया गया था।<ref>Bateman, H. (1910, June). The solution of a system of differential equations occurring in the theory of radioactive transformations. In Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, pp. 423–427)  https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843</ref>
+{{Short description|Mathematical model in nuclear physics}}नाभिकीय भौतिकी में, बेटमैन समीकरण गणितीय मॉडल है जो [[क्षय दर]] और प्रारंभिक प्रचुरता के आधार पर [[क्षय श्रृंखला]] में बहुतायत और गतिविधियों को समय के कार्य के रूप में वर्णित करता है। मॉडल 1905 में [[अर्नेस्ट रदरफोर्ड]] द्वारा तैयार किया गया था <ref>Rutherford, E. (1905). Radio-activity. University Press. p.&nbsp;331</ref> और इस प्रकार विश्लेषणात्मक समाधान 1910 में [[हैरी बेटमैन]] द्वारा प्रदान किया गया था।<ref>Bateman, H. (1910, June). The solution of a system of differential equations occurring in the theory of radioactive transformations. In Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, pp. 423–427)  https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843</ref>
-यदि, समय टी पर, वहाँ हैं <math>N_i(t)</math> आइसोटोप के परमाणु <math>i</math> जो आइसोटोप में विघटित हो जाता है <math>i+1</math> की दर पर <math>\lambda_i</math>, k-चरण क्षय श्रृंखला में समस्थानिकों की मात्रा इस प्रकार विकसित होती है:
+यदि, समय t पर समस्थानिकों <math>i</math> के <math>N_i(t)</math> परमाणु हैं जो <math>\lambda_i</math> की दर से समस्थानिकों <math>i+1</math> में क्षय हो जाते हैं, जिससे k-चरण क्षय श्रृंखला में समस्थानिकों की मात्रा इस प्रकार विकसित होती है:
 : <math>
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 </math>
-(यह क्षय शाखाओं को संभालने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है)। जबकि इसे i = 2 के लिए स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, लंबी श्रृंखलाओं के लिए सूत्र जल्दी से बोझिल हो जाते हैं।<ref>{{cite web|url=http://chemistry.sfu.ca/assets/uploads/file/Course%20Materials%2012-1/NUSC%20342/L9.pdf |title=संग्रहीत प्रति|accessdate=2013-09-22 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130927064244/http://chemistry.sfu.ca/assets/uploads/file/Course%20Materials%2012-1/NUSC%20342/L9.pdf |archivedate=2013-09-27 }}</ref> बेटमैन समीकरण एक मौलिक [[मास्टर समीकरण]] है जहां संक्रमण दर केवल एक प्रजाति (i) से अगली (i+1) तक की अनुमति है किन्तु कभी भी विपरीत अर्थ में नहीं (i+1 से i वर्जित है)।
+(यह क्षय शाखाओं को संभालने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है)। जबकि इसे i = 2 के लिए स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है,इस प्रकार लंबी श्रृंखलाओं के लिए सूत्र के द्वारा निगमन हो जाते हैं।<ref>{{cite web|url=http://chemistry.sfu.ca/assets/uploads/file/Course%20Materials%2012-1/NUSC%20342/L9.pdf |title=संग्रहीत प्रति|accessdate=2013-09-22 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130927064244/http://chemistry.sfu.ca/assets/uploads/file/Course%20Materials%2012-1/NUSC%20342/L9.pdf |archivedate=2013-09-27 }}</ref> बेटमैन समीकरण मौलिक [[मास्टर समीकरण]] है जहां संक्रमण दर केवल एक वर्ण (i) से अगली (i+1) तक की अनुमति है किन्तु कभी भी विपरीत अर्थ में नहीं (i+1 से i वर्जित है)।
-बेटमैन ने चरों के [[लाप्लास रूपांतरण]] को लेकर राशियों के लिए एक सामान्य स्पष्ट सूत्र पाया।
+बेटमैन ने चरों के [[लाप्लास रूपांतरण]] को लेकर राशियों के लिए सामान्य स्पष्ट सूत्र का निगमन किया था।
 ::<math>N_n(t)=N_1(0)\times\left(\prod_{i=1}^{n-1}\lambda_i\right)\times\sum_{i=1}^n\frac{e^{-\lambda_i t}}{\prod\limits_{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda_j-\lambda_i\right)} </math>
-(इसे स्रोत शर्तों के साथ भी विस्तारित किया जा सकता है, यदि आइसोटोप i के अधिक परमाणु स्थिर दर पर बाहरी रूप से प्रदान किए जाते हैं)।<ref>{{Cite web|url=http://www.nucleonica.com/wiki/index.php?title=Help%3ADecay_Engine%2B%2B|title=Nucleonica}}</ref>
+(इसे स्रोत नियमो के साथ भी विस्तारित किया जा सकता है, यदि समस्थानिकों i के अधिक परमाणु स्थिर दर पर बाहरी रूप से प्रदान किए जाते हैं)।<ref>{{Cite web|url=http://www.nucleonica.com/wiki/index.php?title=Help%3ADecay_Engine%2B%2B|title=Nucleonica}}</ref>
-[[File:DecayChain241Pu-eng.svg|thumb|241Pu के लिए बेटमैन-फ़ंक्शन के साथ मात्रा की गणना]]जबकि बेटमैन फॉर्मूला को कंप्यूटर कोड में प्रयुक्त किया जा सकता है, यदि <math>\lambda_j \approx \lambda_i</math> कुछ आइसोटोप जोड़ी के लिए, महत्व के नुकसान से कम्प्यूटेशनल त्रुटियां हो सकती हैं। इसलिए, अन्य विधियाँ जैसे कि साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ या मैट्रिक्स घातांक विधि भी उपयोग में हैं।<ref>Logan J. Harr. Precise Calculation of Complex Radioactive Decay Chains. M.Sc thesis Air Force Institute of Technology. 2007. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a469273.pdf</ref>
+[[File:DecayChain241Pu-eng.svg|thumb|241Pu के लिए बेटमैन-फलन के साथ मात्रा की गणना]]जबकि बेटमैन सूत्र को कंप्यूटर कोड में प्रयुक्त किया जा सकता है, यदि <math>\lambda_j \approx \lambda_i</math> कुछ समस्थानिकों जोड़ी के लिए, महत्व के हानि से कम्प्यूटेशनल त्रुटियां हो सकती हैं। इसलिए, अन्य विधियाँ जैसे कि साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ या आव्यूह घातांक विधि भी उपयोग में हैं।<ref>Logan J. Harr. Precise Calculation of Complex Radioactive Decay Chains. M.Sc thesis Air Force Institute of Technology. 2007. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a469273.pdf</ref>
-उदाहरण के लिए, तीन समस्थानिकों की एक श्रृंखला के साधारण मामले के लिए संबंधित बेटमैन समीकरण कम हो जाता है
+उदाहरण के लिए, तीन समस्थानिकों की श्रृंखला के साधारण स्थिति के लिए संबंधित बेटमैन समीकरण कम हो जाता है
 : <math>
@@ Line 26: / Line 26: @@
 \end{align}
 </math>
-जो आइसोटोप की गतिविधि के लिए निम्न सूत्र देता है <math>B</math> (प्रतिस्थापित करके <math>A=\lambda N</math>)
+जो आइसोटोप <math>B</math> की गतिविधि के लिए निम्नलिखित सूत्र देता है (<math>A=\lambda N</math> को प्रतिस्थापित करके)।
 : <math>
@@ Line 33: / Line 33: @@
 \end{align}
 </math>
+== यह भी देखें                                                                                                                                                                                    ==
-== यह भी देखें ==
 * हैरी बेटमैन
 * [[परमाणु और कण भौतिकी में समीकरणों की सूची]]
 * [[क्षणिक संतुलन]]
 * धर्मनिरपेक्ष संतुलन
-* [[फार्माकोकाइनेटिक्स]], ढीली प्रयोज्यता
+* [[फार्माकोकाइनेटिक्स]], अस्पष्ट प्रयोज्यता
 ==संदर्भ==
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