गिनती का माप: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में, गिनती माप किसी भी [[[[सबसेट]] (गणित)]] पर [[माप (गणित)]] लगाने का सहज तरीका है - उपसमुच्चय का आकार उपसमुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में लिया जाता है यदि उपसमुच्चय में सीमित रूप से कई हैं तत्व, और अनंत प्रतीक|अनंत <math>\infty</math>यदि उपसमुच्चय [[अनंत समुच्चय]] है।<ref name="pm">{{PlanetMath|urlname=CountingMeasure|title=Counting Measure}}</ref>
गणित में, विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में, गिनती माप किसी भी [[सबसेट|उपसमुच्चय]] (गणित) पर [[माप (गणित)]] लगाने का सही विधि है उपसमुच्चय का आकार उपसमुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में लिया जाता है यदि उपसमुच्चय में सीमित रूप से कई हैं तत्व, और अनंत प्रतीक या अनंत <math>\infty</math> यदि उपसमुच्चय [[अनंत समुच्चय]] है।<ref name="pm">{{PlanetMath|urlname=CountingMeasure|title=Counting Measure}}</ref>
गिनती के माप को किसी भी [[मापने योग्य स्थान]] (अर्थात, किसी भी सेट) पर परिभाषित किया जा सकता है <math>X</math> सिग्मा-बीजगणित के साथ) लेकिन इसका उपयोग अधिकतर [[गणनीय]] सेटों पर किया जाता है।<ref name="pm" />


औपचारिक संकेतन में, हम किसी भी सेट को बदल सकते हैं <math>X</math> का [[ सत्ता स्थापित ]] लेकर मापने योग्य स्थान में <math>X</math> [[सिग्मा-बीजगणित]] के रूप में <math>\Sigma;</math> अर्थात्, के सभी उपसमुच्चय <math>X</math> मापने योग्य सेट हैं.
गिनती के माप को किसी भी [[मापने योग्य स्थान|मापने योग्य स्पेस]] अर्थात, किसी भी समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है <math>X</math> सिग्मा-बीजगणित के साथ किन्तु इसका उपयोग अधिकतर [[गणनीय]] समुच्चय पर किया जाता है।<ref name="pm" />
फिर गिनती का माप <math>\mu</math> इस मापने योग्य स्थान पर <math>(X,\Sigma)</math> सकारात्मक माप है <math>\Sigma \to [0,+\infty]</math> द्वारा परिभाषित
 
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औपचारिक संकेतन में, हम किसी भी समुच्चय को बदल सकते हैं <math>X</math> का [[ सत्ता स्थापित |पावर सेट]] लेकर मापने योग्य स्पेस में <math>X</math> [[सिग्मा-बीजगणित]] के रूप में अर्थात्, <math>\Sigma;</math> के सभी उपसमुच्चय <math>X</math> मापने योग्य समुच्चय हैं.फिर इस मापने योग्य स्पेस <math>(X,\Sigma)</math> पर गिनती का माप <math>\mu</math>, सकारात्मक माप है जिसे <math>\Sigma \to [0,+\infty]</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
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\mu(A) = \begin{cases}
\mu(A) = \begin{cases}
\vert A \vert & \text{if } A \text{ is finite}\\
\vert A \vert & \text{if } A \text{ is finite}\\
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\end{cases}
\end{cases}
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सभी के लिए <math>A\in\Sigma,</math> कहाँ <math>\vert A\vert</math> सेट की [[प्रमुखता]] को दर्शाता है <math>A.</math><ref>{{cite book |first=René L. |last=Schilling |year=2005 |title=उपाय, इंटीग्रल और मार्टिंगेल्स|publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-61525-9 |page=27}}</ref>
सभी के लिए <math>A\in\Sigma,</math> जहाँ <math>\vert A\vert</math> समुच्चय <math>A.</math> की [[प्रमुखता]] को दर्शाता है <ref>{{cite book |first=René L. |last=Schilling |year=2005 |title=उपाय, इंटीग्रल और मार्टिंगेल्स|publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-61525-9 |page=27}}</ref>
गिनती जारी है <math>(X,\Sigma)</math> σ-परिमित है यदि और केवल यदि स्थान <math>X</math> गणनीय है.<ref>{{cite book |first=Ernst |last=Hansen |year=2009 |title=माप सिद्धांत|edition=Fourth |publisher=Department of Mathematical Science, University of Copenhagen |isbn=978-87-91927-44-7 |page=47}}</ref>


<math>(X,\Sigma)</math> पर गिनती का माप σ-परिमित है यदि और केवल यदि स्पेस <math>X</math> गणनीय है।<ref>{{cite book |first=Ernst |last=Hansen |year=2009 |title=माप सिद्धांत|edition=Fourth |publisher=Department of Mathematical Science, University of Copenhagen |isbn=978-87-91927-44-7 |page=47}}</ref>
==चर्चा                                                                                                                                                                                                                                                  ==


==चर्चा==
गिनती का माप अधिक सामान्य निर्माण का विशेष स्थिति है। उपरोक्त संकेतन के साथ, कोई भी फलन <math>f : X \to [0, \infty)</math> पर एक माप <math>\mu</math> को <math>(X, \Sigma)</math> परिभाषित करता है।


गिनती का माप अधिक सामान्य निर्माण का विशेष मामला है। उपरोक्त संकेतन के साथ, कोई भी फ़ंक्शन <math>f : X \to [0, \infty)</math> माप को परिभाषित करता है <math>\mu</math> पर <math>(X, \Sigma)</math> के जरिए
<math display="block">\mu(A):=\sum_{a \in A} f(a)\quad \text{ for all } A \subseteq X,</math>
<math display=block>\mu(A):=\sum_{a \in A} f(a)\quad \text{ for all } A \subseteq X,</math>
जहाँ वास्तविक संख्याओं के संभवतः असंख्य योग को सभी परिमित उपसमुच्चयों के योगों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात,
जहाँ वास्तविक संख्याओं के संभवतः बेशुमार योग को सभी परिमित उपसमुच्चयों के योगों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात,
<math display="block">\sum_{y\,\in\,Y\!\ \subseteq\,\mathbb R} y\ :=\ \sup_{F \subseteq Y,\, |F| < \infty} \left\{ \sum_{y \in F} y  \right\}.</math>
<math display=block>\sum_{y\,\in\,Y\!\ \subseteq\,\mathbb R} y\ :=\ \sup_{F \subseteq Y,\, |F| < \infty} \left\{ \sum_{y \in F} y  \right\}.</math>
ले रहा <math>f(x) = 1</math> सभी के लिए <math>x \in X</math> गिनती का माप देता है.
ले रहा <math>f(x) = 1</math> सभी के लिए <math>x \in X</math> गिनती का माप देता है.


==यह भी देखें==
<math>x \in X</math> में सभी के लिए <math>f(x) = 1</math> लेने से गिनती का माप मिलता है।
 
==यह भी देखें                                                                                                                                                                                                                               ==


* {{annotated link|Pip (counting)}}
* {{annotated link|पिप (गिनती)}}
* {{annotated link|Set function}}
* {{annotated link|फलन समुच्चय}}


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                             ==


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[[Category: उपाय (माप सिद्धांत)]]


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Latest revision as of 19:21, 12 July 2023

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, गिनती माप किसी भी उपसमुच्चय (गणित) पर माप (गणित) लगाने का सही विधि है उपसमुच्चय का आकार उपसमुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में लिया जाता है यदि उपसमुच्चय में सीमित रूप से कई हैं तत्व, और अनंत प्रतीक या अनंत यदि उपसमुच्चय अनंत समुच्चय है।[1]

गिनती के माप को किसी भी मापने योग्य स्पेस अर्थात, किसी भी समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है सिग्मा-बीजगणित के साथ किन्तु इसका उपयोग अधिकतर गणनीय समुच्चय पर किया जाता है।[1]

औपचारिक संकेतन में, हम किसी भी समुच्चय को बदल सकते हैं का पावर सेट लेकर मापने योग्य स्पेस में सिग्मा-बीजगणित के रूप में अर्थात्, के सभी उपसमुच्चय मापने योग्य समुच्चय हैं.फिर इस मापने योग्य स्पेस पर गिनती का माप , सकारात्मक माप है जिसे द्वारा परिभाषित किया गया है।

सभी के लिए जहाँ समुच्चय की प्रमुखता को दर्शाता है [2]

पर गिनती का माप σ-परिमित है यदि और केवल यदि स्पेस गणनीय है।[3]

चर्चा

गिनती का माप अधिक सामान्य निर्माण का विशेष स्थिति है। उपरोक्त संकेतन के साथ, कोई भी फलन पर एक माप को परिभाषित करता है।

जहाँ वास्तविक संख्याओं के संभवतः असंख्य योग को सभी परिमित उपसमुच्चयों के योगों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात,
ले रहा सभी के लिए गिनती का माप देता है.

में सभी के लिए लेने से गिनती का माप मिलता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Counting Measure at PlanetMath.
  2. ↑ Schilling, René L. (2005). उपाय, इंटीग्रल और मार्टिंगेल्स. Cambridge University Press. p. 27. ISBN 0-521-61525-9.
  3. ↑ Hansen, Ernst (2009). माप सिद्धांत (Fourth ed.). Department of Mathematical Science, University of Copenhagen. p. 47. ISBN 978-87-91927-44-7.
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