स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय: Difference between revisions
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[[टोपोलॉजी]] में, गणित की शाखा, उपसमुच्चय | [[टोपोलॉजी]] में, गणित की शाखा, उपसमुच्चय [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] <math>E</math>, यदि निम्नलिखित में से कोई भी समकक्ष शर्तें पूर्ण होती हैं, तब <math>X</math> को '''स्थानीय रूप से बंद''' कहा जाता है।<ref name="Bourbaki">{{harvnb|Bourbaki|2007|loc=Ch. 1, § 3, no. 3.}}</ref><ref name="Explanation">{{harvnb|Pflaum|2001|loc=Explanation 1.1.2.}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Ganster |first=M.|last2=Reilly|first2=I. L.|date=1989|title=स्थानीय रूप से बंद सेट और एलसी-निरंतर कार्य|url=http://www.hindawi.com/journals/ijmms/1989/758376/abs/|journal=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences|language=en|volume=12|issue=3|pages=417–424|doi=10.1155/S0161171289000505|issn=0161-1712}}</ref>{{sfn|Engelking|1989|loc=Exercise 2.7.2}} | ||
* <math>E</math> खुले | * <math>E</math> खुले समूह और <math>X.</math> बंद समूह का प्रतिच्छेदन है | ||
*प्रत्येक बिंदु के लिए <math>x\in E,</math> वहाँ पड़ोस है <math>U</math> का <math>x</math> ऐसा है कि <math>E \cap U</math> में बंद है <math>U.</math> | *प्रत्येक बिंदु के लिए <math>x\in E,</math> वहाँ पड़ोस है <math>U</math> का <math>x</math> ऐसा है कि <math>E \cap U</math> में बंद है <math>U.</math> | ||
* <math>E</math> इसके बंद होने का खुला उपसमुच्चय | * <math>E</math> इसके बंद होने का खुला उपसमुच्चय <math>\overline{E}.</math> होता है | ||
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* <math>E</math> दो बंद | * <math>E</math> दो बंद समूहों का अंतर <math>X.</math> होता है | ||
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दूसरी शर्त स्थानीय रूप से बंद शब्दावली को उचित ठहराती है और बोर्बाकी की स्थानीय रूप से बंद की परिभाषा है।<ref name="Bourbaki" />यह देखने के लिए कि दूसरी शर्त तीसरी का तात्पर्य है, उपसमुच्चय के लिए | दूसरी शर्त स्थानीय रूप से बंद शब्दावली को उचित ठहराती है और बोर्बाकी की स्थानीय रूप से बंद की परिभाषा होती है।<ref name="Bourbaki" /> यह देखने के लिए कि दूसरी शर्त तीसरी का तात्पर्य होता है, जिससे कि उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq B,</math> तथ्यों का उपयोग करता है, अतः <math>A</math> अंदर बंद है <math>B</math> और यदि <math>A = \overline{A} \cap B</math> और वह उपसमुच्चय के लिए <math>E</math> और खुला उपसमुच्चय <math>U,</math> <math>\overline{E} \cap U = \overline{E \cap U} \cap U.</math> होता है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
अंतराल <math>(0, 1] = (0, 2) \cap [0, 1]</math> का स्थानीय रूप से बंद | अंतराल <math>(0, 1] = (0, 2) \cap [0, 1]</math> का स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय होता है <math>\Reals.</math> दूसरे उदाहरण के लिए, सापेक्ष आंतरिक भाग पर विचार करते है, अतः बंद डिस्क <math>D</math> का <math>\Reals^3.</math> यह स्थानीय रूप से बंद होता है, जिससे कि यह बंद डिस्क और खुली गेंद का प्रतिच्छेदन होता है। | ||
स्मरण रखें कि परिभाषा के अनुसार, सबमैनिफोल्ड <math>E</math> की <math>n</math>-अनेक गुना प्रत्येक बिंदु के लिए <math>M</math> ऐसा उपसमुच्चय होता है <math>x</math> इंच <math>E,</math> चार्ट होता है <math>\varphi : U \to \Reals^n</math> इसके चारों ओर ऐसा है कि <math>\varphi(E \cap U) = \Reals^k \cap \varphi(U).</math> इसलिए, सबमैनिफोल्ड स्थानीय रूप से बंद होता है।<ref>{{cite journal |last1=Mather |first1=John |title=टोपोलॉजिकल स्थिरता पर नोट्स|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |date=2012 |volume=49 |issue=4 |pages=475–506 |doi=10.1090/S0273-0979-2012-01383-6}}section 1, p. 476</ref> | |||
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यहाँ बीजगणितीय ज्यामिति का उदाहरण दिया गया है। मान लीजिए कि U प्रक्षेप्य वर्ग X (ज़ारिस्की टोपोलॉजी में) पर खुला एफ़िन चार्ट होता है। इस प्रकार फिर यू की प्रत्येक बंद उप-विविधता वाई स्थानीय रूप से एक्स में बंद होती है। अर्थात्, <math>Y = U \cap \overline{Y}</math> जहाँ <math>\overline{Y}</math> X में Y के बंद होने को दर्शाता है। (अर्ध-प्रोजेक्टिव वर्ग और [[अर्ध-एफ़िन किस्म|अर्ध-एफ़िन वर्ग]] भी देख सकते है।) | |||
==गुण== | ==गुण== | ||
स्थानीय रूप से बंद | स्थानीय रूप से बंद समूहों के निरंतर मानचित्र के अनुसार परिमित चौराहे और पूर्व-छवि स्थानीय रूप से बंद होती हैं।<ref name="Bourbaki" /> दूसरी ओर, संघ और स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के पूरक को स्थानीय रूप से बंद करने की आवश्यकता नहीं होती है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|2007|loc=Ch. 1, § 3, Exercise 7.}}</ref> (यह [[रचनात्मक सेट (टोपोलॉजी)|रचनात्मक समूह (टोपोलॉजी)]] की धारणा को प्रेरित करता है।) | ||
विशेष रूप से [[स्तरीकरण सिद्धांत]] में, स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के लिए <math>E,</math> पूरक <math>\overline{E} \setminus E</math> की सीमा कहलाती है <math>E</math> ([[टोपोलॉजिकल सीमा]] से भ्रमित | विशेष रूप से [[स्तरीकरण सिद्धांत]] में, स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के लिए <math>E,</math> पूरक <math>\overline{E} \setminus E</math> की '''सीमा''' कहलाती है <math>E</math> ([[टोपोलॉजिकल सीमा]] से भ्रमित नही होते है)।<ref name="Explanation" /> यदि <math>E</math> अनेक की बंद सबमैनिफोल्ड-विथ-बाउंड्री है <math>M,</math> फिर सापेक्ष आंतरिक (अर्थात्, अनेक गुना के रूप में आंतरिक)। <math>E</math> में स्थानीय रूप से बंद होता है अतः <math>M</math> और अनेक के रूप में इसकी सीमा स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के रूप में इसकी सीमा के समान होती है।<ref name="Explanation" /> | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस | यदि प्रत्येक उपसमुच्चय स्थानीय रूप से बंद होता है, तब टोपोलॉजिकल स्पेस को '''{{visible anchor|सबमैक्सिमल|submaximal space}}''' कहा जाता है। इस धारणा के बारे में अधिक जानकारी के लिए टोपोलॉजी एस की शब्दावली देख सकते है। | ||
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Latest revision as of 17:38, 16 July 2023
टोपोलॉजी में, गणित की शाखा, उपसमुच्चय टोपोलॉजिकल स्पेस , यदि निम्नलिखित में से कोई भी समकक्ष शर्तें पूर्ण होती हैं, तब को स्थानीय रूप से बंद कहा जाता है।[1][2][3][4]
- खुले समूह और बंद समूह का प्रतिच्छेदन है
- प्रत्येक बिंदु के लिए वहाँ पड़ोस है का ऐसा है कि में बंद है
- इसके बंद होने का खुला उपसमुच्चय होता है
- समूह में बंद होता है
- दो बंद समूहों का अंतर होता है
- में दो खुले समूहों का अंतर होता है
दूसरी शर्त स्थानीय रूप से बंद शब्दावली को उचित ठहराती है और बोर्बाकी की स्थानीय रूप से बंद की परिभाषा होती है।[1] यह देखने के लिए कि दूसरी शर्त तीसरी का तात्पर्य होता है, जिससे कि उपसमुच्चय के लिए तथ्यों का उपयोग करता है, अतः अंदर बंद है और यदि और वह उपसमुच्चय के लिए और खुला उपसमुच्चय होता है।
उदाहरण
अंतराल का स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय होता है दूसरे उदाहरण के लिए, सापेक्ष आंतरिक भाग पर विचार करते है, अतः बंद डिस्क का यह स्थानीय रूप से बंद होता है, जिससे कि यह बंद डिस्क और खुली गेंद का प्रतिच्छेदन होता है।
स्मरण रखें कि परिभाषा के अनुसार, सबमैनिफोल्ड की -अनेक गुना प्रत्येक बिंदु के लिए ऐसा उपसमुच्चय होता है इंच चार्ट होता है इसके चारों ओर ऐसा है कि इसलिए, सबमैनिफोल्ड स्थानीय रूप से बंद होता है।[5]
यहाँ बीजगणितीय ज्यामिति का उदाहरण दिया गया है। मान लीजिए कि U प्रक्षेप्य वर्ग X (ज़ारिस्की टोपोलॉजी में) पर खुला एफ़िन चार्ट होता है। इस प्रकार फिर यू की प्रत्येक बंद उप-विविधता वाई स्थानीय रूप से एक्स में बंद होती है। अर्थात्, जहाँ X में Y के बंद होने को दर्शाता है। (अर्ध-प्रोजेक्टिव वर्ग और अर्ध-एफ़िन वर्ग भी देख सकते है।)
गुण
स्थानीय रूप से बंद समूहों के निरंतर मानचित्र के अनुसार परिमित चौराहे और पूर्व-छवि स्थानीय रूप से बंद होती हैं।[1] दूसरी ओर, संघ और स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के पूरक को स्थानीय रूप से बंद करने की आवश्यकता नहीं होती है।[6] (यह रचनात्मक समूह (टोपोलॉजी) की धारणा को प्रेरित करता है।)
विशेष रूप से स्तरीकरण सिद्धांत में, स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के लिए पूरक की सीमा कहलाती है (टोपोलॉजिकल सीमा से भ्रमित नही होते है)।[2] यदि अनेक की बंद सबमैनिफोल्ड-विथ-बाउंड्री है फिर सापेक्ष आंतरिक (अर्थात्, अनेक गुना के रूप में आंतरिक)। में स्थानीय रूप से बंद होता है अतः और अनेक के रूप में इसकी सीमा स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के रूप में इसकी सीमा के समान होती है।[2]
यदि प्रत्येक उपसमुच्चय स्थानीय रूप से बंद होता है, तब टोपोलॉजिकल स्पेस को सबमैक्सिमल कहा जाता है। इस धारणा के बारे में अधिक जानकारी के लिए टोपोलॉजी एस की शब्दावली देख सकते है।
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Bourbaki 2007, Ch. 1, § 3, no. 3.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Pflaum 2001, Explanation 1.1.2.
- ↑ Ganster, M.; Reilly, I. L. (1989). "स्थानीय रूप से बंद सेट और एलसी-निरंतर कार्य". International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (in English). 12 (3): 417–424. doi:10.1155/S0161171289000505. ISSN 0161-1712.
- ↑ Engelking 1989, Exercise 2.7.2.
- ↑ Mather, John (2012). "टोपोलॉजिकल स्थिरता पर नोट्स". Bulletin of the American Mathematical Society. 49 (4): 475–506. doi:10.1090/S0273-0979-2012-01383-6.section 1, p. 476
- ↑ Bourbaki 2007, Ch. 1, § 3, Exercise 7.
संदर्भ
- Bourbaki, Topologie générale, 2007.
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
- Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
- Pflaum, Markus J. (2001). Analytic and geometric study of stratified spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1768. Berlin: Springer. ISBN 3-540-42626-4. OCLC 47892611.
बाहरी संबंध
- locally closed set at the nLab
