वितरणशीलता (अनुक्रम सिद्धांत): Difference between revisions
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संभवतः वितरण का सबसे सामान्य प्रकार वह है जो [[जालकों]] के लिए परिभाषित है, जहां द्विआधारी | संभवतः वितरण का सबसे सामान्य प्रकार वह है जो [[जालकों]] के लिए परिभाषित है, जहां द्विआधारी अधिकतम और निम्नतम की रचना संयोजन (<math>\vee</math>) और सम्मेलन (<math>\wedge</math>) के पूर्ण संचालन प्रदान करता है। इन दोनों संक्रियाओं की वितरणशीलता उन सभी अवयवो x, y, और z के लिए इस मानदंड को पूरा करने के द्वारा व्यक्त की जाती है जिसकी पहचान | ||
: <math>x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)</math> | : <math>x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)</math> | ||
हो। यह वितरण नियम '[[वितरणात्मक जाली|वितरणी जालकों]]' के वर्ग को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि इस आवश्यकता को यह कहकर परिवर्तित की किया जा सकता है कि द्विआधारी सम्मेलन द्विआधारी संयोजन को [[संरक्षित]] करता है। उपरोक्त कथन अपने [[क्रम दोहरे|क्रम-द्वय]] के समतुल्य होने के लिए जाना जाता है, जहां एक गुण | |||
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ऐसी होता है जिससे इन गुणों में से किसी एक का परिभाषण करने के लिए वितरणशीलता की परिभाषा पर पूरा आधार बनाया जा सकता है। वितरणी जालक के विशिष्ट उदाहरण [[संपूर्ण सुव्यवस्थित किए गए सेट|संपूर्ण]] [[सुव्यवस्थित किए गए सेटों|अनुक्रम किए गए समुच्चयो]], [[बूलियन बीजगणित (संरचना)|बूलियन बीजगणित]] और [[हेटिंग बीजगणित]] हैं। प्रत्येक परिमित वितरणी जालक समावेशन ([[बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय]]) द्वारा अनुक्रम किए गए समुच्चयो के जालक के लिए समरूपीय है। | |||
==अर्ध जालक के लिए वितरण== | ==अर्ध जालक के लिए वितरण== | ||
[[File:DistrSemilattice.svg|thumb|सम्मेलन-अर्ध जालक के लिए वितरण की परिभाषा के लिए हैस आरेख।]]एक [[अर्ध जालक]] एक [[आंशिक आदेशित सेट]] है जिसमें दो जालक संचालनों में से केवल एक होता है, जो या तो एक '''सम्मेलन'''-अर्ध जालक | [[File:DistrSemilattice.svg|thumb|सम्मेलन-अर्ध जालक के लिए वितरण की परिभाषा के लिए हैस आरेख।]]एक [[अर्ध जालक]] एक [[आंशिक आदेशित सेट|आंशिक क्रमित समुच्चय]] है जिसमें दो जालक संचालनों में से केवल एक होता है, जो या तो एक '''सम्मेलन'''-अर्ध जालक या एक '''संयोजन'''-'''अर्ध जालक''' होता है। यह देखते हुए कि केवल एक द्विआधारी संक्रिया है, वितरण को स्पष्ट रूप से मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। फिर भी, दिए गए अनुक्रम के साथ एकल संक्रिया की अंतःक्रिया के कारण, वितरण की निम्नलिखित परिभाषा संभव रहती है। यदि सभी a, b और x के लिए एक सम्मेलन- अर्ध जालक वितरणीय होता है, तो | ||
: यदि ''a'' ∧ ''b'' ≤ ''x'' होता है तो ''a''{{′}} और b' उपस्थित होते हैं जिसके लिए a ≤ a{{′}}, b ≤ b' और x = a{{′}} ∧ b' होता है। | : यदि ''a'' ∧ ''b'' ≤ ''x'' होता है तो ''a''{{′}} और b' उपस्थित होते हैं जिसके लिए a ≤ a{{′}}, b ≤ b' और x = a{{′}} ∧ b' होता है। | ||
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किसी भी स्थिति में, a' और b' को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। ये परिभाषाएं यहाँ उचित होती हैं क्योंकि किसी भी जालक L | किसी भी स्थिति में, a' और b' को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। ये परिभाषाएं यहाँ उचित होती हैं क्योंकि किसी भी जालक L को देखते हुए, निम्नलिखित सभी कथन समतुल्य हैं, | ||
* L सम्मेलन-अर्ध जालक के रूप में | * L सम्मेलन-अर्ध जालक के रूप में वितरणी है | ||
* L संयोजन-अर्ध जालक के रूप में | * L संयोजन-अर्ध जालक के रूप में वितरणी है | ||
* L एक | * L एक वितरणी जालक है। | ||
इस प्रकार कोई भी | इस प्रकार कोई भी वितरणी सम्मेलन-अर्ध जालक जिसमें द्विआधारी संयोजन उपस्थित होते हैं, वह एक वितरणी जालक होता है। एक संयोजन-अर्ध जालक वितरणी है यदि केवल इसके [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)|आदर्शों]] के जालक (समावेशन के तहत) वितरणी है।<ref>{{cite book| author=G. Grätzer| title=Lattice Theory: Foundation| year=2011| publisher=Springer/Birkhäuser}}; here: Sect. II.5.1, p.167</ref> | ||
वितरणशीलता की यह परिभाषा | वितरणशीलता की यह परिभाषा वितरणी अक्षांशों के बारे में कुछ कथनों को वितरणी अर्ध जालक के रूप में सामान्यीकृत करने की अनुमति देती है। | ||
==पूर्ण जालकों के लिए वितरण नियम== | ==पूर्ण जालकों के लिए वितरण नियम== | ||
[[पूर्णता (आदेश सिद्धांत)]] जालक के लिए, | एक [[पूर्णता (आदेश सिद्धांत)|पूर्ण]] जालक के लिए, स्वेच्छ रूप से उपसमुच्चय में निम्नतम और अधिकतम दोनों होते हैं और इसलिए अनन्त सम्मेलन और संयोजन संचालन उपलब्ध होते हैं। इस प्रकार वितरण की कई विस्तारित धारणाओं का वर्णन किया जा सकता है। उदाहरण के रूप में, अनंत वितरणीय नियम के लिए, परिमित सम्मेलन स्वेच्छ रूप से संयोजनों पर वितरित हो सकते हैं, अर्थात् | ||
: <math>x \wedge \bigvee S = \bigvee \{ x \wedge s \mid s \in S \}</math> | : <math>x \wedge \bigvee S = \bigvee \{ x \wedge s \mid s \in S \}</math> | ||
जालक के सभी | जालक के सभी अवयवो x और सभी उपसमुच्चय S के लिए संभव हो सकता है। इस गुण के साथ पूर्ण जालकों को '<nowiki/>'''फ़्रेम'''<nowiki/>', ''''लोकेल्स'''<nowiki/>' या [['पूर्ण हेटिंग बीजगणित']] कहा जाता है। वे [[निरर्थक सीन विज्ञान]] और [[स्टोन द्वैतीयता]] के संबंध में उत्पन्न होते हैं। यह वितरणी नियम इसके दोहरे कथन | ||
: <math>x \vee \bigwedge S = \bigwedge \{ x \vee s \mid s \in S \}</math> | : <math>x \vee \bigwedge S = \bigwedge \{ x \vee s \mid s \in S \}</math> | ||
जो | के समतुल्य नहीं है जो द्वैती फ्रेम या पूर्ण सह-हेटिंग बीजगणित के वर्ग को परिभाषित करता है। | ||
अब कोई इससे भी आगे जा सकता है और उन | अब कोई इससे भी आगे जा सकता है और उन अनुक्रमो को परिभाषित कर सकता है जहां स्वेच्छ संयोजन स्वेच्छ रूप से मिलने पर वितरित होता है। ऐसी संरचनाओं को [[पूर्णतः वितरणात्मक जालक|पूर्णतः वितरणी जालक]] कहा जाता है। हालांकि, इसे व्यक्त करने के लिए ऐसे सूत्रीकरण की आवश्यकता होती हैं जो अल्प तकनीकी होती हैं। एक पूर्ण जालक के अवयवो के एक द्विगुणांकित परिवार {x<sub>''j'',''k''</sub> | J J में है, K K(j) में है} का विचार करें, और F को ऐसे चयनित फलनो f का समुच्चय बनाएं जो प्रत्येक जाँचक J के लिए j के कुछ जाँचक f(j) K(j) में होता है। एक पूर्ण जालक पूर्ण प्रकार से वितरणात्मक है यदि ऐसे सभी डेटा के लिए निम्नलिखित कथन मान्य है, | ||
: <math> \bigwedge_{j\in J}\bigvee_{k\in K(j)} x_{j,k} = | : <math> \bigwedge_{j\in J}\bigvee_{k\in K(j)} x_{j,k} = | ||
\bigvee_{f\in F}\bigwedge_{j\in J} x_{j,f(j)} | \bigvee_{f\in F}\bigwedge_{j\in J} x_{j,f(j)} | ||
</math> | </math> | ||
पूर्ण वितरण फिर से एक | पूर्ण वितरण फिर से एक स्वद्वैत गुण है, अर्थात उपरोक्त कथन को दोहराने से पूर्ण अक्षांशों का एक ही वर्ग प्राप्त होता है। पूर्ण प्रकार से वितरणी पूर्ण जालक (संक्षेप में पूर्ण प्रकार से वितरणी जालक भी कहा जाता है) वास्तव में अत्यधिक विशेष संरचनाएं हैं। [[पूरी तरह से वितरणात्मक जालकों|पूर्ण प्रकार से वितरणी जालकों]] पर लेख देखें। | ||
==साहित्य== | ==साहित्य== | ||
वितरण एक | वितरण एक मूल अवधारणा है जिसका वर्णन जालक और क्रम सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक में किया जाता है। [[आदेश सिद्धांत|अनुक्रम सिद्धांत]] और [[जालक सिद्धांत]] पर लेखों के लिए दिया गया साहित्य देखें। अधिक विशिष्ट साहित्य में सम्मिलित हैं, | ||
* जी.एन. राने, | * जी.एन. राने, पूर्णतः वितरणी पूर्ण जालक, [[अमेरिकन गणितीय सोसायटी|अमेरिकन गणितीय समाज का प्रकाशन]], 3: 677 - 680, 1952। | ||
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Latest revision as of 14:35, 17 October 2023
अनुक्रम सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, वितरण की सामान्य अवधारणा की विभिन्न धारणाएँ हैं, जो अधिकतम और निम्नतम की रचना क्रम पर लागू होती हैं। इनमें से अधिकांश आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चयो पर लागू होते हैं जो कम से कम जालक हैं, लेकिन अवधारणा को वास्तव में अर्ध-जालक के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।
वितरणी जालक
संभवतः वितरण का सबसे सामान्य प्रकार वह है जो जालकों के लिए परिभाषित है, जहां द्विआधारी अधिकतम और निम्नतम की रचना संयोजन () और सम्मेलन () के पूर्ण संचालन प्रदान करता है। इन दोनों संक्रियाओं की वितरणशीलता उन सभी अवयवो x, y, और z के लिए इस मानदंड को पूरा करने के द्वारा व्यक्त की जाती है जिसकी पहचान
हो। यह वितरण नियम 'वितरणी जालकों' के वर्ग को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि इस आवश्यकता को यह कहकर परिवर्तित की किया जा सकता है कि द्विआधारी सम्मेलन द्विआधारी संयोजन को संरक्षित करता है। उपरोक्त कथन अपने क्रम-द्वय के समतुल्य होने के लिए जाना जाता है, जहां एक गुण
ऐसी होता है जिससे इन गुणों में से किसी एक का परिभाषण करने के लिए वितरणशीलता की परिभाषा पर पूरा आधार बनाया जा सकता है। वितरणी जालक के विशिष्ट उदाहरण संपूर्ण अनुक्रम किए गए समुच्चयो, बूलियन बीजगणित और हेटिंग बीजगणित हैं। प्रत्येक परिमित वितरणी जालक समावेशन (बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय) द्वारा अनुक्रम किए गए समुच्चयो के जालक के लिए समरूपीय है।
अर्ध जालक के लिए वितरण
एक अर्ध जालक एक आंशिक क्रमित समुच्चय है जिसमें दो जालक संचालनों में से केवल एक होता है, जो या तो एक सम्मेलन-अर्ध जालक या एक संयोजन-अर्ध जालक होता है। यह देखते हुए कि केवल एक द्विआधारी संक्रिया है, वितरण को स्पष्ट रूप से मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। फिर भी, दिए गए अनुक्रम के साथ एकल संक्रिया की अंतःक्रिया के कारण, वितरण की निम्नलिखित परिभाषा संभव रहती है। यदि सभी a, b और x के लिए एक सम्मेलन- अर्ध जालक वितरणीय होता है, तो
- यदि a ∧ b ≤ x होता है तो a′ और b' उपस्थित होते हैं जिसके लिए a ≤ a′, b ≤ b' और x = a′ ∧ b' होता है।
वितरणीय संयोजन-अर्ध जालक द्वित्वयापीत रूप से परिभाषित किया जाता है, यदि सभी a, b और x के लिए एक संयोजन-अर्ध जालक वितरणीय होता है, तो
- यदि x ≤ a ∨ b होता है तो ऐसे a′ और b′ उपस्थित होते हैं जिसके लिए a' ≤ a, b' ≤ b और x = a' ∨ b' होता है।
किसी भी स्थिति में, a' और b' को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। ये परिभाषाएं यहाँ उचित होती हैं क्योंकि किसी भी जालक L को देखते हुए, निम्नलिखित सभी कथन समतुल्य हैं,
- L सम्मेलन-अर्ध जालक के रूप में वितरणी है
- L संयोजन-अर्ध जालक के रूप में वितरणी है
- L एक वितरणी जालक है।
इस प्रकार कोई भी वितरणी सम्मेलन-अर्ध जालक जिसमें द्विआधारी संयोजन उपस्थित होते हैं, वह एक वितरणी जालक होता है। एक संयोजन-अर्ध जालक वितरणी है यदि केवल इसके आदर्शों के जालक (समावेशन के तहत) वितरणी है।[1]
वितरणशीलता की यह परिभाषा वितरणी अक्षांशों के बारे में कुछ कथनों को वितरणी अर्ध जालक के रूप में सामान्यीकृत करने की अनुमति देती है।
पूर्ण जालकों के लिए वितरण नियम
एक पूर्ण जालक के लिए, स्वेच्छ रूप से उपसमुच्चय में निम्नतम और अधिकतम दोनों होते हैं और इसलिए अनन्त सम्मेलन और संयोजन संचालन उपलब्ध होते हैं। इस प्रकार वितरण की कई विस्तारित धारणाओं का वर्णन किया जा सकता है। उदाहरण के रूप में, अनंत वितरणीय नियम के लिए, परिमित सम्मेलन स्वेच्छ रूप से संयोजनों पर वितरित हो सकते हैं, अर्थात्
जालक के सभी अवयवो x और सभी उपसमुच्चय S के लिए संभव हो सकता है। इस गुण के साथ पूर्ण जालकों को 'फ़्रेम', 'लोकेल्स' या 'पूर्ण हेटिंग बीजगणित' कहा जाता है। वे निरर्थक सीन विज्ञान और स्टोन द्वैतीयता के संबंध में उत्पन्न होते हैं। यह वितरणी नियम इसके दोहरे कथन
के समतुल्य नहीं है जो द्वैती फ्रेम या पूर्ण सह-हेटिंग बीजगणित के वर्ग को परिभाषित करता है।
अब कोई इससे भी आगे जा सकता है और उन अनुक्रमो को परिभाषित कर सकता है जहां स्वेच्छ संयोजन स्वेच्छ रूप से मिलने पर वितरित होता है। ऐसी संरचनाओं को पूर्णतः वितरणी जालक कहा जाता है। हालांकि, इसे व्यक्त करने के लिए ऐसे सूत्रीकरण की आवश्यकता होती हैं जो अल्प तकनीकी होती हैं। एक पूर्ण जालक के अवयवो के एक द्विगुणांकित परिवार {xj,k | J J में है, K K(j) में है} का विचार करें, और F को ऐसे चयनित फलनो f का समुच्चय बनाएं जो प्रत्येक जाँचक J के लिए j के कुछ जाँचक f(j) K(j) में होता है। एक पूर्ण जालक पूर्ण प्रकार से वितरणात्मक है यदि ऐसे सभी डेटा के लिए निम्नलिखित कथन मान्य है,
पूर्ण वितरण फिर से एक स्वद्वैत गुण है, अर्थात उपरोक्त कथन को दोहराने से पूर्ण अक्षांशों का एक ही वर्ग प्राप्त होता है। पूर्ण प्रकार से वितरणी पूर्ण जालक (संक्षेप में पूर्ण प्रकार से वितरणी जालक भी कहा जाता है) वास्तव में अत्यधिक विशेष संरचनाएं हैं। पूर्ण प्रकार से वितरणी जालकों पर लेख देखें।
साहित्य
वितरण एक मूल अवधारणा है जिसका वर्णन जालक और क्रम सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक में किया जाता है। अनुक्रम सिद्धांत और जालक सिद्धांत पर लेखों के लिए दिया गया साहित्य देखें। अधिक विशिष्ट साहित्य में सम्मिलित हैं,
- जी.एन. राने, पूर्णतः वितरणी पूर्ण जालक, अमेरिकन गणितीय समाज का प्रकाशन, 3: 677 - 680, 1952।
- ↑ G. Grätzer (2011). Lattice Theory: Foundation. Springer/Birkhäuser.; here: Sect. II.5.1, p.167
