विघटन प्रमेय: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "{{Short description|Theorem in measure theory}} {{Use dmy dates|date=July 2020}} गणित में, विघटन प्रमेय माप सिद्धां...")
 
 
(9 intermediate revisions by 5 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{Short description|Theorem in measure theory}}
{{Short description|Theorem in measure theory}}
{{Use dmy dates|date=July 2020}}
गणित में, '''विघटन प्रमेय''' माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत का परिणाम है। यह प्रश्न में माप समष्टि के शून्य उपसमुच्चय के [[माप (गणित)]] के गैर-सामान्य प्रतिबंध के विचार को कठोरता से परिभाषित करता है। यह कंडीशनिंग (संभावना) के अस्तित्व से संबंधित है। इस प्रकार अर्थ में, विघटन किसी [[उत्पाद माप]] के निर्माण की विपरीत प्रक्रिया है।
गणित में, विघटन प्रमेय [[माप सिद्धांत]] और संभाव्यता सिद्धांत का परिणाम है। यह प्रश्न में माप स्थान के शून्य उपसमुच्चय के [[माप (गणित)]] के गैर-तुच्छ प्रतिबंध के विचार को कठोरता से परिभाषित करता है। यह [[कंडीशनिंग (संभावना)]] के अस्तित्व से संबंधित है। एक अर्थ में, विघटन किसी [[उत्पाद माप]] के निर्माण की विपरीत प्रक्रिया है।


==प्रेरणा==
==प्रेरणा                                                                                                                       ==
[[यूक्लिडियन विमान]] R में इकाई वर्ग पर विचार करें<sup>2</sup>, {{nowrap|1=''S'' = [0, 1] × [0, 1]}}. द्वि-आयामी [[लेब्सेग माप]] λ के प्रतिबंध द्वारा एस पर परिभाषित [[संभाव्यता माप]] μ पर विचार करें<sup>2</sup>से S. यानी, किसी घटना E ⊆ S की संभावना बस E का क्षेत्रफल है। हम मानते हैं कि E, S का एक मापने योग्य उपसमुच्चय है।
यूक्लिडियन समष्टि R<sup>2</sup>, {{nowrap|1=''S'' = [0, 1] × [0, 1]}}. में इकाई वर्ग पर विचार करें। S पर द्वि-आयामी लेब्सेग माप λ<sup>2</sup> के प्रतिबंध द्वारा एस पर परिभाषित संभाव्यता माप μ पर विचार करें . अर्थात, किसी घटना E ⊆ S की संभावना बस E का क्षेत्रफल है। हम मानते हैं कि E, S का मापने योग्य उपसमुच्चय है।


S के एक-आयामी उपसमुच्चय पर विचार करें जैसे कि रेखा खंड L<sub>''x''</sub> = {x} × [0, 1]. एल<sub>''x''</sub> μ-माप शून्य है; एल का प्रत्येक उपसमुच्चय<sub>''x''</sub> एक μ-[[शून्य सेट]] है; चूँकि लेबेस्ग्यू माप स्थान एक पूर्ण माप है,
 
<math display=block>E \subseteq L_{x} \implies \mu (E) = 0.</math>
S के एक-आयामी उपसमुच्चय पर विचार करें जैसे कि रेखा खंड L<sub>''x''</sub> = {x} × [0, 1]. L<sub>''x''</sub> μ-माप शून्य है; L<sub>''x''</sub> का प्रत्येक उपसमुच्चय μ-शून्य समुच्चय है; चूँकि लेबेस्ग्यू माप समष्टि पूर्ण माप है,
सच होते हुए भी, यह कुछ हद तक असंतोषजनक है। यह कहना अच्छा होगा कि μ L तक ही सीमित है<sub>''x''</sub> एक आयामी लेबेस्ग्यू माप λ है<sup>1</sup>, बजाय [[तुच्छ उपाय]] के। द्वि-आयामी घटना की संभावना तब ऊर्ध्वाधर स्लाइस एल की एक-आयामी संभावनाओं के लेबेस्ग एकीकरण के रूप में प्राप्त की जा सकती है<sub>''x''</sub>: अधिक औपचारिक रूप से, यदि μ<sub>''x''</sub> एल पर एक-आयामी लेबेस्ग माप को दर्शाता है<sub>''x''</sub>, तब
<math display="block">E \subseteq L_{x} \implies \mu (E) = 0.</math>
<math display=block>\mu (E) = \int_{[0, 1]} \mu_{x} (E \cap L_{x}) \, \mathrm{d} x</math>
सही होते हुए भी, यह कुछ सीमा तक असंतोषजनक है। यह कहना अच्छा होगा कि μ L<sub>''x''</sub> तक ही सीमित है आयामी लेबेस्ग्यू माप λ<sup>1</sup> अतिरिक्त सामान्य उपाय है । द्वि-आयामी घटना E की संभावना तब ऊर्ध्वाधर स्लाइस E L<sub>''x''</sub> की एक-आयामी संभावनाओं के लेबेस्ग एकीकरण के रूप में प्राप्त की जा सकती है: अधिक औपचारिक रूप से, यदि μ<sub>''x''</sub> L<sub>''x''</sub> पर एक-आयामी लेबेस्ग माप को दर्शाता है, तब
किसी भी अच्छे E ⊆ S के लिए। विघटन प्रमेय [[मीट्रिक स्थान]]ों पर उपायों के संदर्भ में इस तर्क को कठोर बनाता है।
<math display="block">\mu (E) = \int_{[0, 1]} \mu_{x} (E \cap L_{x}) \, \mathrm{d} x</math>
किसी भी अच्छे E ⊆ S के लिए है। विघटन प्रमेय [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] पर उपायों के संदर्भ में इस तर्क को कठोर बनाता है।


==प्रमेय का कथन==
==प्रमेय का कथन==
(इसके बाद, ''पी''(''एक्स'') [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] (''एक्स'', ''टी'') पर [[बोरेल माप]] संभाव्यता उपायों के संग्रह को निरूपित करेगा।)
(इसके बाद, ''p''(''x'') टोपोलॉजिकल समष्टि (''x'', ''T'') पर [[बोरेल माप]] संभाव्यता उपायों के संग्रह को निरूपित करेगा।)
 
प्रमेय की मान्यताएँ इस प्रकार हैं:
प्रमेय की मान्यताएँ इस प्रकार हैं:
* मान लें कि ''Y'' और ''X'' दो पोलिश स्पेस#रेडॉन स्पेस हैं (यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि ''M'' पर प्रत्येक बोरेल माप संभाव्यता माप [[आंतरिक नियमित माप]] है उदाहरण के लिए अलग-अलग स्पेस मीट्रिक रिक्त स्थान जिस पर प्रत्येक संभाव्यता माप एक [[रेडॉन माप]] है)।
* मान लें कि ''Y'' और ''X'' दो पोलिश समष्टि रेडॉन समष्टि हैं (अर्थात टोपोलॉजिकल समष्टि जैसे कि ''M'' पर प्रत्येक बोरेल माप संभाव्यता माप आंतरिक नियमित माप है उदाहरण के लिए अलग-अलग समष्टि मीट्रिक रिक्त समष्टि जिस पर प्रत्येक संभाव्यता माप [[रेडॉन माप]] है)।
* मान लीजिए μ ∈ ''P''(''Y'')।
* मान लीजिए μ ∈ ''P''(''Y'')।
* मान लीजिए π : ''Y'' → ''X'' एक बोरेल-मापने योग्य फ़ंक्शन है। यहां किसी को π को ''Y'' को विघटित करने के एक फ़ंक्शन के रूप में सोचना चाहिए, ''Y'' को विभाजित करने के अर्थ में <math>\{ \pi^{-1}(x)\ |\ x \in X\}</math>. उदाहरण के लिए, उपरोक्त प्रेरक उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है <math>\pi((a,b)) = a</math>, <math>(a,b) \in [0,1]\times [0,1]</math>, जो वह देता है <math>\pi^{-1}(a) = a \times [0,1]</math>, एक टुकड़ा जिसे हम पकड़ना चाहते हैं।
* मान लीजिए π : ''Y'' → ''X'' बोरेल-मापने योग्य फलन है। यहां किसी को π को ''Y'' को विघटित करने के फलन के रूप में सोचना चाहिए, ''Y'' को विभाजित करने के अर्थ में <math>\{ \pi^{-1}(x)\ |\ x \in X\}</math>. उदाहरण के लिए, उपरोक्त प्रेरक उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है <math>\pi((a,b)) = a</math>, <math>(a,b) \in [0,1]\times [0,1]</math>, जो वह देता है <math>\pi^{-1}(a) = a \times [0,1]</math>, टुकड़ा जिसे हम पकड़ना चाहते हैं।
* होने देना <math>\nu</math> ∈ ''P''(''X'') पुशफॉरवर्ड माप हो {{nowrap|1=ν = π<sub>∗</sub>(μ) = μ ∘ π<sup>−1</sup>.}} यह माप x का वितरण प्रदान करता है (जो घटनाओं से मेल खाता है <math>\pi^{-1}(x)</math>).
* माना <math>\nu</math> ∈ ''P''(''X'') पुशफॉरवर्ड माप {{nowrap|1=ν = π<sub>∗</sub>(μ) = μ ∘ π<sup>−1</sup>.}} हो यह माप x का वितरण <math>\pi^{-1}(x)</math> प्रदान करता है (जो घटनाओं से मेल खाता है ).


प्रमेय का निष्कर्ष: वहाँ मौजूद है <math>\nu</math>-[[लगभग हर जगह]] संभाव्यता उपायों का विशिष्ट रूप से निर्धारित परिवार {μ<sub>''x''</sub>}<sub>''x''∈''X''</sub> ⊆ ''P''(''Y''), जो का विघटन प्रदान करता है <math>\mu</math> में {{nowrap|<math>\{\mu_x\}_{x \in X}</math>,}} ऐसा है कि:
प्रमेय का निष्कर्ष: वहाँ <math>\nu</math> उपस्थित है -लगभग प्रत्येक समष्टि संभाव्यता उपायों का विशिष्ट रूप से निर्धारित वर्ग {μ<sub>''x''</sub>}<sub>''x''∈''X''</sub> ⊆ ''P''(''Y''), जो <math>\mu</math> में {{nowrap|<math>\{\mu_x\}_{x \in X}</math>,}} का विघटन प्रदान करता है ऐसा है कि:
* कार्यक्रम <math>x \mapsto \mu_{x}</math> बोरेल मापने योग्य है, इस अर्थ में <math>x \mapsto \mu_{x} (B)</math> प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य सेट बी वाई के लिए एक बोरेल-मापने योग्य फ़ंक्शन है;
* फलन <math>x \mapsto \mu_{x}</math> बोरेल मापने योग्य है, इस अर्थ में <math>x \mapsto \mu_{x} (B)</math> प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य समुच्चय B Y के लिए बोरेल-मापने योग्य फलन है;
* μ<sub>''x''</sub> [[फाइबर (गणित)]] π पर रहता है<sup>−1</sup>(x): के लिए <math>\nu</math>-[[लगभग सभी]] एक्स एक्स, <math display=block>\mu_{x} \left( Y \setminus \pi^{-1} (x) \right) = 0,</math> और इसलिए μ<sub>''x''</sub>() = एम<sub>''x''</sub>(पी<sup>−1</sup>(x));
* μ<sub>''x''</sub> फाइबर (गणित) π<sup>−1</sup>(x) के लिए <math>\nu</math>-लगभग सभी x x, पर रहता है: <math display="block">\mu_{x} \left( Y \setminus \pi^{-1} (x) \right) = 0,</math> और इसलिए μ<sub>''x''</sub>(E) = m<sub>''x''</sub>(E p<sup>−1</sup>(x));
* प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य फ़ंक्शन के लिए f : Y → [0, ∞], <math display="block">\int_{Y} f(y) \, \mathrm{d} \mu (y) = \int_{X} \int_{\pi^{-1} (x)} f(y) \, \mathrm{d} \mu_{x} (y) \mathrm{d} \nu (x).</math> विशेष रूप से, किसी भी घटना E ⊆ Y के लिए, f को E का सूचक फलन मानते हुए,<ref name=Dellacherie_Meyer>{{cite book |author1=Dellacherie, C.  |author2=Meyer, P.-A. | title=संभावनाएँ और संभावनाएँ| series=North-Holland Mathematics Studies |publisher=North-Holland | location=Amsterdam | year=1978 |isbn=0-7204-0701-X }}</ref> <math display="block">\mu (E) = \int_{X} \mu_{x} \left( E \right) \, \mathrm{d} \nu (x).</math>
* प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य फलन के लिए f : Y → [0, ∞], <math display="block">\int_{Y} f(y) \, \mathrm{d} \mu (y) = \int_{X} \int_{\pi^{-1} (x)} f(y) \, \mathrm{d} \mu_{x} (y) \mathrm{d} \nu (x).</math> विशेष रूप से, किसी भी घटना E ⊆ Y के लिए, f को E का सूचक फलन मानते हुए,<ref name="Dellacherie_Meyer">{{cite book |author1=Dellacherie, C.  |author2=Meyer, P.-A. | title=संभावनाएँ और संभावनाएँ| series=North-Holland Mathematics Studies |publisher=North-Holland | location=Amsterdam | year=1978 |isbn=0-7204-0701-X }}</ref> <math display="block">\mu (E) = \int_{X} \mu_{x} \left( E \right) \, \mathrm{d} \nu (x).</math>
==अनुप्रयोग                                                                                                                                                                                                    ==


===उत्पाद समष्टि===
मूल उदाहरण उत्पाद रिक्त समष्टि की समस्या का विशेष स्थिति थी, जिस पर विघटन प्रमेय प्रयुक्त होता है।


==अनुप्रयोग==
जब Y को [[कार्तीय गुणन]]फल Y = X<sub>1</sub> × x<sub>2</sub> और π<sub>''i''</sub> : Y x<sub>''i''</sub> के रूप में लिखा जाता है प्राकृतिक प्रक्षेपण (गणित) है, तो प्रत्येक फाइबर π<sub>1</sub><sup>−1</sup>(x<sub>1</sub>) X<sub>2</sub> के साथ विहित रूप में पहचाना जा सकता है और संभाव्यता मापों का बोरेल वर्ग उपस्थित है <math>\{ \mu_{x_{1}} \}_{x_{1} \in X_{1}}</math> ''p''(''x''<sub>2</sub>) जो (π<sub>1</sub>)<sub>∗</sub>(μ) है लगभग प्रत्येक समष्टि विशिष्ट रूप से निर्धारित) जैसे कि
 
===उत्पाद स्थान===
{{More citations needed section|date=May 2022}}
मूल उदाहरण उत्पाद रिक्त स्थान की समस्या का एक विशेष मामला था, जिस पर विघटन प्रमेय लागू होता है।
 
जब Y को [[कार्तीय गुणन]]फल Y = X के रूप में लिखा जाता है<sub>1</sub> × एक्स<sub>2</sub> और π<sub>''i''</sub> : वाई एक्स<sub>''i''</sub> प्राकृतिक [[प्रक्षेपण (गणित)]] है, तो प्रत्येक फाइबर π<sub>1</sub><sup>−1</sup>(x<sub>1</sub>) X के साथ विहित रूप में पहचाना जा सकता है<sub>2</sub> और संभाव्यता मापों का एक बोरेल परिवार मौजूद है <math>\{ \mu_{x_{1}} \}_{x_{1} \in X_{1}}</math> ''पी''(''एक्स'' में<sub>2</sub>) (जो (π) है<sub>1</sub>)<sub>∗</sub>(μ)-लगभग हर जगह विशिष्ट रूप से निर्धारित) जैसे कि
<math display=block>\mu = \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mu \left(\pi_1^{-1}(\mathrm d x_1) \right)= \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mathrm{d} (\pi_{1})_{*} (\mu) (x_{1}),</math>
<math display=block>\mu = \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mu \left(\pi_1^{-1}(\mathrm d x_1) \right)= \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mathrm{d} (\pi_{1})_{*} (\mu) (x_{1}),</math>
जो विशेष रूप से है{{Clarify|date=May 2022|reason=Notation "\mu(d x_2{{!}}x_1)" has not been defined}}
जो विशेष रूप से है
<math display=block>\int_{X_1\times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu(\mathrm d x_1,\mathrm d x_2) = \int_{X_1}\left( \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1) \right) \mu\left( \pi_1^{-1}(\mathrm{d} x_{1})\right)</math>
<math display=block>\int_{X_1\times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu(\mathrm d x_1,\mathrm d x_2) = \int_{X_1}\left( \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1) \right) \mu\left( \pi_1^{-1}(\mathrm{d} x_{1})\right)</math>
और
और
<math display=block>\mu(A \times B) = \int_A \mu\left(B|x_1\right) \, \mu\left( \pi_1^{-1}(\mathrm{d} x_{1})\right).</math>
<math display=block>\mu(A \times B) = \int_A \mu\left(B|x_1\right) \, \mu\left( \pi_1^{-1}(\mathrm{d} x_{1})\right).</math>
[[सशर्त अपेक्षा]] का संबंध पहचानों द्वारा दिया गया है
[[सशर्त अपेक्षा|नियमित अपेक्षा]] का संबंध पहचानों द्वारा दिया गया है
<math display=block>\operatorname E(f|\pi_1)(x_1)= \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1),</math>
<math display=block>\operatorname E(f|\pi_1)(x_1)= \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1),</math><math display=block>\mu(A\times B|\pi_1)(x_1)= 1_A(x_1) \cdot \mu(B| x_1).</math>
<math display=block>\mu(A\times B|\pi_1)(x_1)= 1_A(x_1) \cdot \mu(B| x_1).</math>
===सदिश गणना                                                                                                                                                                                              ===
विघटन प्रमेय को सदिश गणना में प्रतिबंधित माप के उपयोग को उचित ठहराने के रूप में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोक्स के प्रमेय में जैसा कि कॉम्पैक्ट समष्टि [[सतह (गणित)]] के माध्यम से बहने वाले सदिश क्षेत्र {{nowrap|Σ ⊂ '''R'''<sup>3</sup>}} पर प्रयुक्त होता है , यह अंतर्निहित है कि Σ पर सही माप त्रि-आयामी लेबेस्ग माप λ<sup>3</sup>Σ पर, विघटन है और यह कि ∂Σ पर इस माप का विघटन λ<sup>3</sup> पर ∂Σ के विघटन के समान है.<ref name=Ambrosio_Gigli_Savare>{{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=मीट्रिक रिक्त स्थान और संभाव्यता माप के स्थान में क्रमिक प्रवाह| publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel | year=2005 | isbn=978-3-7643-2428-5 }}</ref>


===नियमित वितरण===
विघटन प्रमेय को आंकड़ों में नियमित संभाव्यता वितरण का कठोर निरूपण देने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है, जबकि नियमित संभाव्यता के विशुद्ध रूप से एब्स्ट्रेक्ट सूत्र से बचा जा सकता है।<ref name=Chang_Pollard>{{cite journal|last=Chang|first=J.T.|author2=Pollard, D.|title=विघटन के रूप में कंडीशनिंग|journal=Statistica Neerlandica| year=1997 | volume=51|issue=3|url=http://www.stat.yale.edu/~jtc5/papers/ConditioningAsDisintegration.pdf|doi=10.1111/1467-9574.00056|pages=287|citeseerx=10.1.1.55.7544|s2cid=16749932 }}</ref>


===[[वेक्टर कैलकुलस]]===
==यह भी देखें                                ==
विघटन प्रमेय को वेक्टर कैलकुलस में एक प्रतिबंधित माप के उपयोग को उचित ठहराने के रूप में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोक्स के प्रमेय में जैसा कि एक कॉम्पैक्ट अंतरिक्ष [[सतह (गणित)]] के माध्यम से बहने वाले वेक्टर क्षेत्र पर लागू होता है {{nowrap|Σ ⊂ '''R'''<sup>3</sup>}}, यह अंतर्निहित है कि Σ पर सही माप त्रि-आयामी लेबेस्ग माप λ का विघटन है<sup>3</sup>Σ पर, और यह कि ∂Σ पर इस माप का विघटन λ के विघटन के समान है<sup>3</sup>पर ∂Σ.<ref name=Ambrosio_Gigli_Savare>{{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=मीट्रिक रिक्त स्थान और संभाव्यता माप के स्थान में क्रमिक प्रवाह| publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel | year=2005 | isbn=978-3-7643-2428-5 }}</ref>


===सशर्त वितरण===
* {{annotated link|इओनेस्कु-तुलसीया प्रमेय}}
विघटन प्रमेय को आंकड़ों में सशर्त संभाव्यता वितरण का कठोर उपचार देने के लिए लागू किया जा सकता है, जबकि सशर्त संभाव्यता के विशुद्ध रूप से अमूर्त फॉर्मूलेशन से बचा जा सकता है।<ref name=Chang_Pollard>{{cite journal|last=Chang|first=J.T.|author2=Pollard, D.|title=विघटन के रूप में कंडीशनिंग|journal=Statistica Neerlandica| year=1997 | volume=51|issue=3|url=http://www.stat.yale.edu/~jtc5/papers/ConditioningAsDisintegration.pdf|doi=10.1111/1467-9574.00056|pages=287|citeseerx=10.1.1.55.7544|s2cid=16749932 }}</ref>
* {{annotated link|संयुक्त संभाव्यता वितरण}}
* {{annotated link|कोपुला (सांख्यिकी)}}
* {{annotated link|नियमित अपेक्षा}}
* {{annotated link|बोरेल-कोलमोगोरोव विरोधाभास}}
* [[नियमित सशर्त संभाव्यता|नियमित संभाव्यता]]


==यह भी देखें==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                         ==
 
* {{annotated link|Ionescu-Tulcea theorem}}
* {{annotated link|Joint probability distribution}}
* {{annotated link|Copula (statistics)}}
* {{annotated link|Conditional expectation}}
* {{annotated link|Borel–Kolmogorov paradox}}
* [[नियमित सशर्त संभाव्यता]]
 
==संदर्भ==


{{reflist}}
{{reflist}}


{{Measure theory}}
[[Category:CS1 maint]]
[[Category: माप सिद्धांत में प्रमेय]] [[Category: संभाव्यता प्रमेय]]
 
 
 
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 07/07/2023]]
[[Category:Created On 07/07/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:माप सिद्धांत में प्रमेय]]
[[Category:संभाव्यता प्रमेय]]

Latest revision as of 16:23, 29 August 2023

गणित में, विघटन प्रमेय माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत का परिणाम है। यह प्रश्न में माप समष्टि के शून्य उपसमुच्चय के माप (गणित) के गैर-सामान्य प्रतिबंध के विचार को कठोरता से परिभाषित करता है। यह कंडीशनिंग (संभावना) के अस्तित्व से संबंधित है। इस प्रकार अर्थ में, विघटन किसी उत्पाद माप के निर्माण की विपरीत प्रक्रिया है।

प्रेरणा

यूक्लिडियन समष्टि R2, S = [0, 1] × [0, 1]. में इकाई वर्ग पर विचार करें। S पर द्वि-आयामी लेब्सेग माप λ2 के प्रतिबंध द्वारा एस पर परिभाषित संभाव्यता माप μ पर विचार करें . अर्थात, किसी घटना E ⊆ S की संभावना बस E का क्षेत्रफल है। हम मानते हैं कि E, S का मापने योग्य उपसमुच्चय है।


S के एक-आयामी उपसमुच्चय पर विचार करें जैसे कि रेखा खंड Lx = {x} × [0, 1]. Lx μ-माप शून्य है; Lx का प्रत्येक उपसमुच्चय μ-शून्य समुच्चय है; चूँकि लेबेस्ग्यू माप समष्टि पूर्ण माप है,

सही होते हुए भी, यह कुछ सीमा तक असंतोषजनक है। यह कहना अच्छा होगा कि μ Lx तक ही सीमित है आयामी लेबेस्ग्यू माप λ1 अतिरिक्त सामान्य उपाय है । द्वि-आयामी घटना E की संभावना तब ऊर्ध्वाधर स्लाइस E ∩ Lx की एक-आयामी संभावनाओं के लेबेस्ग एकीकरण के रूप में प्राप्त की जा सकती है: अधिक औपचारिक रूप से, यदि μx Lx पर एक-आयामी लेबेस्ग माप को दर्शाता है, तब
किसी भी अच्छे E ⊆ S के लिए है। विघटन प्रमेय मीट्रिक समष्टि पर उपायों के संदर्भ में इस तर्क को कठोर बनाता है।

प्रमेय का कथन

(इसके बाद, p(x) टोपोलॉजिकल समष्टि (x, T) पर बोरेल माप संभाव्यता उपायों के संग्रह को निरूपित करेगा।)

प्रमेय की मान्यताएँ इस प्रकार हैं:

  • मान लें कि Y और X दो पोलिश समष्टि रेडॉन समष्टि हैं (अर्थात टोपोलॉजिकल समष्टि जैसे कि M पर प्रत्येक बोरेल माप संभाव्यता माप आंतरिक नियमित माप है उदाहरण के लिए अलग-अलग समष्टि मीट्रिक रिक्त समष्टि जिस पर प्रत्येक संभाव्यता माप रेडॉन माप है)।
  • मान लीजिए μ ∈ P(Y)।
  • मान लीजिए π : YX बोरेल-मापने योग्य फलन है। यहां किसी को π को Y को विघटित करने के फलन के रूप में सोचना चाहिए, Y को विभाजित करने के अर्थ में . उदाहरण के लिए, उपरोक्त प्रेरक उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है , , जो वह देता है , टुकड़ा जिसे हम पकड़ना चाहते हैं।
  • माना P(X) पुशफॉरवर्ड माप ν = π(μ) = μ ∘ π−1. हो यह माप x का वितरण प्रदान करता है (जो घटनाओं से मेल खाता है ).

प्रमेय का निष्कर्ष: वहाँ उपस्थित है -लगभग प्रत्येक समष्टि संभाव्यता उपायों का विशिष्ट रूप से निर्धारित वर्ग {μx}xXP(Y), जो में , का विघटन प्रदान करता है ऐसा है कि:

  • फलन बोरेल मापने योग्य है, इस अर्थ में प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य समुच्चय B ⊆ Y के लिए बोरेल-मापने योग्य फलन है;
  • μx फाइबर (गणित) π−1(x) के लिए -लगभग सभी x ∈ x, पर रहता है:
    और इसलिए μx(E) = mx(E ∩ p−1(x));
  • प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य फलन के लिए f : Y → [0, ∞],
    विशेष रूप से, किसी भी घटना E ⊆ Y के लिए, f को E का सूचक फलन मानते हुए,[1]

अनुप्रयोग

उत्पाद समष्टि

मूल उदाहरण उत्पाद रिक्त समष्टि की समस्या का विशेष स्थिति थी, जिस पर विघटन प्रमेय प्रयुक्त होता है।

जब Y को कार्तीय गुणनफल Y = X1 × x2 और πi : Y → xi के रूप में लिखा जाता है प्राकृतिक प्रक्षेपण (गणित) है, तो प्रत्येक फाइबर π1−1(x1) X2 के साथ विहित रूप में पहचाना जा सकता है और संभाव्यता मापों का बोरेल वर्ग उपस्थित है p(x2) जो (π1)(μ) है लगभग प्रत्येक समष्टि विशिष्ट रूप से निर्धारित) जैसे कि

जो विशेष रूप से है
और
नियमित अपेक्षा का संबंध पहचानों द्वारा दिया गया है

सदिश गणना

विघटन प्रमेय को सदिश गणना में प्रतिबंधित माप के उपयोग को उचित ठहराने के रूप में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोक्स के प्रमेय में जैसा कि कॉम्पैक्ट समष्टि सतह (गणित) के माध्यम से बहने वाले सदिश क्षेत्र Σ ⊂ R3 पर प्रयुक्त होता है , यह अंतर्निहित है कि Σ पर सही माप त्रि-आयामी लेबेस्ग माप λ3Σ पर, विघटन है और यह कि ∂Σ पर इस माप का विघटन λ3 पर ∂Σ के विघटन के समान है.[2]

नियमित वितरण

विघटन प्रमेय को आंकड़ों में नियमित संभाव्यता वितरण का कठोर निरूपण देने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है, जबकि नियमित संभाव्यता के विशुद्ध रूप से एब्स्ट्रेक्ट सूत्र से बचा जा सकता है।[3]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1978). संभावनाएँ और संभावनाएँ. North-Holland Mathematics Studies. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-7204-0701-X.
  2. Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). मीट्रिक रिक्त स्थान और संभाव्यता माप के स्थान में क्रमिक प्रवाह. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. ISBN 978-3-7643-2428-5.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. Chang, J.T.; Pollard, D. (1997). "विघटन के रूप में कंडीशनिंग" (PDF). Statistica Neerlandica. 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544. doi:10.1111/1467-9574.00056. S2CID 16749932.