होलोनोमिक आधार: Difference between revisions

Latest revision as of 16:54, 8 September 2023

गणित और गणितीय भौतिकी में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार $M$ आधार (रैखिक बीजगणित) सदिश क्षेत्र ${e 1, ..., e n}$ का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है

\mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},

जहां δs बिंदु P और निकटवर्ती बिंदु Q के बीच विस्थापन सदिश है जिसका P से समन्वय पृथक्करण समन्वय वक्र $x α$ के अनुदिश $δx α$ है (अर्थात बहुविध पर वक्र $P$ जिसके लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली $x α$ बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)। ^[1]

ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न संचालक के बीच संबंध बनाना संभव है। स्पर्शरेखा सदिश $u = u α e α$ के साथ $x α (λ)$ द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर एक पैरामीटरयुक्त वक्र C को देखते हुए, जहां $uα = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dxα/dλ$ , और C के प्रतिवैस में परिभाषित एक फलन $f (x α)$ है, C के साथ f की भिन्नता लिखी जा सकती है जैसे

{\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.

चूंकि हमारे पास $u = u α e α$ है, पहचान अक्सर $e α$ और आंशिक व्युत्पन्न संचालक $\partial / \partial x α$ समन्वय आधार सदिश के बीच सदिश की व्याख्या के अंतर्गत कार्यों पर कार्य करने वाले संचालक के रूप में की जाती है। ^[2]

${e 1, ..., e n}$ आधार के लिए एक स्थानीय परिस्थिति होलोनोमिक होने का अर्थ यह है कि सभी पारस्परिक लाइ व्युत्पन्न विलुप्त हो जाते हैं: ^[3]

\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.

एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार कहा जाता है। ^[4]

मैनिफोल्ड m पर एक मापीय प्रदिश g को देखते हुए, सामान्यतः एक समन्वय आधार ढूंढना संभव नहीं है जो m के किसी भी खुले क्षेत्र u में लम्बवत होता है। ^[5] एक स्पष्ट अपवाद तब होता है जब m वास्तविक समन्वय स्थान $R n$ को मैनिफोल्ड के रूप में माना जाता है जिसमें g हर बिंदु पर यूक्लिडियन मापीय $δ ij e i \otimes e j$ होता है।

संदर्भ

↑ M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006), General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, p. 57
↑ T. Padmanabhan (2010), Gravitation: Foundations and Frontiers, Cambridge University Press, p. 25
↑ Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, pp. 197–199
↑ Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970), Gravitation, p. 210{{citation}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)
↑ Bernard F. Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, pp. 47–49, ISBN 9780521298872

यह भी देखें

जेट बंडल
टेट्राड औपचारिकता
कुंची कलन

[1] M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006), General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, p. 57

[2] T. Padmanabhan (2010), Gravitation: Foundations and Frontiers, Cambridge University Press, p. 25

[3] Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, pp. 197–199

[4] Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970), Gravitation, p. 210{{citation}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)

[5] Bernard F. Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, pp. 47–49, ISBN 9780521298872

[1]

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-गणित और [[गणितीय भौतिकी]] में, एक अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार {{math|''M''}} [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] [[वेक्टर फ़ील्ड]] का एक सेट है {{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} हर बिंदु पर परिभाषित {{math|''P''}} एक क्षेत्र के (गणित) के रूप में कई गुना
+गणित और [[गणितीय भौतिकी]] में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या '''होलोनोमिक आधार''' {{math|''M''}} [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] {{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है
 :<math>\mathbf{e}_{\alpha} = \lim_{\delta x^{\alpha} \to 0} \frac{\delta \mathbf{s}}{\delta x^{\alpha}} ,</math>
-कहाँ {{math|''δ'''''s'''}} बिंदु के बीच विस्थापन वेक्टर है {{math|''P''}} और एक नजदीकी बिंदु
+जहां δs बिंदु P और निकटवर्ती बिंदु Q के बीच विस्थापन सदिश है जिसका P से समन्वय पृथक्करण समन्वय वक्र {{math|''x''{{sup|''α''}}}} के अनुदिश {{math|''δx''{{sup|''α''}}}} है  (अर्थात बहुविध पर वक्र {{math|''P''}} जिसके लिए [[स्थानीय समन्वय प्रणाली]] {{math|''x''{{sup|''α''}}}} बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)। {{refn|{{citation |author1=M. P. Hobson |author2=G. P. Efstathiou |author3=A. N. Lasenby |year=2006 |title=General Relativity: An Introduction for Physicists |publisher=[[Cambridge University Press]] |page=57 }}}}
-{{math|''Q''}} जिसका समन्वय पृथक्करण है {{math|''P''}} है {{math|''δx''{{sup|''α''}}}} निर्देशांक वक्र के अनुदिश {{math|''x''{{sup|''α''}}}} (अर्थात मैनिफ़ोल्ड पर वक्र {{math|''P''}} जिसके लिए [[स्थानीय समन्वय प्रणाली]] {{math|''x''{{sup|''α''}}}} बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)।{{refn|{{citation |author1=M. P. Hobson |author2=G. P. Efstathiou |author3=A. N. Lasenby |year=2006 |title=General Relativity: An Introduction for Physicists |publisher=[[Cambridge University Press]] |page=57 }}}}
-ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न ऑपरेटरों के बीच संबंध बनाना संभव है। एक पैरामीटरयुक्त वक्र दिया गया है {{math|''C''}} द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर {{math|''x''{{sup|''α''}}(''λ'')}} स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ {{math|1='''u''' = ''u''{{sup|''α''}}'''e'''{{sub|''α''}}}}, कहाँ {{math|1=''u''{{sup|''α''}} = {{sfrac|''dx''{{sup|''α''}}|''dλ''}}}}, और एक फ़ंक्शन {{math|''f''(''x''{{sup|''α''}})}} के पड़ोस में परिभाषित किया गया है {{math|''C''}}, का रूपांतर {{math|''f''}} साथ में {{math|''C''}} के रूप में लिखा जा सकता है
+ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न संचालक के बीच संबंध बनाना संभव है। स्पर्शरेखा सदिश {{math|1='''u''' = ''u''{{sup|''α''}}'''e'''{{sub|''α''}}}} के साथ {{math|''x''{{sup|''α''}}(''λ'')}} द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर एक पैरामीटरयुक्त वक्र C को देखते हुए, जहां {{math|1=''u''{{sup|''α''}} = {{sfrac|''dx''{{sup|''α''}}|''dλ''}}}}, और C के प्रतिवैस में परिभाषित एक फलन {{math|''f''(''x''{{sup|''α''}})}} है, C के साथ f की भिन्नता लिखी जा सकती है जैसे
 :<math>\frac{df}{d\lambda} = \frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha}} = u^{\alpha} \frac{\partial }{\partial x^{\alpha}} f .</math>
-चूंकि हमारे पास वह है {{math|1='''u''' = ''u''{{sup|''α''}}'''e'''{{sub|''α''}}}}, पहचान अक्सर समन्वय आधार वेक्टर के बीच की जाती है {{math|'''e'''{{sub|''α''}}}} और आंशिक व्युत्पन्न ऑपरेटर {{math|{{sfrac|∂|∂''x''{{sup|''α''}}}}}}, कार्यों पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों के रूप में वैक्टर की व्याख्या के तहत।{{refn|{{citation |author=T. Padmanabhan |year=2010 |title=Gravitation: Foundations and Frontiers |publisher=[[Cambridge University Press]] |page=25}}}}
+चूंकि हमारे पास {{math|1='''u''' = ''u''{{sup|''α''}}'''e'''{{sub|''α''}}}} है, पहचान अक्सर {{math|'''e'''{{sub|''α''}}}} और आंशिक व्युत्पन्न संचालक {{math|{{sfrac|∂|∂''x''{{sup|''α''}}}}}} समन्वय आधार सदिश के बीच सदिश की व्याख्या के अंतर्गत कार्यों पर कार्य करने वाले संचालक के रूप में की जाती है। {{refn|{{citation |author=T. Padmanabhan |year=2010 |title=Gravitation: Foundations and Frontiers |publisher=[[Cambridge University Press]] |page=25}}}}
-आधार के लिए एक स्थानीय शर्त {{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} होलोनोमिक होने का मतलब यह है कि सभी पारस्परिक [[झूठ व्युत्पन्न]] गायब हो जाते हैं:{{refn|{{citation |author1=Roger Penrose|author2=Wolfgang Rindler |title=Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages=197–199 }}}}
+{{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} आधार के लिए एक स्थानीय परिस्थिति होलोनोमिक होने का अर्थ यह है कि सभी पारस्परिक [[झूठ व्युत्पन्न|लाइ व्युत्पन्न]] विलुप्त हो जाते हैं: {{refn|{{citation |author1=Roger Penrose|author2=Wolfgang Rindler |title=Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages=197–199 }}}}
 :<math> \left[ \mathbf{e}_{\alpha} , \mathbf{e}_{\beta} \right] = {\mathcal{L}}_{\mathbf{e}_{\alpha}} \mathbf{e}_{\beta} = 0 .</math>
-एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक कहा जाता है,{{refn|{{citation |authors=Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler |year=1970 |title=Gravitation |page=210 }}}} गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार।
+एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार कहा जाता है। {{refn|{{citation |authors=Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler |year=1970 |title=Gravitation |page=210 }}}}
-एक [[मीट्रिक टेंसर]] दिया गया है {{math|''g''}} अनेक गुना पर {{math|''M''}}, सामान्य तौर पर किसी भी खुले क्षेत्र में लम्बवत समन्वय आधार खोजना संभव नहीं है {{math|''U''}} का {{math|''M''}}.{{refn|{{citation |author=Bernard F. Schutz |year=1980 |title=Geometrical Methods of Mathematical Physics |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages=47–49 |isbn=9780521298872 }}}} एक स्पष्ट अपवाद तब होता है {{math|''M''}} [[वास्तविक संख्या]] निर्देशांक स्थान है {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} के साथ कई गुना माना जाता है {{math|''g''}} यूक्लिडियन मीट्रिक होना {{math|''δ''{{sub|''ij''&thinsp;}}'''e'''{{sup|''i''}} ⊗ '''e'''{{i sup|''j''}}}} हर बिंदु पर.
+मैनिफोल्ड m पर एक मापीय प्रदिश g को देखते हुए, सामान्यतः एक समन्वय आधार ढूंढना संभव नहीं है जो m के किसी भी खुले क्षेत्र u में लम्बवत होता है। {{refn|{{citation |author=Bernard F. Schutz |year=1980 |title=Geometrical Methods of Mathematical Physics |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages=47–49 |isbn=9780521298872 }}}} एक स्पष्ट अपवाद तब होता है जब m वास्तविक समन्वय स्थान {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} को मैनिफोल्ड के रूप में माना जाता है जिसमें g हर बिंदु पर यूक्लिडियन मापीय {{math|''δ''{{sub|''ij''&thinsp;}}'''e'''{{sup|''i''}} ⊗ '''e'''{{i sup|''j''}}}} होता है।
 ==संदर्भ==
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 ==यह भी देखें==
 *[[जेट बंडल]]
-*[[टेट्राड औपचारिकता]]
+*टेट्राड औपचारिकता
-*[[घुंघराले कलन]]
+*कुंची कलन
-श्रेणी:विभेदक ज्यामिति
-श्रेणी:गणितीय भौतिकी
-{{differential-geometry-stub}}
+[[Category:All stub articles]]
+[[Category:CS1 maint]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 05/07/2023]]
+[[Category:Differential geometry stubs]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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