सतत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया: Difference between revisions

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{{distinguish|सतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया}}


संभाव्यता सिद्धांत में, एक सतत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक प्रकार की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसे इसके समय या सूचकांक पैरामीटर के एक फ़ंक्शन के रूप में निरंतर कार्य कहा जा सकता है। निरंतरता एक प्रक्रिया के लिए (नमूना पथों के) लिए एक अच्छी संपत्ति है, क्योंकि इसका तात्पर्य यह है कि वे कुछ अर्थों में [[अच्छी तरह से व्यवहार]] करते हैं, और इसलिए, विश्लेषण करना बहुत आसान है। यहां यह निहित है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का सूचकांक एक सतत चर है। कुछ लेखक<ref name=D>Dodge, Y. (2006) ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', OUP. {{ISBN|0-19-920613-9}} (Entry for "continuous process")</ref> एक सतत (स्टोकेस्टिक) प्रक्रिया को परिभाषित करें, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि नमूना पथों की निरंतरता के बिना, सूचकांक चर निरंतर हो: कुछ शब्दावली में, यह एक अलग-समय प्रक्रिया के समानांतर, एक निरंतर-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया होगी। संभावित भ्रम को देखते हुए सावधानी बरतने की जरूरत है.<ref name=D/>
संभाव्यता सिद्धांत में, एक '''सतत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया''' एक प्रकार की प्रसंभाव्य प्रक्रिया है जिसे इसके समय या सूचकांक पैरामीटर के एक कार्य के रूप में कहा जा सकता है। निरंतरता एक प्रक्रिया के लिए एक उचित गुण है, चूंकि इसका तात्पर्य यह है कि वे कुछ अर्थों में [[अच्छी तरह से व्यवहार]] करते हैं, और इसलिए, विश्लेषण करना बहुत आसान है। यहां यह निहित है कि प्रसंभाव्य प्रक्रिया का सूचकांक एक सतत चर राशि है।<ref name=D>Dodge, Y. (2006) ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', OUP. {{ISBN|0-19-920613-9}} (Entry for "continuous process")</ref> कुछ लेखक एक "निरंतर प्रक्रिया" को परिभाषित करते हैं, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि प्रतिरूप पथों की निरंतरता के बिना, सूचकांक चर राशि निरंतर हो: कुछ शब्दावली में, यह "असतत" के समानांतर एक निरंतर-समय वाली प्रसंभाव्य प्रक्रिया होगी। समय प्रक्रिया संभावित भ्रम को देखते हुए सावधानी नियंत्रण की जरूरत है।<ref name=D/>




==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ==


मान लीजिए (Ω, Σ, P) एक [[संभाव्यता स्थान]] है, ''T'' समय का कुछ [[अंतराल (गणित)]] है, और ''X'' : ''T'' × Ω → ''S'' होने दें एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया. सरलता के लिए, इस लेख के शेष भाग में राज्य स्थान ''एस'' को वास्तविक रेखा आर माना जाएगा, लेकिन यदि ''एस'' आर है तो परिभाषाएँ ''परिवर्तनशील परिवर्तनों'' से गुजरती हैं।<sup>n</sup>, एक [[मानक स्थान]], या यहां तक ​​कि एक सामान्य [[मीट्रिक स्थान]]।
(Ω, Σ, P) एक [[संभाव्यता स्थान]] है, ''T'' समय का कुछ [[Index.php?title=अंतराल|अंतराल]] है, और ''X'' : ''T'' × Ω → ''S'' एक प्रसंभाव्य प्रक्रिया है। सरलता के लिए, इस लेख का शेष भाग S को वास्तविक रेखा R मान लेगा, परंतु परिभाषाएँ यथोचित परिवर्तनों से गुजरती हैं यदि S Rn एक [[Index.php?title=मानक वेक्टर स्थान|मानक वेक्टर स्थान]] है, या यहां तक ​​कि एक सामान्य [[मीट्रिक स्थान]] भी है।


===प्रायिकता एक के साथ निरंतरता===
===सम्भावना एक के साथ निरंतरता===


किसी समय t∈T को देखते हुए, X को t पर 'संभावना एक के साथ निरंतर' कहा जाता है यदि
निश्चित समय में t∈T, X को t पर 'संभावना निरंतरता' कहा जाता है।


:<math>\mathbf{P} \left( \left\{ \omega \in \Omega \left| \lim_{s \to t} \big| X_{s} (\omega) - X_{t} (\omega) \big| = 0 \right. \right\} \right) = 1.</math>
:यदि <math>\mathbf{P} \left( \left\{ \omega \in \Omega \left| \lim_{s \to t} \big| X_{s} (\omega) - X_{t} (\omega) \big| = 0 \right. \right\} \right) = 1.</math>




===माध्य-वर्ग सातत्य===
===माध्य-वर्ग निरंतरता===


किसी समय t∈T को देखते हुए, X को t पर 'माध्य-वर्ग में निरंतर' कहा जाता है यदि 'E'[|X<sub>''t''</sub>|<sup>2</sup>]<+∞ और
निश्चित समय में t∈T, X को t पर 'माध्य-वर्ग निरंतरता' कहा जाता है यदि 'E'[|X<sub>''t''</sub>|<sup>2</sup>]<+∞ और


:<math>\lim_{s \to t} \mathbf{E} \left[ \big| X_{s} - X_{t} \big|^{2} \right] = 0.</math>
:<math>\lim_{s \to t} \mathbf{E} \left[ \big| X_{s} - X_{t} \big|^{2} \right] = 0.</math>




===संभावना में निरंतरता===
===संभाव्यता में निरंतरता===
{{main article|Continuity in probability}}
{{main article|
किसी समय t ∈ T को देखते हुए, X को t पर 'संभावना में निरंतर' कहा जाता है यदि, सभी ε > 0 के लिए,
संभाव्यता में निरंतरता}}
निश्चित समय में t ∈ T, X को t पर 'संभाव्यता निरंतरता' कहा जाता है यदि, सभी ε > 0 के लिए,


:<math>\lim_{s \to t} \mathbf{P} \left( \left\{ \omega \in \Omega \left| \big| X_{s} (\omega) - X_{t} (\omega) \big| \geq \varepsilon \right. \right\} \right) = 0.</math>
:<math>\lim_{s \to t} \mathbf{P} \left( \left\{ \omega \in \Omega \left| \big| X_{s} (\omega) - X_{t} (\omega) \big| \geq \varepsilon \right. \right\} \right) = 0.</math>
समान रूप से, यदि समय t पर X संभाव्यता में निरंतर है
समान रूप से, यदि समय t पर X संभाव्यता में निरंतर है।


:<math>\lim_{s \to t} \mathbf{E} \left[ \frac{\big| X_{s} - X_{t} \big|}{1 + \big| X_{s} - X_{t} \big|} \right] = 0.</math>
:<math>\lim_{s \to t} \mathbf{E} \left[ \frac{\big| X_{s} - X_{t} \big|}{1 + \big| X_{s} - X_{t} \big|} \right] = 0.</math>
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===वितरण में निरंतरता===
===वितरण में निरंतरता===


किसी समय t∈T को देखते हुए, X को t पर 'वितरण में निरंतर' कहा जाता है
किसी समय t∈T, X को t पर 'वितरण निरंतरता' कहा जाता है।


:<math>\lim_{s \to t} F_{s} (x) = F_{t} (x)</math>
:<math>\lim_{s \to t} F_{s} (x) = F_{t} (x)</math>
सभी बिंदुओं x के लिए जिस पर F<sub>''t''</sub> सतत है, जहाँ F<sub>''t''</sub> यादृच्छिक चर X के संचयी वितरण फ़ंक्शन को दर्शाता है<sub>''t''</sub>.
सभी अंकों x के लिए जिस पर F<sub>''t''</sub> निरंतर है, जहाँ F<sub>''t''</sub> यादृच्छिक चर राशि Xt के संचयी वितरण कार्य को दर्शाता है।


===नमूना निरंतरता===
===प्रतिरूप निरंतरता===


{{Main|Sample continuous process}}
{{Main| प्रतिरूप सतत प्रक्रिया}}


यदि X है तो X को 'नमूना सतत' कहा जाता है<sub>''t''</sub>(ω) 'पी' के लिए टी में निरंतर है-[[लगभग सभी]] ω ∈ Ω। नमूना निरंतरता इटो प्रसार जैसी प्रक्रियाओं के लिए निरंतरता की उचित धारणा है।
यदि Xt(ω) P-[[लगभग सभी]] ω ∈ Ω के लिए t में सतत है तो X को प्रतिरूप सतत कहा जाता है। प्रतिरूप निरंतरता इटो प्रसार जैसी प्रक्रियाओं के लिए निरंतरता की उचित धारणा है।


===फेलर निरंतरता===
===फेलर निरंतरता===


{{Main|Feller-continuous process}}
{{Main|फेलर-निरंतर प्रक्रिया}}


एक्स को 'फ़ेलर-निरंतर प्रक्रिया' कहा जाता है, यदि किसी निश्चित टी∈टी और किसी बंधे हुए फ़ंक्शन के लिए, निरंतर और Σ-मापने योग्य फ़ंक्शन जी: एस→'आर', 'ई'<sup>x</sup>[g(X<sub>''t''</sub>)] लगातार x पर निर्भर करता है। यहां x प्रक्रिया X की प्रारंभिक स्थिति को दर्शाता है, और 'E'<sup>x</sup> उस घटना पर सशर्त अपेक्षा को दर्शाता है जब X, x से शुरू होता है।
X को फेलर-निरंतर प्रक्रिया कहा जाता है, यदि किसी निश्चित t ∈ T और किसी [[परिबद्ध]], निरंतर और Σ-[[मापने योग्य कार्य]] g: S → R के लिए, Ex[g(Xt)] लगातार x पर निर्भर करता है। यहां x प्रक्रिया X की प्रारंभिक स्थिति को दर्शाता है, और Ex उस घटना पर सशर्त अपेक्षा को दर्शाता है जब X, x पर प्रारंभ होता है।


==रिश्ते==
==संबंध==


स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की विभिन्न प्रकार की निरंतरता के बीच संबंध यादृच्छिक चर के विभिन्न प्रकार के अभिसरण के बीच संबंधों के समान हैं। विशेष रूप से:
प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं की विभिन्न प्रकार की निरंतरता के बीच संबंध यादृच्छिक चर राशि के विभिन्न प्रकार के अभिसरण के बीच संबंधों के समान हैं।  
 
विशेष रूप से:
* संभाव्यता के साथ निरंतरता का तात्पर्य संभाव्यता में निरंतरता से है;
* संभाव्यता के साथ निरंतरता का तात्पर्य संभाव्यता में निरंतरता से है;
* माध्य-वर्ग में निरंतरता का तात्पर्य संभाव्यता में निरंतरता से है;
* माध्य-वर्ग में निरंतरता का तात्पर्य संभाव्यता में निरंतरता से है;
* संभाव्यता के साथ निरंतरता, माध्य-वर्ग में निरंतरता का न तो तात्पर्य है, न ही इसका तात्पर्य है;
* संभाव्यता के साथ निरंतरता, माध्य-वर्ग में निरंतरता का न तो तात्पर्य है, और न ही इसका निहितार्थ है;
* संभाव्यता में निरंतरता का तात्पर्य वितरण में निरंतरता से है, लेकिन यह निहित नहीं है।
* संभाव्यता में निरंतरता का तात्पर्य वितरण में निरंतरता से है, परंतु यह निहित नहीं है।


नमूना निरंतरता के साथ निरंतरता को संभाव्यता के साथ भ्रमित करना आकर्षक है। समय t पर प्रायिकता एक के साथ निरंतरता का अर्थ है कि 'P'(A<sub>''t''</sub>) = 0, जहां घटना ए<sub>''t''</sub> द्वारा दिया गया है
प्रतिरूप निरंतरता के साथ निरंतरता को संभाव्यता के साथ भ्रमित करना है। समय t पर प्रायिकता एक के साथ निरंतरता का मतलब है कि P(At) = 0, जहां घटना At द्वारा दी गई है


:<math>A_{t} = \left\{ \omega \in \Omega \left| \lim_{s \to t} \big| X_{s} (\omega) - X_{t} (\omega) \big| \neq 0 \right. \right\},</math>
:<math>A_{t} = \left\{ \omega \in \Omega \left| \lim_{s \to t} \big| X_{s} (\omega) - X_{t} (\omega) \big| \neq 0 \right. \right\},</math>
और यह जांचना पूरी तरह से संभव है कि यह प्रत्येक टी∈टी के लिए सही है या नहीं। दूसरी ओर, नमूना निरंतरता के लिए आवश्यक है कि 'पी'(ए)=0, जहां
और यह जांचना पूरी तरह से संभव है कि यह प्रत्येक t ∈ T के लिए सही है या नहीं। दूसरी ओर, प्रतिरूप निरंतरता के लिए यह आवश्यक है कि P(A) = 0, जहां


:<math>A = \bigcup_{t \in T} A_{t}.</math>
:<math>A = \bigcup_{t \in T} A_{t}.</math>
ए घटनाओं का एक [[बेशुमार]] [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है, इसलिए यह वास्तव में स्वयं एक घटना नहीं हो सकता है, इसलिए 'पी' (ए) अपरिभाषित हो सकता है! इससे भी बदतर, भले ही ए एक घटना हो, 'पी'(ए) सख्ती से सकारात्मक हो सकता है भले ही 'पी'(ए)।<sub>''t''</sub>)=प्रत्येक t∈T के लिए 0। यह मामला है, उदाहरण के लिए, [[टेलीग्राफ प्रक्रिया]] के साथ।
A घटनाओं का एक [[असंख्य संघ]] है, इसलिए यह वास्तव में स्वयं एक घटना नहीं हो सकता है, इसलिए P(A) अपरिभाषित हो सकता है! भले ही A एक घटना है, P(A) सख्ती से सकारात्मक हो सकता है, भले ही प्रत्येक t ∈ T के लिए P(At) = 0 हो। उदाहरण के लिए, [[टेलीग्राफ प्रक्रिया]] के साथ यही स्थिति है।


==टिप्पणियाँ==
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
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* {{cite book
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|  author = Kloeden, Peter E.
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Latest revision as of 08:47, 16 July 2023

Not to be confused with सतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया.

संभाव्यता सिद्धांत में, एक सतत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक प्रकार की प्रसंभाव्य प्रक्रिया है जिसे इसके समय या सूचकांक पैरामीटर के एक कार्य के रूप में कहा जा सकता है। निरंतरता एक प्रक्रिया के लिए एक उचित गुण है, चूंकि इसका तात्पर्य यह है कि वे कुछ अर्थों में अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं, और इसलिए, विश्लेषण करना बहुत आसान है। यहां यह निहित है कि प्रसंभाव्य प्रक्रिया का सूचकांक एक सतत चर राशि है।[1] कुछ लेखक एक "निरंतर प्रक्रिया" को परिभाषित करते हैं, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि प्रतिरूप पथों की निरंतरता के बिना, सूचकांक चर राशि निरंतर हो: कुछ शब्दावली में, यह "असतत" के समानांतर एक निरंतर-समय वाली प्रसंभाव्य प्रक्रिया होगी। समय प्रक्रिया संभावित भ्रम को देखते हुए सावधानी नियंत्रण की जरूरत है।[1]


परिभाषाएँ

(Ω, Σ, P) एक संभाव्यता स्थान है, T समय का कुछ अंतराल है, और X : T × Ω → S एक प्रसंभाव्य प्रक्रिया है। सरलता के लिए, इस लेख का शेष भाग S को वास्तविक रेखा R मान लेगा, परंतु परिभाषाएँ यथोचित परिवर्तनों से गुजरती हैं यदि S Rn एक मानक वेक्टर स्थान है, या यहां तक ​​कि एक सामान्य मीट्रिक स्थान भी है।

सम्भावना एक के साथ निरंतरता

निश्चित समय में t∈T, X को t पर 'संभावना निरंतरता' कहा जाता है।

यदि


माध्य-वर्ग निरंतरता

निश्चित समय में t∈T, X को t पर 'माध्य-वर्ग निरंतरता' कहा जाता है यदि 'E'[|Xt|2]<+∞ और


संभाव्यता में निरंतरता

Main article: संभाव्यता में निरंतरता

निश्चित समय में t ∈ T, X को t पर 'संभाव्यता निरंतरता' कहा जाता है यदि, सभी ε > 0 के लिए,

समान रूप से, यदि समय t पर X संभाव्यता में निरंतर है।


वितरण में निरंतरता

किसी समय t∈T, X को t पर 'वितरण निरंतरता' कहा जाता है।

सभी अंकों x के लिए जिस पर Ft निरंतर है, जहाँ Ft यादृच्छिक चर राशि Xt के संचयी वितरण कार्य को दर्शाता है।

प्रतिरूप निरंतरता

Main article: प्रतिरूप सतत प्रक्रिया

यदि Xt(ω) P-लगभग सभी ω ∈ Ω के लिए t में सतत है तो X को प्रतिरूप सतत कहा जाता है। प्रतिरूप निरंतरता इटो प्रसार जैसी प्रक्रियाओं के लिए निरंतरता की उचित धारणा है।

फेलर निरंतरता

Main article: फेलर-निरंतर प्रक्रिया

X को फेलर-निरंतर प्रक्रिया कहा जाता है, यदि किसी निश्चित t ∈ T और किसी परिबद्ध, निरंतर और Σ-मापने योग्य कार्य g: S → R के लिए, Ex[g(Xt)] लगातार x पर निर्भर करता है। यहां x प्रक्रिया X की प्रारंभिक स्थिति को दर्शाता है, और Ex उस घटना पर सशर्त अपेक्षा को दर्शाता है जब X, x पर प्रारंभ होता है।

संबंध

प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं की विभिन्न प्रकार की निरंतरता के बीच संबंध यादृच्छिक चर राशि के विभिन्न प्रकार के अभिसरण के बीच संबंधों के समान हैं।

विशेष रूप से:

  • संभाव्यता के साथ निरंतरता का तात्पर्य संभाव्यता में निरंतरता से है;
  • माध्य-वर्ग में निरंतरता का तात्पर्य संभाव्यता में निरंतरता से है;
  • संभाव्यता के साथ निरंतरता, माध्य-वर्ग में निरंतरता का न तो तात्पर्य है, और न ही इसका निहितार्थ है;
  • संभाव्यता में निरंतरता का तात्पर्य वितरण में निरंतरता से है, परंतु यह निहित नहीं है।

प्रतिरूप निरंतरता के साथ निरंतरता को संभाव्यता के साथ भ्रमित करना है। समय t पर प्रायिकता एक के साथ निरंतरता का मतलब है कि P(At) = 0, जहां घटना At द्वारा दी गई है

और यह जांचना पूरी तरह से संभव है कि यह प्रत्येक t ∈ T के लिए सही है या नहीं। दूसरी ओर, प्रतिरूप निरंतरता के लिए यह आवश्यक है कि P(A) = 0, जहां

A घटनाओं का एक असंख्य संघ है, इसलिए यह वास्तव में स्वयं एक घटना नहीं हो सकता है, इसलिए P(A) अपरिभाषित हो सकता है! भले ही A एक घटना है, P(A) सख्ती से सकारात्मक हो सकता है, भले ही प्रत्येक t ∈ T के लिए P(At) = 0 हो। उदाहरण के लिए, टेलीग्राफ प्रक्रिया के साथ यही स्थिति है।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ 1.0 1.1 Dodge, Y. (2006) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9 (Entry for "continuous process")


संदर्भ

  • Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics (New York) 23. Berlin: Springer-Verlag. pp. 38–39. ISBN 3-540-54062-8.
  • Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (See Lemma 8.1.4)
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