हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व: Difference between revisions

Latest revision as of 10:28, 15 July 2023

संख्याओं के लिए गणितीय संकेतन में हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व एक स्थितीय अंक प्रणाली है जिसमें पूर्णांकों को सांकेतिक करने के लिए हस्ताक्षरित अंकों के एक समूह का उपयोग किया जाता है।

हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का उपयोग पूर्णांकों को तीव्रता से जोड़ने के लिए किया जा सकता है क्योंकि यह आश्रित कैरीज़ की श्रृंखला को समाप्त कर सकती है।^[1] बाइनरी अंक प्रणाली में एक विशेष स्थिति हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व गैर-आसन्न रूप है, जो न्यूनतम स्थान पर ओवरहेड के साथ गति लाभ प्रदान कर सकता है।

इतिहास

गणना मे प्रारंभिक लेखक कोल्सन (1726) और कॉची (1840) को हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व का उपयोग करने के लिए प्रेरित किया था। अस्वीकृत गए अंकों को नए अंकों से परिवर्तित करने के लिए सेलिंग (1887) और काजोरी (1928) द्वारा सुझाव दिया गया था।

1928 में फ्लोरियन काजोरी ने जॉन कोलसन (1726) और ऑगस्टिन-लुई कॉची (1840) से प्रारम्भ करते हुए, हस्ताक्षरित अंकों के आवर्ती विषय पर ध्यान दिया।^[2] अपनी पुस्तक गणितीय संकेतन के इतिहास में काजोरी ने पुस्तक का शीर्षक "ऋणात्मक अंक" रखा।^[3] पूर्णता परीक्षण के लिए कोल्सन उदाहरणों का उपयोग करता है और भाजक के गुणजों की एक तालिका का उपयोग करके जोड़ (pp.163-4), गुणा (pp.165-6) और विभाजन (pp.170-1) का वर्णन करता है। वह गुणन में विभाजन द्वारा सन्निकटन की सुविधा बताते हैं। कोल्सन ने एक उपकरण (गणना तालिका) भी तैयार किया था जो हस्ताक्षरित अंकों का उपयोग करके गणना करता था।

एडवर्ड सेलिंग^[4] ने ऋणात्मक चिह्न को इंगित करने के लिए अंक 1, 2, 3, 4, और 5 को व्युत्क्रम करने पर चर्चा की। उन्होंने मौखिक रूप से उपयोग के लिए नामों के रूप में स्नी, जेस, जेर्ड, रेफ़ और निफ़ का भी सुझाव दिया। अधिकांश अन्य प्रारंभिक स्रोतों ने किसी अंक के ऊपर एक बार (गणित) का उपयोग उसके लिए एक ऋणात्मक संकेत इंगित करने के लिए किया था। हस्ताक्षरित अंकों का एक और जर्मन उपयोग 1902 में क्लेन के विश्वकोश में वर्णित किया गया था।^[5]

परिभाषा और विशेषताएँ

अंक समुच्चय

मान लीजिए कि ${\mathcal {D}}$ गणनांक के साथ संख्यात्मक अंकों का एक सीमित समुच्चय है तब $b>1$ के लिए $b\leq 1$ को मूलांक या संख्या आधार के रूप में जाना जाता है यदि ${\mathcal {D}}$ एक अद्वितीय फलन के साथ जुड़ा हुआ है, तो $d_{i}$ का उपयोग सभी हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व $0\leq i<b.$ के रूप मे $b$ के लिए किया जा सकता है। यह फलन $f_{\mathcal {D}},$ को कठोरता से और औपचारिक रूप से स्थापित करता है कि कैसे पूर्णांक मानों को प्रतीकों/ग्लिफ़ों को निर्दिष्ट किया जाता है। हालांकि उन्हें परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार से प्रस्तुत करने के लिए किसी विशेष प्रणाली के साथ मिश्रित नहीं किया गया है, इन दो अलग-अलग (यद्यपि निकटता से संबंधित) अवधारणाओं को अलग रखा गया है और ${\mathcal {D}}$ को तीन अलग-अलग ${\mathcal {D}}_{+}$ , ${\mathcal {D}}_{0}$ , और ${\mathcal {D}}_{-}$ समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जो क्रमशः धनात्मक शून्य और ऋणात्मक अंकों का प्रतिनिधित्व करते है, इस प्रकार सभी अंक $d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}$ संतुष्ट हो सकते है। सभी अंक $d_{0}\in {\mathcal {D}}_{0}$ और $f_{\mathcal {D}}(d_{+})>0$ , $f_{\mathcal {D}}(d_{0})=0$ , $f_{\mathcal {D}}(d_{-})<0$ और $d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}$ गणनांक है, जो क्रमशः धनात्मक और ऋणात्मक अंकों की संख्या $b=b_{+}+b_{0}+b_{-}$ देते है।

संतुलित रूप प्रतिनिधित्व

संतुलित रूप प्रतिनिधित्व वे प्रतिनिधित्व हैं जहां प्रत्येक धनात्मक अंक के लिए $d_{-}$ एक संगत ऋणात्मक अंक $d_{+}$ इस प्रकार सम्मिलित होता है जैसे कि $f_{\mathcal {D}}(d_{+})=-f_{\mathcal {D}}(d_{-})$ मे $b_{+}=b_{-}$ सम्मिलित है। केवल विषम संख्या आधारों में ही संतुलित रूप में निरूपण हो सकता है।अन्यथा $d_{b/2}$ को स्वयं के विपरीत होना होगा और इसलिए $0\neq {\frac {b}{2}}$ हो सकता है। संतुलित रूप में ऋणात्मक अंक $d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}$ को सामान्यतः धनात्मक अंक के रूप में दर्शाया जाता है और अंक के ऊपर एक बार $d_{-}={\bar {d}}_{+}$ होता है। उदाहरण के लिए संतुलित टर्नरी का अंक समुच्चय ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace$ के साथ $f_{{\mathcal {D}}_{3}}({\bar {1}})=-1$ , $f_{{\mathcal {D}}_{3}}(0)=0$ , और $f_{{\mathcal {D}}_{3}}(1)=1$ होता है। इस फलन को विषम अभाज्य संख्या क्रम $q$ के सीमित क्षेत्रों में स्वीकृत किया जाता है:^[6]

\mathbb {F} _{q}=\lbrace 0,1,{\bar {1}}=-1,...d={\frac {q-1}{2}},\ {\bar {d}}={\frac {1-q}{2}}\ |\ q=0\rbrace .

दोहरा हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व

प्रत्येक अंक समुच्चय ${\mathcal {D}}$ में एक दोहरे अंक का समुच्चय ${\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$ होता है जो कि $g:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$ द्वारा परिभाषित समरूपता $-f_{\mathcal {D}}=g\circ f_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ के साथ अंकों के व्युत्क्रम क्रम द्वारा दिया जाता है। जिसके परिणामस्वरूप मूल्यांकन ${\mathcal {N}}$ के साथ ${\mathcal {D}}$ से निर्मित संख्या प्रणाली वलय (गणित) ${\mathcal {N}}$ के किसी भी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व ${\mathcal {N}}$ के लिए $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {N}}\rightarrow N$ का एक दोहरा हस्ताक्षर-अंकीय प्रतिनिधित्व सम्मिलित होता है, मूल्यांकन (बीजगणित) के साथ ${\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$ से निर्मित ${\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }$ और $N$ द्वारा परिभाषित एक समरूपता $h:{\mathcal {N}}\rightarrow {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }$ जहां $-v_{\mathcal {D}}=h\circ v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ का योगात्मक व्युत्क्रम संकारक है। संतुलित रूप प्रतिनिधित्व के लिए निर्धारित अंक दोगुना होता है।

पूर्णांकों के लिए

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, अंक समुच्चय ${\mathcal {D}}$ और फलन $f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z}$ को देखते हुए, हम एक पूर्णांक समरूपता $T:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित कर सकते है:

T(n)={\begin{cases}{\frac {n-f(d_{i})}{b}}&{\text{if }}n\equiv i{\bmod {b}},0\leq i<b\end{cases}}

यदि $T$ का एकमात्र आवधिक निश्चित बिंदु $0$ है, तो ${\mathcal {D}}$ का उपयोग करके पूर्णांकों $\mathbb {Z}$ के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय निरूपण का समुच्चय क्लेन प्लस ${\mathcal {D}}^{+}$ द्वारा दिया जाता है। $n\in \mathbb {N}$ के कम से कम एक अंक के साथ $d_{n}\ldots d_{0}$ अंकों की सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय के प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $m\in {\mathcal {D}}^{+}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{+}\rightarrow \mathbb {Z}$ होता है:

v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}

.

उदाहरणों में अंकों के साथ संतुलित फलन ${\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace$ सम्मिलित है। यदि कोई गैर-शून्य आवर्त बिंदु $T$ सम्मिलित है तो ऐसे पूर्णांक उपस्थित होते हैं जिन्हें अनंत संख्या में गैर-शून्य अंक ${\mathcal {D}}$ द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरणों में अंक समुच्चय के साथ मानक दशमलव अंक प्रणाली $\operatorname {dec} =\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ सम्मिलित है, जिसके लिए रेडिक्स पूरक $9$ की आवश्यकता होती है। योगात्मक व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए $-1$ , $T_{\operatorname {dec} }(-1)={\frac {-1-9}{10}}=-1$ और अंक समुच्चय के साथ स्थितीय अंक प्रणाली ${\mathcal {D}}=\lbrace {\text{A}},0,1\rbrace$ के साथ $f({\text{A}})=-4$ के लिए जिसे संख्या $2$ को $T_{\mathcal {D}}(2)={\frac {2-(-4)}{3}}=2$ के रूप में दर्शाने के लिए अंक ${\text{A}}$ की एक अनंत संख्या की आवश्यकता होती है।

दशमलव भिन्नों के लिए

यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस ${\mathcal {D}}^{+}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो दशमलव अंशों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय या $b$ -एडिक परिमेय $\mathbb {Z} [1\backslash b]$ , ${\mathcal {Q}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{*}$ द्वारा दिया गया है, जो कि क्लेन प्लस का कार्टेशियन ${\mathcal {D}}^{+}$ का उत्पाद है। सिंगलटन (गणित) ${\mathcal {P}}$ जिसमें मूलांक बिंदु $d_{n}\ldots d_{0}$ और क्लेन स्टार ${\mathcal {D}}^{*}$ शामिल है, $m,n\in \mathbb {N}$ के साथ अंकों के सभी परिमित संयोजित चर समुच्चय $d_{-1}\ldots d_{-m}$ के प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $q\in {\mathcal {Q}}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {Q}}\rightarrow \mathbb {Z} [1\backslash b]$ होता है:

v_{\mathcal {D}}(q)=\sum _{i=-m}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}

वास्तविक संख्याओं के लिए

यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस ${\mathcal {D}}^{+}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय ${\mathcal {R}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$ द्वारा दिया जाता है, जो कार्तीय गुणनफल है। क्लेन प्लस ${\mathcal {D}}^{+}$ कम से कम एक अंक के साथ $d_{n}\ldots d_{0}$ अंकों की सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय, सिंगलटन ${\mathcal {P}}$ मूलांक बिंदु ( $.$ या $,$ ) से युक्त होता है। और कैंटर समष्टि ${\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$ के साथ $d_{-1}d_{-2}\ldots$ अंकों की सभी अनंत संयोजित चर का समुच्चय प्रत्येक हस्ताक्षरित अंकीय प्रतिनिधित्व $r\in {\mathcal {R}}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {R}}\rightarrow \mathbb {R}$ होता है:

v_{\mathcal {D}}(r)=\sum _{i=-\infty }^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}

.

अनंत श्रृंखला सदैव एक सीमित वास्तविक संख्या में परिवर्तित होती है।

अन्य संख्या प्रणालियों के लिए

सभी आधार $b$ अंकों को ${\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }$ के उपसमुच्चय के रूप में दर्शाया जा सकता है, ${\mathcal {D}}$ में अंकों के सभी दोहरे अनंत अनुक्रमों का समुच्चय, जहां $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का समुच्चय है और आधार $b$ अंकों की श्रंखला है औपचारिक घात श्रृंखला $\mathbb {Z} [[b,b^{-1}]]$ द्वारा दोगुनी अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व किया जाता है:

\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}b^{i}

जहाँ $a_{i}\in \mathbb {Z}$ के लिए $i\in \mathbb {Z}$ है।

पूर्णांकों की मॉड्यूलो घातें $b$

पूर्णांक मॉड्यूल $b^{n}$ , $\mathbb {Z} \backslash b^{n}\mathbb {Z}$ के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय ${\mathcal {D}}^{n}$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय $d_{n-1}\ldots d_{0}$ लंबाई $n$ की $n\in \mathbb {N}$ के साथ प्रत्येक हस्ताक्षरित अंक प्रतिनिधित्व $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{n}\rightarrow \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z}$ है:

v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}{\bmod {b}}^{n}

चेकर समूह

एक प्रुफ़र समूह पूर्णांकों और $b$ -एडिक परिमेय संख्या का भागफल समूह $\mathbb {Z} (b^{\infty })=\mathbb {Z} [1\backslash b]/\mathbb {Z}$ है। प्रुफ़र समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय क्लेन स्टार ${\mathcal {D}}^{*}$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी परिमित संयोजित संख्याओ का समुच्चय $d_{1}\ldots d_{n}$ , $n\in \mathbb {N}$ के साथ प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $p\in {\mathcal {D}}^{*}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} (b^{\infty })$ होता है:

v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}

वृत्त समूह

वृत्त समूह पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का भागफल समूह $\mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ है। वृत्त समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय कैंटर समष्टि ${\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी दाएं-अनंत संयोजित चर का समुच्चय $d_{1}d_{2}\ldots$ प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {T}$ होता है:

v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}

अनंत शृंखला सदैव परिवर्तित रहती है।

$b$ -एडिक पूर्णांक

$b$ -एडिक पूर्णांकों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय $\mathbb {Z} _{b}$ कैंटर समष्टि ${\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी बाएं-अनंत संयोजित चर का समुच्चय $\ldots d_{1}d_{0}$ प्रत्येक हस्ताक्षरित अंक प्रतिनिधित्व $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {Z} _{b}$ है:

v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}

$b$ -एडिक सोलनॉइड

$b$ -एडिक सोलनॉइड के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय $\mathbb {T} _{b}$ कैंटर समष्टि ${\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी दोगुने अनंत संयोजित चर का समुच्चय { $\ldots d_{1}d_{0}d_{-1}\ldots$ प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ का मूल्यांकन $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }\rightarrow \mathbb {T} _{b}$ है:

v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}

लिखित और मौखिक भाषा में

इंडो-आर्यन भाषाएँ

इंडो-आर्यन भाषाओं में संख्याओं के मौखिक और लिखित रूपों में 11 और 90 के बीच की संख्याओं के लिए ऋणात्मक अंक का उपयोग किया जाता है उदाहरण के लिए, हिंदी और बंगाली भाषा में "अन", पंजाबी में "अन" या "उन्ना", मराठी में "एकोन", 90 जो नौ पर समाप्त होता है। उनके नाम के बाद आने वाले संख्या को पंजाबी (उपसर्ग "ik" का अर्थ है "एक") के लिए नीचे प्रदर्शित किया गया हैं:^[7]

19 उन्नी, 20 विह, 21 इक्की
29 उनत्ती, 30 तिह, 31 इकत्ती
39 ऊंटाली, 40 चली, 41 इक्ताली
49 उनन्जा, 50 पंजाह, 51 इकवन्जा
59 उनाहत, 60 साथ, 61 इकाहत
69 उनत्तार, 70 सत्तार, 71 इखत्तर
79 उनासी, 80 अस्सी, 81 इकियासी
89 अननवे, 90 नब्बे, 91 इकिन्नावेन

इसी प्रकार सेसोथो भाषा 8 और 9 बनाने के लिए ऋणात्मक अंकों का उपयोग करती है।

8 रोबेली (/रो-बे-डी/) जिसका अर्थ है "दो विभाजित करना" अर्थात दो अंगुलियां को नीचे करना
9 रोबोंग (/रो-बोंग/) का अर्थ है "एक को विभाजित करना" अर्थात एक उंगली को नीचे करना

शास्त्रीय लैटिन

शास्त्रीय लैटिन में^[8] पूर्णांक 18 और 19 के प्रयोग में "आठ" या "नौ" के लिए संगत भागों सहित कोई मौखिक या लिखित रूप भी नहीं था उनके अस्तित्व में होने के अतिरिक्त इसके शास्त्रीय लैटिन भाषा को निम्न रूप मे प्रदर्शित किया गया है:,

18 = डुओडेविगिन्टि ("बीस में से दो लिए गए"), (IIXX या XIIX),
19 = अन्डेविगिन्ति (बीस में से एक लिया गया), (IXX या XIX)
20 = विगिन्ति ("बीस"), (XX)

आगामी पूर्णांक अंकों [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] के लिए भाषा में योगात्मक रूप बहुत अधिक सामान्य था, हालाँकि, सूचीबद्ध संख्याओं के लिए उपरोक्त रूप अभी भी पसंद किया गया था। इसलिए, तीस के निकट जाने पर अंकों को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:^[9]

28 = डुओडेट्रिगिंटा ("तीस में से दो लिए गए"), कम बार भी विगिन्टि ऑक्टो / ऑक्टो एट विगिन्टि ("अट्ठाईस / आठ और बीस"), (IIXXX या XXIIX बनाम XXVIII, बाद वाला पूरी तरह से नष्ट हो चुका है।)
29 = अन्डेट्रीगिन्टा ("तीस में से एक लिया गया") कम पसंदीदा रूप के अतिरिक्त भी उनके संतुलन में था।

यह समकालीन इतिहासकारों के तर्क के मुख्य आधारों में से एक है, जो बताता है कि अन्य श्रेणियों की तुलना में कार्डिनल संख्या की इस श्रेणी में घटाव I- और II- इतना सामान्य क्यों था। अंक 98 और 99 को भी दोनों रूपों में व्यक्त किया जा सकता है, फिर भी "दो से सौ" अपेक्षाकृत अलग प्रतीत हो सकता है - इसका स्पष्ट प्रमाण है कि प्रामाणिक स्रोतों में घटावपूर्ण तरीके से लिखी गई इन संख्याओं की दुर्लभ घटना है।

फ़िनिश भाषा

हालाँकि, एक और भाषा है जिसमें यह सुविधा है (अब तक, केवल अंशों में), हालाँकि, आज भी सक्रिय उपयोग में है। यह फ़िनिश भाषा है, जहाँ 8 या 9 का अंक आने पर (वर्तनी में लिखे गए) अंकों का उपयोग इस प्रकार किया जाता है। योजना इस प्रकार है:^[10]

1 = "yksi" (नोट: yhd- या yht- अधिकतर जब अस्वीकृत किया जाने वाला होता है उदाहरण के लिए "yhdessä" = "एक साथ, एक [इकाई] के रूप में")
2 = "kaksi" (यह भी ध्यान दे: kahde-, kahte- जब मना कर दिया जाए)
3 = "kolme"
4 = "neljä"

7="seitsemän"
8 = "kah(d)eksan" (दो कम है)
9 = "yh(d)eksän" (एक कम है)
10 = "kymmenen" (दस)

उपरोक्त सूची कोई विशेष स्थिति नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप यह बड़े कार्डिनल्स संख्या में भी दिखाई देती है, उदाहरण के लिए:

399 = तीन सौ निन्यानवे

इन विशेषताओं पर महत्व देना अंकों के सबसे छोटे बोलचाल के रूपों में भी उपस्थित रहता है:

1 = "yy"
2 = "kaa"
3 = "koo"

7 = "seiska"
8 = "kasi"
9 = "ysi"
10 = "kymppi"

हालाँकि, इस घटना का लिखित अंकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, फिनिश मानक पश्चिमी-अरबी दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।

समयपालन

अंग्रेजी भाषा में समय को इस प्रकार संदर्भित करना सामान्य है, उदाहरण के लिए 'सेवन टू थ्री' 'टू' निषेध का प्रदर्शन करना है।

अन्य प्रणाली

आधार जैसे अन्य हस्ताक्षरित अंकीय आधार $b\neq b_{+}+b_{-}+1$ सम्मिलित हैं इसका एक उल्लेखनीय उदाहरण बूथ एन्कोडिंग है जिसमें एक अंक समुच्चय होता है, जिसमें एक अंक समुच्चय $b_{+}=1$ और $b_{-}=1$ होता है लेकिन जो आधार $b=2<3=b_{+}+b_{-}+1$ का उपयोग करता है। मानक बाइनरी अंक प्रणाली केवल मान $\lbrace 0,1\rbrace$ के अंकों का उपयोग करेगी। ध्यान दें कि गैर-मानक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं हैं।

उदाहरण के लिए:

0111_{\mathcal {D}}=4+2+1=7

10{\bar {1}}1_{\mathcal {D}}=8-2+1=7

1{\bar {1}}11_{\mathcal {D}}=8-4+2+1=7

100{\bar {1}}_{\mathcal {D}}=8-1=7

बूथ एन्कोडिंग का गैर-आसन्न रूप (एनएएफ) प्रत्येक पूर्णांक मान के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व का दायित्व करता है। हालाँकि यह केवल पूर्णांक मानों के लिए प्रयुक्त होता है। उदाहरण के लिए एनएएफ में निम्नलिखित दोहराई जाने वाली बाइनरी संख्याओं पर विचार करें:

{\frac {2}{3}}=0.{\overline {10}}_{\mathcal {D}}=1.{\overline {0{\bar {1}}}}_{\mathcal {D}}

यह भी देखें

नोट्स और संदर्भ

↑ Dhananjay Phatak, I. Koren (1994) Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains
↑ Augustin-Louis Cauchy (16 November 1840) "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calculs numerique", Comptes rendus 11:789. Also found in Oevres completes Ser. 1, vol. 5, pp. 434–42.
↑ Cajori, Florian (1993) [1928-1929]. गणितीय संकेतन का इतिहास. Dover Publications. p. 57. ISBN 978-0486677668.
↑ Eduard Selling (1887) Eine neue Rechenmachine, pp. 15–18, Berlin
↑ Rudolf Mehmke (1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, Klein's encyclopedia, I-2, p. 944.
↑ Hirschfeld, J. W. P. (1979). परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेप्य ज्यामिति. Oxford University Press. p. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.
↑ Punjabi numbers from Quizlet
↑ J. Matthew Harrington (2016) Synopsis of Ancient Latin Grammar
↑ [1] from English Wiktionary
↑ [2] from Kielitoimiston sanakirja

जे. पी. बैलेंटाइन (1925) ए डिजिट फॉर नेगेटिव वन, अमेरिकी गणितीय मासिक 32:302।
विद्युत विभाग से लुई हान, डोंगडोंग चेन, सेओक-बम को, खान ए वाहिद गैर-सट्टा दशमलव हस्ताक्षरित अंक योजक कंप्यूटर इंजीनियरिंग, सस्केचेवान विश्वविद्यालय।

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[1] Dhananjay Phatak, I. Koren (1994) Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains

[2] Augustin-Louis Cauchy (16 November 1840) "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calculs numerique", Comptes rendus 11:789. Also found in Oevres completes Ser. 1, vol. 5, pp. 434–42.

[3] Cajori, Florian (1993) [1928-1929]. गणितीय संकेतन का इतिहास. Dover Publications. p. 57. ISBN 978-0486677668.

[4] Eduard Selling (1887) Eine neue Rechenmachine, pp. 15–18, Berlin

[5] Rudolf Mehmke (1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, Klein's encyclopedia, I-2, p. 944.

[6] Hirschfeld, J. W. P. (1979). परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेप्य ज्यामिति. Oxford University Press. p. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.

[7] Punjabi numbers from Quizlet

[8] J. Matthew Harrington (2016) Synopsis of Ancient Latin Grammar

[9] [1] from English Wiktionary

[10] [2] from Kielitoimiston sanakirja

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-{{distinguish|Signed number representations}}
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-[[संख्या]]ओं के लिए [[गणितीय संकेतन]] में, एक हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व एक [[स्थितीय अंक प्रणाली]] है जिसमें [[पूर्णांकों]] को [[कोड]] करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चिह्न (गणित) [[संख्यात्मक अंक]]ों का एक सेट होता है।
+संख्याओं के लिए [[गणितीय संकेतन]] में '''हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व''' एक [[स्थितीय अंक प्रणाली]] है जिसमें [[पूर्णांकों]] को सांकेतिक करने के लिए हस्ताक्षरित अंकों के एक समूह का उपयोग किया जाता है।
-हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व का उपयोग पूर्णांकों के तेजी से जोड़ को पूरा करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि यह आश्रित कैरीज़ की श्रृंखला को समाप्त कर सकता है।<ref>Dhananjay Phatak, I. Koren (1994) [http://citeseer.ist.psu.edu/phatak94hybrid.html Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains]</ref> बाइनरी अंक प्रणाली में, एक विशेष केस हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व [[गैर-आसन्न रूप]] है, जो न्यूनतम स्थान ओवरहेड के साथ गति लाभ प्रदान कर सकता है।
+हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का उपयोग पूर्णांकों को तीव्रता से जोड़ने के लिए किया जा सकता है क्योंकि यह आश्रित कैरीज़ की श्रृंखला को समाप्त कर सकती है।<ref>Dhananjay Phatak, I. Koren (1994) [http://citeseer.ist.psu.edu/phatak94hybrid.html Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains]</ref> बाइनरी अंक प्रणाली में एक विशेष स्थिति हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व गैर-आसन्न रूप है, जो न्यूनतम स्थान पर ओवरहेड के साथ गति लाभ प्रदान कर सकता है।
 ==इतिहास==
-[[गणना]] में चुनौतियों ने प्रारंभिक लेखकों कोल्सन (1726) और कॉची (1840) को हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व का उपयोग करने के लिए प्रेरित किया। नकारे गए अंकों को नए अंकों से बदलने का अगला कदम सेलिंग (1887) और काजोरी (1928) द्वारा सुझाया गया था।
+गणना मे प्रारंभिक लेखक कोल्सन (1726) और कॉची (1840) को हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व का उपयोग करने के लिए प्रेरित किया था। अस्वीकृत गए अंकों को नए अंकों से परिवर्तित करने के लिए सेलिंग (1887) और काजोरी (1928) द्वारा सुझाव दिया गया था।
-में, [[फ्लोरियन काजोरी]] ने हस्ताक्षरित अंकों के आवर्ती विषय पर ध्यान दिया, जिसकी शुरुआत [[ जॉन कोल्सन ]] (1726) और [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1840) से हुई।<ref>[[Augustin-Louis Cauchy]] (16 November 1840) "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calculs numerique", [[Comptes rendus]] 11:789. Also found in ''Oevres completes'' Ser. 1, vol. 5, pp.&nbsp;434&ndash;42.</ref> अपनी पुस्तक हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिकल नोटेशन्स में, काजोरी ने अनुभाग का शीर्षक नकारात्मक अंक रखा।<ref>{{cite book |last= Cajori |first=Florian |author-link=Florian Cajori|title= गणितीय संकेतन का इतिहास|page= [https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/57 57] |publisher= [[Dover Publications]] |year= 1993 |orig-year= 1928-1929 |isbn= 978-0486677668 | url = https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0|url-access= registration }}</ref> संपूर्णता के लिए, कोलसन<ref>[[John Colson]] (1726) "A Short Account of Negativo-Affirmativo Arithmetik", [[Philosophical Transactions of the Royal Society]] 34:161–173. Available as ''Early Journal Content'' from [https://www.jstor.org/stable/103469 JSTOR]</ref> उदाहरणों का उपयोग करता है और भाजक के गुणजों की तालिका का उपयोग करके जोड़ (पृ. 163-4), गुणन (पृ. 165-6) और भाग (गणित) (पृ. 170-1) का वर्णन करता है। वह गुणन में काट-छाँट द्वारा सन्निकटन की सुविधा बताते हैं। कोल्सन ने एक उपकरण (गिनती तालिका) भी तैयार किया जो हस्ताक्षरित अंकों का उपयोग करके गणना करता था।
+में फ्लोरियन काजोरी ने [[ जॉन कोल्सन |जॉन कोलसन]] (1726) और [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1840) से प्रारम्भ करते हुए, हस्ताक्षरित अंकों के आवर्ती विषय पर ध्यान दिया।<ref>[[Augustin-Louis Cauchy]] (16 November 1840) "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calculs numerique", [[Comptes rendus]] 11:789. Also found in ''Oevres completes'' Ser. 1, vol. 5, pp.&nbsp;434&ndash;42.</ref> अपनी पुस्तक गणितीय संकेतन के इतिहास में काजोरी ने पुस्तक का शीर्षक "ऋणात्मक अंक" रखा।<ref>{{cite book |last= Cajori |first=Florian |author-link=Florian Cajori|title= गणितीय संकेतन का इतिहास|page= [https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/57 57] |publisher= [[Dover Publications]] |year= 1993 |orig-year= 1928-1929 |isbn= 978-0486677668 | url = https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0|url-access= registration }}</ref> पूर्णता परीक्षण के लिए कोल्सन उदाहरणों का उपयोग करता है और भाजक के गुणजों की एक तालिका का उपयोग करके जोड़ (pp.163-4), गुणा (pp.165-6) और विभाजन (pp.170-1) का वर्णन करता है। वह गुणन में विभाजन द्वारा सन्निकटन की सुविधा बताते हैं। कोल्सन ने एक उपकरण (गणना तालिका) भी तैयार किया था जो हस्ताक्षरित अंकों का उपयोग करके गणना करता था।
-[[एडवर्ड सेलिंग]]<ref>Eduard Selling (1887) ''Eine neue Rechenmachine'', pp.&nbsp;15&ndash;18, Berlin</ref> नकारात्मक चिह्न दर्शाने के लिए अंक 1, 2, 3, 4 और 5 को उल्टा करने की वकालत की गई। उन्होंने मौखिक रूप से उपयोग के लिए नामों के रूप में स्नी, जेस, जेर्ड, रेफ़ और निफ़ का भी सुझाव दिया। अधिकांश अन्य प्रारंभिक स्रोतों ने किसी अंक के ऊपर एक बार का उपयोग उसके लिए एक नकारात्मक संकेत इंगित करने के लिए किया। हस्ताक्षरित अंकों का एक और जर्मन उपयोग 1902 में क्लेन के विश्वकोश में वर्णित किया गया था।<ref>Rudolf Mehmke (1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, [[Klein's encyclopedia]], I-2, p.&nbsp;944.</ref>
+[[एडवर्ड सेलिंग]]<ref>Eduard Selling (1887) ''Eine neue Rechenmachine'', pp.&nbsp;15&ndash;18, Berlin</ref> ने ऋणात्मक चिह्न को इंगित करने के लिए अंक 1, 2, 3, 4, और 5 को व्युत्क्रम करने पर चर्चा की। उन्होंने मौखिक रूप से उपयोग के लिए नामों के रूप में स्नी, जेस, जेर्ड, रेफ़ और निफ़ का भी सुझाव दिया। अधिकांश अन्य प्रारंभिक स्रोतों ने किसी अंक के ऊपर एक बार (गणित) का उपयोग उसके लिए एक ऋणात्मक संकेत इंगित करने के लिए किया था। हस्ताक्षरित अंकों का एक और जर्मन उपयोग 1902 में क्लेन के विश्वकोश में वर्णित किया गया था।<ref>Rudolf Mehmke (1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, [[Klein's encyclopedia]], I-2, p.&nbsp;944.</ref>
+==परिभाषा और विशेषताएँ==
-==परिभाषा और गुण==
 ===अंक समुच्चय===
-होने देना <math>\mathcal{D}</math> [[प्रमुखता]] के साथ [[संख्यात्मक अंक]]ों का एक सीमित सेट बनें <math>b > 1</math> (अगर <math>b \leq 1</math>, तो स्थितीय संख्या प्रणाली [[तुच्छता (गणित)]] है और केवल [[तुच्छ अंगूठी]] का प्रतिनिधित्व करती है), प्रत्येक अंक के रूप में दर्शाया गया है <math>d_i</math> के लिए <math>0 \leq i < b.</math> <math>b</math> <em>[[मूलांक]]</em> या <em>[[संख्या आधार]]</em> के रूप में जाना जाता है। <math>\mathcal{D}</math> यदि यह एक अद्वितीय [[फ़ंक्शन (गणित)]] से जुड़ा है तो हस्ताक्षरित अंक प्रतिनिधित्व के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है <math>f_\mathcal{D}:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{Z}</math> ऐसा है कि <math>f_\mathcal{D}(d_i) \equiv i \bmod b</math> सभी के लिए <math>0 \leq i < b.</math> यह फ़ंक्शन, <math>f_{\mathcal{D}},</math> वह है जो सख्ती से और औपचारिक रूप से स्थापित करता है कि प्रतीकों/ग्लिफ़ को पूर्णांक मान कैसे निर्दिष्ट किए जाते हैं <math>\mathcal{D}.</math> इस औपचारिकता का एक लाभ यह है कि पूर्णांकों की परिभाषा (उन्हें चाहे जो भी परिभाषित किया जा सकता है) को लिखने/निरूपित करने की किसी विशेष प्रणाली के साथ मिश्रित नहीं किया जाता है; इस तरह, इन दो अलग-अलग (यद्यपि निकट से संबंधित) अवधारणाओं को अलग रखा जाता है।
+मान लीजिए कि <math>\mathcal{D}</math> गणनांक के साथ [[संख्यात्मक अंक|संख्यात्मक]] अंकों का एक सीमित समुच्चय है तब <math>b > 1</math> के लिए <math>b \leq 1</math> को मूलांक या संख्या आधार के रूप में जाना जाता है यदि <math>\mathcal{D}</math> एक अद्वितीय फलन के साथ जुड़ा हुआ है, तो <math>d_i</math> का उपयोग सभी हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व <math>0 \leq i < b.</math> के रूप मे <math>b</math> के लिए किया जा सकता है। यह फलन <math>f_{\mathcal{D}},</math> को कठोरता से और औपचारिक रूप से स्थापित करता है कि कैसे पूर्णांक मानों को प्रतीकों/ग्लिफ़ों को निर्दिष्ट किया जाता है। हालांकि उन्हें परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार से प्रस्तुत करने के लिए किसी विशेष प्रणाली के साथ मिश्रित नहीं किया गया है, इन दो अलग-अलग (यद्यपि निकटता से संबंधित) अवधारणाओं को अलग रखा गया है और <math>\mathcal{D}</math> को तीन अलग-अलग <math>\mathcal{D}_{+}</math>, <math>\mathcal{D}_{0}</math>, और <math>\mathcal{D}_{-}</math> समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जो क्रमशः धनात्मक शून्य और ऋणात्मक अंकों का प्रतिनिधित्व करते है, इस प्रकार सभी अंक <math>d_{+}\in\mathcal{D}_{+}</math> संतुष्ट हो सकते है। सभी अंक <math>d_{0}\in\mathcal{D}_{0}</math> और <math>f_\mathcal{D}(d_{+}) > 0</math> , <math>f_\mathcal{D}(d_{0}) = 0</math>, <math>f_\mathcal{D}(d_{-}) < 0</math> और <math>d_{-}\in\mathcal{D}_{-}</math> गणनांक है, जो क्रमशः धनात्मक और ऋणात्मक अंकों की संख्या <math>b = b_{+} + b_{0} + b_{-}</math> देते है।
- <math>\mathcal{D}</math> एक सेट को तीन अलग-अलग सेटों में विभाजित किया जा सकता है <math>\mathcal{D}_{+}</math>, <math>\mathcal{D}_{0}</math>, और <math>\mathcal{D}_{-}</math>, क्रमशः सकारात्मक, शून्य और नकारात्मक अंकों का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे कि सभी अंक <math>d_{+}\in\mathcal{D}_{+}</math> संतुष्ट करना <math>f_\mathcal{D}(d_{+}) > 0</math>, सभी अंक <math>d_{0}\in\mathcal{D}_{0}</math> संतुष्ट करना <math>f_\mathcal{D}(d_{0}) = 0</math> और सभी अंक <math>d_{-}\in\mathcal{D}_{-}</math> संतुष्ट करना <math>f_\mathcal{D}(d_{-}) < 0</math>. की प्रमुखता <math>\mathcal{D}_{+}</math> है <math>b_{+}</math>, की प्रमुखता <math>\mathcal{D}_{0}</math> है <math>b_{0}</math>, और की प्रमुखता <math>\mathcal{D}_{-}</math> है <math>b_{-}</math>, क्रमशः सकारात्मक और नकारात्मक अंकों की संख्या देते हुए, जैसे कि <math>b = b_{+} + b_{0} + b_{-}</math>.
 ====संतुलित रूप प्रतिनिधित्व====
-{{See also|Balanced ternary}}
+{{See also|संतुलित त्रिगुट
-संतुलित रूप प्रतिनिधित्व वे प्रतिनिधित्व हैं जहां प्रत्येक सकारात्मक अंक के लिए <math>d_{+}</math>, वहाँ एक संगत नकारात्मक अंक मौजूद है <math>d_{-}</math> ऐसा है कि <math>f_\mathcal{D}(d_{+}) = -f_\mathcal{D}(d_{-})</math>. यह इस प्रकार है कि <math>b_{+} = b_{-}</math>. केवल [[विषम संख्या]] आधारों में ही संतुलित रूप में निरूपण हो सकता है, अन्यथा नहीं <math>d_{b/2}</math> स्वयं का विपरीत होना चाहिए और इसलिए 0, लेकिन <math>0\ne \frac b2</math>. संतुलित रूप में, ऋणात्मक अंक <math>d_{-}\in\mathcal{D}_{-}</math> आमतौर पर अंक के ऊपर एक बार के साथ सकारात्मक अंक के रूप में दर्शाया जाता है <math>d_{-} = \bar{d}_{+}</math> के लिए <math>d_{+}\in\mathcal{D}_{+}</math>. उदाहरण के लिए, [[संतुलित टर्नरी]] का अंक सेट होगा <math>\mathcal{D}_{3} = \lbrace\bar{1},0,1\rbrace</math> साथ <math>f_{\mathcal{D}_{3}}(\bar{1}) = -1</math>, <math>f_{\mathcal{D}_{3}}(0) = 0</math>, और <math>f_{\mathcal{D}_{3}}(1) = 1</math>. यह परिपाटी विषम [[अभाज्य संख्या]] क्रम के सीमित क्षेत्रों में अपनाई जाती है <math>q</math>:<ref>{{Cite book|title=परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेप्य ज्यामिति|first1=J. W. P.|last1=Hirschfeld|author-link=J. W. P. Hirschfeld|publisher=[[Oxford University Press]]|year=1979|page=8|isbn=978-0-19-850295-1}}</ref>
+}}
-:<math>\mathbb{F}_{q} = \lbrace0, 1, \bar{1} = -1,... d = \frac{q - 1}{2},\ \bar{d} = \frac{1-q}{2}\ |\ q = 0\rbrace.</math>
+संतुलित रूप प्रतिनिधित्व वे प्रतिनिधित्व हैं जहां प्रत्येक धनात्मक अंक के लिए <math>d_{-}</math> एक संगत ऋणात्मक अंक <math>d_{+}</math> इस प्रकार सम्मिलित होता है जैसे कि <math>f_\mathcal{D}(d_{+}) = -f_\mathcal{D}(d_{-})</math> मे <math>b_{+} = b_{-}</math> सम्मिलित है। केवल [[विषम संख्या]] आधारों में ही संतुलित रूप में निरूपण हो सकता है।अन्यथा <math>d_{b/2}</math> को स्वयं के विपरीत होना होगा और इसलिए <math>0\ne \frac b2</math> हो सकता है। संतुलित रूप में ऋणात्मक अंक <math>d_{-}\in\mathcal{D}_{-}</math> को सामान्यतः धनात्मक अंक के रूप में दर्शाया जाता है और अंक के ऊपर एक बार <math>d_{-} = \bar{d}_{+}</math> होता है। उदाहरण के लिए [[संतुलित टर्नरी]] का अंक समुच्चय <math>\mathcal{D}_{3} = \lbrace\bar{1},0,1\rbrace</math> के साथ <math>f_{\mathcal{D}_{3}}(\bar{1}) = -1</math>, <math>f_{\mathcal{D}_{3}}(0) = 0</math>, और <math>f_{\mathcal{D}_{3}}(1) = 1</math> होता है। इस फलन को विषम [[अभाज्य संख्या]] क्रम <math>q</math> के सीमित क्षेत्रों में स्वीकृत किया जाता है:<ref>{{Cite book|title=परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेप्य ज्यामिति|first1=J. W. P.|last1=Hirschfeld|author-link=J. W. P. Hirschfeld|publisher=[[Oxford University Press]]|year=1979|page=8|isbn=978-0-19-850295-1}}</ref>
+:<math>\mathbb{F}_{q} = \lbrace0, 1, \bar{1} = -1,... d = \frac{q - 1}{2},\ \bar{d} = \frac{1-q}{2}\ |\ q = 0\rbrace.</math><br />
 ====दोहरा हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व====
-हर अंक सेट <math>\mathcal{D}</math> एक [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] अंक सेट है <math>\mathcal{D}^\operatorname{op}</math> समरूपता के साथ अंकों के व्युत्क्रम क्रम द्वारा दिया गया <math>g:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{D}^\operatorname{op}</math> द्वारा परिभाषित <math>-f_\mathcal{D} = g\circ f_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}</math>. परिणामस्वरूप, किसी भी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन के लिए <math>\mathcal{N}</math> एक संख्या प्रणाली की [[अंगूठी (गणित)]] <math>N</math> से निर्मित <math>\mathcal{D}</math> [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] के साथ <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{N}\rightarrow N</math>, का एक दोहरे हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व मौजूद है <math>N</math>, <math>\mathcal{N}^\operatorname{op}</math>, से निर्मित <math>\mathcal{D}^\operatorname{op}</math> मूल्यांकन (बीजगणित) के साथ <math>v_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}:\mathcal{N}^\operatorname{op}\rightarrow N</math>, और एक समरूपता <math>h:\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{N}^\operatorname{op}</math> द्वारा परिभाषित <math>-v_\mathcal{D} = h\circ v_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}</math>, कहाँ <math>-</math> का योज्य व्युत्क्रम संकारक है <math>N</math>. संतुलित रूप निरूपण के लिए निर्धारित अंक स्व-दोहरा है।
+प्रत्येक अंक समुच्चय <math>\mathcal{D}</math> में एक दोहरे अंक का समुच्चय <math>\mathcal{D}^\operatorname{op}</math> होता है जो कि <math>g:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{D}^\operatorname{op}</math> द्वारा परिभाषित समरूपता <math>-f_\mathcal{D} = g\circ f_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}</math> के साथ अंकों के व्युत्क्रम क्रम द्वारा दिया जाता है। जिसके परिणामस्वरूप मूल्यांकन <math>\mathcal{N}</math> के साथ <math>\mathcal{D}</math> से निर्मित संख्या प्रणाली [[अंगूठी (गणित)|वलय (गणित)]] <math>\mathcal{N}</math> के किसी भी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>\mathcal{N}</math> के लिए <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{N}\rightarrow N</math> का एक दोहरा हस्ताक्षर-अंकीय प्रतिनिधित्व सम्मिलित होता है, [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] के साथ <math>\mathcal{D}^\operatorname{op}</math> से निर्मित <math>\mathcal{N}^\operatorname{op}</math> और <math>N</math> द्वारा परिभाषित एक समरूपता <math>h:\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{N}^\operatorname{op}</math> जहां <math>-v_\mathcal{D} = h\circ v_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}</math> का योगात्मक व्युत्क्रम संकारक है। संतुलित रूप प्रतिनिधित्व के लिए निर्धारित अंक दोगुना होता है।
 ===पूर्णांकों के लिए===
-अंक सेट दिया गया है <math>\mathcal{D}</math> और कार्य <math>f:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{Z}</math> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, आइए हम एक [[पूर्णांक]] [[ एंडोफ़ंक्शन ]] को परिभाषित करें <math>T:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> निम्नलिखित के रूप में:
+जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, अंक समुच्चय <math>\mathcal{D}</math> और फलन <math>f:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{Z}</math> को देखते हुए, हम एक [[पूर्णांक]] समरूपता <math>T:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित कर सकते है:
 :<math>T(n) =
 \begin{cases}
 \frac{n - f(d_i)}{b} &\text{if } n \equiv i \bmod b, 0 \leq i < b
 \end{cases}</math>
-यदि का एकमात्र [[आवधिक बिंदु]] <math>T</math> निश्चित बिंदु है (गणित) <math>0</math>, फिर पूर्णांकों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का सेट <math>\mathbb{Z}</math> का उपयोग करते हुए <math>\mathcal{D}</math> [[क्लेन प्लस]] द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{D}^+</math>, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का सेट <math>d_n \ldots d_0</math> कम से कम एक अंक के साथ, साथ <math>n\in\mathbb{N}</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^+</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^+\rightarrow\mathbb{Z}</math>
+यदि <math>T</math> का एकमात्र [[आवधिक बिंदु|आवधिक]] निश्चित बिंदु <math>0</math> है, तो <math>\mathcal{D}</math> का उपयोग करके पूर्णांकों <math>\mathbb{Z}</math> के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय निरूपण का समुच्चय [[क्लेन प्लस]] <math>\mathcal{D}^+</math> द्वारा दिया जाता है। <math>n\in\mathbb{N}</math> के कम से कम एक अंक के साथ <math>d_n \ldots d_0</math> अंकों की सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय के प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^+</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^+\rightarrow\mathbb{Z}</math> होता है:
 :<math>v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=0}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}</math>.
-उदाहरणों में अंकों के साथ संतुलित टर्नरी शामिल है <math>\mathcal{D} = \lbrace \bar{1}, 0, 1\rbrace</math>.
+उदाहरणों में अंकों के साथ संतुलित फलन <math>\mathcal{D} = \lbrace \bar{1}, 0, 1\rbrace</math> सम्मिलित है। यदि कोई गैर-शून्य आवर्त बिंदु <math>T</math> सम्मिलित है तो ऐसे पूर्णांक उपस्थित होते हैं जिन्हें अनंत संख्या में गैर-शून्य अंक <math>\mathcal{D}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरणों में अंक समुच्चय के साथ मानक [[दशमलव अंक प्रणाली]] <math>\operatorname{dec} = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace</math> सम्मिलित है, जिसके लिए रेडिक्स पूरक <math>9</math> की आवश्यकता होती है। योगात्मक व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए <math>-1</math>, <math>T_\operatorname{dec}(-1) = \frac{-1 - 9}{10} = -1</math> और अंक समुच्चय के साथ स्थितीय अंक प्रणाली <math>\mathcal{D} = \lbrace \text{A}, 0, 1\rbrace</math> के साथ <math>f(\text{A}) = -4</math> के लिए जिसे संख्या <math>2</math> को <math>T_\mathcal{D}(2) = \frac{2 - (-4)}{3} = 2</math> के रूप में दर्शाने के लिए अंक <math>\text{A}</math> की एक अनंत संख्या की आवश्यकता होती है।
-अन्यथा, यदि कोई गैर-शून्य आवर्त बिंदु मौजूद है <math>T</math>, तो ऐसे पूर्णांक मौजूद होते हैं जिन्हें अनंत संख्या में गैर-शून्य अंकों द्वारा दर्शाया जाता है <math>\mathcal{D}</math>. उदाहरणों में अंक सेट के साथ मानक [[दशमलव अंक प्रणाली]] शामिल है <math>\operatorname{dec} = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace</math>, जिसके लिए रेडिक्स पूरक की आवश्यकता होती है <math>9</math> योगात्मक व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए <math>-1</math>, जैसा <math>T_\operatorname{dec}(-1) = \frac{-1 - 9}{10} = -1</math>, और अंक सेट के साथ स्थितीय अंक प्रणाली <math>\mathcal{D} = \lbrace \text{A}, 0, 1\rbrace</math> साथ <math>f(\text{A}) = -4</math>, जिसके लिए अंक की अनंत संख्या की आवश्यकता होती है <math>\text{A}</math> संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए <math>2</math>, जैसा <math>T_\mathcal{D}(2) = \frac{2 - (-4)}{3} = 2</math>.
 ===दशमलव भिन्नों के लिए===
-{{Main|Decimal representation}}
+{{Main|दशमलव प्रतिनिधित्व
-यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\mathcal{D}^+</math>, फिर [[दशमलव अंश]]ों, या डायडिक परिमेय के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय निरूपणों का सेट|<math>b</math>-आदिक तर्कसंगत <math>\mathbb{Z}[1\backslash b]</math>, द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{Q} = \mathcal{D}^+\times\mathcal{P}\times\mathcal{D}^*</math>, क्लेन प्लस का कार्टेशियन उत्पाद <math>\mathcal{D}^+</math>, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का सेट <math>d_n \ldots d_0</math> कम से कम एक अंक के साथ, [[सिंगलटन (गणित)]] <math>\mathcal{P}</math> [[मूलांक बिंदु]] से मिलकर (<math>.</math> या <math>,</math>), और [[क्लेन स्टार]] <math>\mathcal{D}^*</math>, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का सेट <math>d_{-1} \ldots d_{-m}</math>, साथ <math>m,n\in\mathbb{N}</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>q \in \mathcal{Q}</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{Q}\rightarrow\mathbb{Z}[1\backslash b]</math>
+}}
+यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस <math>\mathcal{D}^+</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो दशमलव अंशों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय या <math>b</math>-एडिक परिमेय <math>\mathbb{Z}[1\backslash b]</math>, <math>\mathcal{Q} = \mathcal{D}^+\times\mathcal{P}\times\mathcal{D}^*</math> द्वारा दिया गया है, जो कि क्लेन प्लस का कार्टेशियन <math>\mathcal{D}^+</math> का उत्पाद है। [[सिंगलटन (गणित)]] <math>\mathcal{P}</math> जिसमें मूलांक बिंदु <math>d_n \ldots d_0</math> और क्लेन स्टार <math>\mathcal{D}^*</math> शामिल है, <math>m,n\in\mathbb{N}</math> के साथ अंकों के सभी परिमित संयोजित चर समुच्चय <math>d_{-1} \ldots d_{-m}</math> के प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>q \in \mathcal{Q}</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{Q}\rightarrow\mathbb{Z}[1\backslash b]</math> होता है:
 :<math>v_\mathcal{D}(q) = \sum_{i=-m}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}</math>
 ===वास्तविक संख्याओं के लिए===
-{{Main|Construction of the reals#Construction from Cauchy sequences}}
+{{Main|वास्तविक का निर्माण#कॉची अनुक्रमों से निर्माण
-यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\mathcal{D}^+</math>, फिर [[वास्तविक संख्या]]ओं के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का सेट <math>\mathbb{R}</math> द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{R} = \mathcal{D}^+ \times \mathcal{P} \times \mathcal{D}^\mathbb{N}</math>, क्लेन प्लस का कार्टेशियन उत्पाद <math>\mathcal{D}^+</math>, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का सेट <math>d_n \ldots d_0</math> कम से कम एक अंक के साथ, सिंगलटन (गणित) <math>\mathcal{P}</math> मूलांक बिंदु से मिलकर (<math>.</math> या <math>,</math>), और [[कैंटर स्पेस]] <math>\mathcal{D}^\mathbb{N}</math>, अंकों के सभी अनंत संयोजन तारों का सेट <math>d_{-1} d_{-2} \ldots</math>, साथ <math>n\in\mathbb{N}</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>r \in \mathcal{R}</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>
+}}
+यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस <math>\mathcal{D}^+</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो वास्तविक संख्या <math>\mathbb{R}</math> के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय <math>\mathcal{R} = \mathcal{D}^+ \times \mathcal{P} \times \mathcal{D}^\mathbb{N}</math> द्वारा दिया जाता है, जो कार्तीय गुणनफल है। क्लेन प्लस <math>\mathcal{D}^+</math> कम से कम एक अंक के साथ <math>d_n \ldots d_0</math> अंकों की सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय, सिंगलटन <math>\mathcal{P}</math> मूलांक बिंदु (<math>.</math> या <math>,</math>) से युक्त होता है। और [[कैंटर स्पेस|कैंटर समष्टि]] <math>\mathcal{D}^\mathbb{N}</math> के साथ <math>d_{-1} d_{-2} \ldots</math> अंकों की सभी अनंत संयोजित चर का समुच्चय प्रत्येक हस्ताक्षरित अंकीय प्रतिनिधित्व <math>r \in \mathcal{R}</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> होता है:
 :<math>v_\mathcal{D}(r) = \sum_{i=-\infty}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}</math>.
-अनंत श्रृंखला हमेशा एक सीमित वास्तविक संख्या में [[अभिसरण श्रृंखला]] होती है।
+अनंत श्रृंखला सदैव एक सीमित वास्तविक संख्या में परिवर्तित होती है।
 ===अन्य संख्या प्रणालियों के लिए===
-सभी आधार-<math>b</math> अंकों को उपसमूह के रूप में दर्शाया जा सकता है <math>\mathcal{D}^\mathbb{Z}</math>, अंकों के सभी दोगुने अनंत अनुक्रमों का समुच्चय <math>\mathcal{D}</math>, कहाँ <math>\mathbb{Z}</math> पूर्णांकों का समुच्चय है, और आधार का वलय (गणित) है-<math>b</math> अंकों को औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय द्वारा दर्शाया जाता है <math>\mathbb{Z}[[b,b^{-1}]]</math>, दोगुनी अनंत श्रृंखला
+सभी आधार <math>b</math> अंकों को <math>\mathcal{D}^\mathbb{Z}</math> के उपसमुच्चय के रूप में दर्शाया जा सकता है, <math>\mathcal{D}</math> में अंकों के सभी दोहरे अनंत अनुक्रमों का समुच्चय, जहां <math>\mathbb{Z}</math> पूर्णांकों का समुच्चय है और आधार <math>b</math> अंकों की श्रंखला है औपचारिक घात श्रृंखला <math>\mathbb{Z}[[b,b^{-1}]]</math> द्वारा दोगुनी अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व किया जाता है:
 :<math>\sum_{i = -\infty}^{\infty}a_i b^i</math>
-कहाँ <math>a_i\in\mathbb{Z}</math> के लिए <math>i\in\mathbb{Z}</math>.
+जहाँ <math>a_i\in\mathbb{Z}</math> के लिए <math>i\in\mathbb{Z}</math> है।
 ====पूर्णांकों की मॉड्यूलो घातें {{math|''b''}}====
-पूर्णांक मॉड्यूलो n|पूर्णांक मॉड्यूलो के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का सेट <math>b^n</math>, <math>\mathbb{Z}\backslash b^n\mathbb{Z}</math> सेट द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{D}^n</math>, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का सेट <math>d_{n - 1} \ldots d_0</math> लम्बाई का <math>n</math>, साथ <math>n\in\mathbb{N}</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^n\rightarrow\mathbb{Z}/b^n\mathbb{Z}</math>
+पूर्णांक मॉड्यूल <math>b^n</math>, <math>\mathbb{Z}\backslash b^n\mathbb{Z}</math> के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय <math>\mathcal{D}^n</math> द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय <math>d_{n - 1} \ldots d_0</math> लंबाई <math>n</math> की <math>n\in\mathbb{N}</math> के साथ प्रत्येक हस्ताक्षरित अंक प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^n\rightarrow\mathbb{Z}/b^n\mathbb{Z}</math> है:
-:<math>v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=0}^{n - 1}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i} \bmod b^n</math>
+:<math>v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=0}^{n - 1}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i} \bmod b^n</math><br />
 ====चेकर समूह====
-परीक्षक समूह [[भागफल समूह]] है <math>\mathbb{Z}(b^\infty) = \mathbb{Z}[1\backslash b]/\mathbb{Z}</math> पूर्णांकों का और <math>b</math>-आदिक तर्कसंगत. प्रुफ़र समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का सेट क्लेन स्टार द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{D}^*</math>, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का सेट <math>d_{1} \ldots d_{n}</math>, साथ <math>n\in\mathbb{N}</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>p \in \mathcal{D}^*</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^*\rightarrow\mathbb{Z}(b^\infty)</math>
+एक प्रुफ़र समूह पूर्णांकों और <math>b</math>-एडिक परिमेय संख्या का भागफल समूह <math>\mathbb{Z}(b^\infty) = \mathbb{Z}[1\backslash b]/\mathbb{Z}</math> है। प्रुफ़र समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय क्लेन स्टार <math>\mathcal{D}^*</math> द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी परिमित संयोजित संख्याओ का समुच्चय <math>d_{1} \ldots d_{n}</math>, <math>n\in\mathbb{N}</math> के साथ प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>p \in \mathcal{D}^*</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^*\rightarrow\mathbb{Z}(b^\infty)</math> होता है:
 :<math>v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=1}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{-i} \bmod 1</math>
 ====[[वृत्त समूह]]====
-वृत्त समूह भागफल समूह है <math>\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math> पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का. सर्कल समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का सेट कैंटर स्पेस द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{D}^\mathbb{N}</math>, अंकों के सभी दाएं-अनंत संयोजित तारों का सेट <math>d_{1} d_{2} \ldots</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{T}</math>
+वृत्त समूह पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का भागफल समूह <math>\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math> है। वृत्त समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय कैंटर समष्टि <math>\mathcal{D}^\mathbb{N}</math> द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी दाएं-अनंत संयोजित चर का समुच्चय <math>d_{1} d_{2} \ldots</math> प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{T}</math> होता है:
 :<math>v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=1}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{-i} \bmod 1</math>
-अनन्त श्रेणी सदैव अभिसारी श्रेणी होती है।
+अनंत शृंखला सदैव परिवर्तित रहती है।
-===={{math|''b''}}-आदिक पूर्णांक====
+===={{math|''b''}}-एडिक पूर्णांक====
-पी-एडिक पूर्णांकों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का सेट|<math>b</math>-आदिक पूर्णांक, <math>\mathbb{Z}_b</math> कैंटर स्पेस द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{D}^\mathbb{N}</math>, अंकों के सभी बाएँ-अनंत संयोजित तारों का सेट <math>\ldots d_{1} d_{0}</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}_{b}</math>
+{{math|''b''}}-एडिक पूर्णांकों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय <math>\mathbb{Z}_b</math> कैंटर समष्टि <math>\mathcal{D}^\mathbb{N}</math> द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी बाएं-अनंत संयोजित चर का समुच्चय <math>\ldots d_{1} d_{0}</math> प्रत्येक हस्ताक्षरित अंक प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}_{b}</math> है:
 :<math>v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=0}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}</math>
+===={{math|''b''}}-एडिक सोलनॉइड====
+{{math|''b''}}-एडिक सोलनॉइड के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय <math>\mathbb{T}_b</math> कैंटर समष्टि <math>\mathcal{D}^\mathbb{Z}</math> द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी दोगुने अनंत संयोजित चर का समुच्चय {<math>\ldots d_{1} d_{0} d_{-1} \ldots</math> प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> का मूल्यांकन <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{T}_{b}</math> है:
+:<math>v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}</math><br />
-===={{math|''b''}}-एडिक सोलनॉइड्स====
-सोलेनॉइड (गणित)#पी-एडिक सोलेनॉइड्स| के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का सेट|<math>b</math>-एडिक सोलनॉइड्स, <math>\mathbb{T}_b</math> कैंटर स्पेस द्वारा दिया गया है <math>\mathcal{D}^\mathbb{Z}</math>, अंकों के सभी दोगुने अनंत संयोजित तारों का सेट <math>\ldots d_{1} d_{0} d_{-1} \ldots</math>. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व <math>m \in \mathcal{D}^n</math> एक मूल्यांकन (बीजगणित) है <math>v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{T}_{b}</math>
-:<math>v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}</math>
 ==लिखित और मौखिक भाषा में==
 ===[[इंडो-आर्यन भाषाएँ]]===
-इंडो-आर्यन भाषाओं में संख्याओं के मौखिक और लिखित रूपों में 11 और 90 के बीच की संख्याओं के लिए एक नकारात्मक अंक का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, [[ नहीं ]] और [[बंगाली भाषा]] में un, पंजाबी भाषा में un या उन्ना, मराठी भाषा में ekon)। उनके नाम के बाद आने वाले नंबर पंजाबी के लिए नीचे दिखाए गए हैं (उपसर्ग ik का अर्थ है एक):<ref>[http://quizlet.com/16314536/punjabi-numbers-1-100-flash-cards/ Punjabi numbers] from [[Quizlet]]</ref> *19 दिन, 20 विह, 21 इक्की
+इंडो-आर्यन भाषाओं में संख्याओं के मौखिक और लिखित रूपों में 11 और 90 के बीच की संख्याओं के लिए ऋणात्मक अंक का उपयोग किया जाता है उदाहरण के लिए, हिंदी और [[बंगाली भाषा]] में "अन", पंजाबी में "अन" या "उन्ना", मराठी में "एकोन", 90 जो नौ पर समाप्त होता है। उनके नाम के बाद आने वाले संख्या को पंजाबी (उपसर्ग "ik" का अर्थ है "एक") के लिए नीचे प्रदर्शित किया गया हैं:<ref>[http://quizlet.com/16314536/punjabi-numbers-1-100-flash-cards/ Punjabi numbers] from [[Quizlet]]</ref>
-* 29 उनत्ती, 30 तिह, 31 इकत्ती
+* 19 उन्नी, 20 विह, 21 इक्की
-* 39 उंटाली, 40 चाली, 41 इक्ताली
+*29 उनत्ती, 30 तिह, 31 इकत्ती
-* 49 उननजा, 50 पंजाह, 51 इकवंजा
+* 39 ऊंटाली, 40 चली, 41 इक्ताली
-* 59 प्रथम, 60 द्वितीय, 61 तृतीय
+* 49 उनन्जा, 50 पंजाह, 51 इकवन्जा
+* 59 उनाहत, 60 साथ, 61 इकाहत
 * 69 उनत्तार, 70 सत्तार, 71 इखत्तर
-* 79 इकाइयाँ, 80 छवियाँ, 81 इकियासी
+* 79 उनासी, 80 अस्सी, 81 इकियासी
-* 89 दोस्त, 90 नब्बे, 91 दोस्त।
+* 89 अननवे, 90 नब्बे, 91 इकिन्नावेन
-इसी प्रकार, अंग्रेजी भाषा 8 और 9 बनाने के लिए नकारात्मक अंकों का उपयोग करती है।
+इसी प्रकार सेसोथो भाषा 8 और 9 बनाने के लिए ऋणात्मक अंकों का उपयोग करती है।
-* 8 आठ (/रो-बे-डी/) अर्थात तोड़ दो अर्थात। दो अंगुल नीचे
+* 8 रोबेली (/रो-बे-डी/) जिसका अर्थ है "दो विभाजित करना" अर्थात दो अंगुलियां को नीचे करना
-* 9 नौ (/नाइन-वन/) मतलब एक को तोड़ो यानी। एक उंगली नीचे
+* 9 रोबोंग (/रो-बोंग/) का अर्थ है "एक को विभाजित करना" अर्थात एक उंगली को नीचे करना
 ===[[शास्त्रीय लैटिन]]===
-शास्त्रीय लैटिन में,<ref>J. Matthew Harrington (2016) [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/campuspress.yale.edu/dist/4/3253/files/2018/08/Harrington-Latin-Grammar-2016.pdf Synopsis of Ancient Latin Grammar]</ref> पूर्णांक 18 और 19 का अभ्यास में आठ या नौ के संगत भागों सहित न तो मौखिक और न ही लिखित रूप था - उनके अस्तित्व में होने के बावजूद। इसके बजाय, क्लासिक लैटिन में,
+शास्त्रीय लैटिन में<ref>J. Matthew Harrington (2016) [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/campuspress.yale.edu/dist/4/3253/files/2018/08/Harrington-Latin-Grammar-2016.pdf Synopsis of Ancient Latin Grammar]</ref> पूर्णांक 18 और 19 के प्रयोग में "आठ" या "नौ" के लिए संगत भागों सहित कोई मौखिक या लिखित रूप भी नहीं था उनके अस्तित्व में होने के अतिरिक्त इसके [[शास्त्रीय लैटिन|शास्त्रीय]] लैटिन भाषा को निम्न रूप मे प्रदर्शित किया गया है:,
-*18 = डुओडेविगिन्टि (बीस में से दो लिए गए), (IIXX या XIIX),
+*18 = डुओडेविगिन्टि ("बीस में से दो लिए गए"), (IIXX या XIIX),
 *19 = अन्डेविगिन्ति (बीस में से एक लिया गया), (IXX या XIX)
-*20 = दृश्य (बीस), (XX).
+*20 = विगिन्ति ("बीस"), (XX)
-आगामी पूर्णांक अंकों [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] के लिए भाषा में योगात्मक रूप बहुत अधिक सामान्य था, हालाँकि, सूचीबद्ध संख्याओं के लिए, उपरोक्त रूप अभी भी पसंद किया गया था। इसलिए, तीस के करीब पहुंचने पर, अंकों को इस प्रकार व्यक्त किया गया:<ref>[https://en.wiktionary.org/wiki/duodetriginta#Latin] from [[English Wiktionary]]</ref>
+आगामी पूर्णांक अंकों [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] के लिए भाषा में योगात्मक रूप बहुत अधिक सामान्य था, हालाँकि, सूचीबद्ध संख्याओं के लिए उपरोक्त रूप अभी भी पसंद किया गया था। इसलिए, तीस के निकट जाने पर अंकों को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:<ref>[https://en.wiktionary.org/wiki/duodetriginta#Latin] from [[English Wiktionary]]</ref>
-*28 = डुओडेट्रिगिन्टा (तीस में से दो लिए गए), कम बार भी विगिन्टि ऑक्टो / ऑक्टो एट विगिन्टि (अट्ठाईस / आठ और बीस), (IIXXX या XXIIX बनाम XXVIII, बाद वाला पूरी तरह से मात खा चुका है।)
+*28 = डुओडेट्रिगिंटा ("तीस में से दो लिए गए"), कम बार भी विगिन्टि ऑक्टो / ऑक्टो एट विगिन्टि ("अट्ठाईस / आठ और बीस"), (IIXXX या XXIIX बनाम XXVIII, बाद वाला पूरी तरह से नष्ट हो चुका है।)
-*29 = अन्डेट्रीगिन्ता (तीस में से एक लिया गया) कम पसंदीदा रूप के बावजूद भी उनके निपटान में था।
+*29 = अन्डेट्रीगिन्टा ("तीस में से एक लिया गया") कम पसंदीदा रूप के अतिरिक्त भी उनके संतुलन में था।
-यह समकालीन इतिहासकारों के तर्क के मुख्य आधारों में से एक है, जो बताता है कि अन्य श्रेणियों की तुलना में कार्डिनल्स की इस श्रेणी में घटाव I- और II- इतना आम क्यों था। अंक 98 और 99 को भी दोनों रूपों में व्यक्त किया जा सकता है, फिर भी दो से सौ तक थोड़ा अजीब लग सकता है - इसका स्पष्ट प्रमाण है कि प्रामाणिक स्रोतों में घटावात्मक तरीके से लिखी गई इन संख्याओं की दुर्लभ घटना है।
+यह समकालीन इतिहासकारों के तर्क के मुख्य आधारों में से एक है, जो बताता है कि अन्य श्रेणियों की तुलना में कार्डिनल संख्या की इस श्रेणी में घटाव I- और II- इतना सामान्य क्यों था। अंक 98 और 99 को भी दोनों रूपों में व्यक्त किया जा सकता है, फिर भी "दो से सौ" अपेक्षाकृत अलग प्रतीत हो सकता है - इसका स्पष्ट प्रमाण है कि प्रामाणिक स्रोतों में घटावपूर्ण तरीके से लिखी गई इन संख्याओं की दुर्लभ घटना है।
 ===फ़िनिश भाषा===
 हालाँकि, एक और भाषा है जिसमें यह सुविधा है (अब तक, केवल अंशों में), हालाँकि, आज भी सक्रिय उपयोग में है। यह फ़िनिश भाषा है, जहाँ 8 या 9 का अंक आने पर (वर्तनी में लिखे गए) अंकों का उपयोग इस प्रकार किया जाता है। योजना इस प्रकार है:<ref>[https://www.kielitoimistonsanakirja.fi/#/perusluku] from [[Kielitoimiston sanakirja]]</ref>
-*1 = yjki (नोट: yhd- या yht- अधिकतर जब अस्वीकार किया जाने वाला होता है; उदाहरण के लिए एक साथ, एक [इकाई] के रूप में)
+*1 = "yksi" (नोट: yhd- या yht- अधिकतर जब अस्वीकृत किया जाने वाला होता है उदाहरण के लिए "yhdessä" = "एक साथ, एक [इकाई] के रूप में")
-*2 = दो (यह भी नोट करें: कहते-, कहते- जब मना कर दिया जाए)
+*2 = "kaksi" (यह भी ध्यान दे: kahde-, kahte- जब मना कर दिया जाए)
-*3 = तीन
+*3 = "kolme"
-*4 = चार
+*4 = "neljä"
-...
-*7=सात
-*8 = kah(d)eksan (दो बचे हैं [उस तक पहुंचने के लिए])
-*9 = yh(d)eksän (एक बचा है [उस तक पहुंचने के लिए])
-*10 = दस (दस)
-उपरोक्त सूची कोई विशेष मामला नहीं है, परिणामस्वरूप यह बड़े कार्डिनल्स में भी दिखाई देती है, उदाहरण के लिए:
+*7="seitsemän"
+*8 = "kah(d)eksan" (दो कम है)
+*9 = "yh(d)eksän" (एक कम है)
+*10 = "kymmenen" (दस)
+उपरोक्त सूची कोई विशेष स्थिति नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप यह बड़े कार्डिनल्स संख्या में भी दिखाई देती है, उदाहरण के लिए:
 *399 = तीन सौ निन्यानवे
-इन विशेषताओं पर जोर देते हुए, ये गुण अंकों के सबसे छोटे बोलचाल के रूपों में भी मौजूद रहते हैं:
+इन विशेषताओं पर महत्व देना अंकों के सबसे छोटे बोलचाल के रूपों में भी उपस्थित रहता है:
-*1 = वर्ष
+* 1 = "yy"
-*2 = सीए
+* 2 = "kaa"
-*3 = आकार
+* 3 = "koo"
-...
-*7 = रुकें
+* 7 = "seiska"
-*8=काशी
+* 8 = "kasi"
-*9 = खांसी
+* 9 = "ysi"
-*10 = दस
+* 10 = "kymppi"
 हालाँकि, इस घटना का लिखित अंकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, फिनिश मानक पश्चिमी-अरबी दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।
 ===समयपालन===
-[[अंग्रेजी भाषा]] में समय को इस प्रकार संदर्भित करना आम बात है, उदाहरण के लिए, 'सात से तीन', 'से' निषेध करना।
+अंग्रेजी भाषा में समय को इस प्रकार संदर्भित करना सामान्य है, उदाहरण के लिए 'सेवन टू थ्री' 'टू' निषेध का प्रदर्शन करना है।
-==अन्य सिस्टम==
+==अन्य प्रणाली==
-आधार जैसे अन्य हस्ताक्षरित-अंकीय आधार मौजूद हैं <math>b \neq b_{+} + b_{-} + 1</math>. इसका एक उल्लेखनीय उदाहरण [[बूथ एन्कोडिंग]] है, जिसमें एक अंक सेट होता है <math>\mathcal{D} = \lbrace\bar{1},0,1\rbrace</math> साथ <math>b_{+} = 1</math> और <math>b_{-} = 1</math>, लेकिन जो आधार का उपयोग करता है <math>b = 2 < 3 = b_{+} + b_{-}  + 1</math>. मानक बाइनरी अंक प्रणाली केवल मूल्य के अंकों का उपयोग करेगी <math>\lbrace0,1\rbrace</math>.
+आधार जैसे अन्य हस्ताक्षरित अंकीय आधार <math>b \neq b_{+} + b_{-} + 1</math> सम्मिलित हैं इसका एक उल्लेखनीय उदाहरण [[बूथ एन्कोडिंग]] है जिसमें एक अंक समुच्चय होता है, जिसमें एक अंक समुच्चय <math>b_{+} = 1</math> और <math>b_{-} = 1</math> होता है लेकिन जो आधार <math>b = 2 < 3 = b_{+} + b_{-}  + 1</math> का उपयोग करता है। मानक बाइनरी अंक प्रणाली केवल मान <math>\lbrace0,1\rbrace</math> के अंकों का उपयोग करेगी। ध्यान दें कि गैर-मानक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं हैं।
-ध्यान दें कि गैर-मानक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए:
+उदाहरण के लिए:
 : <math>0111_{\mathcal{D}} = 4 + 2 + 1 = 7</math>
@@ Line 154: / Line 142: @@
 : <math>1\bar{1}11_{\mathcal{D}} = 8 - 4 + 2 + 1 = 7</math>
 : <math>100\bar{1}_{\mathcal{D}} = 8 - 1 = 7</math>
-बूथ एन्कोडिंग का गैर-आसन्न रूप (NAF) प्रत्येक पूर्णांक मान के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व की गारंटी देता है। हालाँकि, यह केवल पूर्णांक मानों के लिए लागू होता है। उदाहरण के लिए, एनएएफ में अन्य आधार संख्याओं के लिए निम्नलिखित दोहराए जाने वाले दशमलव # विस्तार पर विचार करें,
+बूथ एन्कोडिंग का गैर-आसन्न रूप (एनएएफ) प्रत्येक पूर्णांक मान के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व का दायित्व करता है। हालाँकि यह केवल पूर्णांक मानों के लिए प्रयुक्त होता है। उदाहरण के लिए एनएएफ में निम्नलिखित दोहराई जाने वाली बाइनरी संख्याओं पर विचार करें:
 : <math>\frac{2}{3} = 0.\overline{10}_{\mathcal{D}} = 1.\overline{0\bar{1}}_{\mathcal{D}}</math>
 ==यह भी देखें==
-* संतुलित टर्नरी
+* संतुलित त्रिआधारी पद्धति
-*[[नकारात्मक आधार]]
+*[[नकारात्मक आधार|ऋणात्मक आधार]]
 * [[निरर्थक द्विआधारी प्रतिनिधित्व]]
@@ Line 180: / Line 166: @@
 श्रेणी:औपचारिक भाषाएँ
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Signed-Digit Representation]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Created On 03/07/2023|Signed-Digit Representation]]
-[[Category:Created On 03/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates|Signed-Digit Representation]]
+[[Category:Machine Translated Page|Signed-Digit Representation]]
+[[Category:Pages using sidebar with the child parameter|Signed-Digit Representation]]
+[[Category:Pages with script errors|Signed-Digit Representation]]
+[[Category:Templates Translated in Hindi|Signed-Digit Representation]]
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इतिहास

परिभाषा और विशेषताएँ

अंक समुच्चय

संतुलित रूप प्रतिनिधित्व

दोहरा हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व

पूर्णांकों के लिए

दशमलव भिन्नों के लिए

वास्तविक संख्याओं के लिए

अन्य संख्या प्रणालियों के लिए

पूर्णांकों की मॉड्यूलो घातें $b$

चेकर समूह

वृत्त समूह

$b$ -एडिक पूर्णांक

$b$ -एडिक सोलनॉइड

लिखित और मौखिक भाषा में

इंडो-आर्यन भाषाएँ

शास्त्रीय लैटिन

फ़िनिश भाषा

समयपालन

अन्य प्रणाली

यह भी देखें

नोट्स और संदर्भ

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हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व: Difference between revisions

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इतिहास

परिभाषा और विशेषताएँ

अंक समुच्चय

संतुलित रूप प्रतिनिधित्व

दोहरा हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व

पूर्णांकों के लिए

दशमलव भिन्नों के लिए

वास्तविक संख्याओं के लिए

अन्य संख्या प्रणालियों के लिए

पूर्णांकों की मॉड्यूलो घातें b

चेकर समूह

वृत्त समूह

b-एडिक पूर्णांक

b-एडिक सोलनॉइड

लिखित और मौखिक भाषा में

इंडो-आर्यन भाषाएँ

शास्त्रीय लैटिन

फ़िनिश भाषा

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