बानाच माप: Difference between revisions

Latest revision as of 15:48, 7 November 2023

माप सिद्धांत के गणित अभ्यास में बानाच माप एक निश्चित प्रकार का परिमित माप होता है, जिसका उपयोग पसंद के एक्सीओम के प्रति वल्नरेबल समस्याओं में ज्यामितीय क्षेत्र को फॉर्मल बनाने के लिए किया जाता है।

परंपरागत रूप से, क्षेत्र की सहज धारणाओं को एक मौलिक गणनीय योगात्मक उपाय के रूप में औपचारिक रूप से तैयार किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप कुछ गैर-मापने योग्य समुच्चय को बिना किसी निश्चित स्थान के क्षेत्र पर छोड़ देने का परिणाम दुर्भाग्यपूर्ण रूप में होता है और इसका परिणाम यह है कि कुछ ज्यामितीय रूपांतरणों के कारण क्षेत्र अपरिवर्तनीय नहीं रहता हैं, जो बानाच-टार्स्की विरोधाभास का सार है। इस समस्या से निपटने के लिए बानाच माप एक प्रकार का सामान्यीकृत उपाय है।

समुच्चय $Ω$ पर एक बैनाच माप एक परिमित रूप से ऐडिटिव माप $μ \neq 0$ है, जो $℘(Ω)$ के प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए परिभाषित है और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।

एक बानाच माप चालू $Ω$ के रूप में होता है, जो मान लेता है ${0, 1$ } को Ω पर उलम माप कहा जाता है।

जैसा कि विटाली पैराडॉक्स से पता चलता है कि बानाच उपायों को अनगिनत ऐडिटिव उपायों तक मजबूत नहीं किया जा सकता है।

स्टीफ़न बानाच ने दिखाया कि यूक्लिडियन क्षेत्र के लिए बानाच माप को परिभाषित करना संभव होता है, जो सामान्य लेब्सग्यू माप के अनुरूप है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक लेब्सग्यू मापन योग्य उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{2}$ बनच-मापने योग्य है, जिसका अर्थ है कि दोनों माप बराबर हैं।^[1]

इस माप के अस्तित्व से दो आयामों में बानाच-टार्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है और इस प्रकार परिमित लेब्सग्यू माप के दो-आयामी समुच्चय को सीमित रूप से कई समुच्चय में विघटित करना संभव नहीं है, जिन्हें एक भिन्न माप के साथ एक समुच्चय में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बानाच माप के गुणों का उल्लंघन करता है, जो लेबेस्ग माप का विस्तार करता है।^[2]

संदर्भ

↑ Banach, Stefan (1923). "Sur le problème de la mesure" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 4: 7–33. doi:10.4064/fm-4-1-7-33. Retrieved 6 March 2022.
↑ Stewart, Ian (1996), From Here to Infinity, Oxford University Press, p. 177, ISBN 9780192832023.

बाहरी संबंध

Stefan Banach bio

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[1] Banach, Stefan (1923). "Sur le problème de la mesure" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 4: 7–33. doi:10.4064/fm-4-1-7-33. Retrieved 6 March 2022.

[2] Stewart, Ian (1996), From Here to Infinity, Oxford University Press, p. 177, ISBN 9780192832023.

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-{{for|[[Banach space|Banach-space]]-valued measures|vector measure}}
+{{for|बानाच स्थान मूल्यवान मेश़र के रूप में होते है | इसे सदिश माप के रूप में देख सकते है।}}
-[[माप सिद्धांत]] के गणित अनुशासन में, बनच माप एक निश्चित प्रकार का [[परिमित माप]] है जिसका उपयोग पसंद के सिद्धांत के प्रति संवेदनशील समस्याओं में ज्यामितीय क्षेत्र को औपचारिक बनाने के लिए किया जाता है।
+[[माप सिद्धांत]] के गणित अभ्यास में '''बानाच माप''' एक निश्चित प्रकार का [[परिमित माप]] होता है, जिसका उपयोग पसंद के एक्सीओम के प्रति वल्नरेबल समस्याओं में ज्यामितीय क्षेत्र को फॉर्मल बनाने के लिए किया जाता है।
-परंपरागत रूप से, क्षेत्र की सहज धारणाओं को एक शास्त्रीय, गणनीय योगात्मक उपाय के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। इसका [[गैर-मापने योग्य सेट]] को बिना किसी सुपरिभाषित क्षेत्र के छोड़ने का दुर्भाग्यपूर्ण प्रभाव है; इसका परिणाम यह है कि कुछ ज्यामितीय परिवर्तन क्षेत्र को अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ते हैं, जो बानाच-टार्स्की विरोधाभास का सार है। इस समस्या से निपटने के लिए बनच माप एक प्रकार का सामान्यीकृत उपाय है।
+परंपरागत रूप से, क्षेत्र की सहज धारणाओं को एक मौलिक गणनीय योगात्मक उपाय के रूप में औपचारिक रूप से तैयार किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप कुछ [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समुच्चय]] को बिना किसी निश्चित स्थान के क्षेत्र पर छोड़ देने का परिणाम दुर्भाग्यपूर्ण रूप में होता है और इसका परिणाम यह है कि कुछ ज्यामितीय रूपांतरणों के कारण क्षेत्र अपरिवर्तनीय नहीं रहता हैं, जो बानाच-टार्स्की विरोधाभास का सार है। इस समस्या से निपटने के लिए बानाच माप एक प्रकार का सामान्यीकृत उपाय है।
-एक सेट पर एक बनच माप {{math|Ω}} एक परिमित माप है, सिग्मा-एडिटिव_सेट_फंक्शन माप {{math|''μ'' ≠ 0}}, के प्रत्येक उपसमूह के लिए परिभाषित {{math|℘(Ω)}}, और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।
+समुच्चय {{math|Ω}} पर एक बैनाच माप एक परिमित रूप से ऐडिटिव माप {{math|''μ'' ≠ 0}} है, जो {{math|℘(Ω)}} के प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए परिभाषित है और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।
-एक बनच माप चालू {{math|Ω}} जो मान लेता है {{math|{0, 1}}} को एन कहा जाता है{{visible anchor|Ulam measure}} पर {{math|Ω}}.
+एक बानाच माप चालू {{math|Ω}} के रूप में होता है, जो मान लेता है {{math|{0, 1}}} को Ω पर उलम माप कहा जाता है।
-जैसा कि विटाली ने सेट किया है|विटाली का विरोधाभास दिखाता है, बानाच उपायों को अनगिनत योगात्मक उपायों तक मजबूत नहीं किया जा सकता है।
+जैसा कि विटाली पैराडॉक्स से पता चलता है कि बानाच उपायों को अनगिनत ऐडिटिव उपायों तक मजबूत नहीं किया जा सकता है।
-[[स्टीफ़न बानाच]] ने दिखाया कि [[यूक्लिडियन विमान]] के लिए बानाच माप को परिभाषित करना संभव है, जो सामान्य [[लेब्सेग माप]] के अनुरूप है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक लेब्सेग-मापन योग्य उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^2</math> बनच-मापने योग्य भी है, जिसका अर्थ है कि दोनों माप बराबर हैं।<ref>{{cite journal |last1=Banach |first1=Stefan |title=Sur le problème de la mesure |journal=Fundamenta Mathematicae |date=1923 |volume=4 |pages=7–33 |doi=10.4064/fm-4-1-7-33 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm412.pdf |access-date=6 March 2022}}</ref>
+[[स्टीफ़न बानाच]] ने दिखाया कि [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन क्षेत्र]] के लिए बानाच माप को परिभाषित करना संभव होता है, जो सामान्य [[लेब्सेग माप|लेब्सग्यू माप]] के अनुरूप है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक लेब्सग्यू मापन योग्य उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^2</math> बनच-मापने योग्य है, जिसका अर्थ है कि दोनों माप बराबर हैं।<ref>{{cite journal |last1=Banach |first1=Stefan |title=Sur le problème de la mesure |journal=Fundamenta Mathematicae |date=1923 |volume=4 |pages=7–33 |doi=10.4064/fm-4-1-7-33 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm412.pdf |access-date=6 March 2022}}</ref>
-इस माप का अस्तित्व दो आयामों में बानाच-टार्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है: परिमित लेबेस्ग माप के दो-आयामी सेट को सीमित रूप से कई सेटों में विघटित करना संभव नहीं है, जिन्हें एक अलग माप के साथ एक सेट में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बानाच माप के गुणों का उल्लंघन करेगा जो लेबेस्ग माप का विस्तार करता है।<ref>{{citation|title=From Here to Infinity|first=Ian|last=Stewart|publisher=Oxford University Press|year=1996|isbn=9780192832023|page=177|url=https://books.google.com/books?id=rt_1vrQvSS8C&pg=PA177}}.</ref>
+इस माप के अस्तित्व से दो आयामों में बानाच-टार्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है और इस प्रकार परिमित लेब्सग्यू माप के दो-आयामी समुच्चय को सीमित रूप से कई समुच्चय में विघटित करना संभव नहीं है, जिन्हें एक भिन्न माप के साथ एक समुच्चय में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बानाच माप के गुणों का उल्लंघन करता है, जो लेबेस्ग माप का विस्तार करता है।<ref>{{citation|title=From Here to Infinity|first=Ian|last=Stewart|publisher=Oxford University Press|year=1996|isbn=9780192832023|page=177|url=https://books.google.com/books?id=rt_1vrQvSS8C&pg=PA177}}.</ref>
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+[[Category:उपाय (माप सिद्धांत)]]

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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