शाब्दिक (गणितीय तर्क): Difference between revisions

Latest revision as of 07:03, 16 July 2023

गणितीय तर्क में, शाब्दिक एक परमाण्विक सूत्र (जिसे परमाण्विक या अभाज्य सूत्र के रूप में भी जाना जाता है) या उसका निषेधन है।^[1]^[2] परिभाषा अधिकतर प्रमाण सिद्धांत (चिरसम्मत तर्क) में प्रकट होती है, उदाहरण के लिए संयोजनात्मक सामान्य रूप में और समाधान की विधि होती है।

शाब्दिकों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:^[2]

धनात्मक शाब्दिक सिर्फ एक परमाण्विक है (जैसे, $x$ )।
ऋणत्मक शाब्दिक एक परमाण्विक का निषेध है (जैसे, $\lnot x$ )।

शाब्दिक की ध्रुवता धनात्मक या ऋणात्मक है जो इस बात पर निर्भर करती है कि यह धनात्मक या ऋणात्मक शाब्दिक है।

दोहरे निषेध उन्मूलन वाले तर्कशास्त्र में (जहाँ $\lnot \lnot x\equiv x$ ) शाब्दिक $l$ के पूरक शाब्दिक या पूरक को $l$ के निषेध के अनुरूप शाब्दिक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।^[3] हम $l$ के पूरक शाब्दिक को निरूपित करने के लिए ${\bar {l}}$ लिख सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि $l\equiv x$ है तो ${\bar {l}}$ है $\lnot x$ और यदि $l\equiv \lnot x$ तो ${\bar {l}}$ $x$ है। चिरसम्मत तर्कशास्त्र में दोहरा निषेध उन्मूलन है लेकिन अंतर्ज्ञानवादी तर्क में नहीं होता है।

संयोजक सामान्य रूप में किसी सूत्र के संदर्भ में, शाब्दिक शुद्ध होता है यदि सूत्र में शाब्दिक पूरक प्रदर्शित नहीं होता है।

बूलियन फ़ंक्शंस में, चर की प्रत्येक अलग घटना, या तो व्युत्क्रम या अपूरित रूप में, शाब्दिक है। उदाहरण के लिए, यदि $A$ , $B$ और $C$ चर हैं तो अभिव्यक्ति ${\bar {A}}BC$ में तीन अक्षर हैं और अभिव्यक्ति ${\bar {A}}C+{\bar {B}}{\bar {C}}$ में चार अक्षर हैं। हालाँकि, अभिव्यक्ति ${\bar {A}}C+{\bar {B}}C$ को भी चार अक्षर वाला कहा जाएगा, क्योंकि यद्यपि दो अक्षर समान हैं ( $C$ दो बार दिखाई देता है) ये दो अलग-अलग घटनाओं के रूप में योग्य हैं।^[4]

उदाहरण

प्रस्तावात्मक कलन में एक शाब्दिक मात्र प्रस्तावात्मक चर या उसका निषेध है।

विधेय कैलकुलस में शाब्दिक एक परमाण्विक सूत्र या उसका निषेध है, जहां परमाण्विक सूत्र कुछ शब्दों पर उपयुक्त विधेय प्रतीक है, $P(t_{1},\ldots ,t_{n})$ निरंतर प्रतीकों, परिवर्तनीय प्रतीकों और फलन प्रतीकों से प्रारम्भ होने वाले शब्दों के साथ पुनरावर्ती रूप से परिभाषित है। उदाहरण के लिए, $\neg Q(f(g(x),y,2),x)$ एक ऋणात्मक शाब्दिक है जिसमें स्थिर प्रतीक 2, चर प्रतीक x, y, फलन प्रतीक f, g और विधेय प्रतीक Q है।

संदर्भ

↑ Rautenberg, Wolfgang (2010). गणितीय तर्क का संक्षिप्त परिचय. Universitext (3rd ed.). Springer. p. 57. doi:10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6. The formulas procured by (F1) and (F2) are said to be prime or atomic formulas, or simply called prime. As in propositional logic, prime formulas and their negations are called literals.
↑ ^2.0 ^2.1 Ben-Ari, Mordechai (2001). कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क (2nd ed.). Springer. p. 30. ISBN 1-85233-319-7. A literal is an atom or a negation of an atom. An atom is a positive literal and the negation of an atom is a negative literal.
↑ Ben-Ari, Mordechai (2001). कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क (Second ed.). Springer. p. 69. ISBN 1-85233-319-7. If $l$ is a literal, $l^{c}$ is its complement. This means that if $l=p$ , then, $l^{c}={\bar {p}}$ and if $l={\bar {p}}$ then $l^{c}=p$ .
↑ Godse, A. P.; Godse, D. A. (2008). डिजिटल लॉजिक सर्किट. Technical Publications. ISBN 9788184314250.

Buss, Samuel R. (1998). Buss, Samuel R. (ed.). An Introduction to Proof Theory. pp. 1–78. ISBN 0-444-89840-9. {{cite book}}: |work= ignored (help)

[Rautenberg2010-1] Rautenberg, Wolfgang (2010). गणितीय तर्क का संक्षिप्त परिचय. Universitext (3rd ed.). Springer. p. 57. doi:10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6. The formulas procured by (F1) and (F2) are said to be prime or atomic formulas, or simply called prime. As in propositional logic, prime formulas and their negations are called literals.

[Ben-Ari-2] 2.0 ^2.1 Ben-Ari, Mordechai (2001). कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क (2nd ed.). Springer. p. 30. ISBN 1-85233-319-7. A literal is an atom or a negation of an atom. An atom is a positive literal and the negation of an atom is a negative literal.

[3] Ben-Ari, Mordechai (2001). कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क (Second ed.). Springer. p. 69. ISBN 1-85233-319-7. If $l$ is a literal, $l^{c}$ is its complement. This means that if $l=p$ , then, $l^{c}={\bar {p}}$ and if $l={\bar {p}}$ then $l^{c}=p$ .

[4] Godse, A. P.; Godse, D. A. (2008). डिजिटल लॉजिक सर्किट. Technical Publications. ISBN 9788184314250.

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 {{Short description|In mathematical logic, an atomic formula or its negation}}
-[[गणितीय तर्क]] में, शाब्दिक एक [[परमाणु सूत्र]] (जिसे परमाणु या अभाज्य सूत्र के रूप में भी जाना जाता है) या इसका निषेधन है।<ref name=Rautenberg2010>{{cite book |last=Rautenberg |first=Wolfgang |authorlink=Wolfgang Rautenberg |year=2010 |title=गणितीय तर्क का संक्षिप्त परिचय|edition=3rd |series=Universitext |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4419-1221-3 |isbn=978-1-4419-1220-6 |page=57 |quote=The formulas procured by (F1) and (F2) are said to be ''prime'' or ''atomic'' formulas, or simply called ''prime''. As in propositional logic, prime formulas and their negations are called ''literals''.}}</ref><ref name=Ben-Ari>{{cite book |last=Ben-Ari |first=Mordechai |authorlink=Mordechai Ben-Ari |date=2001 |title=कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क|edition=2nd |publisher=Springer |isbn=1-85233-319-7 |page=30 |quote=A ''literal'' is an atom or a negation of an atom. An atom is a ''positive literal'' and the negation of an atom is a ''negative literal''.}}</ref> परिभाषा अधिकतर [[प्रमाण सिद्धांत]] ([[शास्त्रीय तर्क]]) में दिखाई देती है, उदाहरण के लिए संयोजी सामान्य रूप और समाधान की विधि (तर्क) में।
+[[गणितीय तर्क]] में, '''शाब्दिक''' एक [[परमाणु सूत्र|परमाण्विक सूत्र]] (जिसे  परमाण्विक या अभाज्य सूत्र के रूप में भी जाना जाता है) या उसका निषेधन है।<ref name=Rautenberg2010>{{cite book |last=Rautenberg |first=Wolfgang |authorlink=Wolfgang Rautenberg |year=2010 |title=गणितीय तर्क का संक्षिप्त परिचय|edition=3rd |series=Universitext |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4419-1221-3 |isbn=978-1-4419-1220-6 |page=57 |quote=The formulas procured by (F1) and (F2) are said to be ''prime'' or ''atomic'' formulas, or simply called ''prime''. As in propositional logic, prime formulas and their negations are called ''literals''.}}</ref><ref name=Ben-Ari>{{cite book |last=Ben-Ari |first=Mordechai |authorlink=Mordechai Ben-Ari |date=2001 |title=कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क|edition=2nd |publisher=Springer |isbn=1-85233-319-7 |page=30 |quote=A ''literal'' is an atom or a negation of an atom. An atom is a ''positive literal'' and the negation of an atom is a ''negative literal''.}}</ref> परिभाषा अधिकतर [[प्रमाण सिद्धांत]] (चिरसम्मत तर्क) में प्रकट होती है, उदाहरण के लिए संयोजनात्मक सामान्य रूप में और समाधान की विधि होती है।
-शाब्दिक को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:<ref name=Ben-Ari/>* एक सकारात्मक शाब्दिक सिर्फ एक परमाणु है (उदाहरण के लिए, <math>x</math>).
+शाब्दिकों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:<ref name=Ben-Ari/>
-* एक नकारात्मक शाब्दिक एक परमाणु का निषेध है (उदाहरण के लिए, <math>\lnot x</math>).
-किसी शाब्दिक की ध्रुवता सकारात्मक या नकारात्मक होती है, यह इस पर निर्भर करता है कि वह सकारात्मक है या नकारात्मक।
-दोहरे निषेध उन्मूलन के साथ तर्कशास्त्र में (जहाँ <math>\lnot \lnot x \equiv x</math>) पूरक शाब्दिक या शाब्दिक का पूरक <math>l</math> के निषेध के अनुरूप शाब्दिक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>l</math>.<ref>{{cite book |last=Ben-Ari |first=Mordechai |authorlink=Mordechai Ben-Ari |date=2001 |title=कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क|edition=Second |publisher=Springer |isbn=1-85233-319-7 |page=69 |quote=If <math>l</math> is a literal, <math>l^c</math> is its complement. This means that if <math>l=p</math>, then, <math>l^c=\bar p</math> and if <math>l=\bar p</math> then <math>l^c = p</math>.}}</ref> हम लिख सकते हैं <math>\bar{l}</math> के पूरक शाब्दिक को निरूपित करने के लिए <math>l</math>. अधिक सटीक रूप से, यदि <math>l\equiv x</math> तब <math>\bar{l}</math> है <math>\lnot x</math> और अगर <math>l\equiv \lnot x</math> तब <math>\bar{l}</math> है <math>x</math>. दोहरा निषेध उन्मूलन शास्त्रीय तर्कशास्त्र में होता है लेकिन [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] में नहीं।
+* '''धनात्मक शाब्दिक''' सिर्फ एक  परमाण्विक है (जैसे,<math>x</math>)।
+* '''ऋणत्मक शाब्दिक''' एक  परमाण्विक का निषेध है (जैसे, <math>\lnot x</math>)।
-संयोजक सामान्य रूप में एक सूत्र के संदर्भ में, एक शाब्दिक शुद्ध होता है यदि शाब्दिक पूरक सूत्र में प्रकट नहीं होता है।
+शाब्दिक की ध्रुवता धनात्मक या ऋणात्मक है जो इस बात पर निर्भर करती है कि यह धनात्मक या ऋणात्मक शाब्दिक है।
-[[बूलियन फ़ंक्शन]] में, किसी चर की प्रत्येक अलग घटना, या तो व्युत्क्रम या अपूरित रूप में, एक शाब्दिक होती है। उदाहरण के लिए, यदि <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math> अभिव्यक्ति की तुलना में चर हैं <math>\bar{A}BC</math> इसमें तीन अक्षर और अभिव्यक्ति शामिल है <math>\bar{A}C+\bar{B}\bar{C}</math> इसमें चार अक्षर शामिल हैं। हालाँकि, अभिव्यक्ति <math>\bar{A}C+\bar{B}C</math> यह भी कहा जाएगा कि इसमें चार अक्षर हैं, क्योंकि यद्यपि दो अक्षर समान हैं (<math>C</math> दो बार प्रकट होता है) ये दो अलग-अलग घटनाओं के रूप में योग्य हैं।<ref>{{cite book |last1=Godse |first1=A. P. |last2=Godse |first2=D. A. |date=2008 |title=डिजिटल लॉजिक सर्किट|publisher=Technical Publications|isbn=9788184314250 |url=https://books.google.com/books?id=fig900Q1eJ0C&q=literal}}</ref>
+दोहरे निषेध उन्मूलन वाले तर्कशास्त्र में (जहाँ <math>\lnot \lnot x \equiv x</math>) शाब्दिक <math>l</math> के '''पूरक शाब्दिक''' या '''पूरक''' को <math>l</math> के निषेध के अनुरूप शाब्दिक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{cite book |last=Ben-Ari |first=Mordechai |authorlink=Mordechai Ben-Ari |date=2001 |title=कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणितीय तर्क|edition=Second |publisher=Springer |isbn=1-85233-319-7 |page=69 |quote=If <math>l</math> is a literal, <math>l^c</math> is its complement. This means that if <math>l=p</math>, then, <math>l^c=\bar p</math> and if <math>l=\bar p</math> then <math>l^c = p</math>.}}</ref> हम <math>l</math> के पूरक शाब्दिक को निरूपित करने के लिए <math>\bar{l}</math> लिख सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि <math>l\equiv x</math> है तो <math>\bar{l}</math> है <math>\lnot x</math> और यदि <math>l\equiv \lnot x</math>  तो <math>\bar{l}</math> <math>x</math> है। चिरसम्मत तर्कशास्त्र में दोहरा निषेध उन्मूलन है लेकिन [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] में नहीं होता है।
+संयोजक सामान्य रूप में किसी सूत्र के संदर्भ में, शाब्दिक शुद्ध होता है यदि सूत्र में शाब्दिक पूरक प्रदर्शित नहीं होता है।
+बूलियन फ़ंक्शंस में, चर की प्रत्येक अलग घटना, या तो व्युत्क्रम या अपूरित रूप में, शाब्दिक है। उदाहरण के लिए, यदि <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math> चर हैं तो अभिव्यक्ति <math>\bar{A}BC</math> में तीन अक्षर हैं और अभिव्यक्ति <math>\bar{A}C+\bar{B}\bar{C}</math> में चार अक्षर हैं। हालाँकि, अभिव्यक्ति <math>\bar{A}C+\bar{B}C</math> को भी चार अक्षर वाला कहा जाएगा, क्योंकि यद्यपि दो अक्षर समान हैं (<math>C</math> दो बार दिखाई देता है) ये दो अलग-अलग घटनाओं के रूप में योग्य हैं।<ref>{{cite book |last1=Godse |first1=A. P. |last2=Godse |first2=D. A. |date=2008 |title=डिजिटल लॉजिक सर्किट|publisher=Technical Publications|isbn=9788184314250 |url=https://books.google.com/books?id=fig900Q1eJ0C&q=literal}}</ref>
 == उदाहरण ==
-[[प्रस्तावात्मक कलन]] में एक शाब्दिक केवल एक [[प्रस्तावात्मक चर]] या उसका निषेध है।
+[[प्रस्तावात्मक कलन]] में एक शाब्दिक मात्र [[प्रस्तावात्मक चर]] या उसका निषेध है।
-[[विधेय कलन]] में शाब्दिक एक परमाणु सूत्र या उसका निषेध है, जहां एक परमाणु सूत्र एक [[विधेय (गणितीय तर्क)]] प्रतीक है जो कुछ [[शब्द (तर्क)]] पर लागू होता है, <math>P(t_1,\ldots,t_n)</math> स्थिर प्रतीकों, परिवर्तनीय प्रतीकों और [[फ़ंक्शन (गणित)]] प्रतीकों से शुरू होने वाली [[पुनरावर्ती परिभाषा]] के साथ। उदाहरण के लिए, <math>\neg Q(f(g(x), y, 2), x)</math> स्थिर प्रतीक 2, चर प्रतीक x, y, फ़ंक्शन प्रतीक f, g और विधेय प्रतीक Q के साथ एक नकारात्मक शाब्दिक है।
+विधेय कैलकुलस में शाब्दिक एक  परमाण्विक सूत्र या उसका निषेध है, जहां  परमाण्विक सूत्र कुछ शब्दों पर उपयुक्त विधेय प्रतीक है, <math>P(t_1,\ldots,t_n)</math> निरंतर प्रतीकों, परिवर्तनीय प्रतीकों और फलन प्रतीकों से प्रारम्भ होने वाले शब्दों के साथ पुनरावर्ती रूप से परिभाषित  है। उदाहरण के लिए, <math>\neg Q(f(g(x), y, 2), x)</math> एक ऋणात्मक शाब्दिक है जिसमें स्थिर प्रतीक 2, चर प्रतीक ''x, y'', फलन प्रतीक ''f, g'' और विधेय प्रतीक ''Q'' है।
 ==संदर्भ==
 <references />
 *{{cite book |last=Buss |first=Samuel R. |editor-last=Buss |editor-first=Samuel R. |date=1998 |title=An Introduction to Proof Theory |work=Handbook of Proof Theory |url=http://math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/handbookI/ |publisher=Elsevier |isbn=0-444-89840-9 |pages=1–78}}
-[[Category: गणितीय तर्क]] [[Category: प्रस्तावात्मक कलन]] [[Category: तर्क प्रतीक]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 07/07/2023]]
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