अल्ट्राफ़िल्टर: Difference between revisions

Latest revision as of 12:10, 10 August 2023

210 के भाजक का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, ऊपरी समूह ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक principal filter, लेकिन नहीं ultrafilter, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को सम्मलित करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अतिफिल्टर है।

अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर अतिफिल्टर $P$ एक निश्चित उपसमुच्चय होता है $P,$ एक उचित फिल्टर $P$ है इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता है $P.$

यदि $X$ एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है $\wp (X),$ समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अतिफिल्टर होता है $\wp (X)$ सामान्यतः कहा जाता है $X$ .^{[note 1]} समूह पर एक अतिफिल्टर $X$ एक परिमित योगात्मक माप (गणित) के रूप में माना जा सकता है $X$ . इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय $X$ या तो लगभग संपूर्ण माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अतिफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।

समूह सिद्धांत, नमूना सिद्धांत, सांस्थिति में अतिफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।^[1]^: 186^[2]

आंशिक अनुक्रम पर अतिफिल्टर

अनुक्रम सिद्धांत में, एक अतिफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक पोसमूह होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अतिफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।ka

औपचारिक रूप से, यदि $P$ एक समूह है, जिसे आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया है $\,\leq \,$ तब

उपसमुच्चय $F\subseteq P$ $F\subseteq P$ फिल्टर कहा जाता है $P$ $P$ यदि
- $F$ गैर-रिक्त है,
- हर एक के लिए $x,y\in F,$ वहां कुछ तत्व उपस्थित है $z\in F$ ऐसा है कि $z\leq x$ और $z\leq y,$ और
- हर एक के लिए $x\in F$ और $y\in P,$ $x\leq y$ इसका आशय $y$ में $F$ है
एक उचित उपसमुच्चय $U$ $U$ का $P$ $P$ इसे अतिफिल्टर कहा जाता है $P$ $P$ यदि
- $U$ एक फिल्टर है $P,$ और
- कोई उचित फिल्टर नहीं होता है $F$ पर $P$ वह उचित रूप से विस्तारित होता है $U$ (अर्थात, $U$ का एक उचित उपसमुच्चय है $F$ )

अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व

प्रत्येक अतिफिल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुक्त। एक प्रमुख अतिफिल्टर एक वह फिल्टर होता है जिसमें कम से कम तत्व होते है। परिणाम स्वरूप, प्रमुख अतिफिल्टर होते है $F_{a}=\{x:a\leq x\}$ कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए $a$ दिए गए पोसमूह इस स्थिति में अतिफिल्टर $a$ कहा जाता है। कोई भी अतिफिल्टर जो प्रमुख नहीं होता है उसे मुक्त (या गैर-प्रमुख) अतिफिल्टर कहा जाता है।

ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर के लिए $\wp (X),$ एक प्रमुख अतिफिल्टर में सभी उपसमूह सम्मलित होते है $X$ जिसमें एक दिया गया तत्व सम्मलित है $x\in X.$ प्रत्येक अतिफिल्टर $\wp (X)$ एक प्रमुख फिल्टर है।^[1]^: 187 इसलिए, एक अतिफिल्टर $U$ पर $\wp (X)$ प्रमुख है यदि इसमें एक परिमित समुच्चय है।^{[note 2]} यदि $X$ अनंत है, एक अतिफिल्टर $U$ पर $\wp (X)$ एक गैर-प्रमुख है यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ्रेचेट फिल्टर सम्मलित है $X.$ ^{[note 3]} यदि $X$ परिमित है, प्रत्येक अतिफिल्टर प्रमुख है।^[1]^: 187

यदि $X$ अनंत है तो फ्रेचेट फिल्टर ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर नहीं है $X$ लेकिन यह परिमित बीजगणित पर एक अतिफिल्टर है $X.$ बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फिल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अतिफिल्टर में समाहित होता है। दूसरी ओर, प्रत्येक फिल्टर एक अतिफिल्टर में समाहित होता है। वास्तव में, यह बूलियन मूल अनुक्रम सिद्धांत (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्यतः, सिद्धांत से जुड़े मुक्त अतिफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते है, चूंकि जेडएफ के कुछ नमूनों में स्पष्ट उदाहरण प्राप्त संभव होता है, उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल ने दिखाया है कि यह कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फलन लिख सकता है। जेडएफ के सिद्धांत के बिना, प्रत्येक अतिफिल्टर प्रमुख होता है।^[3]

बूलियन बीजगणित पर अतिफिल्टर

अवधारणा की एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति तब होती है जब माना गया पोसमूह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है। इस स्थिति में, अतिफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है $a$ बूलियन बीजगणित का, तत्वों में से एक $a$ और $\lnot a$ है (बाद वाला बूलियन बीजगणित नॉनमोनोटोन नियम है $a$ ):

यदि $P$ एक बूलियन बीजगणित है और $F$ एक उचित फिल्टर है $P,$ तब निम्नलिखित कथन समतुल्य है:

$F$ एक अतिफिल्टर है $P,$
$F$ एक मुख्य फिल्टर है $P,$
प्रत्येक के लिए $a\in P,$ दोनों में से एक $a\in F$ या ( $\lnot a$ ) $\in F.$ ^[1]^: 186

1. और 2. समतुल्य होने का प्रमाण भी दिया गया है (ब्यूरिस, संकप्पनवर, 2012, परिणाम 3.13, पृष्ठ 133)।^[4]

इसके अतिरिक्त, बूलियन बीजगणित पर अतिफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना) अनुक्रम और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना) समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते है (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित अनुसार है:

बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अतिफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम अनुक्रम है।
बूलियन बीजगणित के अधिकतम अनुक्रम को देखते हुए, इसका पूरक एक अतिफिल्टर होता है, और अधिकतम अनुक्रम को असत्य पर ले जाने के लिए सही, गलत पर एक अद्वितीय समरूपता होती है।
बूलियन बीजगणित पर एक अतिफिल्टर दिया गया होता है, इसका पूरक एक अधिकतम अनुक्रम होता है, और अतिफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए सही, गलत पर एक अद्वितीय समरूपता होती है।

समूह के ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर

एक मनमाना समूह दिया गया $X,$ इसका ऊर्जा समूह $\wp (X),$ समूह समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है। एक अतिफिल्टर $\wp (X)$ को अधिकांशतः ऊर्जा समूह अतिफिल्टर कहा जाता है $X$ .^{[note 1]}उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को ऊर्जासमूह स्थिति में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:

एक मनमाना समूह दिया गया है $X,$ एक अतिफिल्टर $\wp (X)$ एक समूह होता है $U$ के उपसमुच्चय से मिलकर बना होता है $X$ ऐसा है कि:

रिक्त समूह इसका एक तत्व नहीं है $U.$
यदि $A$ और $B$ के उपसमुच्चय है $X,$ समूह $A$ का एक उपसमुच्चय है $B,$ और $A$ का एक तत्व है $U,$ तब $B$ का भी एक तत्व है $U.$
यदि $A$ और $B$ के तत्व है $U,$ तो फिर प्रतिच्छेदन (समूह सिद्धांत) है $A$ और $B.$
यदि $A$ का एक उपसमुच्चय है $X,$ तो^{[note 4]} $A$ सापेक्ष पूरक है $X\setminus A$ का एक तत्व है $U.$

ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर को देखने की दूसरी विधि $\wp (X)$ इस प्रकार है: किसी दिए गए अतिफिल्टर के लिए $U$ किसी फलन को परिभाषित करता है $m$ पर $\wp (X)$ व्यवस्थित करता है $m(A)=1$ यदि $A$ का एक तत्व है $U$ और $m(A)=0$ । ऐसे फलन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब $m$ परिमित रूप से योगात्मक होता है। चूँकि, $m$ सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।

एक फिल्टर $F$ के लिए कहा जा सकता है कि यह कोई अतिफिल्टर नहीं है $m(A)=1$ यदि $A\in F$ और $m(A)=0$ यदि $X\setminus A\in F,$ $m$ ^[5]

अनुप्रयोग

ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर सांस्थिति में उपयोगी होते है, विशेष रूप से व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ स्थान के संबंध में, और उत्तपाद के निर्माण में नमूने सिद्धांत में उपयोगी होते है। व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ स्थान पर प्रत्येक अतिफिल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होते है। इसी तरह, अतिफिल्टर बूलियन बीजगणित प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक केंद्रीय भूमिका निभाते है। समूह सिद्धांत में अतिफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत मापने योग्य प्रमुख के अस्तित्व के साथ असंगत है $κ$ . यह समूह सैद्धांतिक गैर-प्रमुख फिल्टर नमूनों की ऊर्जा लेने से सिद्ध होता है $κ$ -।^[6]

समूह $G$ एक पोसमूह के सभी अतिफिल्टर $P$ प्राकृतिक विधि से सांस्थिति बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत से निकटता से संबंधित होता है। किसी भी तत्व के लिए $a$ का $P$ , और $D_{a}=\left\{U\in G:a\in U\right\}.$ है। यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब $P$ बूलियन बीजगणित होता है, क्योंकि इस स्थिति में समुच्चय है $D_{a}$ व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ सांस्थिति का आधार है $G$ . विशेषकर, जब किसी ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर पर विचार किया जाता है $\wp (S),$ तो परिणामी संस्थानिक स्थान प्रमुखता के एक अलग स्थान का संघनन होता है $|S|.$

नमूना सिद्धांत में उत्तपद निर्माण एक अनुक्रम से प्रारंभ होने वाले नए नमूने का उत्पादन करने के लिए अतिफिल्टर का उपयोग करता है $X$ -अनुक्रमित नमूना, उदाहरण के लिए, सघनता सिद्धांत को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। ऊर्जा के विशेष स्थिति में, संरचनाओं का प्राथमिक विस्तार प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, अतियथार्थवादी संख्याओं का निर्माण वास्तविक संख्याओं के उत्तपद के रूप में किया जा सकता है, जो क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ वास्तविकताओं का एक उत्तम समूह माना जाता है। परिचित संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से अतियथार्थवादी तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना होता है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण समाप्त हो जाते है, उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल अनुक्रम नहीं होता है। इसलिए इसके अतिरिक्त फलन और संबंधों को परिभाषित किया जाता है $U$ , जहाँ $U$ अनुक्रमों के सूचकांक समूह पर एक अतिफिल्टर होता है, लॉस' सिद्धांत के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है। यदि $U$ गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार भी गैर-प्रमुख होता है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, किसी समूह के स्पर्शोन्मुख शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अतिफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर विधि प्रदान करता है, यह समूह की ज्यामिति होती है। स्पर्शोन्मुख शंकु मापीय रिक्त स्थान की सीमा का विशेष उदाहरण है।

गोडेल के अस्तित्व का सत्तामूलक प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग किया जाता है जिसमे धनात्मक गुणों का समूह एक अतिफिल्टर होता है।

सामाजिक चयन सिद्धांत में, गैर-प्रमुख अतिफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फलन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता सिद्धांत के विपरीत, ऐसा नियम उन स्थितियों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो सिद्धांत प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)।^[7] मिहारा (1997,^[8] 1999)^[9] यह दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के होते है, क्योंकि वह गैर-कलन विधि या गैर-गणना योग्य होते है।

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 If $X$ happens to be partially ordered, too, particular care is needed to understand from the context whether an (ultra)filter on $\wp (X)$ or an (ultra)filter just on $X$ is meant; both kinds of (ultra)filters are quite different. Some authors^{[citation needed]} use "(ultra)filter of a partial ordered set" vs. "on an arbitrary set"; i.e. they write "(ultra)filter on $X$ " to abbreviate "(ultra)filter of $\wp (X)$ ".
↑ To see the "if" direction: If $\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\in U,$ then $\left\{x_{1}\right\}\in U,{\text{ or }}\ldots {\text{ or }}\left\{x_{n}\right\}\in U,$ by the characterization Nr.7 from Ultrafilter (set theory)#Characterizations. That is, some $\left\{x_{i}\right\}$ is the principal element of $U.$
↑ $U$ is non-principal if and only if it contains no finite set, that is, (by Nr.3 of the above characterization theorem) if and only if it contains every cofinite set, that is, every member of the Fréchet filter.
↑ Properties 1 and 3 imply that $A$ and $X\setminus A$ cannot both be elements of $U.$

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Davey, B. A.; Priestley, H. A. (1990). लैटिस और ऑर्डर का परिचय. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press.
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ग्रन्थसूची

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अग्रिम पठन

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Comfort, W. W.; Negrepontis, S. (1974), The theory of ultrafilters, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0396267
Ultrafilter at the nLab
"Mathematical Logic 15, The Ultrafilter Theorem" on YouTube

[notation_warning-1] 1.0 ^1.1 If $X$ happens to be partially ordered, too, particular care is needed to understand from the context whether an (ultra)filter on $\wp (X)$ or an (ultra)filter just on $X$ is meant; both kinds of (ultra)filters are quite different. Some authors^{[citation needed]} use "(ultra)filter of a partial ordered set" vs. "on an arbitrary set"; i.e. they write "(ultra)filter on $X$ " to abbreviate "(ultra)filter of $\wp (X)$ ".

[4] To see the "if" direction: If $\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\in U,$ then $\left\{x_{1}\right\}\in U,{\text{ or }}\ldots {\text{ or }}\left\{x_{n}\right\}\in U,$ by the characterization Nr.7 from Ultrafilter (set theory)#Characterizations. That is, some $\left\{x_{i}\right\}$ is the principal element of $U.$

[5] $U$ is non-principal if and only if it contains no finite set, that is, (by Nr.3 of the above characterization theorem) if and only if it contains every cofinite set, that is, every member of the Fréchet filter.

[exclusive_or-8] Properties 1 and 3 imply that $A$ and $X\setminus A$ cannot both be elements of $U.$

[Davey.Priestley.1990-2] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Davey, B. A.; Priestley, H. A. (1990). लैटिस और ऑर्डर का परिचय. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press.

[3] Goldbring, Isaac (2021). Marta Maggioni, Sophia Jahns. "कॉम्बिनेटरिक्स में अल्ट्राफिल्टर विधियाँ". Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach (in English). doi:10.14760/SNAP-2021-006-EN.

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[9] "अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स" (PDF).

[10] Kanamori, The Higher infinite, p. 49.

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[mihara97-12] Mihara, H. R. (1997). "एरो की प्रमेय और ट्यूरिंग संगणना" (PDF). Economic Theory. 10 (2): 257–276. CiteSeerX 10.1.1.200.520. doi:10.1007/s001990050157. S2CID 15398169. Archived from the original (PDF) on 2011-08-12Reprinted in K. V. Velupillai, S. Zambelli, and S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)

[mihara99-13] Mihara, H. R. (1999). "एरो का प्रमेय, अनगिनत एजेंट, और अधिक दृश्यमान अदृश्य तानाशाह". Journal of Mathematical Economics. 32 (3): 267–277. CiteSeerX 10.1.1.199.1970. doi:10.1016/S0304-4068(98)00061-5.

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 {{short description|Maximal proper filter}}
 {{About|[[अनुक्रम सिद्धांत]] में गणितीय अवधारणा|[[समूह (गणित)|समूह]] पर विशेष रूप से अल्ट्राफिल्टर|अल्ट्राफिल्टर (समूह सिद्धांत)|भौतिक उपकरण|अल्ट्राफिल्ट्रेशन}}
-[[File:Filter vs ultrafilter_210div.svg|thumb|210 के [[भाजक]] का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, [[ऊपरी सेट|ऊपरी समूह]] ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक {{em|principal filter}}, लेकिन नहीं {{em|ultrafilter}}, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को शामिल करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अल्ट्राफिल्टर है।]]अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, किसी दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर एक अल्ट्राफिल्टर <math>P</math> का एक निश्चित उपसमुच्चय है <math>P,</math> अर्थात् <math>P;</math>, एक [[उचित फ़िल्टर|उचित फिल्टर]] <math>P</math> इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता <math>P.</math>
+[[File:Filter vs ultrafilter_210div.svg|thumb|210 के [[भाजक]] का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, [[ऊपरी सेट|ऊपरी समूह]] ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक {{em|principal filter}}, लेकिन नहीं {{em|ultrafilter}}, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को सम्मलित करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अतिफिल्टर है।]]अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर '''अतिफिल्टर''' <math>P</math> एक निश्चित उपसमुच्चय होता है <math>P,</math> एक [[उचित फ़िल्टर|उचित फिल्टर]] <math>P</math> है इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता है <math>P.</math>
-यदि <math>X</math> एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है <math>\wp(X),</math> समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अल्ट्राफिल्टर होता है <math>\wp(X)</math> सामान्यतः कहा जाता है <math>X</math>.<ref name="notation warning" group="note">If <math>X</math> happens to be partially ordered, too, particular care is needed to understand from the context whether an (ultra)filter on <math>\wp(X)</math> or an (ultra)filter just on <math>X</math> is meant; both kinds of (ultra)filters are quite different. Some authors{{cn|date=July 2016}} use "(ultra)filter ''of'' a partial ordered set" vs. "''on'' an arbitrary set"; i.e. they write "(ultra)filter on <math>X</math>" to abbreviate "(ultra)filter of <math>\wp(X)</math>".<!---guessed from a sentence in section "Types and existence of ultrafilters" which is now commented-out---></ref> समूह पर एक अल्ट्राफिल्टर <math>X</math> एक परिमित योगात्मक [[माप (गणित)]] के रूप में माना जा सकता है <math>X</math>. इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय <math>X</math> या तो [[लगभग हर जगह|लगभग संपूर्ण]] माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।ka
+यदि <math>X</math> एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है <math>\wp(X),</math> समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अतिफिल्टर होता है <math>\wp(X)</math> सामान्यतः कहा जाता है <math>X</math>.<ref name="notation warning" group="note">If <math>X</math> happens to be partially ordered, too, particular care is needed to understand from the context whether an (ultra)filter on <math>\wp(X)</math> or an (ultra)filter just on <math>X</math> is meant; both kinds of (ultra)filters are quite different. Some authors{{cn|date=July 2016}} use "(ultra)filter ''of'' a partial ordered set" vs. "''on'' an arbitrary set"; i.e. they write "(ultra)filter on <math>X</math>" to abbreviate "(ultra)filter of <math>\wp(X)</math>".<!---guessed from a sentence in section "Types and existence of ultrafilters" which is now commented-out---></ref> समूह पर एक अतिफिल्टर <math>X</math> एक परिमित योगात्मक [[माप (गणित)]] के रूप में माना जा सकता है <math>X</math>. इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय <math>X</math> या तो [[लगभग हर जगह|लगभग संपूर्ण]] माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अतिफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।
-समूह सिद्धांत, [[ मॉडल सिद्धांत |नमूना सिद्धांत]], [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में अल्ट्राफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।<ref name="Davey.Priestley.1990">{{cite book|first1= B. A.|last1= Davey|first2= H. A.|last2= Priestley|title= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|title-link= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|publisher= Cambridge University Press|year= 1990|series= Cambridge Mathematical Textbooks}}</ref>{{rp|186}}<ref>{{Cite journal|last=Goldbring|first=Isaac|date=2021|others=Marta Maggioni, Sophia Jahns|title=कॉम्बिनेटरिक्स में अल्ट्राफिल्टर विधियाँ|url=http://publications.mfo.de/handle/mfo/3870|journal=Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach |language=en|doi=10.14760/SNAP-2021-006-EN}}</ref>
+समूह सिद्धांत, [[ मॉडल सिद्धांत |नमूना सिद्धांत]], [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में अतिफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।<ref name="Davey.Priestley.1990">{{cite book|first1= B. A.|last1= Davey|first2= H. A.|last2= Priestley|title= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|title-link= लैटिस और ऑर्डर का परिचय|publisher= Cambridge University Press|year= 1990|series= Cambridge Mathematical Textbooks}}</ref>{{rp|186}}<ref>{{Cite journal|last=Goldbring|first=Isaac|date=2021|others=Marta Maggioni, Sophia Jahns|title=कॉम्बिनेटरिक्स में अल्ट्राफिल्टर विधियाँ|url=http://publications.mfo.de/handle/mfo/3870|journal=Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach |language=en|doi=10.14760/SNAP-2021-006-EN}}</ref>
-==आंशिक अनुक्रम पर अल्ट्राफिल्टर==
+==आंशिक अनुक्रम पर अतिफिल्टर==
-अनुक्रम सिद्धांत में, एक अल्ट्राफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक [[सबसेट|पोसमूह]] होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अल्ट्राफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।
+अनुक्रम सिद्धांत में, एक अतिफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक [[सबसेट|पोसमूह]] होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अतिफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।ka
 औपचारिक रूप से, यदि <math>P</math> एक समूह है, जिसे आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया है <math>\,\leq\,</math> तब
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 ** हर एक के लिए <math>x, y \in F,</math> वहां कुछ तत्व उपस्थित है <math>z \in F</math> ऐसा है कि <math>z \leq x</math> और <math>z \leq y,</math> और
 ** हर एक के लिए <math>x \in F</math> और <math>y \in P,</math> <math>x \leq y</math> इसका आशय <math>y</math> में <math>F</math> है
-* एक उचित उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>P</math> इसे अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है <math>P</math> यदि
+* एक उचित उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>P</math> इसे अतिफिल्टर कहा जाता है <math>P</math> यदि
 ** <math>U</math> एक फिल्टर है <math>P,</math> और
 ** कोई उचित फिल्टर नहीं होता है <math>F</math> पर <math>P</math> वह उचित रूप से विस्तारित होता है <math>U</math> (अर्थात, <math>U</math> का एक उचित उपसमुच्चय है <math>F</math>)
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 ==={{vanchor|अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व|प्रकार}}===
-प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुक्त। एक प्रिंसिपल (या स्थिर, या तुच्छ) अल्ट्राफिल्टर एक फिल्टर है जिसमें कम से कम तत्व होते है। नतीजतन, प्रमुख अल्ट्राफिल्टर फॉर्म के होते है <math>F_a = \{x : a \leq x\}</math> कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए <math>a</math> दिए गए पोसमूह का. इस मामले में <math>a</math> कहा जाता है {{em|principal element}}अल्ट्राफिल्टर का। कोई भी अल्ट्राफिल्टर जो प्रिंसिपल नहीं है उसे फ्री (या गैर-प्रिंसिपल) अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है।
+प्रत्येक अतिफिल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुक्त। एक प्रमुख अतिफिल्टर एक वह फिल्टर होता है जिसमें कम से कम तत्व होते है। परिणाम स्वरूप, प्रमुख अतिफिल्टर होते है <math>F_a = \{x : a \leq x\}</math> कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए <math>a</math> दिए गए पोसमूह इस स्थिति में अतिफिल्टर <math>a</math> कहा जाता है। कोई भी अतिफिल्टर जो प्रमुख नहीं होता है उसे मुक्त (या गैर-प्रमुख) अतिफिल्टर कहा जाता है।
-पॉवरसमूह पर अल्ट्राफिल्टर के लिए <math>\wp(X),</math> एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर में सभी उपसमूह शामिल होते है <math>X</math> जिसमें एक दिया गया तत्व शामिल है <math>x \in X.</math> प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर चालू <math>\wp(X)</math> वह भी एक [[प्रमुख फ़िल्टर|प्रमुख फिल्टर]] इसी रूप का है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}} इसलिए, एक अल्ट्राफिल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित समुच्चय हो।<ref group="note">To see the "if" direction: If <math>\left\{x_1, \ldots, x_n\right\} \in U,</math> then <math>\left\{x_1\right\} \in U, \text{ or } \ldots \text{ or } \left\{x_n\right\} \in U,</math> by the characterization Nr.7 from [[Ultrafilter (set theory)#Characterizations]]. That is, some <math>\left\{x_i\right\}</math> is the principal element of <math>U.</math></ref> यदि <math>X</math> अनंत है, एक अल्ट्राफिल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> इसलिए यह गैर-प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ़्रेचेट फिल्टर शामिल है <math>X.</math><ref group="note"><math>U</math> is non-principal if and only if it contains no finite set, that is, (by Nr.3 of the [[#Special case: ultrafilter on the powerset of a set|above]] characterization theorem) if and only if it contains every cofinite set, that is, every member of the Fréchet filter.</ref> यदि <math>X</math> परिमित है, प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}}
+ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर के लिए <math>\wp(X),</math> एक प्रमुख अतिफिल्टर में सभी उपसमूह सम्मलित होते है <math>X</math> जिसमें एक दिया गया तत्व सम्मलित है <math>x \in X.</math> प्रत्येक अतिफिल्टर <math>\wp(X)</math> एक [[प्रमुख फ़िल्टर|प्रमुख फिल्टर]] है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}} इसलिए, एक अतिफिल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> प्रमुख है यदि इसमें एक परिमित समुच्चय है।<ref group="note">To see the "if" direction: If <math>\left\{x_1, \ldots, x_n\right\} \in U,</math> then <math>\left\{x_1\right\} \in U, \text{ or } \ldots \text{ or } \left\{x_n\right\} \in U,</math> by the characterization Nr.7 from [[Ultrafilter (set theory)#Characterizations]]. That is, some <math>\left\{x_i\right\}</math> is the principal element of <math>U.</math></ref> यदि <math>X</math> अनंत है, एक अतिफिल्टर <math>U</math> पर <math>\wp(X)</math> एक गैर-प्रमुख है यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ्रेचेट फिल्टर सम्मलित है <math>X.</math><ref group="note"><math>U</math> is non-principal if and only if it contains no finite set, that is, (by Nr.3 of the [[#Special case: ultrafilter on the powerset of a set|above]] characterization theorem) if and only if it contains every cofinite set, that is, every member of the Fréchet filter.</ref> यदि <math>X</math> परिमित है, प्रत्येक अतिफिल्टर प्रमुख है।<ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|187}}
-यदि <math>X</math> अनंत है तो फ़्रेचेट फिल्टर पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर नहीं है <math>X</math> लेकिन यह परिमित-कोफिनिट बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर है <math>X.</math> बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फिल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अल्ट्राफिल्टर ([[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]] देखें) में समाहित होता है और इसलिए मुक्त अल्ट्राफिल्टर उपस्थित होते है, लेकिन प्रमाणों में फॉर्म में [[पसंद का सिद्धांत]] (एसी) शामिल होता है ज़ोर्न की लेम्मा का। दूसरी ओर, यह कथन कि प्रत्येक फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित है, इसका अर्थ एसी नहीं है। वास्तव में, यह [[बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय]] (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों और पसंद के सिद्धांत (जेडएफसी) द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्यतः, पसंद के सिद्धांत से जुड़े प्रमाण मुक्त अल्ट्राफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते है, हालांकि ZFC के कुछ नमूनाों में स्पष्ट उदाहरण मिलना संभव है; उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल|गोडेल ने दिखाया कि यह रचनात्मक ब्रह्मांड में किया जा सकता है जहां कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फ़ंक्शन लिख सकता है। ZF में पसंद के सिद्धांत के बिना, यह संभव है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख हो।<ref name="Halbeisen2012">{{cite book|first= L. J.|last= Halbeisen|title= कॉम्बिनेटोरियल सेट थ्योरी|publisher= Springer|year= 2012|series= Springer Monographs in Mathematics}}</ref>
-==बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर==
-अवधारणा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब माना गया पोसमूह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है। इस मामले में, अल्ट्राफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है <math>a</math> बूलियन बीजगणित का, बिल्कुल तत्वों में से एक <math>a</math> और <math>\lnot a</math> (बाद वाला बूलियन बीजगणित#नॉनमोनोटोन नियम है <math>a</math>):
+यदि <math>X</math> अनंत है तो फ्रेचेट फिल्टर ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर नहीं है <math>X</math> लेकिन यह परिमित बीजगणित पर एक अतिफिल्टर है <math>X.</math> बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फिल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अतिफिल्टर में समाहित होता है। दूसरी ओर, प्रत्येक फिल्टर एक अतिफिल्टर में समाहित होता है। वास्तव में, यह [[बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय|बूलियन मूल अनुक्रम सिद्धांत]] (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्यतः, सिद्धांत से जुड़े मुक्त अतिफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते है, चूंकि जेडएफ के कुछ नमूनों में स्पष्ट उदाहरण प्राप्त संभव होता है, उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल ने दिखाया है कि यह कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फलन लिख सकता है। जेडएफ के सिद्धांत के बिना, प्रत्येक अतिफिल्टर प्रमुख होता है।<ref name="Halbeisen2012">{{cite book|first= L. J.|last= Halbeisen|title= कॉम्बिनेटोरियल सेट थ्योरी|publisher= Springer|year= 2012|series= Springer Monographs in Mathematics}}</ref>
+==बूलियन बीजगणित पर अतिफिल्टर==
-यदि <math>P</math> एक बूलियन बीजगणित है और <math>F</math> एक उचित फिल्टर चालू है <math>P,</math> तब निम्नलिखित कथन समतुल्य है:
+अवधारणा की एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति तब होती है जब माना गया पोसमूह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है। इस स्थिति में, अतिफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है <math>a</math> बूलियन बीजगणित का, तत्वों में से एक <math>a</math> और <math>\lnot a</math> है (बाद वाला बूलियन बीजगणित नॉनमोनोटोन नियम है <math>a</math>):
-# <math>F</math> एक अल्ट्राफिल्टर चालू है <math>P,</math>
-# <math>F</math> एक [[प्राइम फ़िल्टर|प्राइम फिल्टर]] चालू है <math>P,</math>
+यदि <math>P</math> एक बूलियन बीजगणित है और <math>F</math> एक उचित फिल्टर है <math>P,</math> तब निम्नलिखित कथन समतुल्य है:
+# <math>F</math> एक अतिफिल्टर है <math>P,</math>
+# <math>F</math> एक [[प्राइम फ़िल्टर|मुख्य फिल्टर]] है <math>P,</math>
 # प्रत्येक के लिए <math>a \in P,</math> दोनों में से एक <math>a \in F</math> या (<math>\lnot a</math>) <math>\in F.</math><ref name="Davey.Priestley.1990"/>{{rp|186}}
 . और 2. समतुल्य होने का प्रमाण भी दिया गया है (ब्यूरिस, संकप्पनवर, 2012, परिणाम 3.13, पृष्ठ 133)।<ref name="Burris.Sankappanavar.2012">{{cite book|url= http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf|isbn=978-0-9880552-0-9|first1= Stanley N.|last1= Burris|first2= H. P.|last2= Sankappanavar|title=सार्वभौमिक बीजगणित में एक पाठ्यक्रम|year=2012 }}</ref>
-इसके अलावा, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना)#आदर्श और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना)#समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते है (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित नुसार:
-* बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को {सत्य, असत्य} पर देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अल्ट्राफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम आदर्श है।
-* बूलियन बीजगणित के अधिकतम आदर्श को देखते हुए, इसका पूरक एक अल्ट्राफिल्टर है, और अधिकतम आदर्श को गलत पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।
-* बूलियन बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर दिया गया है, इसका पूरक एक अधिकतम आदर्श है, और अल्ट्राफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।
-==समूह के पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर==
+इसके अतिरिक्त, बूलियन बीजगणित पर अतिफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना) अनुक्रम और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना) समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते है (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित अनुसार है:
+* बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अतिफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम अनुक्रम है।
+* बूलियन बीजगणित के अधिकतम अनुक्रम को देखते हुए, इसका पूरक एक अतिफिल्टर होता है, और अधिकतम अनुक्रम को असत्य पर ले जाने के लिए सही, गलत पर एक अद्वितीय समरूपता होती है।
+* बूलियन बीजगणित पर एक अतिफिल्टर दिया गया होता है, इसका पूरक एक अधिकतम अनुक्रम होता है, और अतिफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए सही, गलत पर एक अद्वितीय समरूपता होती है।
+==समूह के ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर==
 {{Main|अल्ट्राफिल्टर (समूह सिद्धांत)}}
-एक मनमाना समूह दिया गया <math>X,</math> इसका पावर समूह <math>\wp(X),</math> समूह समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है; इसलिए उपरोक्त अनुभाग के परिणाम आवेदन करना। एक (अल्ट्रा)फिल्टर चालू <math>\wp(X)</math> इसे अक्सर केवल (अल्ट्रा)फिल्टर ऑन कहा जाता है <math>X</math>.<ref name="notation warning" group=note/>उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को पावरसमूह मामले में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:
+एक मनमाना समूह दिया गया <math>X,</math> इसका ऊर्जा समूह <math>\wp(X),</math> समूह समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है। एक अतिफिल्टर <math>\wp(X)</math> को अधिकांशतः ऊर्जा समूह अतिफिल्टर कहा जाता है <math>X</math>.<ref name="notation warning" group=note/>उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को ऊर्जासमूह स्थिति में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:
-एक मनमाना समूह दिया गया <math>X,</math> एक अल्ट्राफिल्टर चालू <math>\wp(X)</math> एक समूह है <math>U</math> के उपसमुच्चय से मिलकर बना है <math>X</math> ऐसा है कि:
+एक मनमाना समूह दिया गया है <math>X,</math> एक अतिफिल्टर <math>\wp(X)</math> एक समूह होता है <math>U</math> के उपसमुच्चय से मिलकर बना होता है <math>X</math> ऐसा है कि:
-#खाली समूह इसका एक तत्व नहीं है <math>U.</math>
+#रिक्त समूह इसका एक तत्व नहीं है <math>U.</math>
 #यदि <math>A</math> और <math>B</math> के उपसमुच्चय है <math>X,</math> समूह <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है <math>B,</math> और <math>A</math> का एक तत्व है <math>U,</math> तब <math>B</math> का भी एक तत्व है <math>U.</math>
-#यदि <math>A</math> और <math>B</math> के तत्व है <math>U,</math> तो फिर [[ प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) |प्रतिच्छेदन (समूह सिद्धांत)]] भी ऐसा ही है <math>A</math> और <math>B.</math>
+#यदि <math>A</math> और <math>B</math> के तत्व है <math>U,</math> तो फिर [[ प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) |प्रतिच्छेदन (समूह सिद्धांत)]] है <math>A</math> और <math>B.</math>
-#यदि <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है <math>X,</math> तो कोई<ref name="exclusive or" group="note">Properties 1 and 3 imply that <math>A</math> and <math>X \setminus A</math> cannot {{em|both}} be elements of <math>U.</math></ref> <math>A</math> या इसका सापेक्ष पूरक <math>X \setminus A</math> का एक तत्व है <math>U.</math>
+#यदि <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है <math>X,</math> तो<ref name="exclusive or" group="note">Properties 1 and 3 imply that <math>A</math> and <math>X \setminus A</math> cannot {{em|both}} be elements of <math>U.</math></ref> <math>A</math> सापेक्ष पूरक है <math>X \setminus A</math> का एक तत्व है <math>U.</math>
-पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर को देखने का दूसरा तरीका <math>\wp(X)</math> इस प्रकार है: किसी दिए गए अल्ट्राफिल्टर के लिए <math>U</math> किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करें <math>m</math> पर <math>\wp(X)</math> व्यवस्थित करके <math>m(A) = 1</math> यदि <math>A</math> का एक तत्व है <math>U</math> और <math>m(A) = 0</math> अन्यथा। ऐसे फ़ंक्शन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब <math>m</math> परिमित रूप से योगात्मक है, और इसलिए a {{em|[[Content (measure theory)|content]]}} पर <math>\wp(X),</math> और के तत्वों की प्रत्येक संपत्ति <math>X</math> या तो लगभग हर जगह सच है या लगभग हर जगह झूठ। हालाँकि, <math>m</math> सामान्यतः नहीं है {{em|countably additive}}, और इसलिए सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।
+ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर को देखने की दूसरी विधि <math>\wp(X)</math> इस प्रकार है: किसी दिए गए अतिफिल्टर के लिए <math>U</math> किसी फलन को परिभाषित करता है <math>m</math> पर <math>\wp(X)</math> व्यवस्थित करता है <math>m(A) = 1</math> यदि <math>A</math> का एक तत्व है <math>U</math> और <math>m(A) = 0</math> । ऐसे फलन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब <math>m</math> परिमित रूप से योगात्मक होता है। चूँकि, <math>m</math> सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।
-एक फिल्टर के लिए <math>F</math> कोई कह सकता है कि यह कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं है <math>m(A) = 1</math> यदि <math>A \in F</math> और <math>m(A) = 0</math> यदि <math>X \setminus A \in F,</math> छोड़कर <math>m</math> अन्यत्र अपरिभाषित<ref>{{Cite web |title=अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स|url=https://math.berkeley.edu/~kruckman/ultrafilters.pdf}}</ref>
+एक फिल्टर <math>F</math> के लिए कहा जा सकता है कि यह कोई अतिफिल्टर नहीं है <math>m(A) = 1</math> यदि <math>A \in F</math> और <math>m(A) = 0</math> यदि <math>X \setminus A \in F,</math> <math>m</math><ref>{{Cite web |title=अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स|url=https://math.berkeley.edu/~kruckman/ultrafilters.pdf}}</ref>
 ==अनुप्रयोग==
-पावर समूह पर अल्ट्राफिल्टर सांस्थिति में उपयोगी होते है, विशेष रूप से [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] स्पेस के संबंध में, और [[अल्ट्राप्रोडक्ट]] के निर्माण में नमूना सिद्धांत में। कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होता है। इसी तरह, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते है|स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय। समूह सिद्धांत में अल्ट्राफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत [[मापने योग्य कार्डिनल]] के अस्तित्व के साथ असंगत है {{mvar|κ}}. यह समूह सैद्धांतिक ब्रह्मांड मॉड्यूलो ए की अल्ट्रापॉवर लेने से सिद्ध होता है {{mvar|κ}}-पूर्ण, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर।<ref> Kanamori, The Higher infinite, p. 49.</ref>
+ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर सांस्थिति में उपयोगी होते है, विशेष रूप से [[ सघन स्थान |व्युत्पत्ति]] [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] के संबंध में, और [[अल्ट्राप्रोडक्ट|उत्तपाद]] के निर्माण में नमूने सिद्धांत में उपयोगी होते है। व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ स्थान पर प्रत्येक अतिफिल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होते है। इसी तरह, अतिफिल्टर बूलियन बीजगणित प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक केंद्रीय भूमिका निभाते है। समूह सिद्धांत में अतिफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत [[मापने योग्य कार्डिनल|मापने योग्य प्रमुख]] के अस्तित्व के साथ असंगत है {{mvar|κ}}. यह समूह सैद्धांतिक गैर-प्रमुख फिल्टर नमूनों की ऊर्जा लेने से सिद्ध होता है {{mvar|κ}}-।<ref> Kanamori, The Higher infinite, p. 49.</ref>
-समूह <math>G</math> एक पोसमूह के सभी अल्ट्राफिल्टर का <math>P</math> प्राकृतिक तरीके से सांस्थिति बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व प्रमेय से निकटता से संबंधित है। किसी भी तत्व के लिए <math>a</math> का <math>P</math>, होने देना <math>D_a = \left\{ U \in G : a \in U \right\}.</math> यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब <math>P</math> यह फिर से एक बूलियन बीजगणित है, क्योंकि इस स्थिति में सभी का समुच्चय है <math>D_a</math> कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ सांस्थिति का आधार है <math>G</math>. विशेषकर, जब किसी पावरसमूह पर अल्ट्राफिल्टर पर विचार किया जा रहा हो <math>\wp(S),</math> परिणामी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] कार्डिनैलिटी के एक अलग स्थान का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन है <math>| S |.</math>
-नमूना सिद्धांत में अल्ट्राप्रोडक्ट निर्माण एक अनुक्रम से शुरू होने वाले नए नमूना का उत्पादन करने के लिए अल्ट्राफिल्टर का उपयोग करता है <math>X</math>-अनुक्रमित नमूना; उदाहरण के लिए, [[सघनता प्रमेय]] को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।
+समूह <math>G</math> एक पोसमूह के सभी अतिफिल्टर <math>P</math> प्राकृतिक विधि से सांस्थिति बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत से निकटता से संबंधित होता है। किसी भी तत्व के लिए <math>a</math> का <math>P</math>, और <math>D_a = \left\{ U \in G : a \in U \right\}.</math>है। यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब <math>P</math> बूलियन बीजगणित होता है, क्योंकि इस स्थिति में समुच्चय है <math>D_a</math> व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ सांस्थिति का आधार है <math>G</math>. विशेषकर, जब किसी ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर पर विचार किया जाता है <math>\wp(S),</math> तो परिणामी [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्थान]] प्रमुखता के एक अलग स्थान का संघनन होता है <math>| S |.</math>
-अल्ट्रापॉवर के विशेष मामले में, किसी को संरचनाओं का [[प्राथमिक विस्तार]] मिलता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, हाइपररियल संख्याओं का निर्माण [[वास्तविक संख्या]]ओं के अल्ट्राप्रोडक्ट के रूप में किया जा सकता है, जो प्रवचन के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ प्रत्येक वास्तविक की पहचान करके वास्तविकताओं का एक [[सुपरसेट|सुपरसमूह]] माना जाता है। परिचित कार्यों और संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से हाइपररियल तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण नष्ट हो जायेंगे; उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल अनुक्रम नहीं है। इसलिए इसके बजाय फ़ंक्शंस और संबंधों को Ultraproduct#Definition परिभाषित किया गया है <math>U</math>, कहाँ <math>U</math> अनुक्रमों के [[सूचकांक सेट|सूचकांक समूह]] पर एक अल्ट्राफिल्टर है; Łoś' प्रमेय के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है जिन्हें [[प्रथम-क्रम तर्क]] में बताया जा सकता है। यदि <math>U</math> गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार गैर-तुच्छ है।
+नमूना सिद्धांत में उत्तपद निर्माण एक अनुक्रम से प्रारंभ होने वाले नए नमूने का उत्पादन करने के लिए अतिफिल्टर का उपयोग करता है <math>X</math>-अनुक्रमित नमूना, उदाहरण के लिए, [[सघनता प्रमेय|सघनता सिद्धांत]] को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। ऊर्जा के विशेष स्थिति में, संरचनाओं का [[प्राथमिक विस्तार]] प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, अतियथार्थवादी संख्याओं का निर्माण [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के उत्तपद के रूप में किया जा सकता है, जो क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ वास्तविकताओं का एक [[सुपरसेट|उत्तम समूह]] माना जाता है। परिचित संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से अतियथार्थवादी तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना होता है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण समाप्त हो जाते है, उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल अनुक्रम नहीं होता है। इसलिए इसके अतिरिक्त फलन और संबंधों को परिभाषित किया जाता है <math>U</math>, जहाँ <math>U</math> अनुक्रमों के [[सूचकांक सेट|सूचकांक समूह]] पर एक अतिफिल्टर होता है, लॉस' सिद्धांत के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है। यदि <math>U</math> गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार भी गैर-प्रमुख होता है।
-[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, किसी समूह के अल्ट्रालिमिट#एसिम्प्टोटिक शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर तरीका प्रदान करता है {{em|looking at the group from infinity}}, यह समूह की बड़े पैमाने की ज्यामिति है। एसिम्प्टोटिक शंकु मीट्रिक रिक्त स्थान की [[ Ultralimit |Ultralimit]] ्स के विशेष उदाहरण है।
+[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, किसी समूह के स्पर्शोन्मुख शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अतिफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर विधि प्रदान करता है, यह समूह की ज्यामिति होती है। स्पर्शोन्मुख शंकु मापीय रिक्त स्थान की [[ Ultralimit |सीमा]] का विशेष उदाहरण है।
-गोडेल का ईश्वर के अस्तित्व का ऑन्टोलॉजिकल प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग करता है कि सभी सकारात्मक गुणों का समूह एक अल्ट्राफिल्टर है।
+गोडेल के अस्तित्व का सत्तामूलक प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग किया जाता है जिसमे धनात्मक गुणों का समूह एक अतिफिल्टर होता है।
-[[सामाजिक चयन सिद्धांत]] में, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फ़ंक्शन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता प्रमेय के विपरीत, ऐसा नियम उन शर्तों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)।<ref>{{Cite journal|last1 = Kirman|first1 = A.|last2 = Sondermann|first2 = D.|title = एरो का प्रमेय, अनेक एजेंट और अदृश्य तानाशाह|journal = Journal of Economic Theory|volume = 5|issue = 2|pages = 267–277|year = 1972|doi = 10.1016/0022-0531(72)90106-8}}</ref> मिहारा (1997,<ref name=mihara97>{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो की प्रमेय और ट्यूरिंग संगणना|journal = Economic Theory|volume = 10|issue = 2|pages = 257–276|year = 1997|postscript = Reprinted in K. V. Velupillai, S. Zambelli, and S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.|doi = 10.1007/s001990050157|url = http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|url-status = dead|archive-url = https://web.archive.org/web/20110812013901/http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|archive-date = 2011-08-12|citeseerx = 10.1.1.200.520|s2cid = 15398169 }}</ref> 1999)<ref name=mihara99>{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो का प्रमेय, अनगिनत एजेंट, और अधिक दृश्यमान अदृश्य तानाशाह|journal = [[Journal of Mathematical Economics]]|volume = 32|issue = 3|pages = 267–277|year = 1999|doi = 10.1016/S0304-4068(98)00061-5|url= http://econpapers.repec.org/paper/wpawuwppe/9705001.htm|citeseerx = 10.1.1.199.1970}}</ref> हालाँकि, दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के है, क्योंकि वे गैर-एल्गोरिदमिक या गैर-गणना योग्य है।
+[[सामाजिक चयन सिद्धांत]] में, गैर-प्रमुख अतिफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फलन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता सिद्धांत के विपरीत, ऐसा नियम उन स्थितियों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो सिद्धांत प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)।<ref>{{Cite journal|last1 = Kirman|first1 = A.|last2 = Sondermann|first2 = D.|title = एरो का प्रमेय, अनेक एजेंट और अदृश्य तानाशाह|journal = Journal of Economic Theory|volume = 5|issue = 2|pages = 267–277|year = 1972|doi = 10.1016/0022-0531(72)90106-8}}</ref> मिहारा (1997,<ref name="mihara97">{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो की प्रमेय और ट्यूरिंग संगणना|journal = Economic Theory|volume = 10|issue = 2|pages = 257–276|year = 1997|postscript = Reprinted in K. V. Velupillai, S. Zambelli, and S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.|doi = 10.1007/s001990050157|url = http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|url-status = dead|archive-url = https://web.archive.org/web/20110812013901/http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdf|archive-date = 2011-08-12|citeseerx = 10.1.1.200.520|s2cid = 15398169 }}</ref> 1999)<ref name="mihara99">{{Cite journal|last1 = Mihara|first1 = H. R.|title = एरो का प्रमेय, अनगिनत एजेंट, और अधिक दृश्यमान अदृश्य तानाशाह|journal = [[Journal of Mathematical Economics]]|volume = 32|issue = 3|pages = 267–277|year = 1999|doi = 10.1016/S0304-4068(98)00061-5|url= http://econpapers.repec.org/paper/wpawuwppe/9705001.htm|citeseerx = 10.1.1.199.1970}}</ref> यह दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के होते है, क्योंकि वह गैर-कलन विधि या गैर-गणना योग्य होते है।
 ==यह भी देखें==
-* {{annotated link|Filter (mathematics)}}
+* {{annotated link|फिल्टर (गणित)}}
-* {{annotated link|Filter (set theory)}}
+* {{annotated link|फिल्टर (समूह सिद्धांत)}}
-* {{annotated link|Filters in topology}}
+* {{annotated link|टोपोलॉजी में फिल्टर}}
-* {{annotated link|The ultrafilter lemma}}
+* {{annotated link|अल्ट्राफिल्टर लेम्मा}}
-* {{annotated link|Universal net}}
+* {{annotated link|सार्वभौमिक नेट}}
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 101: / Line 104: @@
 *{{nlab|title=Ultrafilter|id=ultrafilter}}
 *{{YouTube|id=0H2rf8bluOE|title="Mathematical Logic 15, The Ultrafilter Theorem"}}
-[[Category: आदेश सिद्धांत]] [[Category: सेट के परिवार]] [[Category: अमानक विश्लेषण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from July 2016]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 maint]]
 [[Category:Created On 03/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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आंशिक अनुक्रम पर अतिफिल्टर

अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व

बूलियन बीजगणित पर अतिफिल्टर

समूह के ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर

अनुप्रयोग

यह भी देखें

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आंशिक अनुक्रम पर अतिफिल्टर

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व

बूलियन बीजगणित पर अतिफिल्टर

समूह के ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर

अनुप्रयोग

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