ट्रेन ट्रैक (गणित)

ट्रिपल टोरस पर एक रेल ट्रैक।

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक रेल ट्रैक एक सतह पर अंतर्निहित वक्रों का एक वर्ग होता है, जो निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करता है:

1. वक्र शीर्ष एक सीमित समूह पर मिलते है जिन्हें स्विच कहा जाता है।
2. स्विच से दूर, मोड़ सुचारु होते है और एक-दूसरे को नहीं छूते है।
3. प्रत्येक स्विच पर, तीन वक्र एक ही स्पर्श रेखा से मिलते है, जिसमें दो वक्र एक दिशा से और एक दूसरी दिशा से प्रवेश करते है।

गणित में रेल पटरियों का मुख्य अनुप्रयोग सतहों के स्तरीकरण (गणित) का अध्ययन करता है, अर्थात, सतहों के बंद उपसमूहों को सुचारु वक्रों के संघों में विभाजित करता है। रेल की पटरियों का उपयोग आलेख बनाने में भी किया जाता है।

रेल की पटरियाँ और स्तरीकरण

रेल ट्रैक में एक स्विच, और स्तरीकरण का संबंधित भाग।

किसी सतह के एक बंद उपसमुच्चय का सुचारु वक्रों में विभाजन होता है। रेल की पटरियों का अध्ययन मूल रूप से निम्नलिखित अवलोकन से प्रेरित होता है: यदि किसी सतह पर सामान्य स्तरीकरण को निकट दृष्टिदोष से पीड़ित व्यक्ति दूर से देखता है, तो उसे यह रेल की पटरी की तरह दिखाई देती है।

रेल ट्रैक में एक स्विच एक बिंदु को प्रतिरूपित करता है जहां स्तरीकरण में समानांतर वक्रों की दो स्थितियां एक स्थिति में विलय हो जाती है, जैसा कि चित्रण में दिखाया गया है। चूँकि स्विच में तीन वक्र होते है जो एक ही बिंदु पर समाप्त होते है और एक-दूसरे को काटते है, स्तरीकरण में वक्रों का कोई समापन बिंदु नहीं होता है और वे एक-दूसरे को नहीं काटते है।

स्तरीकरण के लिए रेल पटरियों के इस अनुप्रयोग के लिए, अधिकांशतः उन आकृतियों को सीमित करना महत्वपूर्ण होता है जो ट्रैक के घुमावों के बीच सतह से जुड़े घटकों द्वारा बनाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, पेन्नर और हैरर की आवश्यकता होती है, जब क्यूप्स के साथ एक सुचारु सतह बनाने के लिए सीमा के साथ उन्हें चिपकाया जाता है, तो ऋणात्मक क्यूस्ड यूलर विशेषता उत्पन्न होती है।

वजन वाले रेल ट्रैक, या भारित रेल ट्रैक या मापे गए रेल ट्रैक में एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या वाला रेल ट्रैक होता है, जो प्रत्येक शाखा को दिया जाता है। वज़न का उपयोग यह प्रतिरूपित करने के लिए किया जा सकता है कि स्तरीकरण से वक्रों के समानांतर वर्गों में कौन से वक्र स्विच के किन किनारों पर विभाजित है। वजन को निम्नलिखित स्विच स्थिति को पूरा करता है: एक स्विच पर आने वाली शाखा को दिया गया वजन उस स्विच से बाहर जाने वाली शाखाओं को दिए गए वजन के योग के बराबर होता है। यदि प्रत्येक ऊर्ध्वाधर फाइबर में गैर-तुच्छ प्रतिच्छेदन होता है, तो स्तरीकरण पूरी तरह से रेल ट्रैक द्वारा किया जाता है।

संदर्भ

• Penner, R. C., with Harer, J. L. (1992). Combinatorics of Train Tracks. Princeton University Press, Annals of Mathematics Studies. ISBN 0-691-02531-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)