समूह परिवार: Difference between revisions

Latest revision as of 09:02, 16 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, विशेष रूप से उस क्षेत्र का उपयोग सांख्यिकी में किया जाता है, संभाव्यता वितरण का समूह सदस्य ऐसा सदस्य है जो निश्चित वितरण के साथ यादृच्छिक चर को परिवर्तनों के उपयुक्त सदस्य जैसे स्थान-पैमाने सदस्य, या अन्यथा सदस्य के अंतर्गत प्राप्त किया जाता है। समूह द्वारा संभाव्यता वितरण पर क्रिया की जाती है। ^[1]

समूह सदस्य के रूप में वितरण के विशेष सदस्य पर विचार करने से, सांख्यिकी सिद्धांत में, सहायक सांख्यिकी की पहचान हो सकती है।^[2]

समूह सदस्यों के प्रकार

निश्चित वितरण के साथ यादृच्छिक चर को कुछ उपयुक्त परिवर्तन (फलन) के अंतर्गत समूह सदस्य उत्पन्न किया जा सकता है।^[1]विभिन्न प्रकार के समूह सदस्य इस प्रकार हैं:

स्थान सदस्य

यह सदस्य यादृच्छिक चर में स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। मान लीजिये $X$ यादृच्छिक चर हो और $a\in R$ स्थिरांक है। तब ${\textstyle Y=X+a}$ है:

F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X+a\leq y)=P(X\leq y-a)=F_{X}(y-a)

निश्चित वितरण के लिए, जैसे

a

से भिन्न होता है

-\infty

और

\infty

, जो वितरण प्राप्त करते हैं वह स्थान सदस्य का निर्माण करते हैं।

सदिश सदस्य

यह सदस्य यादृच्छिक चर को स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। मान लीजिये $X$ यादृच्छिक चर हो और $c\in R^{+}$ स्थिरांक है तब ${\textstyle Y=cX}$ है:

F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX\leq y)=P(X\leq y/c)=F_{X}(y/c)

स्थान - सदिश सदस्य यह सदस्य यादृच्छिक चर को स्थिरांक से गुणा करके और फिर उसमें कुछ अन्य स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। मान लीजिये

X

यादृच्छिक चर हो,

a\in R

और

c\in R^{+}

स्थिरांक हो, तब

Y=cX+a

है,

F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX+a\leq y)=P(X\leq (y-a)/c)=F_{X}((y-a)/c)

ध्यान दें कि यह महत्वपूर्ण है कि

{\textstyle a\in R}

और

c\in R^{+}

निम्नलिखित अनुभाग में उल्लिखित गुणों को संतुष्ट करने के लिए है।

परिवर्तनों के गुण

यादृच्छिक चर पर प्रारम्भ परिवर्तन (फलन) को निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना चाहिए।।^[1]

रचना के अंतर्गत समापन
व्युत्क्रमण के अंतर्गत विवृत होना

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Lehmann, E. L.; George Casella (1998). बिंदु अनुमान का सिद्धांत (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98502-6.
↑ Cox, D.R. (2006) Principles of Statistical Inference, CUP. ISBN 0-521-68567-2 (Section 4.4.2)

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[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Lehmann, E. L.; George Casella (1998). बिंदु अनुमान का सिद्धांत (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98502-6.

[2] Cox, D.R. (2006) Principles of Statistical Inference, CUP. ISBN 0-521-68567-2 (Section 4.4.2)

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-संभाव्यता सिद्धांत में, विशेष रूप से उस क्षेत्र का उपयोग आंकड़ों में किया जाता है, संभाव्यता वितरण का  समूह परिवार  परिवार है जो  निश्चित वितरण के साथ  यादृच्छिक चर को परिवर्तनों के  उपयुक्त परिवार जैसे स्थान-पैमाने परिवार, या अन्यथा  परिवार के अधीन करके प्राप्त किया जाता है। संभाव्यता वितरण का [[समूह क्रिया (गणित)]]  समूह द्वारा (गणित)।<ref name=":0">{{cite book|last=Lehmann|first=E. L.|author2=George Casella|title=बिंदु अनुमान का सिद्धांत|publisher=Springer|date=1998|edition=2nd|isbn=0-387-98502-6}}</ref>
+संभाव्यता सिद्धांत में, विशेष रूप से उस क्षेत्र का उपयोग सांख्यिकी में किया जाता है, संभाव्यता वितरण का '''समूह सदस्य''' ऐसा सदस्य है जो निश्चित वितरण के साथ यादृच्छिक चर को परिवर्तनों के उपयुक्त सदस्य जैसे स्थान-पैमाने सदस्य, या अन्यथा सदस्य के अंतर्गत प्राप्त किया जाता है। [[समूह क्रिया (गणित)|समूह]] द्वारा संभाव्यता वितरण पर [[समूह क्रिया (गणित)|क्रिया]] की जाती है। <ref name=":0">{{cite book|last=Lehmann|first=E. L.|author2=George Casella|title=बिंदु अनुमान का सिद्धांत|publisher=Springer|date=1998|edition=2nd|isbn=0-387-98502-6}}</ref>
-समूह परिवार के रूप में वितरण के  विशेष परिवार पर विचार, [[सांख्यिकीय सिद्धांत]] में,  सहायक सांख्यिकी की पहचान की ओर ले जा सकता है।<ref>Cox, D.R. (2006) ''Principles of Statistical Inference'', CUP. {{ISBN|0-521-68567-2}} (Section 4.4.2)</ref>
-== समूह परिवारों के प्रकार ==
+समूह सदस्य के रूप में वितरण के विशेष सदस्य पर विचार करने से, [[सांख्यिकीय सिद्धांत|सांख्यिकी]] [[सांख्यिकीय सिद्धांत|सिद्धांत]] में, सहायक सांख्यिकी की पहचान हो सकती है।<ref>Cox, D.R. (2006) ''Principles of Statistical Inference'', CUP. {{ISBN|0-521-68567-2}} (Section 4.4.2)</ref>
-निश्चित वितरण के साथ  यादृच्छिक चर को कुछ उपयुक्त परिवर्तन (फ़ंक्शन) के अधीन करके  समूह परिवार उत्पन्न किया जा सकता है।<ref name=":0" />विभिन्न प्रकार के समूह परिवार इस प्रकार हैं:
-'''स्थान परिवार'''
+== समूह सदस्यों के प्रकार ==
+निश्चित वितरण के साथ यादृच्छिक चर को कुछ उपयुक्त परिवर्तन (फलन) के अंतर्गत समूह सदस्य उत्पन्न किया जा सकता है।<ref name=":0" />विभिन्न प्रकार के समूह सदस्य इस प्रकार हैं:
-यह परिवार  यादृच्छिक चर में  स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। होने देना <math>X</math>  यादृच्छिक चर हो और <math>a \in R</math> स्थिर रहो. होने देना <math display="inline">Y = X + a</math> . तब  <math display="block">F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(X+a \leq y) = P(X \leq y-a) = F_X(y-a)
+'''स्थान सदस्य'''
+यह सदस्य यादृच्छिक चर में स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। मान लीजिये <math>X</math> यादृच्छिक चर हो और <math>a \in R</math> स्थिरांक है। तब <math display="inline">Y = X + a</math> है:  <math display="block">F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(X+a \leq y) = P(X \leq y-a) = F_X(y-a)
 </math>निश्चित वितरण के लिए, जैसे <math>a
-</math> बदलता है <math>-\infty
+</math> से भिन्न होता है <math>-\infty
-</math> को <math>\infty
+</math> और <math>\infty
-</math> , जो वितरण हम प्राप्त करते हैं वह स्थान परिवार का निर्माण करते हैं।
+</math>, जो वितरण प्राप्त करते हैं वह स्थान सदस्य का निर्माण करते हैं।
-=== स्केल परिवार ===
+=== सदिश सदस्य ===
-यह परिवार  यादृच्छिक चर को  स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। होने देना <math>X</math>  यादृच्छिक चर हो और <math>c \in R^+</math> स्थिर रहो. होने देना <math display="inline">Y = cX</math> . तब<math display="block">F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(cX \leq y) = P(X \leq y/c) = F_X(y/c)
+यह सदस्य यादृच्छिक चर को स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। मान लीजिये <math>X</math> यादृच्छिक चर हो और <math>c \in R^+</math> स्थिरांक है तब <math display="inline">Y = cX</math> है:<math display="block">F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(cX \leq y) = P(X \leq y/c) = F_X(y/c)
-</math>'''स्थान - स्केल परिवार'''
+</math>'''स्थान - सदिश सदस्य'''
-यह परिवार  यादृच्छिक चर को  स्थिरांक से गुणा करके और फिर उसमें कुछ अन्य स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। होने देना <math>X
+यह सदस्य यादृच्छिक चर को स्थिरांक से गुणा करके और फिर उसमें कुछ अन्य स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। मान लीजिये <math>X
-</math>  यादृच्छिक चर बनें, <math>a \in R</math> और <math>c \in R^+</math>स्थिर रहो. होने देना <math>Y = cX + a
+</math> यादृच्छिक चर हो, <math>a \in R</math> और <math>c \in R^+</math> स्थिरांक हो, तब <math>Y = cX + a
-</math>. तब
+</math> है,
 <math display="block">F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(cX+a \leq y) = P(X \leq (y-a)/c) = F_X((y-a)/c)
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 ध्यान दें कि यह महत्वपूर्ण है कि <math display="inline">a \in R
 </math> और <math>c \in R^+
-</math> निम्नलिखित अनुभाग में उल्लिखित गुणों को संतुष्ट करने के लिए।
+</math> निम्नलिखित अनुभाग में उल्लिखित गुणों को संतुष्ट करने के लिए है।
 == परिवर्तनों के गुण ==
-यादृच्छिक चर पर लागू परिवर्तन (फ़ंक्शन) को निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना होगा।<ref name=":0" />* रचना के अंतर्गत समापन
+यादृच्छिक चर पर प्रारम्भ परिवर्तन (फलन) को निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना चाहिए।।<ref name=":0" />
-* व्युत्क्रमण के अंतर्गत बंद होना
+* रचना के अंतर्गत समापन
+*व्युत्क्रमण के अंतर्गत विवृत होना
 == संदर्भ ==
 <references/>
-[[Category: पैरामीट्रिक आँकड़े]] [[Category: संभाव्यता वितरण के प्रकार]]
 {{Statistics-stub}}
+[[Category:All stub articles]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 06/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Statistics stubs]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:पैरामीट्रिक आँकड़े]]
+[[Category:संभाव्यता वितरण के प्रकार]]

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