माध्य मान प्रमेय (विभाजित अंतर)

गणितीय विश्लेषण में, विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय को उच्च व्युत्पन्न करने के लिए सामान्यीकृत करता है।

प्रमेय का कथन

किसी भी n + 1 जोड़ीवार भिन्न-भिन्न बिंदु x_{0, ...,} x_n के लिए, n-बार भिन्न अवकलनीय फलन के डोमेन में f आंतरिक बिंदु उपस्तिथ है:

$\xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,$

जहां f का nवां अवकलज n ! के समान है, जो इन बिंदुओं पर nवें विभाजित अंतर का गुणा है:

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

n = 1 के लिए, अर्थात दो फलन बिंदु, सरल माध्य मान प्रमेय प्राप्त करता है।

प्रमाण

मन लीजिये $P$, x₀, ..., x_n पर f के लिए लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद है, फिर यह न्यूटन बहुपद से अनुसरण करता है $P$ वह उच्चतम पद है: $f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dots (x-x_{1})(x-x_{0})$.

मन लीजिये $g$ द्वारा परिभाषित प्रक्षेप का शेष भाग $g=f-P$ तब $g$ के पास है $n+1$ शून्य: x₀, ..., x_n सर्वप्रथम रोले के प्रमेय को प्रारंभ करके $g$, फिर तो $g'$, और इसी प्रकार जब तक $g^{(n-1)}$, प्राप्त करते है, $g^{(n)}$का शून्य $\xi$ है इस का तात्पर्य है कि

$0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!$,

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

अनुप्रयोग

प्रमेय का उपयोग स्टोलार्स्की माध्य को दो से अधिक चरों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है।