कोलमोगोरोव समष्टि: Difference between revisions

Separation axioms
in topological spaces
Separation axioms; in topological spaces
Kolmogorov classification
T0	(Kolmogorov)
T1	(Fréchet)
T2	(Hausdorff)
T2½	(Urysohn)
completely T2	(completely Hausdorff)
T3	(regular Hausdorff)
T3½	(Tychonoff)
T4	(normal Hausdorff)
T5	(completely normal; Hausdorff)
T6	(perfectly normal; Hausdorff)
	History;

Latest revision as of 16:09, 25 July 2023

सांस्थिति और गणित की संबंधित शाखाओं में, सांस्थितिक समष्टि X, T₀ समष्टि या कोलमोगोरोव समष्टि (एंड्री कोलमोगोरोव के नाम पर) है, यदि X के प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के युग्म के लिए, उनमें से कम से कम एक में निकटतम (गणित) है जिसमें दूसरा सम्मिलित नहीं है। T₀ समष्टि, सभी बिंदु सांस्थितिक रूप से भिन्न हैं।

इस स्थिति को T₀ स्थिति कहा जाता है, पृथक्करण सिद्धांतों में सबसे दुर्बल है। गणित में सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी सांस्थितिक समष्टि T₀ हैं। विशेष रूप से, सभी T₁ समष्टि, अर्थात, वे सभी समष्टि जिनमें प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के युग्म के लिए निकटतम होता है, जिसमें दूसरा सम्मिलित नहीं होता है, T₀ समष्टि होते हैं। इसमें सभी T₂ (या हॉसडॉर्फ) समष्टि, अर्थात, सभी सांस्थितिक समष्टि जिनमें अलग-अलग बिंदुओं पर असंयुक्त निकटतम होते हैं। दूसरी दिशा में, प्रत्येक संयमी समष्टि (जो कि T₁ नहीं हो सकता है) T₀ है; इसमें किसी भी पद्धति (गणित) का अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि सम्मिलित है। किसी भी सांस्थितिक समष्टि को देखते हुए कोई T₀ का निर्माण सांस्थितिक रूप से अविभाज्य बिंदुओं की तत्समक करके समष्टि कर सकता है ।

T₀ वे समष्टि जो T₁ नहीं हैं समष्टि वास्तव में वे समष्टि हैं जिनके लिए विशेषीकरण पूर्वक्रमी गैर-तुच्छ आंशिक क्रम है। ऐसे रिक्त समष्टि स्वाभाविक रूप से कंप्यूटर विज्ञान विशेष रूप से वस्त्वर्थक अर्थविज्ञान में होते हैं।

परिभाषा

T₀ समष्टि सांस्थितिक समष्टि है जिसमें अलग-अलग बिंदुओं का प्रत्येक युग्म सांस्थितिक रूप से भिन्न होता है। अर्थात्, किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं x और y के लिए विवृत समुच्चय होता है जिसमें इनमें से एक बिंदु होता है और दूसरा नहीं होता है। अधिक सटीक रूप से सांस्थितिक समष्टि X कोलमोगोरोव या $\mathbf {T} _{0}$ है यदि और केवल यदि:^[1]

यदि

a,b\in X

और

a\neq b

, वहाँ विवृत समुच्चय O सम्मिलित है जैसे कि या तो

(a\in O)\wedge (b\notin O)

या

(a\notin O)\wedge (b\in O)

।

ध्यान दें कि सांस्थितिक रूप से भिन्न बिंदु स्वचालित रूप से भिन्न होते हैं। दूसरी ओर, यदि एकल समुच्चय {x} और {y} पृथक्कृत समुच्चय हैं तो बिंदु x और y को सांस्थितिक रूप से अलग होना चाहिए। वह है,

पृथक ⇒ सांस्थितिक रूप से भिन्न ⇒ भिन्न

सांस्थितिक रूप से भिन्न होने के गुण, सामान्य तौर पर, अलग होने की तुलना में अधिक सशक्त होती है लेकिन अलग होने की तुलना में अशक्त होती है। T₀ समष्टि में, ऊपर दूसरा एरो भी उलट जाता है; बिंदु अलग-अलग हैं यदि और केवल तभी जब वे अलग-अलग हों। इस प्रकार T₀ स्वयंसिद्ध शेष पृथक्करण स्वयंसिद्धों के साथ अनुरूप है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

गणित में सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी सांस्थितिक समष्टि T₀ हैं। विशेष रूप से, सभी हॉसडॉर्फ़ (T₂) समष्टि, T₁ समष्टि और संयमी समष्टि T₀ हैं।

वे समष्टि जो T₀ नहीं हैं

तुच्छ सांस्थिति के साथ एक से अधिक तत्वों वाला समुच्चय है। कोई भी बिंदु अलग नहीं है।
समुच्चय R² जहां विवृत समुच्चय R और R में ही विवृत समुच्चय के कार्तीय गुणन हैं, अर्थात, सामान्य सांस्थिति के साथ R का उत्पाद सांस्थिति और तुच्छ सांस्थिति के साथ R ; बिंदु (a,b) और (a,c) अलग-अलग नहीं हैं।
वास्तविक रेखा R से सम्मिश्र समतल C तक सभी परिमेय फलन f का समष्टि इस प्रकार है कि लेब्सग समाकलन $\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{\frac {1}{2}}<\infty$ है, दो फलन जो लगभग हर जगह समान हैं, अप्रभेद्य हैं। नीचे भी देखें

समष्टि जो T₀ हैं लेकिन T₁ नहीं हैं

स्पेक (R) पर ज़ारिस्की सांस्थिति, क्रमविनिमेय वलय R का प्राइम स्पेक्ट्रम, हमेशा T₀ होता है लेकिन सामान्यतः T₁ नहीं हैं। गैर-सवृत बिंदु अभाज्य आदर्शों के अनुरूप हैं जो अधिकतम नहीं हैं। वे पद्धति (गणित) की समझ के लिए महत्वपूर्ण हैं।
कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी समुच्चय पर विशेष बिंदु सांस्थिति T₀ है लेकिन T₁ नहीं है चूंकि विशेष बिंदु सवृत नहीं है (उसका सवृत होना संपूर्ण समष्टि है)। एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति सिएरपिंस्की समष्टि है जो समुच्चय {0,1} पर विशेष बिंदु सांस्थिति है।
कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी समुच्चय पर अपवर्जित बिंदु सांस्थिति T₀ है लेकिन T₁ नहीं है एकमात्र सवृत बिंदु अपवर्जित बिंदु है।
आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय पर अलेक्जेंडर सांस्थिति T₀ है लेकिन T₁ नहीं होगा जब तक कि अनुक्रम अलग न हो (समानता से सहमत हो)। प्रत्येक परिमित T₀ समष्टि इस प्रकार का है। इसमें विशेष स्थितियों के रूप में विशेष बिंदु और अपवर्जित बिंदु सांस्थिति भी सम्मिलित हैं।
पूरी तरह से अनुक्रम किए गए समुच्चय पर सही क्रम सांस्थिति संबंधित उदाहरण है।
अतिव्यापन अंतराल सांस्थिति विशेष बिंदु सांस्थिति के समान है क्योंकि प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत समुच्चय में 0 सम्मिलित होता है।
सामान्यतः सांस्थितिक समष्टि X, T₀ होगा यदि और केवल यदि X पर विशेषीकरण पूर्वक्रमी आंशिक अनुक्रम है। हालाँकि, X, T₁ होगा यदि और केवल यदि अनुक्रम असतत है (अर्थात समानता से सहमत है)। तो समष्टि T₀ होगा लेकिन T₁ नहीं होगा यदि और केवल यदि X पर विशेषीकरण पूर्वक्रमी गैर-अलग-अलग आंशिक अनुक्रम है।

T₀ के साथ संचालन समष्टि

सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले सांस्थितिक समष्टि के उदाहरण T₀ हैं। दरअसल, जब कई क्षेत्रों में गणितज्ञ, विशेष रूप से विश्लेषण (गणित) में, स्वाभाविक रूप से गैर-T₀ समष्टि पर चलाएँ, वे सामान्यतः उन्हें नीचे वर्णित तरीके से T₀ समष्टि, से प्रतिस्थापित करते हैं। सम्मिलित विचारों को प्रेरित करने के लिए, प्रसिद्ध उदाहरण पर विचार करें। समष्टि L²(R) समष्टि का तात्पर्य वास्तविक रेखा R से सम्मिश्र समतल C तक सभी मापनीय फलनों f का समष्टि है, जैसे कि |f(x)|² का लेब्सग्यू अभिन्न अंग संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिमित समुच्चय है। यह समष्टि मानक ||f|| को परिभाषित करके मानक सदिश समष्टि बन जाना चाहिए उस अभिन्न का वर्गमूल होना है। समस्या यह है कि यह वास्तव में मानक नहीं है, केवल अर्ध-मानदंड है, क्योंकि शून्य फलन के अतिरिक्त अन्य फलन भी हैं जिनके (अर्ध)मानदंड 0 (संख्या) हैं। मानक समाधान L²(R) को परिभाषित करना है सीधे फलन के समुच्चय के अतिरिक्त फलन के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करना है। यह मूल अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि के भागफल समष्टि (सांस्थिति) का निर्माण करता है, और यह भागफल मानकीकृत सदिश समष्टि है। इसे अर्ध-मानदंड समष्टि से कई सुविधाजनक गुण विरासत में मिले हैं; नीचे देखें।

सामान्य तौर पर, समुच्चय X पर निश्चित सांस्थिति T के साथ संबोधित करते समय, यह सहायक होता है यदि वह सांस्थिति T₀ है। दूसरी ओर, जब X निश्चित है लेकिन T को कुछ सीमाओं के भीतर बदलने की अनुमति है, T को T₀ होने के लिए बाध्य करना असुविधाजनक हो सकता है, क्योंकि गैर-T₀ सांस्थिति अधिकांशतः महत्वपूर्ण विशेष स्थिति होते हैं। इस प्रकार, दोनों T₀ और गैर-T₀ को समझना महत्वपूर्ण हो सकता है विभिन्न स्थितियों के संस्करण जिन्हें सांस्थितिक समष्टि पर रखा जा सकता है।

कोलमोगोरोव भागफल

बिंदुओं की सांस्थितिक अविभाज्यता एक तुल्यता संबंध है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सांस्थितिक समष्टि X किससे प्रारंभ हो सकता है, इस तुल्यता संबंध के अनुसार भागफल समष्टि (सांस्थिति) हमेशा T₀ होता है। इस भागफल समष्टि को X का कोलमोगोरोव भागफल कहा जाता है, जिसे हम KQ(X) निरूपित करेंगे। निःसंदेह, यदि X, T₀ आरंभ करने के लिए होता, KQ(X) और X प्राकृतिक (श्रेणी सिद्धांत) पूरी तरह से होम्योमॉर्फिक हैं। स्पष्ट रूप से, कोलमोगोरोव समष्टि सांस्थितिक समष्टि की परावर्तक उपश्रेणी है, और कोलमोगोरोव भागफल परावर्तक है।

सांस्थितिक समष्टि X और Y कोलमोगोरोव समतुल्य हैं जब उनके कोलमोगोरोव भागफल होमियोमोर्फिक होते हैं। सांस्थितिक समष्टि के कई गुण इस तुल्यता द्वारा संरक्षित हैं; अर्थात्, यदि X और Y कोलमोगोरोव समकक्ष हैं, तो X के पास ऐसी गुण है यदि और केवल यदि Y के पास है। दूसरी ओर, सांस्थितिक समष्टि के अधिकांश अन्य गुण T₀-नेस दर्शाते हैं; अर्थात्, यदि X के पास ऐसी कोई गुण है, तो X को T₀ होना चाहिए। केवल कुछ गुण, जैसे कि अविभाज्य समष्टि, इस नियम के अपवाद हैं। इससे भी बेहतर, सांस्थितिक समष्टि पर परिभाषित कई संरचनाएं (गणित) X और KQ(X) के बीच स्थानांतरित की जा सकती हैं। परिणाम यह है कि, यदि आपके पास गैर-T₀ है एक निश्चित संरचना या गुण के साथ सांस्थितिक समष्टि, तो आप सामान्यतः T₀ बना सकते हैं कोलमोगोरोव भागफल लेकर समान संरचनाओं और गुणों वाला समष्टि है।

L²(R) का उदाहरण इन सुविधाओं को प्रदर्शित करता है। सांस्थिति के दृष्टिकोण से, जिस अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि से हमने प्रारंभ की थी, उसमें बहुत अधिक अतिरिक्त संरचना है; उदाहरण के लिए, यह सदिश समष्टि है, और इसमें अर्ध-मानदंड है, और ये छद्ममिति समष्टि और समान संरचना को परिभाषित करते हैं जो सांस्थिति के साथ संगत हैं। इसके अतिरिक्त, इन संरचनाओं के कई गुण हैं; उदाहरण के लिए, अर्ध-मानदंड समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करता है और समान संरचना पूर्ण समष्टि है। समष्टि T₀ नहीं है चूँकि L²(R) में कोई दो फलन हैं जो लगभग हर जगह समान हैं, इस सांस्थिति से अप्रभेद्य हैं। जब हम कोलमोगोरोव भागफल बनाते हैं, तो वास्तविक L²(R), ये संरचनाएं और गुण संरक्षित हैं। इस प्रकार, L²(R) भी समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करने वाला पूर्ण अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि है। लेकिन वास्तव में हमें कुछ अधिक मिलता है, क्योंकि समष्टि अब T₀ है। अर्ध-मानदंड मानक है यदि और केवल यदि अंतर्निहित T₀ है, तो L²(R) वास्तव में समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करने वाला पूर्ण मानक सदिश समष्टि है - जिसे हिल्बर्ट समष्टि के रूप में जाना जाता है। और यह हिल्बर्ट समष्टि है जिसका गणितज्ञ (और क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक विज्ञानी) सामान्यतः अध्ययन करना चाहते हैं। ध्यान दें कि संकेतन L²(R) सामान्यतः कोलमोगोरोव भागफल को दर्शाता है, वर्ग पूर्णांक फलन के समतुल्य वर्गों का समुच्चय जो कि माप शून्य के समुच्चय पर भिन्न होता है, न कि केवल वर्ग पूर्णांक फलन के सदिश समष्टि के अतिरिक्त जो संकेतन सुझाता है।

T₀ हटाना

हालाँकि मानदंडों को ऐतिहासिक रूप से सबसे पहले परिभाषित किया गया था, लोग अर्ध-मानदंड की परिभाषा के साथ भी आए, जो एक प्रकार का गैर-T₀ आदर्श का संस्करण है। सामान्य तौर पर, गैर-T₀ को परिभाषित करना संभव है सांस्थितिक समष्टि के गुणों और संरचनाओं दोनों के संस्करण है। सबसे पहले, सांस्थितिक समष्टि की गुण पर विचार करें, जैसे हॉसडॉर्फ़ समष्टि इसके बाद कोई गुण को संतुष्ट करने के लिए समष्टि X को परिभाषित करके सांस्थितिक समष्टि की एक और गुण को परिभाषित कर सकता है यदि कोलमोगोरोव भागफल KQ(X) हॉसडॉर्फ है। यह विवेकपूर्ण, यद्यपि कम प्रसिद्ध गुण है; इस स्थिति में, ऐसे समष्टि X को पूर्व नियमित समष्टि कहा जाता है। (वहाँ पूर्व-नियमितता की अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा भी सामने आती है)। अब ऐसी संरचना पर विचार करें जिसे सांस्थितिक समष्टि पर रखा जा सकता है, जैसे कि मीट्रिक समष्टि है। हम X पर संरचना का उदाहरण केवल KQ(X) पर मीट्रिक देकर सांस्थितिक समष्टि पर नई संरचना को परिभाषित कर सकते हैं। यह X पर विवेकपूर्ण संरचना है; यह छद्ममिति मीट्रिक समष्टि है। (फिर से, छद्ममिति की अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा है।)

इस तरह किसी गुण या संरचना के लिए आवश्यकताओं से T₀-नेस को हटाने का प्राकृतिक तरीका है। सामान्यतः उन समष्टि का अध्ययन करना आसान होता है जो T₀ हैं, लेकिन उन संरचनाओं को अनुमति देना भी आसान हो सकता है जो T₀ नहीं हैं संपूर्ण चित्र मिल सके। कोलमोगोरोव भागफल की अवधारणा का उपयोग करके T₀ आवश्यकता को अव्यवस्थिततः से जोड़ा या हटाया जा सकता है।

यह भी देखें

सोबर समष्टि

संदर्भ

↑ Steenrod 1991, pp. 11.

Lynn Arthur Steen and J। Arthur Seebach, Jr।, Counterexamples in Topology। Springer-Verlag, New York, 1978। Reprinted by Dover Publications, New York, 1995। ISBN 0-486-68735-X (Dover edition)।

[FOOTNOTESteenrod199111-1] Steenrod 1991, pp. 11.

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 {{Short description|Concept in topology}}
 {{Separation axioms}}
-[[टोपोलॉजी]] और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] एक्स एक 'टी' है<sub>0</sub> स्पेस या कोलमोगोरोव स्पेस ([[एंड्री कोलमोगोरोव]] के नाम पर) यदि ''X'' के प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के जोड़े के लिए, उनमें से कम से कम एक में नेबरहुड (गणित) है जिसमें दूसरा शामिल नहीं है। एक टी में<sub>0</sub> स्थान, सभी बिंदु [[स्थलाकृतिक रूप से भिन्न]] हैं।
+[[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] और गणित की संबंधित शाखाओं में, [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] ''X,'' '''T<sub>0</sub> समष्टि''' या '''कोलमोगोरोव समष्टि''' ([[एंड्री कोलमोगोरोव]] के नाम पर) है, यदि ''X'' के प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के युग्म के लिए, उनमें से कम से कम एक में निकटतम (गणित) है जिसमें दूसरा सम्मिलित नहीं है। T<sub>0</sub> समष्टि, सभी बिंदु [[स्थलाकृतिक रूप से भिन्न|सांस्थितिक रूप से भिन्न]] हैं।
-इस स्थिति को टी कहा जाता है<sub>0</sub> स्थिति, पृथक्करण सिद्धांतों में सबसे कमजोर है। गणित में आमतौर पर अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी टोपोलॉजिकल स्पेस टी हैं<sub>0</sub> रिक्त स्थान विशेष रूप से, सभी T1 स्पेस|T<sub>1</sub> रिक्त स्थान, यानी, वे सभी स्थान जिनमें प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के जोड़े के लिए एक पड़ोस होता है, जिसमें दूसरा शामिल नहीं होता है, टी हैं<sub>0</sub> रिक्त स्थान इसमें सभी हॉसडॉर्फ़ स्पेस|टी शामिल हैं<sub>2</sub> (या हॉसडॉर्फ) रिक्त स्थान, यानी, सभी टोपोलॉजिकल स्थान जिनमें अलग-अलग बिंदुओं पर असंयुक्त पड़ोस होते हैं। दूसरी दिशा में, प्रत्येक [[शांत स्थान]] (जो कि टी नहीं हो सकता है<sub>1</sub>) टी है<sub>0</sub>; इसमें किसी भी [[योजना (गणित)]] का अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्थान शामिल है। किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए कोई टी का निर्माण कर सकता है<sub>0</sub> स्थलाकृतिक रूप से अविभाज्य बिंदुओं की पहचान करके स्थान।
+इस स्थिति को '''T<sub>0</sub> स्थिति''' कहा जाता है, पृथक्करण सिद्धांतों में सबसे दुर्बल है। गणित में सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी सांस्थितिक समष्टि T<sub>0</sub> हैं। विशेष रूप से, सभी T<sub>1</sub> समष्टि, अर्थात, वे सभी समष्टि जिनमें प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के युग्म के लिए निकटतम होता है, जिसमें दूसरा सम्मिलित नहीं होता है, T<sub>0</sub> समष्टि होते हैं। इसमें सभी T<sub>2</sub> (या हॉसडॉर्फ) समष्टि, अर्थात, सभी सांस्थितिक समष्टि जिनमें अलग-अलग बिंदुओं पर असंयुक्त निकटतम होते हैं। दूसरी दिशा में, प्रत्येक [[शांत स्थान|संयमी समष्टि]] (जो कि T<sub>1</sub> नहीं हो सकता है) T<sub>0</sub> है; इसमें किसी भी [[योजना (गणित)|पद्धति (गणित)]] का अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि सम्मिलित है। किसी भी सांस्थितिक समष्टि को देखते हुए कोई T<sub>0</sub> का निर्माण सांस्थितिक रूप से अविभाज्य बिंदुओं की तत्समक करके समष्टि कर सकता है ।
-टी<sub>0</sub> वे स्थान जो T नहीं हैं<sub>1</sub> रिक्त स्थान वास्तव में वे स्थान हैं जिनके लिए [[विशेषज्ञता प्रीऑर्डर]] एक गैर-तुच्छ आंशिक क्रम है। ऐसे रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से [[कंप्यूटर विज्ञान]] में होते हैं, विशेष रूप से [[सांकेतिक शब्दार्थ]] में।
+T<sub>0</sub> वे समष्टि जो T<sub>1</sub> नहीं हैं समष्टि वास्तव में वे समष्टि हैं जिनके लिए [[विशेषज्ञता प्रीऑर्डर|विशेषीकरण पूर्वक्रमी]] गैर-तुच्छ आंशिक क्रम है। ऐसे रिक्त समष्टि स्वाभाविक रूप से [[कंप्यूटर विज्ञान]] विशेष रूप से [[सांकेतिक शब्दार्थ|वस्त्वर्थक अर्थविज्ञान]] में होते हैं।
 == परिभाषा ==
-पर<sub>0</sub> स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें अलग-अलग बिंदुओं का प्रत्येक जोड़ा टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न होता है। अर्थात्, किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं ''x'' और ''y'' के लिए एक [[खुला सेट]] होता है जिसमें इनमें से एक बिंदु होता है और दूसरा नहीं। अधिक सटीक रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस ''एक्स'' कोलमोगोरोव या है <math>\mathbf T_0</math> अगर और केवल अगर:{{sfn|Steenrod|1991|pp=11}}
+'''T<sub>0</sub> समष्टि''' सांस्थितिक समष्टि है जिसमें अलग-अलग बिंदुओं का प्रत्येक युग्म सांस्थितिक रूप से भिन्न होता है। अर्थात्, किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं ''x'' और ''y'' के लिए [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] होता है जिसमें इनमें से एक बिंदु होता है और दूसरा नहीं होता है। अधिक सटीक रूप से सांस्थितिक समष्टि ''X'' कोलमोगोरोव या <math>\mathbf T_0</math> है यदि और केवल यदि:{{sfn|Steenrod|1991|pp=11}}
-:अगर <math>a,b\in X</math> और <math>a\neq b</math>, वहाँ एक खुला सेट O मौजूद है जैसे कि या तो <math>(a\in O) \wedge (b\notin O)</math> या <math>(a\notin O) \wedge (b\in O)</math>.
+:यदि <math>a,b\in X</math> और <math>a\neq b</math>, वहाँ विवृत समुच्चय ''O'' सम्मिलित है जैसे कि या तो <math>(a\in O) \wedge (b\notin O)</math> या <math>(a\notin O) \wedge (b\in O)</math>।
-ध्यान दें कि स्थलाकृतिक रूप से भिन्न बिंदु स्वचालित रूप से भिन्न होते हैं। दूसरी ओर, यदि [[सिंगलटन सेट]] {x} और {y} अलग-[[अलग सेट]] हैं तो बिंदु x और y को टोपोलॉजिकल रूप से अलग होना चाहिए। वह है,
+ध्यान दें कि सांस्थितिक रूप से भिन्न बिंदु स्वचालित रूप से भिन्न होते हैं। दूसरी ओर, यदि [[सिंगलटन सेट|एकल समुच्चय]] {x} और {y} [[अलग सेट|पृथक्कृत समुच्चय]] हैं तो बिंदु x और y को सांस्थितिक रूप से अलग होना चाहिए। वह है,
-:पृथक ⇒ स्थलाकृतिक रूप से भिन्न ⇒ भिन्न
+:''पृथक ⇒ सांस्थितिक रूप से भिन्न ⇒ भिन्न''
-टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न होने की संपत्ति, सामान्य तौर पर, अलग होने की तुलना में अधिक मजबूत होती है लेकिन अलग होने की तुलना में कमजोर होती है। एक टी में<sub>0</sub> अंतरिक्ष, ऊपर दूसरा तीर भी उलट जाता है; बिंदु अलग-अलग हैं यदि और केवल तभी जब वे अलग-अलग हों। इस प्रकार टी<sub>0</sub> स्वयंसिद्ध शेष पृथक्करण स्वयंसिद्धों के साथ फिट बैठता है।
+सांस्थितिक रूप से भिन्न होने के गुण, सामान्य तौर पर, अलग होने की तुलना में अधिक सशक्त होती है लेकिन अलग होने की तुलना में अशक्त होती है। T<sub>0</sub> समष्टि  में, ऊपर दूसरा एरो भी उलट जाता है; बिंदु अलग-अलग हैं यदि और केवल तभी जब वे अलग-अलग हों। इस प्रकार T<sub>0</sub> स्वयंसिद्ध शेष पृथक्करण स्वयंसिद्धों के साथ अनुरूप है।
 ==उदाहरण और प्रति उदाहरण==
-गणित में आमतौर पर अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी टोपोलॉजिकल स्पेस टी हैं<sub>0</sub>. विशेष रूप से, सभी हॉसडॉर्फ़ स्थान|हॉसडॉर्फ़ (टी<sub>2</sub>) रिक्त स्थान, T1 स्थान|T<sub>1</sub> रिक्त स्थान और शांत स्थान टी हैं<sub>0</sub>.
+गणित में सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी सांस्थितिक समष्टि T<sub>0</sub> हैं। विशेष रूप से, सभी हॉसडॉर्फ़ (T<sub>2</sub>) समष्टि, T<sub>1</sub> समष्टि और संयमी समष्टि T<sub>0</sub> हैं।
-===वे स्थान जो T नहीं हैं<sub>0</sub>===
+===वे समष्टि जो T<sub>0</sub> नहीं हैं===
-*[[तुच्छ टोपोलॉजी]] के साथ एक से अधिक तत्वों वाला एक सेट। कोई भी बिंदु अलग नहीं है.
+*[[तुच्छ टोपोलॉजी|तुच्छ सांस्थिति]] के साथ एक से अधिक तत्वों वाला समुच्चय है। कोई भी बिंदु अलग नहीं है।
-*सेट आर<sup>2</sup> जहां खुले सेट आर और आर में ही एक खुले सेट के कार्टेशियन उत्पाद हैं, यानी, सामान्य टोपोलॉजी के साथ आर का [[उत्पाद टोपोलॉजी]] और तुच्छ टोपोलॉजी के साथ आर; अंक (''ए'',''बी'') और (''ए'',''सी'') अलग-अलग नहीं हैं।
+*समुच्चय '''R'''<sup>2</sup> जहां विवृत समुच्चय '''R''' और '''R''' में ही विवृत समुच्चय के कार्तीय गुणन हैं, अर्थात, सामान्य सांस्थिति के साथ '''R''' का [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद सांस्थिति]] और तुच्छ सांस्थिति के साथ '''R''' ; बिंदु (''a,b'') और (''a,c'') अलग-अलग नहीं हैं।
-*वास्तविक रेखा आर से [[जटिल विमान]] सी तक सभी [[मापने योग्य कार्य]]ों ''एफ'' का स्थान इस प्रकार है कि [[लेब्सग इंटीग्रल]] <math>\left(\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \,dx\right)^{\frac{1}{2}} < \infty </math>. दो कार्य जो [[लगभग हर जगह]] समान हैं, अप्रभेद्य हैं। नीचे भी देखें.
+*वास्तविक रेखा '''R''' से [[जटिल विमान|सम्मिश्र समतल]] '''C''' तक सभी परिमेय फलन ''f'' का समष्टि इस प्रकार है कि [[लेब्सग इंटीग्रल|लेब्सग समाकलन]] <math>\left(\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \,dx\right)^{\frac{1}{2}} < \infty </math>  है, दो फलन जो [[लगभग हर जगह]] समान हैं, अप्रभेद्य हैं। नीचे भी देखें
-===स्थान जो T हैं<sub>0</sub> लेकिन टी नहीं<sub>1</sub>===
+===समष्टि जो T<sub>0</sub> हैं लेकिन T<sub>1</sub> नहीं हैं===
-*स्पेक (आर) पर [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]], एक क्रमविनिमेय रिंग आर का [[प्राइम स्पेक्ट्रम]], हमेशा टी होता है<sub>0</sub> लेकिन आम तौर पर टी नहीं<sub>1</sub>. गैर-बंद बिंदु अभाज्य आदर्शों के अनुरूप हैं जो [[अधिकतम आदर्श]] नहीं हैं। वे योजना (गणित) की समझ के लिए महत्वपूर्ण हैं।
+*स्पेक (''R'') पर [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी|ज़ारिस्की सांस्थिति]], क्रमविनिमेय वलय ''R'' का [[प्राइम स्पेक्ट्रम]], हमेशा T<sub>0</sub> होता है लेकिन सामान्यतः T<sub>1</sub> नहीं हैं। गैर-सवृत बिंदु अभाज्य आदर्शों के अनुरूप हैं जो [[अधिकतम आदर्श|अधिकतम]] नहीं हैं। वे पद्धति (गणित) की समझ के लिए महत्वपूर्ण हैं।
-*कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी सेट पर [[विशेष बिंदु टोपोलॉजी]] टी है<sub>0</sub> लेकिन टी नहीं<sub>1</sub> चूंकि विशेष बिंदु बंद नहीं है (उसका बंद होना संपूर्ण स्थान है)। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला सिएरपिंस्की स्पेस है जो सेट {0,1} पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी है।
+*कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी समुच्चय पर [[विशेष बिंदु टोपोलॉजी|विशेष बिंदु सांस्थिति]] T<sub>0</sub> है लेकिन T<sub>1</sub> नहीं है चूंकि विशेष बिंदु सवृत नहीं है (उसका सवृत होना संपूर्ण समष्टि है)। एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति सिएरपिंस्की समष्टि है जो समुच्चय {0,1} पर विशेष बिंदु सांस्थिति है।
-*कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी सेट पर [[बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी]] टी है<sub>0</sub> लेकिन टी नहीं<sub>1</sub>. एकमात्र बंद बिंदु बहिष्कृत बिंदु है।
+*कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी समुच्चय पर [[बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी|अपवर्जित बिंदु सांस्थिति]] T<sub>0</sub> है लेकिन T<sub>1</sub> नहीं है एकमात्र सवृत बिंदु अपवर्जित बिंदु है।
-*आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर [[अलेक्जेंडर टोपोलॉजी]] टी है<sub>0</sub> लेकिन T नहीं होगा<sub>1</sub> जब तक कि आदेश अलग न हो (समानता से सहमत हो)। प्रत्येक परिमित टी<sub>0</sub> अंतरिक्ष इस प्रकार का है. इसमें विशेष मामलों के रूप में विशेष बिंदु और बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी भी शामिल हैं।
+*आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय पर [[अलेक्जेंडर टोपोलॉजी|अलेक्जेंडर सांस्थिति]] T<sub>0</sub> है लेकिन T<sub>1</sub> नहीं होगा जब तक कि अनुक्रम अलग न हो (समानता से सहमत हो)। प्रत्येक परिमित T<sub>0</sub> समष्टि इस प्रकार का है। इसमें विशेष स्थितियों के रूप में विशेष बिंदु और अपवर्जित बिंदु सांस्थिति भी सम्मिलित हैं।
-*पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट पर [[सही क्रम टोपोलॉजी]] एक संबंधित उदाहरण है।
+*पूरी तरह से अनुक्रम किए गए समुच्चय पर [[सही क्रम टोपोलॉजी|सही क्रम सांस्थिति]] संबंधित उदाहरण है।
-*[[ओवरलैपिंग अंतराल टोपोलॉजी]] विशेष बिंदु टोपोलॉजी के समान है क्योंकि प्रत्येक गैर-रिक्त खुले सेट में 0 शामिल होता है।
+*[[ओवरलैपिंग अंतराल टोपोलॉजी|अतिव्यापन अंतराल सांस्थिति]] विशेष बिंदु सांस्थिति के समान है क्योंकि प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत समुच्चय में 0 सम्मिलित होता है।
-*आम तौर पर, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X, T होगा<sub>0</sub> यदि और केवल यदि एक्स पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर आंशिक ऑर्डर है। हालाँकि, X, T होगा<sub>1</sub> यदि और केवल यदि आदेश असतत है (अर्थात समानता से सहमत है)। तो एक स्थान T होगा<sub>0</sub> लेकिन टी नहीं<sub>1</sub> यदि और केवल यदि एक्स पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर एक गैर-अलग-अलग आंशिक ऑर्डर है।
+*सामान्यतः सांस्थितिक समष्टि ''X'', T<sub>0</sub> होगा यदि और केवल यदि ''X'' पर विशेषीकरण पूर्वक्रमी आंशिक अनुक्रम है। हालाँकि, ''X'', T<sub>1</sub> होगा यदि और केवल यदि अनुक्रम असतत है (अर्थात समानता से सहमत है)। तो समष्टि T<sub>0</sub> होगा लेकिन T<sub>1</sub> नहीं होगा यदि और केवल यदि ''X'' पर विशेषीकरण पूर्वक्रमी गैर-अलग-अलग आंशिक अनुक्रम है।
-==टी के साथ संचालन<sub>0</sub> रिक्त स्थान ==
+==T<sub>0</sub> के साथ संचालन समष्टि ==
-आमतौर पर अध्ययन किए जाने वाले टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण टी हैं<sub>0</sub>.
+सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले सांस्थितिक समष्टि के उदाहरण T<sub>0</sub> हैं। दरअसल, जब कई क्षेत्रों में गणितज्ञ, विशेष रूप से [[विश्लेषण (गणित)]] में, स्वाभाविक रूप से गैर-T<sub>0</sub> समष्टि पर चलाएँ, वे सामान्यतः उन्हें नीचे वर्णित तरीके से T<sub>0</sub> समष्टि, से प्रतिस्थापित करते हैं। सम्मिलित विचारों को प्रेरित करने के लिए, प्रसिद्ध उदाहरण पर विचार करें। समष्टि  L<sup>2</sup>('''R''') समष्टि का तात्पर्य वास्तविक रेखा '''R''' से सम्मिश्र समतल '''C''' तक सभी मापनीय फलनों ''f'' का समष्टि है, जैसे कि |''f''(''x'')|<sup>2</sup> का लेब्सग्यू अभिन्न अंग संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिमित समुच्चय है। यह समष्टि मानक ||''f''|| को परिभाषित करके मानक सदिश समष्टि बन जाना चाहिए उस अभिन्न का वर्गमूल होना है। समस्या यह है कि यह वास्तव में मानक नहीं है, केवल [[सेमिनोर्म|अर्ध-मानदंड]] है, क्योंकि शून्य फलन के अतिरिक्त अन्य फलन भी हैं जिनके (अर्ध)मानदंड [[0 (संख्या)]] हैं। मानक समाधान L<sup>2</sup>('''R''') को परिभाषित करना है सीधे फलन के समुच्चय के अतिरिक्त फलन के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करना है। यह मूल अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि के [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)|भागफल समष्टि (सांस्थिति)]] का निर्माण करता है, और यह भागफल मानकीकृत सदिश समष्टि है। इसे अर्ध-मानदंड समष्टि से कई सुविधाजनक गुण विरासत में मिले हैं; नीचे देखें।
-दरअसल, जब कई क्षेत्रों में गणितज्ञ, विशेष रूप से [[विश्लेषण (गणित)]] में, स्वाभाविक रूप से गैर-टी में भाग लेते हैं<sub>0</sub> रिक्त स्थान, वे आमतौर पर उन्हें टी से बदल देते हैं<sub>0</sub> रिक्त स्थान, नीचे वर्णित तरीके से। शामिल विचारों को प्रेरित करने के लिए, एक प्रसिद्ध उदाहरण पर विचार करें। स्पेस एलपी स्पेस|एल<sup>2</sup>(R) का तात्पर्य वास्तविक रेखा R से जटिल समतल C तक सभी मापनीय फलनों ''f'' का स्थान है, जैसे कि |''f''(''x'' का Lebesgue अभिन्न अंग ')|<sup>2</sup>संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिमित समुच्चय है।
-यह स्थान मानक ||f| को परिभाषित करके एक मानक वेक्टर स्थान बन जाना चाहिए उस अभिन्न का. समस्या यह है कि यह वास्तव में एक मानक नहीं है, केवल एक [[सेमिनोर्म]] है, क्योंकि शून्य फ़ंक्शन के अलावा अन्य फ़ंक्शन भी हैं जिनके (अर्ध)मानदंड [[0 (संख्या)]] हैं।
-मानक समाधान एल को परिभाषित करना है<sup>2</sup>(R) सीधे कार्यों के एक सेट के बजाय कार्यों के समतुल्य वर्गों का एक सेट होना।
-यह मूल सेमीनॉर्मड वेक्टर स्पेस के एक [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)]] का निर्माण करता है, और यह भागफल एक मानकीकृत वेक्टर स्थान है। इसे सेमीनोर्म्ड स्पेस से कई सुविधाजनक गुण विरासत में मिले हैं; नीचे देखें।
-सामान्य तौर पर, एक सेट ''X'' पर एक निश्चित टोपोलॉजी टी के साथ काम करते समय, यह सहायक होता है यदि वह टोपोलॉजी टी है<sub>0</sub>. दूसरी ओर, जब<sub>0</sub> असुविधाजनक हो सकता है, क्योंकि गैर-टी<sub>0</sub> टोपोलॉजी अक्सर महत्वपूर्ण विशेष मामले होते हैं। इस प्रकार, दोनों टी को समझना महत्वपूर्ण हो सकता है<sub>0</sub> और गैर-टी<sub>0</sub> विभिन्न स्थितियों के संस्करण जिन्हें टोपोलॉजिकल स्पेस पर रखा जा सकता है।
+सामान्य तौर पर, समुच्चय ''X'' पर निश्चित सांस्थिति '''T''' के साथ संबोधित करते समय, यह सहायक होता है यदि वह सांस्थिति T<sub>0</sub> है। दूसरी ओर, जब ''X'' निश्चित है लेकिन '''T''' को कुछ सीमाओं के भीतर बदलने की अनुमति है, '''T''' को T<sub>0</sub> होने के लिए बाध्य करना असुविधाजनक हो सकता है, क्योंकि गैर-T<sub>0</sub> सांस्थिति अधिकांशतः महत्वपूर्ण विशेष स्थिति होते हैं। इस प्रकार, दोनों T<sub>0</sub> और गैर-T<sub>0</sub> को समझना महत्वपूर्ण हो सकता है विभिन्न स्थितियों के संस्करण जिन्हें सांस्थितिक समष्टि पर रखा जा सकता है।
 == कोलमोगोरोव भागफल ==
-बिंदुओं की टोपोलॉजिकल अविभाज्यता एक तुल्यता संबंध है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स किससे शुरू हो सकता है, इस तुल्यता संबंध के तहत कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) हमेशा टी होता है<sub>0</sub>. इस भागफल स्थान को ''X'' का कोलमोगोरोव भागफल कहा जाता है, जिसे हम KQ(''X'') निरूपित करेंगे। निःसंदेह, यदि ''X'' T होता<sub>0</sub> आरंभ करने के लिए, KQ(X) और X [[प्राकृतिक (श्रेणी सिद्धांत)]] पूरी तरह से [[होम्योमॉर्फिक]] हैं।
+बिंदुओं की सांस्थितिक अविभाज्यता एक तुल्यता संबंध है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सांस्थितिक समष्टि ''X'' किससे प्रारंभ हो सकता है, इस तुल्यता संबंध के अनुसार भागफल समष्टि (सांस्थिति) हमेशा T<sub>0</sub> होता है। इस भागफल समष्टि को ''X'' का '''कोलमोगोरोव भागफल''' कहा जाता है, जिसे हम KQ''(X)'' निरूपित करेंगे। निःसंदेह, यदि ''X,'' T<sub>0</sub> आरंभ करने के लिए होता, KQ''(X)'' और ''X'' [[प्राकृतिक (श्रेणी सिद्धांत)]] पूरी तरह से [[होम्योमॉर्फिक]] हैं। स्पष्ट रूप से, कोलमोगोरोव समष्टि सांस्थितिक समष्टि की परावर्तक उपश्रेणी है, और कोलमोगोरोव भागफल परावर्तक है।
-स्पष्ट रूप से, कोलमोगोरोव रिक्त स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की एक परावर्तक उपश्रेणी है, और कोलमोगोरोव भागफल परावर्तक है।
-टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स और वाई 'कोलमोगोरोव समतुल्य' हैं जब उनके कोलमोगोरोव भागफल होमियोमोर्फिक होते हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस के कई गुण इस तुल्यता द्वारा संरक्षित हैं; अर्थात्, यदि X और Y कोलमोगोरोव समकक्ष हैं, तो X के पास ऐसी संपत्ति है यदि और केवल यदि Y के पास है।
+सांस्थितिक समष्टि X और ''Y'' '''कोलमोगोरोव समतुल्य''' हैं जब उनके कोलमोगोरोव भागफल होमियोमोर्फिक होते हैं। सांस्थितिक समष्टि के कई गुण इस तुल्यता द्वारा संरक्षित हैं; अर्थात्, यदि ''X'' और ''Y'' कोलमोगोरोव समकक्ष हैं, तो ''X'' के पास ऐसी गुण है यदि और केवल यदि ''Y'' के पास है। दूसरी ओर, सांस्थितिक समष्टि के अधिकांश अन्य गुण T<sub>0</sub>-नेस दर्शाते हैं; अर्थात्, यदि ''X'' के पास ऐसी कोई गुण है, तो ''X'' को T<sub>0</sub> होना चाहिए। केवल कुछ गुण, जैसे कि अविभाज्य समष्टि, इस नियम के अपवाद हैं। इससे भी बेहतर, सांस्थितिक समष्टि पर परिभाषित कई संरचनाएं (गणित) ''X'' और KQ''(X)'' के बीच स्थानांतरित की जा सकती हैं। परिणाम यह है कि, यदि आपके पास गैर-T<sub>0</sub> है एक निश्चित संरचना या गुण के साथ सांस्थितिक समष्टि, तो आप सामान्यतः T<sub>0</sub> बना सकते हैं कोलमोगोरोव भागफल लेकर समान संरचनाओं और गुणों वाला समष्टि है।
-दूसरी ओर, टोपोलॉजिकल स्पेस के अधिकांश अन्य गुण टी दर्शाते हैं<sub>0</sub>-नेस; अर्थात्, यदि X के पास ऐसी कोई संपत्ति है, तो X को T होना चाहिए<sub>0</sub>.
-केवल कुछ गुण, जैसे कि एक अविभाज्य स्थान, इस नियम के अपवाद हैं।
-इससे भी बेहतर, टोपोलॉजिकल स्पेस पर परिभाषित कई संरचनाएं (गणित) एक्स और केक्यू (एक्स) के बीच स्थानांतरित की जा सकती हैं।
-परिणाम यह है कि, यदि आपके पास गैर-टी है<sub>0</sub> एक निश्चित संरचना या संपत्ति के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस, तो आप आमतौर पर एक टी बना सकते हैं<sub>0</sub> कोलमोगोरोव भागफल लेकर समान संरचनाओं और गुणों वाला स्थान।
-एल का उदाहरण<sup>2</sup>(R) इन सुविधाओं को प्रदर्शित करता है।
+L<sup>2</sup>('''R''') का उदाहरण इन सुविधाओं को प्रदर्शित करता है। सांस्थिति के दृष्टिकोण से, जिस अर्ध-मानदंड [[ सदिश स्थल |सदिश समष्टि]] से हमने प्रारंभ की थी, उसमें बहुत अधिक अतिरिक्त संरचना है; उदाहरण के लिए, यह सदिश समष्टि है, और इसमें अर्ध-मानदंड है, और ये [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस|छद्ममिति समष्टि]] और समान संरचना को परिभाषित करते हैं जो सांस्थिति के साथ संगत हैं। इसके अतिरिक्त, इन संरचनाओं के कई गुण हैं; उदाहरण के लिए, अर्ध-मानदंड [[समांतर चतुर्भुज पहचान|समांतर चतुर्भुज तत्समक]] को संतुष्ट करता है और समान संरचना पूर्ण समष्टि है। समष्टि T<sub>0</sub> नहीं है चूँकि L<sup>2</sup>('''R''') में कोई दो फलन हैं जो लगभग हर जगह समान हैं, इस सांस्थिति से अप्रभेद्य हैं। जब हम कोलमोगोरोव भागफल बनाते हैं, तो वास्तविक L<sup>2</sup>('''R'''), ये संरचनाएं और गुण संरक्षित हैं। इस प्रकार, L<sup>2</sup>('''R''') भी समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करने वाला पूर्ण अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि है। लेकिन वास्तव में हमें कुछ अधिक मिलता है, क्योंकि समष्टि अब T<sub>0</sub> है। अर्ध-मानदंड मानक है यदि और केवल यदि अंतर्निहित T<sub>0</sub> है, तो L<sup>2</sup>('''R''') वास्तव में समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करने वाला पूर्ण मानक सदिश समष्टि है - जिसे [[हिल्बर्ट स्थान|हिल्बर्ट समष्टि]] के रूप में जाना जाता है। और यह हिल्बर्ट समष्टि है जिसका गणितज्ञ (और [[क्वांटम यांत्रिकी]] में भौतिक विज्ञानी) सामान्यतः अध्ययन करना चाहते हैं। ध्यान दें कि संकेतन L<sup>2</sup>('''R''') सामान्यतः कोलमोगोरोव भागफल को दर्शाता है, वर्ग पूर्णांक फलन के समतुल्य वर्गों का समुच्चय जो कि माप शून्य के समुच्चय पर भिन्न होता है, न कि केवल वर्ग पूर्णांक फलन के सदिश समष्टि के अतिरिक्त जो संकेतन सुझाता है।
-टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से, जिस सेमीनॉर्म्ड [[ सदिश स्थल ]] से हमने शुरुआत की थी, उसमें बहुत अधिक अतिरिक्त संरचना है; उदाहरण के लिए, यह एक वेक्टर स्पेस है, और इसमें एक सेमिनॉर्म है, और ये एक [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस]] और एक समान संरचना को परिभाषित करते हैं जो टोपोलॉजी के साथ संगत हैं।
-इसके अलावा, इन संरचनाओं के कई गुण हैं; उदाहरण के लिए, सेमिनॉर्म [[समांतर चतुर्भुज पहचान]] को संतुष्ट करता है और समान संरचना पूर्ण स्थान है। स्थान T नहीं है<sub>0</sub> चूँकि L में कोई दो कार्य हैं<sup>2</sup>(R) जो लगभग हर जगह समान हैं, इस टोपोलॉजी से अप्रभेद्य हैं।
-जब हम कोलमोगोरोव भागफल बनाते हैं, तो वास्तविक एल<sup>2</sup>(R), ये संरचनाएं और संपत्तियां संरक्षित हैं।
-इस प्रकार, एल<sup>2</sup>(R) भी समांतर चतुर्भुज पहचान को संतुष्ट करने वाला एक पूर्ण अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि है।
-लेकिन वास्तव में हमें कुछ अधिक मिलता है, क्योंकि स्थान अब टी है<sub>0</sub>.
-एक सेमिनोर्म एक आदर्श है यदि और केवल यदि अंतर्निहित टोपोलॉजी टी है<sub>0</sub>, तो एल<sup>2</sup>(R) वास्तव में समांतर चतुर्भुज पहचान को संतुष्ट करने वाला एक पूर्ण मानक वेक्टर स्थान है - जिसे [[हिल्बर्ट स्थान]] के रूप में जाना जाता है।
-और यह एक हिल्बर्ट स्थान है जिसका गणितज्ञ (और [[क्वांटम यांत्रिकी]] में भौतिक विज्ञानी) आम तौर पर अध्ययन करना चाहते हैं। ध्यान दें कि संकेतन एल<sup>2</sup>(आर) आम तौर पर कोलमोगोरोव भागफल को दर्शाता है, वर्ग पूर्णांक कार्यों के समतुल्य वर्गों का सेट जो कि माप शून्य के सेट पर भिन्न होता है, न कि केवल वर्ग पूर्णांक कार्यों के वेक्टर स्थान के बजाय जो नोटेशन सुझाता है।
-== टी हटाना<sub>0</sub> ==
+== T<sub>0</sub> हटाना ==
-हालाँकि मानदंडों को ऐतिहासिक रूप से सबसे पहले परिभाषित किया गया था, लोग सेमीनॉर्म की परिभाषा के साथ भी आए, जो एक प्रकार का गैर-टी है<sub>0</sub> एक आदर्श का संस्करण. सामान्य तौर पर, गैर-टी को परिभाषित करना संभव है<sub>0</sub> टोपोलॉजिकल स्पेस के गुणों और संरचनाओं दोनों के संस्करण। सबसे पहले, टोपोलॉजिकल स्पेस की एक संपत्ति पर विचार करें, जैसे [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] इसके बाद कोई संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए स्पेस एक्स को परिभाषित करके टोपोलॉजिकल स्पेस की एक और संपत्ति को परिभाषित कर सकता है यदि कोलमोगोरोव भागफल केक्यू (एक्स) हॉसडॉर्फ है। यह एक समझदार, यद्यपि कम प्रसिद्ध संपत्ति है; इस स्थिति में, ऐसे स्थान X को [[पूर्व नियमित स्थान]] कहा जाता है। (वहाँ पूर्व-नियमितता की एक अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा भी सामने आती है)। अब एक ऐसी संरचना पर विचार करें जिसे टोपोलॉजिकल स्पेस पर रखा जा सकता है, जैसे कि मीट्रिक स्पेस। हम एक्स पर संरचना का एक उदाहरण केवल केक्यू (एक्स) पर एक मीट्रिक देकर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर एक नई संरचना को परिभाषित कर सकते हैं। यह एक्स पर एक समझदार संरचना है; यह एक स्यूडो[[ मीट्रिक स्थान ]] है। (फिर से, स्यूडोमेट्रिक की एक अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा है।)
+हालाँकि मानदंडों को ऐतिहासिक रूप से सबसे पहले परिभाषित किया गया था, लोग अर्ध-मानदंड की परिभाषा के साथ भी आए, जो एक प्रकार का गैर-T<sub>0</sub> आदर्श का संस्करण है। सामान्य तौर पर, गैर-T<sub>0</sub> को परिभाषित करना संभव है सांस्थितिक समष्टि के गुणों और संरचनाओं दोनों के संस्करण है। सबसे पहले, सांस्थितिक समष्टि की गुण पर विचार करें, जैसे [[हॉसडॉर्फ़ स्थान|हॉसडॉर्फ़ समष्टि]] इसके बाद कोई गुण को संतुष्ट करने के लिए समष्टि ''X'' को परिभाषित करके सांस्थितिक समष्टि की एक और गुण को परिभाषित कर सकता है यदि कोलमोगोरोव भागफल KQ(''X'') हॉसडॉर्फ है। यह विवेकपूर्ण, यद्यपि कम प्रसिद्ध गुण है; इस स्थिति में, ऐसे समष्टि ''X'' को [[पूर्व नियमित स्थान|''पूर्व नियमित समष्टि'']]  कहा जाता है। (वहाँ पूर्व-नियमितता की अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा भी सामने आती है)। अब ऐसी संरचना पर विचार करें जिसे सांस्थितिक समष्टि पर रखा जा सकता है, जैसे कि मीट्रिक समष्टि है। हम ''X'' पर संरचना का उदाहरण केवल KQ(''X'') पर मीट्रिक देकर सांस्थितिक समष्टि पर नई संरचना को परिभाषित कर सकते हैं। यह ''X'' पर विवेकपूर्ण संरचना है; यह छद्ममिति[[ मीट्रिक स्थान | मीट्रिक समष्टि]] है। (फिर से, छद्ममिति की अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा है।)
-इस तरह टी को दूर करने का एक प्राकृतिक तरीका है<sub>0</sub>-किसी संपत्ति या संरचना के लिए आवश्यकताओं से। आमतौर पर उन स्थानों का अध्ययन करना आसान होता है जो टी हैं<sub>0</sub>, लेकिन उन संरचनाओं को अनुमति देना भी आसान हो सकता है जो टी नहीं हैं<sub>0</sub> एक संपूर्ण चित्र प्राप्त करने के लिए. टी<sub>0</sub> कोलमोगोरोव भागफल की अवधारणा का उपयोग करके आवश्यकता को मनमाने ढंग से जोड़ा या हटाया जा सकता है।
+इस तरह किसी गुण या संरचना के लिए आवश्यकताओं से T<sub>0</sub>-नेस को हटाने का प्राकृतिक तरीका है। सामान्यतः उन समष्टि का अध्ययन करना आसान होता है जो T<sub>0</sub> हैं, लेकिन उन संरचनाओं को अनुमति देना भी आसान हो सकता है जो T<sub>0</sub> नहीं हैं संपूर्ण चित्र मिल सके। कोलमोगोरोव भागफल की अवधारणा का उपयोग करके T<sub>0</sub> आवश्यकता को अव्यवस्थिततः से जोड़ा या हटाया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* शांत स्थान
+* सोबर समष्टि
 ==संदर्भ==
 {{Reflist}}
-*Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., ''Counterexamples in Topology''. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. {{ISBN|0-486-68735-X}} (Dover edition).
+*Lynn Arthur Steen and J। Arthur Seebach, Jr।, ''Counterexamples in Topology''। Springer-Verlag, New York, 1978। Reprinted by Dover Publications, New York, 1995। {{ISBN|0-486-68735-X}} (Dover edition)।
-[[Category: पृथक्करण अभिगृहीत]] [[Category: टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गुण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 08/07/2023]]
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+[[Category:Machine Translated Page]]
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+[[Category:पृथक्करण अभिगृहीत]]

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Latest revision as of 16:09, 25 July 2023

Contents

परिभाषा

उदाहरण और प्रति उदाहरण

वे समष्टि जो T₀ नहीं हैं

समष्टि जो T₀ हैं लेकिन T₁ नहीं हैं

T₀ के साथ संचालन समष्टि

कोलमोगोरोव भागफल

T₀ हटाना

यह भी देखें

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परिभाषा

उदाहरण और प्रति उदाहरण

वे समष्टि जो T0 नहीं हैं

समष्टि जो T0 हैं लेकिन T1 नहीं हैं

T0 के साथ संचालन समष्टि

कोलमोगोरोव भागफल

T0 हटाना

यह भी देखें

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वे समष्टि जो T₀ नहीं हैं

समष्टि जो T₀ हैं लेकिन T₁ नहीं हैं

T₀ के साथ संचालन समष्टि

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