टेलीग्राफ प्रक्रिया: Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत में, टेलीग्राफ प्रक्रिया एक [[ स्मृतिहीनता ]] निरंतर-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो दो अलग-अलग मान दिखाती है। यह [[फटने का शोर]] (जिसे पॉपकॉर्न शोर या रैंडम टेलीग्राफ सिग्नल भी कहा जाता है) को मॉडल करता है। यदि दो संभावित मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं '' हैं<math>c_1</math>और<math>c_2</math>, तो प्रक्रिया को निम्नलिखित [[मास्टर समीकरण]]ों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
संभाव्यता सिद्धांत में, '''टेलीग्राफ प्रक्रिया''' एक स्मृतिहीन सतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो दो अलग-अलग मान दिखाती है। यह बर्स्ट नॉइज़ को मॉडल करता है (जिसे पॉपकॉर्न नॉइज़ या यादृच्छिक टेलीग्राफ संकेत भी कहा जाता है)। यदि दो संभावित मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं वे ''<math>c_1</math>''और ''<math>c_2</math>''हैं, तो प्रक्रिया को निम्नलिखित मास्टर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:


:<math>\partial_t P(c_1, t|x, t_0)=-\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)+\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0)</math>
:<math>\partial_t P(c_1, t|x, t_0)=-\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)+\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0)</math>
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:<math>\partial_t P(c_2, t|x, t_0)=\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)-\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0).</math>
:<math>\partial_t P(c_2, t|x, t_0)=\lambda_1 P(c_1, t|x, t_0)-\lambda_2 P(c_2, t|x, t_0).</math>
कहाँ <math>\lambda_1</math> राज्य से जाने के लिए संक्रमण दर है <math>c_1</math> कहना <math>c_2</math> और <math>\lambda_2</math> राज्य से जाने के लिए संक्रमण दर है <math>c_2</math> कहना <math>c_1</math>. इस प्रक्रिया को Kac प्रक्रिया (गणितज्ञ मार्क Kac के नाम पर) के नाम से भी जाना जाता है।<ref name="Kac">{{cite journal | doi = 10.1023/A:1009437108439 | last1 = Bondarenko | first1 = YV | year = 2000 | title = वित्तीय सूचकांकों के विकास के विवरण के लिए संभाव्य मॉडल| journal = Cybernetics and Systems Analysis | volume = 36 | issue = 5| pages = 738–742 | s2cid = 115293176 }}</ref> और द्विभाजित यादृच्छिक प्रक्रिया।<ref>{{cite journal | last1 = Margolin | first1 = G | last2 = Barkai | first2 = E | year = 2006 | title = Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 122 | issue = 1| pages = 137–167 | doi =10.1007/s10955-005-8076-9 |bibcode=2006JSP...122..137M|arxiv = cond-mat/0504454 | s2cid = 53625405 }}</ref>
जहां <math>\lambda_1</math>अवस्था <math>c_1</math>से अवस्था <math>c_2</math> में जाने के लिए परिवर्तन दर है और <math>\lambda_2</math>अवस्था <math>c_2</math>से अवस्था <math>c_1</math>में जाने के लिए परिवर्तन दर है। इस प्रक्रिया को '''काक प्रक्रिया''' (गणितज्ञ मार्क काक के नाम पर),<ref name="Kac">{{cite journal | doi = 10.1023/A:1009437108439 | last1 = Bondarenko | first1 = YV | year = 2000 | title = वित्तीय सूचकांकों के विकास के विवरण के लिए संभाव्य मॉडल| journal = Cybernetics and Systems Analysis | volume = 36 | issue = 5| pages = 738–742 | s2cid = 115293176 }}</ref> और '''द्विभाजित यादृच्छिक प्रक्रिया''' के नाम से भी जाना जाता है।<ref>{{cite journal | last1 = Margolin | first1 = G | last2 = Barkai | first2 = E | year = 2006 | title = Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 122 | issue = 1| pages = 137–167 | doi =10.1007/s10955-005-8076-9 |bibcode=2006JSP...122..137M|arxiv = cond-mat/0504454 | s2cid = 53625405 }}</ref>
 
 
==समाधान==
==समाधान==
मास्टर समीकरण को एक वेक्टर का परिचय देकर मैट्रिक्स रूप में कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जाता है <math>\mathbf{P}=[P(c_1, t|x, t_0),P(c_2, t|x, t_0)]</math>,
मास्टर समीकरण को एक सदिश <math>\mathbf{P}=[P(c_1, t|x, t_0),P(c_2, t|x, t_0)]</math>प्रस्तुत करके आव्यूह रूप में संक्षिप्त रूप से लिखा गया है।


:<math>\frac{d\mathbf P}{dt}=W\mathbf P</math>
:<math>\frac{d\mathbf P}{dt}=W\mathbf P</math>
कहाँ
जहां


:<math>W=\begin{pmatrix}
:<math>W=\begin{pmatrix}
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\lambda_1 & -\lambda_2
\lambda_1 & -\lambda_2
\end{pmatrix}</math>
\end{pmatrix}</math>
[[संक्रमण दर मैट्रिक्स]] है. औपचारिक समाधान प्रारंभिक स्थिति से निर्मित होता है <math>\mathbf{P}(0)</math> (जो इसे परिभाषित करता है <math>t=t_0</math>, राज्य है <math>x</math>) द्वारा
परिवर्तन दर आव्यूह है औपचारिक समाधान का निर्माण प्रारंभिक स्थिति <math>\mathbf{P}(0)</math> से किया जाता है (जो परिभाषित करता है कि <math>t=t_0</math> पर, स्थिति <math>x</math> है)


:<math>\mathbf{P}(t) = e^{Wt}\mathbf{P}(0)</math>.
:<math>\mathbf{P}(t) = e^{Wt}\mathbf{P}(0)</math>.


ऐसा दिखाया जा सकता है<ref>[[V. Balakrishnan (physicist)|Balakrishnan, V.]] (2020). Mathematical Physics: Applications and Problems. Springer International Publishing. pp. 474</ref>
यह दर्शाया जा सकता है कि<ref>[[V. Balakrishnan (physicist)|Balakrishnan, V.]] (2020). Mathematical Physics: Applications and Problems. Springer International Publishing. pp. 474</ref>
:<math>e^{Wt}= I+ W\frac{(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda}</math>
:<math>e^{Wt}= I+ W\frac{(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda}</math>
कहाँ <math>I</math> पहचान मैट्रिक्स है और <math>\lambda=(\lambda_1+\lambda_2)/2</math> औसत संक्रमण दर है. जैसा <math>t\rightarrow \infty</math>, समाधान एक स्थिर वितरण तक पहुंचता है <math>\mathbf{P}(t\rightarrow \infty)=\mathbf{P}_s</math> द्वारा दिए गए
जहां <math>I</math> सर्वसमिका आव्यूह  है और <math>\lambda=(\lambda_1+\lambda_2)/2</math> औसत परिवर्तन दर है। जैसे <math>t\rightarrow \infty</math>, समाधान स्थिर वितरण <math>\mathbf{P}(t\rightarrow \infty)=\mathbf{P}_s</math> तक पहुंचता है।


:<math>\mathbf{P}_s= \frac{1}{2\lambda}\begin{pmatrix}
:<math>\mathbf{P}_s= \frac{1}{2\lambda}\begin{pmatrix}
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\lambda_1
\lambda_1
\end{pmatrix}</math>
\end{pmatrix}</math>
==गुण==
==गुण==
प्रारंभिक अवस्था [[घातीय क्षय]] का ज्ञान। इसलिए, कुछ समय के लिए <math>t\gg (2\lambda)^{-1}</math>, प्रक्रिया निम्नलिखित स्थिर मानों तक पहुंच जाएगी, जिसे सबस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया गया है:
प्रारंभिक अवस्था का ज्ञान तेजी से क्षीण होता जाता है। इसलिए, समय <math>t\gg (2\lambda)^{-1}</math>के लिए, प्रक्रिया निम्नलिखित स्थिर मानों तक पहुंच जाएगी, जिसे सबस्क्रिप्ट ''s'' द्वारा दर्शाया गया है:


अर्थ:
माध्य


: <math>\langle X \rangle_s = \frac {c_1\lambda_2+c_2\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}.</math>
: <math>\langle X \rangle_s = \frac {c_1\lambda_2+c_2\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}.</math>
विचरण:
भिन्नता:


: <math> \operatorname{var} \{ X \}_s = \frac {(c_1-c_2)^2\lambda_1\lambda_2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}.</math>
: <math> \operatorname{var} \{ X \}_s = \frac {(c_1-c_2)^2\lambda_1\lambda_2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}.</math>
कोई सहसंबंध फ़ंक्शन की गणना भी कर सकता है:
कोई सहसंबंध फलन की भी गणना कर सकता है:


: <math>\langle X(t),X(u)\rangle_s = e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname{var} \{ X \}_s.</math>
: <math>\langle X(t),X(u)\rangle_s = e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname{var} \{ X \}_s.</math>


 
== अनुप्रयोग ==
==आवेदन==
यह यादृच्छिक प्रक्रिया मॉडल निर्माण में व्यापक रूप से उपयुक्त होती है:
 
* भौतिकी में, [[स्पिन (भौतिकी)|स्पिन]] प्रणालियाँ और प्रतिदीप्ति आंतरायिकता द्विभाजित गुण दर्शाते हैं। लेकिन विशेष रूप से [[एकल अणु प्रयोग|एकल अणु]] प्रयोगों में उपरोक्त सभी सूत्रों में निहित घातांकीय वितरण के बजाय बीजीय पूंछ वाले संभाव्यता वितरण का उपयोग किया जाता है।
इस यादृच्छिक प्रक्रिया को मॉडल निर्माण में व्यापक अनुप्रयोग मिलता है:
*वित्त में स्टॉक की कीमतों का वर्णन करने के लिए।<ref name="Kac" />
* भौतिकी में, [[स्पिन (भौतिकी)]] और प्रतिदीप्ति [[प्रतिदीप्ति आंतरायिकता]] द्विभाजित गुण दिखाते हैं। लेकिन विशेष रूप से [[एकल अणु प्रयोग]]ों में उपरोक्त सभी सूत्रों में निहित घातीय वितरण के बजाय बीजगणितीय पूंछ वाले संभाव्यता वितरण का उपयोग किया जाता है।
*प्रतिलेखन कारक बंधन और असंबद्धता का वर्णन करने के लिए जीव विज्ञान में है।
* [[ भंडार ]] की कीमतों का वर्णन करने के लिए [[वित्त]] में<ref name="Kac" />* जीव विज्ञान में [[प्रतिलेखन कारक]] बाइंडिंग और अनबाइंडिंग का वर्णन करने के लिए।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==


*[[मार्कोव श्रृंखला]]
* [[मार्कोव श्रृंखला]]
*[[स्टोकेस्टिक प्रक्रिया विषयों की सूची]]
* स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के विषयों की सूची
*[[यादृच्छिक टेलीग्राफ संकेत]]
* [[यादृच्छिक टेलीग्राफ संकेत]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
<references/>
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Latest revision as of 19:31, 21 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, टेलीग्राफ प्रक्रिया एक स्मृतिहीन सतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो दो अलग-अलग मान दिखाती है। यह बर्स्ट नॉइज़ को मॉडल करता है (जिसे पॉपकॉर्न नॉइज़ या यादृच्छिक टेलीग्राफ संकेत भी कहा जाता है)। यदि दो संभावित मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं वे और हैं, तो प्रक्रिया को निम्नलिखित मास्टर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

और

जहां अवस्था से अवस्था में जाने के लिए परिवर्तन दर है और अवस्था से अवस्था में जाने के लिए परिवर्तन दर है। इस प्रक्रिया को काक प्रक्रिया (गणितज्ञ मार्क काक के नाम पर),[1] और द्विभाजित यादृच्छिक प्रक्रिया के नाम से भी जाना जाता है।[2]

समाधान

मास्टर समीकरण को एक सदिश प्रस्तुत करके आव्यूह रूप में संक्षिप्त रूप से लिखा गया है।

जहां

परिवर्तन दर आव्यूह है औपचारिक समाधान का निर्माण प्रारंभिक स्थिति से किया जाता है (जो परिभाषित करता है कि पर, स्थिति है)

.

यह दर्शाया जा सकता है कि[3]

जहां सर्वसमिका आव्यूह है और औसत परिवर्तन दर है। जैसे , समाधान स्थिर वितरण तक पहुंचता है।

गुण

प्रारंभिक अवस्था का ज्ञान तेजी से क्षीण होता जाता है। इसलिए, समय के लिए, प्रक्रिया निम्नलिखित स्थिर मानों तक पहुंच जाएगी, जिसे सबस्क्रिप्ट s द्वारा दर्शाया गया है:

माध्य

भिन्नता:

कोई सहसंबंध फलन की भी गणना कर सकता है:

अनुप्रयोग

यह यादृच्छिक प्रक्रिया मॉडल निर्माण में व्यापक रूप से उपयुक्त होती है:

  • भौतिकी में, स्पिन प्रणालियाँ और प्रतिदीप्ति आंतरायिकता द्विभाजित गुण दर्शाते हैं। लेकिन विशेष रूप से एकल अणु प्रयोगों में उपरोक्त सभी सूत्रों में निहित घातांकीय वितरण के बजाय बीजीय पूंछ वाले संभाव्यता वितरण का उपयोग किया जाता है।
  • वित्त में स्टॉक की कीमतों का वर्णन करने के लिए।[1]
  • प्रतिलेखन कारक बंधन और असंबद्धता का वर्णन करने के लिए जीव विज्ञान में है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Bondarenko, YV (2000). "वित्तीय सूचकांकों के विकास के विवरण के लिए संभाव्य मॉडल". Cybernetics and Systems Analysis. 36 (5): 738–742. doi:10.1023/A:1009437108439. S2CID 115293176.
  2. ↑ Margolin, G; Barkai, E (2006). "Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics". Journal of Statistical Physics. 122 (1): 137–167. arXiv:cond-mat/0504454. Bibcode:2006JSP...122..137M. doi:10.1007/s10955-005-8076-9. S2CID 53625405.
  3. ↑ Balakrishnan, V. (2020). Mathematical Physics: Applications and Problems. Springer International Publishing. pp. 474
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