अशक्त तुल्यता (होमोटॉपी सिद्धांत): Difference between revisions

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गणित में, कमजोर तुल्यता [[समरूपता सिद्धांत]] की एक धारणा है जो कुछ अर्थों में उन वस्तुओं की पहचान करती है जिनका आकार समान होता है। इस धारणा को [[मॉडल श्रेणी]] की [[स्वयंसिद्ध]] परिभाषा में औपचारिक रूप दिया गया है।
गणित में, '''अशक्त तुल्यता (होमोटॉपी सिद्धांत)''' की एक धारणा है जो कुछ अर्थों में उन वस्तुओं की पहचान करती है जिनका "आकार" समान होता है। [[मॉडल श्रेणी]] की [[स्वयंसिद्ध]] परिभाषा में इस धारणा को औपचारिक रूप दिया गया है।


एक मॉडल श्रेणी एक [[श्रेणी (गणित)]] है जिसमें आकारिकी के वर्ग होते हैं जिन्हें कमजोर समकक्ष, तंतु और सह-तंतु कहा जाता है, जो कई स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। एक मॉडल श्रेणी की संबद्ध होमोटॉपी श्रेणी में समान वस्तुएं होती हैं, लेकिन कमजोर समकक्षों को [[ समाकृतिकता ]] में बनाने के लिए रूपवाद को बदल दिया जाता है। यह एक उपयोगी अवलोकन है कि संबंधित होमोटोपी श्रेणी केवल कमजोर समकक्षों पर निर्भर करती है, [[कंपन]] और सह-फ़िब्रेशन पर नहीं।
मॉडल श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें आकारिकी के वर्ग होते हैं जिन्हें तनु समकक्ष, तंतु और सह-तंतु कहा जाता है, जो कई स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। एक मॉडल श्रेणी की संबद्ध होमोटॉपी श्रेणी में समान वस्तुएं होती हैं, लेकिन तनु समकक्षों को समरूपता में बदलने के लिए रूपवाद को बदल दिया जाता है।  यह एक उपयोगी अवलोकन है कि संबंधित होमोटॉपी श्रेणी केवल तनु समकक्षों पर निर्भर करती है, फ़ाइब्रेशन और सह-फाइब्रेशन पर नहीं है।


==[[टोपोलॉजिकल स्पेस]]==
==[[टोपोलॉजिकल स्पेस]]==
मॉडल श्रेणियों को [[डेनियल क्विलेन]] द्वारा होमोटॉपी सिद्धांत के स्वयंसिद्धीकरण के रूप में परिभाषित किया गया था जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर लागू होता है, लेकिन [[अमूर्त बीजगणित]] और [[ज्यामिति]] में कई अन्य श्रेणियों पर भी लागू होता है। उदाहरण जिसने विषय को शुरू किया वह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी है जिसमें [[ फाइबर ग्रीनहाउस ]] को फाइब्रेशन के रूप में और कमजोर होमोटॉपी समकक्ष को कमजोर समकक्ष के रूप में शामिल किया गया है (इस मॉडल संरचना के लिए कोफाइब्रेशन को सापेक्ष सेल कॉम्प्लेक्स '' एक्स '' के रिट्रेक्ट (टोपोलॉजी) के रूप में वर्णित किया जा सकता है) ⊆ ''वाई''<ref>Hovey (1999), Definition 2.4.3.</ref>). परिभाषा के अनुसार, यदि [[पथ घटक]]ों के सेट पर प्रेरित फ़ंक्शन होता है, तो रिक्त स्थान की निरंतर मैपिंग f: X → Y को कमजोर होमोटॉपी तुल्यता कहा जाता है
[[डेनियल क्विलेन|क्विलेन]] द्वारा मॉडल श्रेणियों को होमोटोपी सिद्धांत के स्वयंसिद्धीकरण के रूप में परिभाषित किया गया था जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर लागू होता है, लेकिन बीजगणित और [[ज्यामिति]] में कई अन्य श्रेणियों पर भी लागू होता है। जिस उदाहरण ने विषय को प्रारम्भ किया वह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी है जिसमें सेरे फाइब्रेशन को फाइब्रेशन के रूप में और अशक्त होमोटॉपी समकक्ष को अशक्त समकक्ष के रूप में सम्मिलित किया गया है (इस मॉडल संरचना के लिए कोफाइब्रेशन को सापेक्ष सेल सम्मिश्र ''X'' ⊆ ''Y'' <ref>Hatcher (2002), Theorem 4.32.</ref> के रिट्रेक्ट के रूप में वर्णित किया जा सकता है)। परिभाषा के अनुसार, यदि पथ घटकों के सेट पर प्रेरित कार्य होता है, तो रिक्त स्थान की निरंतर मैपिंग ''f'': ''X'' → ''Y'' को तनु होमोटॉपी तुल्यता कहा जाता है।
:<math>f_*\colon \pi_0(X) \to \pi_0(Y)</math>
:<math>f_*\colon \pi_0(X) \to \pi_0(Y)</math>
विशेषण है, और X में प्रत्येक बिंदु x और प्रत्येक n ≥ 1 के लिए, प्रेरित [[समूह समरूपता]]
विशेषण है, और प्रत्येक बिंदु ''x'' के लिए ''X'' और प्रत्येक n ≥ 1, प्रेरित समरूपता
:<math>f_*\colon \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,f(x))</math>
:<math>f_*\colon \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,f(x))</math>
[[समरूप समूह]]ों पर विशेषण है। (एक्स और वाई [[ पथ से जुड़ा हुआ ]] के लिए, पहली शर्त स्वचालित है, और यह एक्स में एकल बिंदु एक्स के लिए दूसरी शर्त बताने के लिए पर्याप्त है।)
होमोटोपी समूहों पर विशेषण है। (X और ''Y'' पथ से जुड़े के लिए, पहली शर्त स्वचालित है, और यह x में एकल बिंदु ''X'' के लिए दूसरी शर्त बताने के लिए पर्याप्त है।)


सरल रूप से जुड़े हुए टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के लिए, एक मानचित्र f:<sub>*</sub>: एच<sub>''n''</sub>(एक्स,'जेड') → एच<sub>''n''</sub>(Y,'Z') [[एकवचन समरूपता]] समूहों पर सभी n के लिए विशेषण है।<ref>Hatcher (2002), Theorem 4.32.</ref> इसी तरह, बस जुड़े हुए स्थानों X और Y के लिए, एक नक्शा f:<sup>n</sup>(Y,'Z') → H<sup>n</sup>(X,'Z') एकवचन सहविज्ञान पर सभी n के लिए विशेषण है।<ref>[https://mathoverflow.net/q/57783 Is there the Whitehead theorem for cohomology theory?]</ref>
केवल जुड़े हुए टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के लिए, मैप ''f'': ''X'' → ''Y''  तनु होमोटोपी तुल्यता है यदि और केवल अगर प्रेरित होमोमोर्फिज्म ''f''<sub>*</sub>: ''H<sub>n</sub>''(''X'','''Z''') → ''H<sub>n</sub>''(''Y'','''Z''') एकवचन होमोलॉजी समूहों पर सभी ''n'' के लिए विशेषण है।<ref>[https://mathoverflow.net/q/57783 Is there the Whitehead theorem for cohomology theory?]</ref> इसी तरह, केवल जुड़े हुए स्थानों के लिए X और Y, एक मैप ''f: X → Y'' एक तनु होमोटोपी तुल्यता है यदि और केवल अगर पुलबैक होमोमोर्फिज्म ''f''*: ''H<sup>n</sup>''(''Y'','''Z''') → ''H<sup>n</sup>''(''X'','''Z''') एकवचन समरूपता पर सभी ''n'' के लिए विशेषण है।<ref>Strøm (1972).</ref>
उदाहरण: मान लीजिए कि वास्तविक रेखा से उप-स्थान टोपोलॉजी। सकारात्मक पूर्णांक n के लिए 0 से 0 और n से 1/n को मैप करके f: X → Y को परिभाषित करें। तब f सतत है, और वास्तव में एक कमजोर समरूप समतुल्य है, लेकिन यह एक समरूप समतुल्य नहीं है।


टोपोलॉजिकल स्पेस की होमोटॉपी श्रेणी (कमजोर [[समरूप वर्ग]]ों को उल्टा करके प्राप्त की गई) टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी को बहुत सरल बनाती है। दरअसल, यह होमोटॉपी श्रेणी [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]] की श्रेणी की श्रेणियों के समतुल्य है, जिसमें आकारिकी निरंतर मानचित्रों के होमोटॉपी वर्ग हैं।
उदाहरण: X को प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने दें { 0, 1, 2, ... } और ''Y'' को सेट होने दें { 0 } ∪ 1, 1/2, 1 / 3, ...}, दोनों वास्तविक लाइन से उप-स्थलाकृति के साथ परिभाषित करें ''f: X → Y'' मैपिंग द्वारा 0 से 0 और ''n'' से ''1/n'' तक धनात्मक पूर्णांक ''n'' के लिए. फिर ''f'' निरंतर है, और वास्तव में एक तनु होमोटोपी तुल्यता है, लेकिन यह होमोटोपी तुल्यता नहीं है।


टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी पर कई अन्य मॉडल संरचनाओं पर भी विचार किया गया है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस पर स्ट्रोम मॉडल संरचना में, फ़ाइब्रेशन [[ह्यूरविक्ज़ फ़िब्रेशन]] हैं और कमज़ोर समकक्ष होमोटॉपी समकक्ष हैं।<ref>Strøm (1972).</ref>
टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में कई अन्य मॉडल संरचनाओं पर भी विचार किया गया है. उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस पर स्ट्रॉम मॉडल संरचना में, फ़ाइब्रेशन [[ह्यूरविक्ज़ फ़िब्रेशन]] हैं और तनु समतुल्य होमोटोपी समकक्ष हैं।


 
==श्रृंखला सम्मिश्र==
==श्रृंखला परिसर==
कुछ अन्य महत्वपूर्ण मॉडल श्रेणियों में चेन सम्मिश्र सम्मिलित हैं। मान लीजिए A [[ग्रोथेंडिक श्रेणी|ग्रोथेंडिक]] एबेलियन श्रेणी है, उदाहरण के लिए, रिंग पर [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] की श्रेणी या टोपोलॉजिकल स्पेस पर [[एबेलियन समूह|एबेलियन]] समूहों के शीव्स की श्रेणी। ''A'' में वस्तुओं के सम्मिश्र X के साथ श्रेणी ''C''(''A'') को परिभाषित करें,
कुछ अन्य महत्वपूर्ण मॉडल श्रेणियों में श्रृंखला परिसर शामिल हैं। मान लीजिए A एक [[ग्रोथेंडिक श्रेणी]] है, उदाहरण के लिए एक रिंग (गणित) पर [[मॉड्यूल (गणित)]] की श्रेणी या टोपोलॉजिकल स्पेस पर [[एबेलियन समूह]]ों के शीफ (गणित) की श्रेणी। ए में वस्तुओं [[श्रृंखला जटिल]] एक्स वाली वस्तुओं के साथ एक श्रेणी सी (ए) को परिभाषित करें,
:<math>\cdots\to X_1\to X_0\to X_{-1}\to\cdots,</math>
:<math>\cdots\to X_1\to X_0\to X_{-1}\to\cdots,</math>
और शृंखला मानचित्रों को आकार देता है। (यह ए की वस्तुओं के कोचेन कॉम्प्लेक्स पर विचार करने के बराबर है, जहां नंबरिंग को इस प्रकार लिखा जाता है
और शृंखला मानचित्रों में रूपवाद। (यह ''A'' की वस्तुओं के "कोचेन सम्मिश्र" पर विचार करने के बराबर है, जहां क्रमांकन इस प्रकार लिखा जाता है
:<math>\cdots\to X^{-1}\to X^0\to X^1\to\cdots,</math>
:<math>\cdots\to X^{-1}\to X^0\to X^1\to\cdots,</math>
बस एक्स को परिभाषित करके<sup>मैं</sup> = एक्स<sub>−''i''</sub>.)
केवल  ''X<sup>i</sup>'' = ''X''<sub>−''i''</sub>.को परिभाषित करके।)


श्रेणी सी(ए) में एक मॉडल संरचना होती है जिसमें सह-फाइब्रेशन [[एकरूपता]] होते हैं और कमजोर समकक्ष [[अर्ध-समरूपता]]' होते हैं।<ref>Beke (2000), Proposition 3.13.</ref> परिभाषा के अनुसार, एक श्रृंखला मानचित्र f: X → Y एक अर्ध-समरूपता है यदि प्रेरित समरूपता
श्रेणी ''C''(''A'') में एक मॉडल संरचना होती है जिसमें सह-फाइब्रेशन मोनोमोर्फिज्म होते हैं और तनु समकक्ष अ[[अर्ध-समरूपता]] होते हैं।<ref>Beke (2000), Proposition 3.13.</ref> परिभाषा के अनुसार, श्रृंखला मानचित्र ''f: X → Y''  अर्ध-समरूपता है यदि प्रेरित समरूपता है
:<math>f_*\colon H_n(X) \to H_n(Y)</math>
:<math>f_*\colon H_n(X) \to H_n(Y)</math>
समरूपता (गणित) पर सभी पूर्णांक n के लिए एक समरूपता है। (यहां एच<sub>''n''</sub>(एक्स) ए की वस्तु है जिसे एक्स के [[कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत)]] के रूप में परिभाषित किया गया है<sub>''n''</sub> → एक्स<sub>''n''−1</sub> X की [[छवि (गणित)]] मॉड्यूलो<sub>''n''+1</sub> → एक्स<sub>''n''</sub>.) परिणामी समरूप श्रेणी को [[व्युत्पन्न श्रेणी]] डी(ए) कहा जाता है।
होमोलॉजी पर सभी पूर्णांकों n के लिए एक समरूपता है। (यहाँ ''H<sub>n</sub>''(''X'') ''A'' का ऑब्जेक्ट है जिसे ''X<sub>n</sub>'' → ''X<sub>n</sub>''<sub>−1</sub> मॉड्यूलो ''X<sub>n</sub>''<sub>+1</sub> → ''X<sub>n</sub>'' की छवि के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया गया है।) परिणामी समरूप श्रेणी को व्युत्पन्न श्रेणी ''D''(''A'') कहा जाता है।


==तुच्छ तंतु और तुच्छ सहतंतु==
==ट्रिवियल फाइब्रेशन और ट्रिवियल कोफाइब्रेशन ==
किसी भी मॉडल श्रेणी में, एक फ़ाइब्रेशन जो एक कमजोर तुल्यता भी है, को ट्रिवियल (या एसाइक्लिक) फ़ाइब्रेशन कहा जाता है। एक सह-फाइब्रेशन जो कि एक कमजोर तुल्यता भी है, को ट्रिवियल (या एसाइक्लिक) को-फाइब्रेशन कहा जाता है।
किसी भी मॉडल श्रेणी में, फाइब्रेशन जो तनु तुल्यता भी है, को ट्रिवियल (या अचक्रीय) फ़िब्रेशन कहा जाता है। सह-फाइब्रेशन जो तनु तुल्यता भी है, को तुच्छ (या एसाइक्लिक) सह-फाइब्रेशन कहा जाता है।


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
*{{Citation | author1-first=Tibor | author1-last=Beke | title=Sheafifiable homotopy model categories | journal=[[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] | volume=129 | pages=447–473 | year=2000 | mr=1780498 | doi=10.1017/S0305004100004722| arxiv=math/0102087 | bibcode=2000MPCPS.129..447B }}
*{{Citation | author1-first=Tibor | author1-last=Beke | title=Sheafifiable homotopy model categories | journal=[[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] | volume=129 | pages=447–473 | year=2000 | mr=1780498 | doi=10.1017/S0305004100004722| arxiv=math/0102087 | bibcode=2000MPCPS.129..447B }}
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*{{Citation | author1-first=Arne | author1-last=Strøm | title=The homotopy category is a homotopy category | journal=Archiv der Mathematik | volume=23 | pages=435–441 | year=1972 | mr=0321082 | doi=10.1007/BF01304912}}


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Latest revision as of 15:05, 30 August 2023

गणित में, अशक्त तुल्यता (होमोटॉपी सिद्धांत) की एक धारणा है जो कुछ अर्थों में उन वस्तुओं की पहचान करती है जिनका "आकार" समान होता है। मॉडल श्रेणी की स्वयंसिद्ध परिभाषा में इस धारणा को औपचारिक रूप दिया गया है।

मॉडल श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें आकारिकी के वर्ग होते हैं जिन्हें तनु समकक्ष, तंतु और सह-तंतु कहा जाता है, जो कई स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। एक मॉडल श्रेणी की संबद्ध होमोटॉपी श्रेणी में समान वस्तुएं होती हैं, लेकिन तनु समकक्षों को समरूपता में बदलने के लिए रूपवाद को बदल दिया जाता है।  यह एक उपयोगी अवलोकन है कि संबंधित होमोटॉपी श्रेणी केवल तनु समकक्षों पर निर्भर करती है, फ़ाइब्रेशन और सह-फाइब्रेशन पर नहीं है।

टोपोलॉजिकल स्पेस

क्विलेन द्वारा मॉडल श्रेणियों को होमोटोपी सिद्धांत के स्वयंसिद्धीकरण के रूप में परिभाषित किया गया था जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर लागू होता है, लेकिन बीजगणित और ज्यामिति में कई अन्य श्रेणियों पर भी लागू होता है। जिस उदाहरण ने विषय को प्रारम्भ किया वह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी है जिसमें सेरे फाइब्रेशन को फाइब्रेशन के रूप में और अशक्त होमोटॉपी समकक्ष को अशक्त समकक्ष के रूप में सम्मिलित किया गया है (इस मॉडल संरचना के लिए कोफाइब्रेशन को सापेक्ष सेल सम्मिश्र X ⊆ Y [1] के रिट्रेक्ट के रूप में वर्णित किया जा सकता है)। परिभाषा के अनुसार, यदि पथ घटकों के सेट पर प्रेरित कार्य होता है, तो रिक्त स्थान की निरंतर मैपिंग f: X → Y को तनु होमोटॉपी तुल्यता कहा जाता है।

विशेषण है, और प्रत्येक बिंदु x के लिए X और प्रत्येक n ≥ 1, प्रेरित समरूपता

होमोटोपी समूहों पर विशेषण है। (X और Y पथ से जुड़े के लिए, पहली शर्त स्वचालित है, और यह x में एकल बिंदु X के लिए दूसरी शर्त बताने के लिए पर्याप्त है।)

केवल जुड़े हुए टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के लिए, मैप f: X → Y तनु होमोटोपी तुल्यता है यदि और केवल अगर प्रेरित होमोमोर्फिज्म f*: Hn(X,Z) → Hn(Y,Z) एकवचन होमोलॉजी समूहों पर सभी n के लिए विशेषण है।[2] इसी तरह, केवल जुड़े हुए स्थानों के लिए X और Y, एक मैप f: X → Y एक तनु होमोटोपी तुल्यता है यदि और केवल अगर पुलबैक होमोमोर्फिज्म f*: Hn(Y,Z) → Hn(X,Z) एकवचन समरूपता पर सभी n के लिए विशेषण है।[3]

उदाहरण: X को प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने दें { 0, 1, 2, ... } और Y को सेट होने दें { 0 } ∪ 1, 1/2, 1 / 3, ...}, दोनों वास्तविक लाइन से उप-स्थलाकृति के साथ परिभाषित करें f: X → Y मैपिंग द्वारा 0 से 0 और n से 1/n तक धनात्मक पूर्णांक n के लिए. फिर f निरंतर है, और वास्तव में एक तनु होमोटोपी तुल्यता है, लेकिन यह होमोटोपी तुल्यता नहीं है।

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में कई अन्य मॉडल संरचनाओं पर भी विचार किया गया है. उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस पर स्ट्रॉम मॉडल संरचना में, फ़ाइब्रेशन ह्यूरविक्ज़ फ़िब्रेशन हैं और तनु समतुल्य होमोटोपी समकक्ष हैं।

श्रृंखला सम्मिश्र

कुछ अन्य महत्वपूर्ण मॉडल श्रेणियों में चेन सम्मिश्र सम्मिलित हैं। मान लीजिए A ग्रोथेंडिक एबेलियन श्रेणी है, उदाहरण के लिए, रिंग पर मॉड्यूल की श्रेणी या टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों के शीव्स की श्रेणी। A में वस्तुओं के सम्मिश्र X के साथ श्रेणी C(A) को परिभाषित करें,

और शृंखला मानचित्रों में रूपवाद। (यह A की वस्तुओं के "कोचेन सम्मिश्र" पर विचार करने के बराबर है, जहां क्रमांकन इस प्रकार लिखा जाता है

केवल Xi = X−i.को परिभाषित करके।)

श्रेणी C(A) में एक मॉडल संरचना होती है जिसमें सह-फाइब्रेशन मोनोमोर्फिज्म होते हैं और तनु समकक्ष अअर्ध-समरूपता होते हैं।[4] परिभाषा के अनुसार, श्रृंखला मानचित्र f: X → Y अर्ध-समरूपता है यदि प्रेरित समरूपता है

होमोलॉजी पर सभी पूर्णांकों n के लिए एक समरूपता है। (यहाँ Hn(X) A का ऑब्जेक्ट है जिसे Xn → Xn−1 मॉड्यूलो Xn+1 → Xn की छवि के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया गया है।) परिणामी समरूप श्रेणी को व्युत्पन्न श्रेणी D(A) कहा जाता है।

ट्रिवियल फाइब्रेशन और ट्रिवियल कोफाइब्रेशन

किसी भी मॉडल श्रेणी में, फाइब्रेशन जो तनु तुल्यता भी है, को ट्रिवियल (या अचक्रीय) फ़िब्रेशन कहा जाता है। सह-फाइब्रेशन जो तनु तुल्यता भी है, को तुच्छ (या एसाइक्लिक) सह-फाइब्रेशन कहा जाता है।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Hatcher (2002), Theorem 4.32.
  2. ↑ Is there the Whitehead theorem for cohomology theory?
  3. ↑ Strøm (1972).
  4. ↑ Beke (2000), Proposition 3.13.

संदर्भ

  • Beke, Tibor (2000), "Sheafifiable homotopy model categories", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 129: 447–473, arXiv:math/0102087, Bibcode:2000MPCPS.129..447B, doi:10.1017/S0305004100004722, MR 1780498
  • Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
  • Hovey, Mark (1999), Model Categories (PDF), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1359-5, MR 1650134
  • Strøm, Arne (1972), "The homotopy category is a homotopy category", Archiv der Mathematik, 23: 435–441, doi:10.1007/BF01304912, MR 0321082
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