श्रृंखला नियम (संभावना): Difference between revisions

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{{Short description|Probability theory concept}}
प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम<ref>{{cite book|first=René L.|last=Schilling|title=माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम|location=Technische Universität Dresden, Germany |year=2021|ISBN=979-8-5991-0488-9|page=136ff.}}</ref> (जिसे सामान्य गुणनफल नियम भी कहा जाता है<ref>{{cite book|first=David A.|last=Schum|title=संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव|year=1994|publisher=Northwestern University Press|isbn=978-0-8101-1821-8|page=49}}</ref><ref>{{cite book|first=Henry E.|last=Klugh|title=Statistics: The Essentials for Research|year=2013|publisher=Psychology Press|isbn=978-1-134-92862-0|page=149|edition=3rd}}</ref>) यह वर्णन करता है कि सशर्त प्रायिकताओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र न होते हुए भी, यह निश्चित करता है कि घटनाओं या क्रमशः [[यादृच्छिक चर]] के [[संयुक्त वितरण]] के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत [[प्रसंभाव्यता प्रक्रिया]] के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए [[बायेसियन नेटवर्क]] का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में [[प्रायिकता वितरण]] का वर्णन करता है।
{{distinguish|text=the [[chain rule]] in calculus}}
संभाव्यता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम<ref>{{cite book|first=René L.|last=Schilling|title=माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम|location=Technische Universität Dresden, Germany |year=2021|ISBN=979-8-5991-0488-9|page=136ff.}}</ref> (इसे सामान्य उत्पाद नियम भी कहा जाता है<ref>{{cite book|first=David A.|last=Schum|title=संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव|year=1994|publisher=Northwestern University Press|isbn=978-0-8101-1821-8|page=49}}</ref><ref>{{cite book|first=Henry E.|last=Klugh|title=Statistics: The Essentials for Research|year=2013|publisher=Psychology Press|isbn=978-1-134-92862-0|page=149|edition=3rd}}</ref>) वर्णन करता है कि सशर्त संभावनाओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र नहीं, घटनाओं या क्रमशः [[यादृच्छिक चर]] के [[संयुक्त वितरण]] के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए [[बायेसियन नेटवर्क]] का अध्ययन, जो सशर्त संभावनाओं के संदर्भ में संभाव्यता वितरण का वर्णन करता है।


==घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम==
==घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम==
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===दो घटनाएँ===
===दो घटनाएँ===


दो घटनाओं के लिए (संभावना सिद्धांत) <math>A</math> और <math>B</math>, श्रृंखला नियम यह बताता है
दो [[घटनाओं]] <math>A</math> और <math>B</math> के लिए, श्रृंखला नियम यह बताता है कि


:<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A)</math>,
:<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A)</math>,


कहाँ <math>\mathbb P(A \mid B)</math> की सशर्त संभावनाओं को दर्शाता है <math>A</math> दिया गया <math>B</math>.
जहां <math>\mathbb P(A \mid B)</math> दिए गए <math>B</math> में से <math>A</math> [[सप्रतिबंधप्रायिकता]] को दर्शाता है।


====उदाहरण====
====उदाहरण====


एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। चलो घटना <math>A</math> पहला कलश चुनें, यानी <math>\mathbb P(A) = \mathbb P(\overline{A}) = 1/2</math>, कहाँ <math>\overline A</math> की [[पूरक घटना]] है <math>A</math>. चलो घटना <math>B</math> मौका हो कि हम सफेद गेंद चुनें। सफ़ेद गेंद चुनने का मौका, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है <math>\mathbb P(B|A) = 2/3.</math> चौराहा <math>A \cap B</math> फिर पहला कलश और उसमें से एक सफेद गेंद चुनने का वर्णन करता है। संभाव्यता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है:
एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना <math>A</math> कलश चुन रही है, अर्थात <math>\mathbb P(A) = \mathbb P(\overline{A}) = 1/2</math>, कहाँ <math>\overline A</math> <math>A</math> की [[पूरक घटना]] है। मान लीजिए कि घटना <math>B</math> वह संभावना है जब हम एक सफेद गेंद चुनते हैं। सफ़ेद गेंद चुनने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है, जो <math>\mathbb P(B|A) = 2/3.</math> है। प्रतिच्छेदन <math>A \cap B</math> फिर पहले कलश और उसमें से एक सफेद गेंद को चुनने का वर्णन करता है। प्रायिकता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है,


:<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A) = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 13.</math>
:<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A) = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 13.</math>
===निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ===


उन घटनाओं के लिए <math>A_1,\ldots,A_n</math> जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा


===अंततः अनेक घटनाएँ===
:
 
घटनाओं के लिए <math>A_1,\ldots,A_n</math> जिसके प्रतिच्छेदन की संभावना शून्य नहीं है, श्रृंखला नियम बताता है
 
:<math>\begin{align}
\mathbb P\left(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\right)
&= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \\
&= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \\
&= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_1)\\
&= \mathbb P(A_1) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})\\
&= \prod_{k=1}^n \mathbb P(A_k \mid A_1 \cap \dots \cap A_{k-1})\\
&= \prod_{k=1}^n \mathbb  P\left(A_k \,\Bigg|\, \bigcap_{j=1}^{k-1} A_j\right).
\end{align}</math>
 
 
====उदाहरण 1====
====उदाहरण 1====
के लिए <math>n=4</math>, यानी चार घटनाएं, श्रृंखला नियम पढ़ता है
<math>n=4</math> के लिए, अर्थात चार घटनाएं हैं, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 42: Line 28:
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \cap A_1) \\
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \cap A_1) \\
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \mid A_1)\mathbb P(A_1)
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \mid A_1)\mathbb P(A_1)
\end{align}</math>.
\end{align}</math>


==== उदाहरण 2 ====
==== उदाहरण 2 ====
हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?
हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?


सबसे पहले, हम सेट करते हैं <math display="inline">A_n := \left\{ \text{draw an ace in the } n^{\text{th}} \text{ try} \right\}</math>. जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं
सबसे पहले, हम <math display="inline">A_n := \left\{ \text{draw an ace in the } n^{\text{th}} \text{ try} \right\}</math>निर्धारित करते हैं। जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं


:<math>\mathbb P(A_1) = \frac 4{52},  
:<math>\mathbb P(A_1) = \frac 4{52},  
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\mathbb P(A_4 \mid A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac 1{49}</math>.
\mathbb P(A_4 \mid A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac 1{49}</math>.


श्रृंखला नियम लागू करना,
श्रृंखला नियम लागू करने पर,


:<math>\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)  
:<math>\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)  
= \frac 4{52} \cdot \frac 3{51} \cdot \frac 2{50} \cdot \frac 1{49}</math>.
= \frac 4{52} \cdot \frac 3{51} \cdot \frac 2{50} \cdot \frac 1{49}</math>


=== प्रमेय का कथन और उपपत्ति ===
=== प्रमेय का कथन और उपपत्ति ===


होने देना <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक संभाव्यता स्थान बनें। याद रखें कि a की [[सशर्त संभाव्यता]] <math>A \in \mathcal A</math> दिया गया <math>B \in \mathcal A</math> परिभाषित किया जाता है
मान लीजिए <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक प्रायिकता समष्टि है।


याद रखें कि <math>A \in \mathcal A</math> दिए गए <math>B \in \mathcal A</math> की [[सशर्त संभाव्यता|सशर्त प्रायिकता]] को 
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 72: Line 59:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।{{math theorem|name = Chain rule| Let <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> be a probability space. Let <math>A_1, ..., A_n \in \mathcal A</math>. Then
के रूप में परिभाषित किया गया है।
 
तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।{{math theorem|name = श्रृंखला नियम| मान लीजिए <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक प्रायिकता समष्टि है। तब <math>A_1, ..., A_n \in \mathcal A</math>. तब


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 80: Line 69:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}


{{Math proof|The formula follows immediately by recursion
{{Math proof|सूत्र प्रत्यावर्तन द्वारा तुरंत अनुसरण करता है
 
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 89: Line 77:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
where we used the definition of the conditional probability in the first step.}}
जहां हमने पहले चरण में सप्रतिबंधप्रायिकता की परिभाषा का उपयोग किया।}}


==असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम ==
==असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम ==
Line 95: Line 83:
===दो यादृच्छिक चर===
===दो यादृच्छिक चर===


दो असतत यादृच्छिक चर के लिए <math>X,Y</math>, हम घटनाओं का उपयोग करते हैं<math>A := \{X = x\}</math>और <math>B := \{Y = y\}</math>उपरोक्त परिभाषा में, और संयुक्त वितरण को इस प्रकार खोजें
दो असतत यादृच्छिक चर <math>X,Y</math> के लिए, हम उपरोक्त परिभाषा में घटनाओं<math>A := \{X = x\}</math>और <math>B := \{Y = y\}</math>का उपयोग करते हैं, और संयुक्त वितरण को  


:<math>\mathbb P(X = x,Y = y) = \mathbb P(X = x\mid Y = y) \mathbb P(Y = y),</math>
:<math>\mathbb P(X = x,Y = y) = \mathbb P(X = x\mid Y = y) \mathbb P(Y = y),</math>
या
:के रूप में निर्धारित करते हैं
या  


:<math>\mathbb P_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y) \mathbb P_Y(y),</math>
:<math>\mathbb P_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y) \mathbb P_Y(y),</math> जहां  <math>\mathbb P_X(x) := \mathbb P(X = x)</math> <math>X</math> का [[प्रायिकता वितरण]] है और <math>\mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y)</math> दिए गए <math>X</math> का [[सशर्त संभाव्यता वितरण|सशर्त प्रायिकता वितरण]] <math>Y</math> है।
कहाँ <math>\mathbb P_X(x) := \mathbb P(X = x)</math>की संभाव्यता वितरण है <math>X</math> और <math>\mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y)</math> की [[सशर्त संभाव्यता वितरण]] <math>X</math> दिया गया <math>Y</math>.
===बहुत सारे यादृच्छिक चर===


===अंततः अनेक यादृच्छिक चर===
माना कि <math>X_1, \ldots , X_n</math> और <math>x_1, \dots, x_n \in \mathbb R</math> यादृच्छिक चर है। सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,
 
होने देना <math>X_1, \ldots , X_n</math> यादृच्छिक चर हो और <math>x_1, \dots, x_n \in \mathbb R</math>. सशर्त संभाव्यता की परिभाषा के अनुसार,


:<math>\mathbb P\left(X_n=x_n, \ldots , X_1=x_1\right) = \mathbb P\left(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right) \mathbb P\left(X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right)</math>
:<math>\mathbb P\left(X_n=x_n, \ldots , X_1=x_1\right) = \mathbb P\left(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right) \mathbb P\left(X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right)</math>
और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, जहां हम सेट करते हैं <math>A_k := \{X_k = x_k\}</math>, हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार पा सकते हैं
और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम <math>A_k := \{X_k = x_k\}</math> को निर्धारित करते हैं और फिर हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 116: Line 103:
&\qquad \cdot \mathbb P(X_n = x_n \mid X_1 = x_1, \dots, X_{n-1} = x_{n-1})\\
&\qquad \cdot \mathbb P(X_n = x_n \mid X_1 = x_1, \dots, X_{n-1} = x_{n-1})\\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
===उदाहरण===
===उदाहरण===


के लिए <math>n=3</math>, यानी तीन यादृच्छिक चर पर विचार करना। फिर, श्रृंखला नियम पढ़ता है
<math>n=3</math> के लिए, अर्थात तीन यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 129: Line 114:
&= \mathbb P_{X_3\mid X_2, X_1}(x_3 \mid x_2, x_1) \mathbb P_{X_2\mid X_1}(x_2 \mid x_1) \mathbb P_{X_1}(x_1).
&= \mathbb P_{X_3\mid X_2, X_1}(x_3 \mid x_2, x_1) \mathbb P_{X_2\mid X_1}(x_2 \mid x_1) \mathbb P_{X_1}(x_1).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==


* {{annotated link|Independence (probability theory)}}
* {{annotated link|स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)
}}-  जब एक घटना की घटना दूसरे की संभावना को प्रभावित नहीं करती है


==ग्रन्थसूची==
==ग्रन्थसूची==


* {{citation|author=[[René L. Schilling]]|date=2021|edition=1|isbn=979-8-5991-0488-9|location=Technische Universität Dresden, Germany|title=Measure, Integral, Probability & Processes - Probab(ilistical)ly the Theoretical Minimum}}<!-- auto-translated by Module:CS1 translator -->
* {{citation|author=[[रेने एल. शिलिंग]]|date=2021|edition=1|isbn=979-8-5991-0488-9|location=टेक्नीश यूनिवर्सिटेट ड्रेसडेन, जर्मनी|title=माप, अभिन्न, प्रायिकता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम}}
* {{citation|author=[[William Feller]]|date=1968|edition=3|isbn=978-0-471-25708-0|location=New York / London / Sydney|publisher=Wiley|title=An Introduction to Probability Theory and Its Applications|volume=I}}<!-- auto-translated by Module:CS1 translator -->
* {{citation|author=[[विलियम फेलर]]|date=1968|edition=3|isbn=978-0-471-25708-0|location=न्यूयॉर्क/लंदन/सिडनी|publisher=विले|title=प्रायिकता सिद्धांत और उसके आवेदन के लिए एक परिचय|volume=I}}
* {{Russell Norvig 2003}}, p. 496.
* {{Russell Norvig 2003}}, p. 496.
==संदर्भ==
==संदर्भ==


{{reflist}}
{{reflist}}
[[Category: बायेसियन अनुमान]] [[Category: बायेसियन आँकड़े]] [[Category: गणितीय पहचान]] [[Category: सिद्धांत संभावना]]


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Latest revision as of 14:39, 17 October 2023

प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम[1] (जिसे सामान्य गुणनफल नियम भी कहा जाता है[2][3]) यह वर्णन करता है कि सशर्त प्रायिकताओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र न होते हुए भी, यह निश्चित करता है कि घटनाओं या क्रमशः यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत प्रसंभाव्यता प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में प्रायिकता वितरण का वर्णन करता है।

घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम

दो घटनाएँ

दो घटनाओं और के लिए, श्रृंखला नियम यह बताता है कि

,

जहां दिए गए में से सप्रतिबंधप्रायिकता को दर्शाता है।

उदाहरण

एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना कलश चुन रही है, अर्थात , कहाँ की पूरक घटना है। मान लीजिए कि घटना वह संभावना है जब हम एक सफेद गेंद चुनते हैं। सफ़ेद गेंद चुनने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है, जो है। प्रतिच्छेदन फिर पहले कलश और उसमें से एक सफेद गेंद को चुनने का वर्णन करता है। प्रायिकता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है,

निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ

उन घटनाओं के लिए जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा

उदाहरण 1

के लिए, अर्थात चार घटनाएं हैं, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा

उदाहरण 2

हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?

सबसे पहले, हम निर्धारित करते हैं। जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं

.

श्रृंखला नियम लागू करने पर,

प्रमेय का कथन और उपपत्ति

मान लीजिए एक प्रायिकता समष्टि है।

याद रखें कि दिए गए की सशर्त प्रायिकता को

के रूप में परिभाषित किया गया है।

तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।

श्रृंखला नियम —  मान लीजिए एक प्रायिकता समष्टि है। तब . तब

Proof

सूत्र प्रत्यावर्तन द्वारा तुरंत अनुसरण करता है

जहां हमने पहले चरण में सप्रतिबंधप्रायिकता की परिभाषा का उपयोग किया।

असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम

दो यादृच्छिक चर

दो असतत यादृच्छिक चर के लिए, हम उपरोक्त परिभाषा में घटनाओंऔर का उपयोग करते हैं, और संयुक्त वितरण को

के रूप में निर्धारित करते हैं

या

जहां का प्रायिकता वितरण है और दिए गए का सशर्त प्रायिकता वितरण है।

बहुत सारे यादृच्छिक चर

माना कि और यादृच्छिक चर है। सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,

और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम को निर्धारित करते हैं और फिर हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं

उदाहरण

के लिए, अर्थात तीन यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,

यह भी देखें

  • [[स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)

|स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत) ]]- जब एक घटना की घटना दूसरे की संभावना को प्रभावित नहीं करती है

ग्रन्थसूची

  • रेने एल. शिलिंग (2021), माप, अभिन्न, प्रायिकता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम (1 ed.), टेक्नीश यूनिवर्सिटेट ड्रेसडेन, जर्मनी, ISBN 979-8-5991-0488-9{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  • विलियम फेलर (1968), प्रायिकता सिद्धांत और उसके आवेदन के लिए एक परिचय, vol. I (3 ed.), न्यूयॉर्क/लंदन/सिडनी: विले, ISBN 978-0-471-25708-0
  • Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2003), Artificial Intelligence: A Modern Approach (2nd ed.), Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-790395-2, p. 496.

संदर्भ

  1. Schilling, René L. (2021). माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम. Technische Universität Dresden, Germany. p. 136ff. ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  2. Schum, David A. (1994). संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव. Northwestern University Press. p. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.
  3. Klugh, Henry E. (2013). Statistics: The Essentials for Research (3rd ed.). Psychology Press. p. 149. ISBN 978-1-134-92862-0.