प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा

प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा को अनंत पर एक अतिरिक्त बिंदु के साथ एक वृत्त के चारों ओर लिपटी वास्तविक संख्या रेखा के रूप में देखा जा सकता है (त्रिविम प्रक्षेपण के कुछ रूप द्वारा)।

वास्तविक विश्लेषण में, प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा (जिसे वास्तविक रेखा का एक-बिंदु संघनन भी कहा जाता है), वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ के सम्मुच्चय (गणित) का विस्तार एक बिंदु ∞ द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार यह समुच्चय $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ है जहां संभव हो वहां मानक अंकगणितीय संक्रियाओं का विस्तार किया गया, और कभी-कभी इसके द्वारा $\mathbb {R} ^{*}$ या ${\widehat {\mathbb {R} }}$ निरूपित किया जाता है। जोड़े गए बिंदु को अनंत पर बिंदु कहा जाता है, क्योंकि इसे वास्तविक रेखा के दोनों छोर (सांस्थिति) का प्रतिवैस माना जाता है। अधिक सटीक रूप से, अनंत पर बिंदु वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक अनुक्रम की सीमा है जिनके निरपेक्ष मान बढ़ रहे हैं और असीमित हैं।

प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा को वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा से पहचाना जा सकता है जिसमें तीन बिंदुओं 0, 1 और ∞ को विशिष्ट मान दिए गए हैं। प्रक्षेपीयली विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा, एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से भिन्न होती है, जिसमें +∞ और −∞ अलग हैं।

शून्य से विभाजित करना

संख्याओं के अधिकांश गणितीय प्रतिरूप के विपरीत, यह संरचना शून्य से विभाजन की अनुमति देती है:

${\frac {a}{0}}=\infty$

विशेष रूप से, 1 / 0 = ∞ और 1 / ∞ = 0, गुणक व्युत्क्रम फलन बनाना (गणित) 1 / x इस संरचना में एक संपूर्ण कार्य है। हालाँकि, संरचना एक क्षेत्र (गणित) नहीं है, और कोई भी द्विआधारी अंकगणितीय संक्रिया पूर्ण नहीं है - उदाहरण के लिए, 0 ⋅ ∞ अपरिभाषित है, भले ही व्युत्क्रम कुल है। हालाँकि, इसकी उपयोगी व्याख्याएँ हैं - उदाहरण के लिए, ज्यामिति में, एक ऊर्ध्वाधर रेखा का ढलान ∞ होता है।

वास्तविक रेखा का विस्तार

प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) को उसी तरह बढ़ाती है जैसे रीमैन क्षेत्र पारंपरिक रूप से कहे जाने वाले एक बिंदु को जोड़करसम्मिश्र संख्या के क्षेत्र ∞ का विस्तार करता है।

इसके विपरीत, एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा +∞ और −∞ (जिसे वास्तविक रेखा का दो-बिंदु संघनन (गणित) भी कहा जाता है) के बीच अंतर करती है।

आदेश

आदेश सिद्धांत संबंध को सार्थक तरीके ${\widehat {\mathbb {R} }}$ से आगे नहीं बढ़ाया जा सकता। एक संख्या a ≠ ∞ दी गई है, a > ∞ या a < ∞ परिभाषित करने के लिए कोई ठोस तर्क नहीं है। तब से ∞ की तुलना किसी भी अन्य तत्व से नहीं की जा सकती, इस संबंध ${\widehat {\mathbb {R} }}$को प्रतिधारक रखने का कोई मतलब नहीं है। हालाँकि, $\mathbb {R}$ पर अनुक्रम का उपयोग ${\widehat {\mathbb {R} }}$ में परिभाषाओं में किया जाता है।

ज्यामिति

इस विचार के लिए मौलिक ∞ एक ऐसा बिंदु है जो किसी भी अन्य से अलग नहीं है, जिस तरह से वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा एक सजातीय स्थान है, वास्तव में एक वृत्त के लिएहोम्योमॉर्फिक है। उदाहरण के लिए 2 × 2 वास्तविक व्युत्क्रमणीय आव्यूह (गणित) के सामान्य रैखिक समूह पर एक सकर्मक क्रिया होती है। समूह क्रिया को मोबियस परिवर्तनों (जिसे रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन भी कहा जाता है) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, इस समझ के साथ कि जब रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन का हर 0 है, तो छवि ∞ है।

क्रिया के विस्तृत विश्लेषण से पता चलता है कि किन्हीं तीन अलग-अलग बिंदुओं P, Q और R के लिए, P से 0, Q से 1 और R से लेकर एक रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन होता है। ∞ अर्थात्, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों का समूह (गणित) वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा पर सकर्मक क्रिया है। इसे 4-टुपल अंकों तक नहीं बढ़ाया जा सकता, क्योंकि वज्रानुपात अपरिवर्तनीय है।

शब्दावली प्रक्षेप्य रेखा उपयुक्त है, क्योंकि बिंदु एक-आयाम (सदिश स्थान) रैखिक उप-स्थानों के साथ 1-से-1 पत्राचार में $\mathbb {R} ^{2}$ हैं।

अंकगणितीय परिचालन

अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए प्रेरणा

इस स्थान पर अंकगणितीय संक्रियाएँ वास्तविक पर समान संक्रियाओं का विस्तार हैं। नई परिभाषाओं के लिए प्रेरणा वास्तविक संख्याओं के फलनों के फलन की सीमा है।

अंकगणितीय परिचालन जो परिभाषित हैं

उपसमुच्चय पर मानक संचालन के अतिरिक्त $\mathbb {R}$ का ${\widehat {\mathbb {R} }}$, निम्नलिखित परिचालनों $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ को संकेतानुसार अपवादों के साथ परिभाषित किया गया है: :

${\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}$

अंकगणितीय संक्रियाएं जो अपरिभाषित रह गई हैं

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को वास्तविक कार्यों की सीमाओं पर विचार करके प्रेरित नहीं किया जा सकता है, और उनकी कोई भी परिभाषा सभी परिभाषित स्तिथियों के लिए मानक बीजगणितीय गुणों के बयान को अपरिवर्तित बनाए रखने की अनुमति नहीं देती है। नतीजतन, वे अपरिभाषित रह गए हैं:

${\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}$

घातांकीय फलन $e^{x}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ तक बढ़ाया नहीं जा सकता।

बीजगणितीय गुण

निम्नलिखित समानताओं का अर्थ है: या तो दोनों पक्ष अपरिभाषित हैं, या दोनों पक्ष परिभाषित और समान हैं। यह किसी $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ के लिए भी सच है

${\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}$

जब भी किसी के लिए दाहिना पक्ष परिभाषित किया जाता है, तो निम्नलिखित $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ सत्य होता है

${\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}$

सामान्यतः अंकगणित के सभी नियम जो $\mathbb {R}$ के लिए मान्य हैं, ${\widehat {\mathbb {R} }}$ के लिए भी मान्य हैं, जब भी सभी घटित होने वाले भाव परिभाषित होते हैं।

अंतराल और सांस्थिति

एक अंतराल (गणित) की अवधारणा ${\widehat {\mathbb {R} }}$ को बढ़ाया जा सकता है हालाँकि, चूँकि यह एक क्रमबद्ध सम्मुच्चय नहीं है, इसलिए अंतराल का थोड़ा अलग अर्थ है। बंद अंतरालों की परिभाषाएँ इस प्रकार हैं (ऐसा माना जाता है

$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$):

${\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}$

अपवाद के साथ जब अंत-बिंदु समान होते हैं, संबंधित विवृत और अर्ध-विवृत अंतराल को संबंधित समापन बिंदुओं को हटाकर परिभाषित किया जाता है। 0 वाले अंतराल से विभाजित करते समय यह पुनर्परिभाषा अंतराल अंकगणित में उपयोगी होती है।

${\widehat {\mathbb {R} }}$ और रिक्त सम्मुच्चय भी अंतराल हैं, जैसा कि ${\widehat {\mathbb {R} }}$ किसी भी एक बिंदु को छोड़कर है।

आधार (सांस्थिति) के रूप में विवृत अंतराल एक सांस्थितिक समष्टि ${\widehat {\mathbb {R} }}$ को परिभाषित करते हैं। आधार $\mathbb {R}$ के लिए परिबद्ध अंतराल विवृत अंतराल पर्याप्त और अंतराल $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ हैं सभी $a,b\in \mathbb {R}$के लिए इस प्रकार हैं कि $a<b$ है।

जैसा कि कहा गया है, सांस्थिति एक वृत्त के लिए समरूपी है। इस प्रकार यह इस वृत्त पर सामान्य मापीय (गणित) (या तो सीधे या वृत्त के साथ मापा जाता है) के अनुरूप (किसी दिए गए समरूपता के लिए) मेट्रिज़ेबल है। ऐसी कोई मीट्रिक नहीं है जो सामान्य मीट्रिक $\mathbb {R}$ का विस्तार होता है।

अंतराल अंकगणित

अंतराल अंकगणित का विस्तार ${\widehat {\mathbb {R} }}$ से $\mathbb {R}$ होता है। अंतराल पर एक अंकगणितीय संक्रिया का परिणाम हमेशा एक अंतराल होता है, अतिरिक्त इसके कि जब द्विआधारी संक्रिया वाले अंतराल में असंगत मान होते हैं जो एक अपरिभाषित परिणाम की ओर ले जाते हैं। विशेष रूप से, हमारे पास प्रत्येक के लिए $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ है:

$x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,$

चाहे कोई भी अंतराल 0 और ∞ सम्मिलित हो।

कलन

गणना के उपकरणों का उपयोग कार्य ${\widehat {\mathbb {R} }}$ का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। परिभाषाएँ इस स्थान की सांस्थिति से प्रेरित हैं।

प्रतिवैस

मान लीजिये $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ और $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ है।

• A का प्रतिवैस (गणित) x है, यदि A में एक विवृत अंतराल B होता है उसमें x सम्मिलित है।
• A दाहिनी ओर x का प्रतिवैस है, यदि कोई वास्तविक संख्या y इस प्रकार है कि $y\neq x$ है और A अर्ध-विवृत अंतराल $[x,y)$ सम्मिलित है।
• A बायीं ओर का प्रतिवैस है x, यदि कोई वास्तविक संख्या y इस प्रकार है कि $y\neq x$ है और A अर्ध-विवृत अंतराल $(y,x]$ सम्मिलित है।
• A एक वेधित प्रतिवैस x है (सम्मानतः दाएं तरफा या बाएं तरफा वेधित प्रतिवैस), यदि $x\not \in A,$ और $A\cup \{x\}$ का एक प्रतिवैस (सम्मानतः दाहिनी ओर या बाईं ओर का प्रतिवैस) x है।

सीमाएं

सीमाओं की मूल परिभाषाएँ

मान लीजिये $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ और $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ है।

f (x) के एक फलन की सीमा x दृष्टिकोण p, L है, जिसे निम्न रूप से दर्शाया गया है

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$

यदि और केवल यदि L के प्रत्येक प्रतिवैस A के लिए, p का एक छिद्रित प्रतिवैस B है, जैसे कि $x\in B$ तात्पर्य $f(x)\in A$ है।

जैसे-जैसे x दाएँ (बाएँ) से p की ओर बढ़ता है, f (x) की एकतरफ़ा सीमा L होती है, जिसे निम्न रूप से दर्शाया जाता है

$\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),$

यदि और केवल यदि एल के प्रत्येक प्रतिवैस ए के लिए, पी का दाहिनी ओर (बाएं तरफ) छिद्रित प्रतिवैस बी है, जैसे कि $x\in B$ तात्पर्य $f(x)\in A$ है।

ऐसा दिखाया जा सकता है $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ यदि और केवल यदि दोनों $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ और $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$ है।

$\mathbb {R}$ में सीमाओं के साथ तुलना

ऊपर दी गई परिभाषाओं की तुलना वास्तविक कार्यों की सीमाओं की सामान्य परिभाषाओं से की जा सकती है। निम्नलिखित कथनों में, $p,L\in \mathbb {R} ,$ पहली सीमा ऊपर परिभाषित के अनुसार है, और दूसरी सीमा सामान्य अर्थ में है:

• $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ के बराबर है $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
• $\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ के बराबर है $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
• $\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ के बराबर है $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
• $\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ के बराबर है $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
• $\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ के बराबर है $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
• $\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ के बराबर है $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

सीमाओं की विस्तारित परिभाषा

मान लीजिये $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ है। तब p, A का एक सीमा बिंदु है यदि और केवल यदि p के प्रत्येक प्रतिवैस में एक बिंदु $y\in A$ इस प्रकार सम्मिलित है कि $y\neq p$ है।

मान लीजिये $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$, p A का एक सीमा बिंदु है। जैसे-जैसे x, A से होकर p तक पहुंचता है, f (x) की सीमा L होती है, यदि और केवल यदि L के प्रत्येक प्रतिवैस B के लिए, p का एक छिद्रित प्रतिवैस C है, जैसे कि $x\in A\cap C$ तात्पर्य $f(x)\in B$ है।

यह नियमित निरंतरता (सांस्थिति) से मेल खाती है, जो उपसमष्‍टि सांस्थिति $A\cup \lbrace p\rbrace$ पर लागू होती है और f से $A\cup \lbrace p\rbrace$ का प्रतिबंध है।

निरंतरता

फलन

$f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

पर सतत कार्य p है यदि और केवल यदि f को p पर परिभाषित किया गया है और

$\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).$

यदि $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$ फलन

$f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}$

में निरंतर है A यदि और केवल यदि, प्रत्येक $p\in A$ के लिए f को p पर परिभाषित किया गया है और जब x, A से होकर p की ओर बढ़ता है तो $f(x)$ की सीमा $f(p)$ होती है।

प्रत्येक तर्कसंगत कार्य P(x)/Q(x), जहाँ P और Q बहुपद हैं, इन्हें एक अनूठे तरीके से, एक फलन ${\widehat {\mathbb {R} }}$ को ${\widehat {\mathbb {R} }}$ तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि निरंतर ${\widehat {\mathbb {R} }}$ है। विशेष रूप से, यह बहुपद फलनों की स्तिथि है, जो $\infty$ पर $\infty$ मान लेते हैं यदि वे स्थिर कार्य नहीं हैं।

इसके अतिरिक्त, यदि स्पर्शरेखा फलन $\tan$ को इस प्रकार बढ़ाया जाए

$\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,$

तब $\tan$ में निरंतर $\mathbb {R}$ है लेकिन किसी ऐसे फलन को आगे नहीं बढ़ाया जा सकता जो निरंतर ${\widehat {\mathbb {R} }}$ है।

कई प्राथमिक कार्य जो निरंतर $\mathbb {R}$ होते रहते हैं उन कार्यों को लंबे समय तक नहीं बढ़ाया जा सकता जो निरंतर ${\widehat {\mathbb {R} }}$ चल रहे हैं। यह स्तिथि, उदाहरण के लिए, घातीय फलन और सभी त्रिकोणमितीय फलन की है। उदाहरण के लिए, ज्या फलन निरंतर $\mathbb {R}$ है लेकिन इसे निरंतर $\infty$ नहीं बनाया जा सकता है। जैसा कि ऊपर देखा गया है, स्पर्शरेखा फलन को उस फलन तक बढ़ाया जा सकता है जो निरंतर $\mathbb {R}$ है लेकिन इस फलन को निरंतर $\infty$ नहीं बनाया जा सकता है।

कई असंतत कार्य जो कोडोमेन के विस्तारित होने पर निरंतर हो जाते हैं ${\widehat {\mathbb {R} }}$ यदि कोडोमेन को स्वजन विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली तक बढ़ाया जाता है तो यह असंतत ${\overline {\mathbb {R} }}$ रहता है ये फलन की स्तिथि $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ है।

दूसरी ओर, कुछ कार्य $\mathbb {R}$ जो निरंतर होते रहते हैं और $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ पर असंतत है यदि किसी फलन का कार्यछेत्र बढ़ाया जाता है तो यह निरंतर ${\overline {\mathbb {R} }}$ हो जाता है यह अरक्तांगेंट की स्तिथि है।

एक प्रक्षेप्य सीमा के रूप में

Main article: प्रक्षेपीय श्रेणी

जब वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा को वास्तविक प्रक्षेप्य तल के संदर्भ में माना जाता है, तो डेसार्गेस प्रमेय के परिणाम अंतर्निहित होते हैं। विशेष रूप से, बिंदुओं के बीच प्रक्षेप्य सुसंगत संयुग्म संबंध का निर्माण वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा की संरचना का हिस्सा है। उदाहरण के लिए, किसी भी बिंदु के जोड़े को देखते हुए, अनंत पर बिंदु उनके मध्य बिंदु का प्रक्षेप्य सुसंगत संयुग्म है।

चूंकि प्रक्षेप्यता सुसंगत संबंध को संरक्षित करती है, वे वास्तविक प्रक्षेपीय रेखा की स्वचालितता बनाते हैं। प्रोजेक्टिविटीज़ को बीजगणितीय रूप से होमोग्राफी के रूप में वर्णित किया गया है, क्योंकि वास्तविक संख्याएं एक वलय (गणित) बनाती हैं, एक वलय के ऊपर एक प्रक्षेपीय रेखा के सामान्य निर्माण के अनुसार है। सामूहिक रूप से वे समूह पीजीएल(2,आर) बनाते हैं।

जो प्रक्षेपीयिटी अपने स्वयं के व्युत्क्रम होते हैं उन्हें प्रत्यावर्तन (गणित) कहा जाता है। एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रत्यावर्तन में दो निश्चित बिंदु (गणित) होते हैं। इनमें से दो वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा पर प्राथमिक, अंकगणितीय संक्रियाओं के अनुरूप हैं: योगात्मक व्युत्क्रम और गुणक व्युत्क्रम। वास्तव में, 0 और ∞ निषेध के अंतर्गत निश्चित होते हैं, जबकि 1 और −1 व्युत्क्रम के अंतर्गत निश्चित होते हैं।

यह भी देखें

• वास्तविक प्रक्षेप्य तल
• जटिल प्रक्षेप्य तल
• पहिया सिद्धांत