गैलोइस विस्तार

गणित में, गैलोइस विस्तार बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार एक्सटेंशन ई/एफ होता है जो सामान्य विस्तार और भिन्न करने योग्य होता है, या समकक्ष, ई/एफ बीजगणितीय होता है और ऑटोमोर्फिज्म समूह ऑट (ई/एफ) द्वारा निश्चित आधार क्षेत्र होता है। इस प्रकार क्षेत्र एफ गैलोज़ विस्तार होने का महत्व यह होता है कि विस्तार में गैलोज़ समूह होता है और गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का पालन करता है।

एमिल आर्टिन का परिणाम किसी को गैलोइस विस्तार का निर्माण इस प्रकार करने की अनुमति देता है जिससे कि यदि $E$ दिया गया क्षेत्र है और $G$ निश्चित क्षेत्र $F$ के साथ $E$ के ऑटोमोर्फिज्म का सीमित समूह होता है, तब $E/F$ गैलोज़ विस्तार होता है।

गैलोइस विस्तार की विशेषता

एमिल आर्टिन का महत्वपूर्ण प्रमेय बताता है कि सीमित विस्तार के लिए $E/F,$ निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन उस कथन के समतुल्य $E/F$ गैलोज़ होता है।

• $E/F$ सामान्य विस्तार और भिन्न करने योग्य विस्तार होता है।
• $E$ गुणांकों के साथ पृथक्करणीय बहुपद का विभाजन क्षेत्र $F.$ होता है।
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],$ अर्थात्, ऑटोमोर्फिज्म की संख्या विस्तार की डिग्री (क्षेत्र सिद्धांत) के सामान्तर होती है।

अन्य समकक्ष कथन हैं:

• प्रत्येक अघुलनशील बहुपद में $F[x]$ कम से कम जड़ के साथ $E$ विभाजित हो जाता है और $E$ वियोज्य होता है।
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],$ अर्थात्, ऑटोमोर्फिज्म की संख्या कम से कम विस्तार की डिग्री होती है।
• $F$ के उपसमूह का निश्चित क्षेत्र $\operatorname {Aut} (E).$ होता है।
• $F$ का निश्चित क्षेत्र $\operatorname {Aut} (E/F).$ होता है।
• गैलोइस सिद्धांत का मौलिक प्रमेय है अतः उपक्षेत्रों के मध्य पत्राचार का स्पष्ट विवरण $E/F$ और के उपसमूह $\operatorname {Aut} (E/F).$ होता है।

उदाहरण

गैलोज़ विस्तार के उदाहरण बनाने की दो मूलभूत विधियाँ होती हैं।

• कोई भी क्षेत्र $E$ लें सकते है, जिसका कोई भी परिमित उपसमूह $\operatorname {Aut} (E)$, और $F$ निश्चित क्षेत्र होता है।
• कोई भी क्षेत्र $F$ लें सकते है, अतः कोई भी वियोज्य बहुपद $F[x]$, और $E$ इसका विभाजन क्षेत्र होता है।

इस प्रकार परिमेय संख्या क्षेत्र के साथ संयोजन (क्षेत्र सिद्धांत) 2 का वर्गमूल गैलोज़ विस्तार देता है, जबकि 2 का घनमूल गैर-गैलोइस विस्तार देता है। यह दोनों विस्तार भिन्न-भिन्न होते हैं, जिससे कि इनमें विशेषता शून्य होती है। इस प्रकार उनमें से पहला विभाजन क्षेत्र $x^{2}-2$ होता है, अतः दूसरे में सामान्य विस्तार होता है। सामान्यतः जिसमें जटिल एकता की जड़ सम्मिलित होती है और इसलिए यह विभाजन क्षेत्र नहीं होता है। अतः वास्तव में, इसमें पहचान के अतिरिक्त कोई ऑटोमोर्फिज्म नहीं होता है, जिससे कि यह वास्तविक संख्याओं में निहित होता है, अतः केवल $x^{3}-2$ वास्तविक जड़ होती है‚ अधिक विस्तृत उदाहरणों के लिए, गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय पर पृष्ठ देख सकते है।

इस प्रकार बीजगणितीय समापन ${\bar {K}}$ अनैतिक क्षेत्र का $K$ गैलोइस समाप्त हो गया है $K$ और केवल $K$ आदर्श क्षेत्र होता है।

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

अग्रिम पठन

• Artin, Emil (1998) [1944]. Galois Theory. Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. MR 1616156.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois theory for beginners. Student Mathematical Library. Vol. 35. Translated from the second German (2004) edition by David Kramer. American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. MR 2251389. S2CID 118256821.
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 101. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. MR 0743418. (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations". American Mathematical Monthly. The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7. 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273.
• "Galois theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd ed.). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 110 (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723.
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory. With a foreword by P. J. Hilton. Reprint of the 1962 edition. Translated from the 1960 Russian original by Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. MR 2043554.
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second ed.). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586.
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (in German). Berlin: Springer.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link). English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949. (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). "(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic" (PDF).