वीकली कॉम्पैक्ट कार्डिनल

गणित में, वीकली कॉम्पैक्ट कार्डिनल एक निश्चित प्रकार की कार्डिनल संख्या है जिसे एर्डो & टार्स्की (1961) द्वारा प्रस्तुत किया गया है; अशक्त सघन कार्डिनल बड़े कार्डिनल होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका अस्तित्व सेट सिद्धांत के मानक सिद्धांतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। (टार्स्की ने मूल रूप से उन्हें दृढ़ता से असंबद्ध कार्डिनल नहीं कहा था।)

औपचारिक रूप से, कार्डिनल κ को अशक्त सघन के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि यह अगणनीय है और प्रत्येक फ़ंक्शन f: [κ] ² → {0, 1} के लिए कार्डिनलिटी κ का एक सेट (गणित) है जो f के लिए सजातीय (बड़ी कार्डिनल गुण) है। इस संदर्भ में, [κ] ² का अर्थ है κ के 2-तत्व उपसमुच्चय का सेट, और κ का उपसमुच्चय S, f के लिए सजातीय है यदि और केवल यदि या तो सभी [S]² 0 पर मैप करता है या इसके सभी मैप 1 पर मैप करता है।

अशक्त सघन नाम इस तथ्य को संदर्भित करता है कि यदि कार्डिनल अशक्त सघन है तो एक निश्चित संबंधित अनंत भाषा सघनता प्रमेय के संस्करण को संतुष्ट करती है; नीचे देखें।

प्रत्येक अशक्त संकुचित कार्डिनल प्रतिबिंबित कार्डिनल है, और प्रतिबिंबित कार्डिनल्स की एक सीमा भी है। इसका अर्थ यह भी है कि अशक्त सघन कार्डिनल्स महलो कार्डिनल्स हैं, और किसी दिए गए कमजोर सघन कार्डिनल से कम महलो कार्डिनल्स का सेट स्थिर सेट है।

समतुल्य सूत्रीकरण

किसी भी अगणनीय कार्डिनल κ के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. κ अशक्त सघन है.
2. प्रत्येक λ<κ, प्राकृत संख्या n ≥ 2, और फलन f: [κ]ⁿ → λ के लिए, कार्डिनैलिटी κ का सेट है जो f के लिए सजातीय (बड़ी कार्डिनल गुण) है। (ड्रेक 1974, अध्याय 7 प्रमेय 3.5)
3. κ अप्राप्य कार्डिनल है और इसमें ट्री की गुण है, अर्थात, ऊंचाई वाले प्रत्येक ट्री (सेट सिद्धांत) में या तो आकार κ का स्तर होता है या आकार κ की एक शाखा होती है।
4. कार्डिनैलिटी κ के प्रत्येक रैखिक क्रम में ऑर्डर प्रकार κ का एक आरोही या अवरोही क्रम होता है।
5. κ $\Pi _{1}^{1}$-अवर्णनीय कार्डिनल है।
6. κ में विस्तार गुण है। दूसरे शब्दों में, सभी U ⊂ V_κ के लिए κ ∈ X और एक उपसमुच्चय S ⊂ X के साथ सकर्मक समुच्चय (V_κ, ∈, U) (X, ∈, S) की प्रारंभिक उपसंरचना है। यहां, U और S को एकात्मक विधेय (गणितीय तर्क) के रूप में माना जाता है।
7. κ के उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी κ के प्रत्येक सेट S के लिए, गैर-तुच्छ κ-पूर्ण फ़िल्टर है जो S का निर्णय लेता है।
8. κ κ- प्रकट करने योग्य कार्डिनल है।
9. κ अप्राप्य है और अनन्त भाषा L_κ,κ कमजोर सघनता प्रमेय को संतुष्ट करता है।
10. κ अप्राप्य है और अनन्त भाषा L_κ,ω कमजोर सघनता प्रमेय को संतुष्ट करता है।
11. κ अप्राप्य है और कार्डिनैलिटी के प्रत्येक सकर्मक सेट $M$ के लिए κ $\in M$, ${}^{<\kappa }M\subset M$ κ साथ, और ZFC के पर्याप्त बड़े टुकड़े को संतुष्ट करने के लिए, $M$ से कार्डिनैलिटी के एक सकर्मक सेट $N$ में एक प्राथमिक एम्बेडिंग $j$ है, जैसे कि उपसमुच्चय $^{<\kappa }N\subset N$, महत्वपूर्ण बिंदु (सेट सिद्धांत) $crit(j)=$κ के साथ। (हौसर 1991, प्रमेय 1.3)

भाषा L_κ,κ ऐसा कहा जाता है कि यह कमजोर सघननेस प्रमेय को संतुष्ट करता है यदि जब भी Σ अधिकतम κ पर कार्डिनलिटी के वाक्यों का सेट होता है और κ से कम तत्वों वाले प्रत्येक उपसमूह में मॉडल होता है, तो Σ का मॉडल होता है। वाक्यों के सेट की कार्डिनैलिटी पर प्रतिबंध के बिना दृढ़ता से सघन कार्डिनल को समान प्रणाली से परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

• बड़ी कार्डिनल गुणयों की सूची

संदर्भ

• Drake, F. R. (1974), Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 76, Elsevier Science Ltd, ISBN 0-444-10535-2
• Erdős, Paul; Tarski, Alfred (1961), "On some problems involving inaccessible cardinals", Essays on the foundations of mathematics, Jerusalem: Magnes Press, Hebrew Univ., pp. 50–82, MR 0167422
• Hauser, Kai (1991), "Indescribable Cardinals and Elementary Embeddings", Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 56 (2): 439–457, doi:10.2307/2274692, JSTOR 2274692, S2CID 288779
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3