हिरज़ेब्रुच सतह: Difference between revisions

Latest revision as of 10:05, 2 August 2023

गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुच (1951) द्वारा किया गया था।

परिभाषा

हिरज़ेब्रुच सतह $\Sigma _{n}$ $\mathbb {P} ^{1}$ -बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े $\mathbb {P} ^{1}$ से अधिक है

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).

यहां नोटेशन का अर्थ है:

{\mathcal {O}}(n)

सेरे ट्विस्ट शीफ की

n

-वें टेंसर शक्ति है

{\mathcal {O}}(1)

, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह

\Sigma _{0}

P 1 \times P 1

के लिए समरूपी है, और

\Sigma _{1}

एक बिंदु पर उड़ाए गए

P 2

के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।

जीआईटी भागफल

हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है^[1]^: 21

\Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})

जहां

\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}

की क्रिया दी गई है

(\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})

इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर

\lambda

की क्रिया

\mathbb {P} ^{1}

को परिभाषित करने वाले

\mathbb {C} ^{*}

पर

\mathbb {C} ^{2}-\{0\}

की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया

\mathbb {P} ^{1}

पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)

के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है^[1]^: 24

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}

जहां

\mathbb {C} ^{*}

की क्रिया दी गई है

\lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})

फिर, प्रक्षेपीकरण

\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))

एक अन्य

\mathbb {C} ^{*}

-एक्शन द्वारा एक तुल्यता वर्ग

[l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)

भेजकर दिया जाता है।^[1]^: 22

\mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]

इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।

संक्रमण मानचित्र

इस $\mathbb {P} ^{1}$ -बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से सामान्य हैं, $U_{0},U_{1}$ द्वारा परिभाषित $\mathbb {P} ^{1}$ के चार्ट $x_{i}\neq 0$ पर बंडल का स्थानीय मॉडल है

U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}

फिर, संक्रमण मानचित्र,

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)

के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं

U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}

भेजना

(X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])

जहाँ

X_{i}

U_{i}

एफ़िन समन्वय फलन प्रारंभ है ^[2]

गुण

प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल P¹ के ऊपर

ध्यान दें कि ग्रोथेंडिक के प्रमेय के अनुसार, किसी भी सदिश बंडल $E$ के लिए $\mathbb {P} ^{1}$ पर संख्याएं $a,b\in \mathbb {Z}$ हैं जैसे कि

E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).

चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,^[3]

E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)

से जुड़ी निर्णयिक सतह हिरज़ेब्रुक सतह

\Sigma _{b-a}

है क्योंकि इस बंडल को

{\mathcal {O}}(-a)

द्वारा टेंसर किया जा सकता है।

हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ

विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है $\Sigma _{n}$ और $\Sigma _{-n}$ चूँकि समरूपता सदिश बंडल है

{\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}

प्रतिच्छेदन सिद्धांत

$n > 0$ के लिए हिरज़ेब्रुक सतहों पर एक विशेष तर्कसंगत वक्र $C$ होता है: सतह $O (- n)$ का प्रक्षेप्य बंडल है और वक्र $C$ शून्य खंड है। इस वक्र में स्व-प्रतिच्छेदन संख्या $- n$ है, और यह ऋणात्मक स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुक सतह के फाइबर हैं ( $P 1$ पर फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है)। पिकार्ड समूह वक्र सी और फाइबर में से एक द्वारा उत्पन्न होता है, और इन जनरेटर में प्रतिच्छेदन आव्यूह होता है

{\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},

इसलिए द्विरेखीय रूप दो आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह सम या विषम है, यह इस पर निर्भर करता है कि $n$ सम है या विषम हिरज़ेब्रुक सतह $Σ n$ ( $n > 1$ )को विशेष वक्र C पर एक बिंदु पर उड़ाया जाता है, यह $Σ n +1$ के समरूपी है जो विशेष वक्र पर नहीं एक बिंदु पर उड़ाया जाता है।

यह भी देखें

प्रक्षेप्य बंडल

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Manetti, Marco (2005-07-14). "जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान". arXiv:math/0507286.
↑ Gathmann, Andreas. "बीजगणितीय ज्यामिति" (PDF). Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
↑ "Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-05-23.

Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, MR1406314
Hirzebruch, Friedrich (1951), "Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen, 124: 77–86, doi:10.1007/BF01343552, hdl:21.11116/0000-0004-3A56-B, ISSN 0025-5831, MR 0045384, S2CID 122844063

बाहरी संबंध

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Manetti, Marco (2005-07-14). "जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान". arXiv:math/0507286.

[2] Gathmann, Andreas. "बीजगणितीय ज्यामिति" (PDF). Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[3] "Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-05-23.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Ruled surface over the projective line}}
+गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन {{harvs|txt|first=फ्रेडरिक|last=हिरज़ेब्रुच|year=1951|authorlink=फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुच}} द्वारा किया गया था।
-गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन {{harvs|txt|first=Friedrich|last=Hirzebruch|year=1951|authorlink=Friedrich Hirzebruch}} द्वारा किया गया था।
 ==परिभाषा==
-हिरज़ेब्रुच सतह <math>\Sigma_n</math> <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े <math>\mathbb{P}^1</math> से अधिक है<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n).</math>यहां नोटेशन का अर्थ है: <math>\mathcal{O}(n)</math> सेरे ट्विस्ट शीफ की {{mvar|n}}-वें टेंसर शक्ति है <math>\mathcal{O}(1)</math>, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह <math>\Sigma_0</math>  {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} के लिए समरूपी है, और <math>\Sigma_1</math> एक बिंदु पर उड़ाए गए {{math|'''P'''<sup>2</sup>}} के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।
+हिरज़ेब्रुच सतह <math>\Sigma_n</math> <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े <math>\mathbb{P}^1</math> से अधिक है<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n).</math>यहां नोटेशन का अर्थ है: <math>\mathcal{O}(n)</math> सेरे ट्विस्ट शीफ की {{mvar|n}}-वें टेंसर शक्ति है <math>\mathcal{O}(1)</math>, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह <math>\Sigma_0</math> {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} के लिए समरूपी है, और <math>\Sigma_1</math> एक बिंदु पर उड़ाए गए {{math|'''P'''<sup>2</sup>}} के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।
 === [[जीआईटी भागफल]] ===
-हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है<ref name=":0">{{cite arXiv | last=Manetti | first=Marco | date=2005-07-14|title=जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान| eprint=math/0507286}}</ref>{{rp|21}}<math display="block">\Sigma_n = (\Complex^2-\{0\})\times (\Complex^2-\{0\})/(\Complex^*\times\Complex^*)</math>जहां <math>\Complex^*\times\Complex^*</math> की क्रिया दी गई है<math display="block">(\lambda, \mu)\cdot(l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1, \mu t_0,\lambda^{-n}\mu t_1)</math>इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर <math>\lambda</math> की क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> को परिभाषित करने वाले <math>\Complex^*</math> पर <math>\Complex^2 - \{0\}</math> की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है<ref name=":0" />{{rp|24}}<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) = (\Complex^2-\{0\})\times \Complex^2/\Complex^*</math>जहां <math>\Complex^*</math>की क्रिया दी गई है<math display="block">\lambda \cdot (l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1,\lambda^a t_0, \lambda^0 t_1 = t_1)</math>फिर, प्रक्षेपीकरण <math>\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))</math> एक अन्य <math>\Complex^*</math>-एक्शन  द्वारा एक तुल्यता वर्ग <math>[l_0,l_1,t_0,t_1] \in\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n)</math> भेजकर दिया जाता है।<ref name=":0" />{{rp|22}}<math display="block">\mu \cdot [l_0,l_1,t_0,t_1] = [l_0,l_1,\mu t_0,\mu t_1]</math>इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।
+हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है<ref name=":0">{{cite arXiv | last=Manetti | first=Marco | date=2005-07-14|title=जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान| eprint=math/0507286}}</ref>{{rp|21}}<math display="block">\Sigma_n = (\Complex^2-\{0\})\times (\Complex^2-\{0\})/(\Complex^*\times\Complex^*)
+                                                                                                                                                                                                                            </math>जहां <math>\Complex^*\times\Complex^*</math> की क्रिया दी गई है<math display="block">(\lambda, \mu)\cdot(l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1, \mu t_0,\lambda^{-n}\mu t_1)</math>इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर <math>\lambda</math> की क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> को परिभाषित करने वाले <math>\Complex^*</math> पर <math>\Complex^2 - \{0\}</math> की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है<ref name=":0" />{{rp|24}}<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) = (\Complex^2-\{0\})\times \Complex^2/\Complex^*</math>जहां <math>\Complex^*</math>की क्रिया दी गई है<math display="block">\lambda \cdot (l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1,\lambda^a t_0, \lambda^0 t_1 = t_1)</math>फिर, प्रक्षेपीकरण <math>\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))</math> एक अन्य <math>\Complex^*</math>-एक्शन  द्वारा एक तुल्यता वर्ग <math>[l_0,l_1,t_0,t_1] \in\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n)</math> भेजकर दिया जाता है।<ref name=":0" />{{rp|22}}<math display="block">\mu \cdot [l_0,l_1,t_0,t_1] = [l_0,l_1,\mu t_0,\mu t_1]</math>इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।
 === संक्रमण मानचित्र ===
-इस <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से तुच्छ हैं, <math>U_0,U_1</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathbb{P}^1</math> के चार्ट <math>x_i \neq 0 </math> पर बंडल का स्थानीय मॉडल है<math display="block">U_i\times \mathbb{P}^1</math>फिर, संक्रमण मानचित्र, <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं<math display="block">U_0\times\mathbb{P}^1|_{U_1} \to U_1\times\mathbb{P}^1|_{U_0}</math>भेजना<math display="block">(X_0, [y_0:y_1]) \mapsto (X_1, [y_0:x_0^n y_1])</math>जहाँ <math>X_i</math> <math>U_i</math> एफ़िन समन्वय फलन चालू है <ref>{{Cite web | title=बीजगणितीय ज्यामिति|url=https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf | last=Gathmann|first=Andreas | date=|website= Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern |url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>
+इस <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से सामान्य हैं, <math>U_0,U_1</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathbb{P}^1</math> के चार्ट <math>x_i \neq 0 </math> पर बंडल का स्थानीय मॉडल है<math display="block">U_i\times \mathbb{P}^1</math>फिर, संक्रमण मानचित्र, <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं<math display="block">U_0\times\mathbb{P}^1|_{U_1} \to U_1\times\mathbb{P}^1|_{U_0}</math>भेजना<math display="block">(X_0, [y_0:y_1]) \mapsto (X_1, [y_0:x_0^n y_1])</math>जहाँ <math>X_i</math> <math>U_i</math> एफ़िन समन्वय फलन प्रारंभ है <ref>{{Cite web | title=बीजगणितीय ज्यामिति|url=https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf | last=Gathmann|first=Andreas | date=|website= Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern |url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>
 == गुण ==
-=== प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल पी के ऊपर<sup>1</sup>===
+=== प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल P<sup>1</sup> के ऊपर===
-'''ध्यान दें कि बिरखॉफ़-ग्रोथेंडिक प्रमेय|ग्रोथेंडिक प्रमेय द्वारा, किसी भी सदिश''' बंडल के लिए <math>E</math> पर <math>\mathbb P^1</math> संख्याएँ हैं <math>a,b \in \mathbb Z</math> ऐसा है कि<math display="block">E \cong \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b).</math>चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,<ref>{{Cite web|title=Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/02NB| website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-23}}</ref> निर्णयिक सतह से संबंधित <math>E = \mathcal O(a) \oplus \mathcal O(b)</math> हिरज़ेब्रुच सतह है <math>\Sigma_{b-a}</math> चूँकि इस बंडल को इसके द्वारा तनावग्रस्त किया जा सकता है <math>\mathcal{O}(-a)</math>.
+ध्यान दें कि ग्रोथेंडिक के प्रमेय के अनुसार, किसी भी सदिश बंडल <math>E</math> के लिए <math>\mathbb P^1</math> पर संख्याएं <math>a,b \in \mathbb Z</math> हैं जैसे कि<math display="block">E \cong \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b).</math>चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,<ref>{{Cite web|title=Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/02NB| website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-23}}</ref> <math>E = \mathcal O(a) \oplus \mathcal O(b)</math> से जुड़ी निर्णयिक सतह हिरज़ेब्रुक सतह <math>\Sigma_{b-a}</math> है क्योंकि इस बंडल को <math>\mathcal{O}(-a)</math> द्वारा टेंसर किया जा सकता है।
 ==== हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ ====
 विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है <math>\Sigma_n</math> और <math>\Sigma_{-n}</math> चूँकि समरूपता सदिश बंडल है<math display="block">\mathcal{O}(n)\otimes(\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n)) \cong \mathcal{O}(n) \oplus \mathcal{O}</math>
 ===संबंधित सममित बीजगणित का विश्लेषण ===
-याद रखें कि प्रोजेक्टिव बंडलों का निर्माण [[ सापेक्ष परियोजना ]] का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि बीजगणित के श्रेणीबद्ध शीफ से बनता है<math display="block">\bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname{Sym}^i(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n))</math>पहले कुछ सममित मॉड्यूल विशेष हैं क्योंकि इसमें एक गैर-तुच्छ विरोधी सममित है <math>\operatorname{Alt}^2</math>-मापांक <math>\mathcal{O}\otimes \mathcal{O}(-n)</math>. इन ढेरों को तालिका में संक्षेपित किया गया है<math display="block">\begin{align}
+याद रखें कि प्रोजेक्टिव बंडलों का निर्माण [[ सापेक्ष परियोजना |सापेक्ष परियोजना]] का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि बीजगणित के श्रेणीबद्ध शीफ से बनता है<math display="block">\bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname{Sym}^i(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n))</math>पहले कुछ सममित मॉड्यूल विशेष हैं क्योंकि इसमें एक गैर-सामान्य एंटी-सममित <math>\operatorname{Alt}^2</math>-मॉड्यूल <math>\mathcal{O}\otimes \mathcal{O}(-n)</math> है। इन अनेक को तालिका में संक्षेपित किया गया है<math display="block">\begin{align}
 \operatorname{Sym}^0(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \\
 \operatorname{Sym}^1(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n) \\
 \operatorname{Sym}^2(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-2n)
-\end{align}</math>के लिए <math>i > 2</math> सममित शीव्स द्वारा दिए गए हैं<math display="block">\begin{align}
+\end{align}</math><math>i > 2</math> के लिए सममित शीव्स दिए गए हैं<math display="block">\begin{align}
 \operatorname{Sym}^k(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &=
 \bigoplus_{i=0}^k \mathcal{O}^{\otimes (n-i)}\otimes \mathcal{O}(-in)
@@ Line 35: / Line 33: @@
 &\cong \mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}(-kn)
 \end{align}</math>
+=== प्रतिच्छेदन सिद्धांत ===
+{{math|''n'' > 0}} के लिए हिरज़ेब्रुक सतहों पर एक विशेष तर्कसंगत वक्र {{math|''C''}} होता है: सतह {{math|''O''(−''n'')}} का प्रक्षेप्य बंडल है और वक्र {{math|''C''}} शून्य खंड है। इस वक्र में स्व-प्रतिच्छेदन संख्या {{math|−''n''}} है, और यह ऋणात्मक स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुक सतह के फाइबर हैं ({{math|'''P'''<sup>1</sup>}} पर फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है)। पिकार्ड समूह वक्र सी और फाइबर में से एक द्वारा उत्पन्न होता है, और इन जनरेटर में प्रतिच्छेदन आव्यूह होता है<math display="block">\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & -n \end{bmatrix} , </math>
+इसलिए द्विरेखीय रूप दो आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह सम या विषम है, यह इस पर निर्भर करता है कि {{mvar|n}} सम है या विषम हिरज़ेब्रुक सतह {{math|Σ<sub>''n''</sub>}} ({{math|''n'' > 1}})को विशेष वक्र C पर एक बिंदु पर उड़ाया जाता है, यह {{math|Σ<sub>''n''+1</sub>}} के समरूपी है जो विशेष वक्र पर नहीं एक बिंदु पर उड़ाया जाता है।
-=== प्रतिच्छेदन सिद्धांत ===
-हिरज़ेब्रुच सतहों के लिए {{math|''n'' > 0}} एक विशेष [[तर्कसंगत वक्र]] है {{math|''C''}} उन पर: सतह का प्रक्षेप्य बंडल है {{math|''O''(−''n'')}} और वक्र {{math|''C''}} [[शून्य खंड]] है. इस वक्र में [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]]|स्व-प्रतिच्छेदन संख्या है {{math|−''n''}}, और नकारात्मक स्व प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुच सतह के तंतु हैं (जिन्हें फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है) {{math|'''P'''<sup>1</sup>}}). [[पिकार्ड समूह]] वक्र द्वारा उत्पन्न होता है {{math|''C''}} और फाइबर में से एक, और इन जनरेटरों में प्रतिच्छेदन [[मैट्रिक्स (गणित)]] है<math display="block">\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & -n \end{bmatrix} , </math>इसलिए द्विरेखीय रूप द्वि-आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह इस पर निर्भर करता है कि यह सम या विषम है {{mvar|n}} सम या विषम है.
-हिरज़ेब्रुच सतह {{math|Σ<sub>''n''</sub>}} ({{math|''n'' > 1}}) विशेष वक्र पर एक बिंदु पर उड़ा दिया गया {{math|''C''}} समरूपी है {{math|Σ<sub>''n''+1</sub>}} विशेष वक्र पर न होकर किसी बिंदु पर उड़ाया गया।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 51: / Line 48: @@
 *{{Citation|last1=Beauville | first1=Arnaud | title=Complex algebraic surfaces | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=2nd | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-49510-3 |id={{MathSciNet | id = 1406314}} | year=1996 | volume=34}}
 *{{Citation|last1=Hirzebruch | first1=Friedrich | author1-link=Friedrich Hirzebruch | title=Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten | doi=10.1007/BF01343552 |mr=0045384 | year=1951 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=124 | pages=77–86| hdl=21.11116/0000-0004-3A56-B | s2cid=122844063 | hdl-access=free }}
 == बाहरी संबंध ==
 * [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Hirzebruch_surfaces Manifold Atlas]
 *https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
 *https://mathoverflow.net/q/122952
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