अवशिष्‍ट (सम्मिश्र विश्लेषण)

गणित में, अधिक विशेष रूप से सम्मिश्र विश्लेषण में, अवशिष्‍ट सम्मिश्र संख्या है, जो गणितीय विलक्षणता को घेरने वाले पथ के साथ मेरोमोर्फिक फलन के समुच्चय अभिन्न भाग के समानुपाती होती है। (अधिक सामान्यतः, अवशिष्‍टों की गणना किसी भी फलन के लिए की जा सकती है $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ यह असतत बिंदुओं {a_k}_k, को त्यागकर होलोमोर्फिक फलन है, संभवता उनमें से कुछ आवश्यक विलक्षणता हों।) अवशिष्‍टों की गणना अत्यधिक सरलता से की जा सकती है और ज्ञात होने पर, अवशिष्‍ट प्रमेय के माध्यम से सामान्य समुच्चय अभिन्न भाग के निर्धारण की अनुमति मिलती है।

परिभाषा

मेरोमोर्फिक फलन का अवशिष्‍ट $f$ पृथक विलक्षणता पर $a$, प्रायः निरूपित किया जाता है। $\operatorname {Res} (f,a)$, $\operatorname {Res} _{a}(f)$, $\mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)$ या $\mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)$, अद्वितीय मान है $R$ ऐसा है कि $f(z)-R/(z-a)$ छिद्रित डिस्क में विश्लेषणात्मक फलन एंटीडेरिवेटिव (सम्मिश्र विश्लेषण) $0<\vert z-a\vert <\delta$ होता है।

वैकल्पिक रूप से, अवशिष्‍टों की गणना लॉरेंट श्रृंखला के विस्तार को शोधकर की जा सकती है, और अवशिष्‍टों को लॉरेंट श्रृंखला के गुणांक a₋₁ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

अवशिष्‍ट की परिभाषा को इच्छानुसार रीमैन सतहों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। कल्पना करना रीमैन सतह पर $\omega$ 1-रूप है। यह होने देना $\omega$ किसी बिंदु पर मेरोमोर्फिक हो $x$, जिससे हम लिख सकें, स्थानीय निर्देशांक में $\omega$ जैसे $f(z)\;dz$. तत्पश्चात, का अवशिष्‍ट $\omega$ पर $x$ के अवशिष्‍ट के रूप में परिभाषित किया गया है $f(z)$ के अनुरूप बिंदु पर $x$.

उदाहरण

एकपदी का अवशिष्‍ट

एकपदी के अवशिष्‍ट की गणना करना

$\oint _{C}z^{k}\,dz$

अधिकांश अवशिष्‍टों की गणना करना सर बनाता है। चूँकि, पथ अभिन्न अभिकलन समरूपी अपरिवर्तनीय हैं, हम जाने देंगे $C$ त्रिज्या वाला वृत्त है, $1$. तत्पश्चात, निर्देशांक के परिवर्तन का उपयोग करके $z\to e^{i\theta }$ हम उसे ढूंढते हैं।

$dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta$

इसलिए हमारा अभिन्न भाग अब इस प्रकार पढ़ता है

$\oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

एकपदी अवशिष्‍टों का अनुप्रयोग

उदाहरण के तौर पर, समुच्चय अभिन्न पर विचार करें:

$\oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz$

जहाँ C 0 के बारे में कुछ सरल संवृत वक्र है।

आइए हम श्रृंखला द्वारा एकीकरण के बारे में मानक अभिसरण परिणाम का उपयोग करके इस अभिन्न का मूल्यांकन करें। हम टेलर श्रृंखला को स्थानापन्न कर सकते हैं। $e^{z}$ एकीकरण में तब अभिन्न हो जाता है।

$\oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

आइए हम श्रृंखला में 1/z⁵ कारक लाएं, तत्पश्चात श्रृंखला का समुच्चय अभिन्न भाग लिखता है।

${\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}$

चूंकि श्रृंखला एकीकरण पथ के समर्थन पर समान रूप से अभिसरण करती है, इसलिए हमें एकीकरण और सारांश का आदान-प्रदान करने की अनुमति है। पथ इंटीग्रल्स की श्रृंखला पूर्व गणना के कारण अत्यधिक सरल रूप में ढह जाती है। तो अब cz⁻¹ के रूप में न होने वाले प्रत्येक अन्य पद C के चारों ओर का समाकलन शून्य है, और समाकलन को घटाकर कर दिया गया है।

$\oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.$

मान 1/4! e^z/z⁵ का अवशिष्‍ट है, और इसे दर्शाया जाता है, z = 0 के लिए

$\operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.$

अवशिष्‍टों की गणना

मान लीजिए कि छिद्रित डिस्क D = {z : 0 < |z − c| < R} सम्मिश्र तल में < R } दिया गया है, और f होलोमोर्फिक फलन है, जिसे D पर (कम से कम) परिभाषित किया गया है। c पर f का अवशिष्‍ट Res(f, c) गुणांक a₋₁ है। c के निकट f का (z − c)⁻¹ लॉरेंट श्रृंखला विस्तार है। इस मान की गणना के लिए विभिन्न विधियाँ उपस्थित हैं, और किस विधि का उपयोग करना है, यह प्रश्न में फलन और विलक्षणता की प्रकृति पर निर्भर करता है।

अवशिष्‍ट प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

जहां γ वामावर्त विधि से c के चारों ओर वृत्त की जानकारी ज्ञात करता है। हम पथ γ को c के चारों ओर त्रिज्या ε का वृत्त चयनित कर सकते हैं, जहां ε उतना अल्प है जितना हम चाहते हैं। इसका उपयोग उन स्थितियों में गणना के लिए किया जा सकता है, जहां अभिन्न की गणना सीधे की जा सकती है, किन्तु सामान्यतः ऐसा होता है कि अवशिष्‍टों का उपयोग अभिन्न की गणना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, न कि दूसरे विधि से किया जाता है।

विस्थापित योग्य विलक्षणताएं

यदि फलन f संपूर्ण डिस्क पर होलोमोर्फिक फलन के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता हो सकता है, $|y-c|<R$, तत्पश्चात Res(f, c) = 0 इसका विपरीत, सामान्यतः पर सत्य नहीं है।

सरल ध्रुव

साधारण ध्रुव c पर, f का अवशिष्‍ट इस प्रकार दिया जाता है:

$\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$

यदि वह सीमा उपस्थित नहीं है, तो वहां आवश्यक विलक्षणता है। यदि यह 0 है तो यह वहां या तो विश्लेषणात्मक है या विस्थापित करने योग्य विलक्षणता है। यदि यह अनंत के समान है तो क्रम 1 से अधिक है।

ऐसा हो सकता है कि फलन f को दो फलनों के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सके, $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$, जहां g और h c के निकटतम (गणित) में होलोमोर्फिक फलन हैं। h(c) = 0 और h'(c) ≠ 0 के साथ ऐसी स्थिति में उपरोक्त सूत्र को सरल बनाने के लिए एल'हॉपिटल के नियम का उपयोग किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}$

उच्च-क्रम वाले ध्रुवों के लिए सीमा सूत्र

अधिक सामान्यतः, यदि c क्रम n का ध्रुव (सम्मिश्र विश्लेषण) है, तो z = c के निकट f का अवशिष्‍ट सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

$\operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).$

निम्न-क्रम वाले ध्रुवों के लिए अवशिष्‍ट निर्धारित करने में यह सूत्र अत्यधिक उपयोगी हो सकता है। उच्च-क्रम वाले ध्रुवों के लिए, गणनाएँ असहनीय हो सकती हैं, और श्रृंखला विस्तार सामान्यतः सर होता है। आवश्यक विलक्षणता के लिए, ऐसा कोई सरल सूत्र उपस्थित नहीं है, और अवशिष्‍टों को सामान्यतः श्रृंखला विस्तार से सीधे लिया जाना चाहिए।

अनंत पर अवशिष्‍ट

सामान्यतः, अनंत पर अवशिष्‍ट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).$

यदि निम्नलिखित नियम पूर्ण होते है:

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,$

तो अनंत पर अवशिष्‍ट की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$\operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).$

यदि इसके अतिरिक्त

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,$

तो अनंत पर अवशिष्‍ट है,

$\operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).$

होलोमोर्फिक फलन के लिए पृथक विलक्षणताओं पर अवशिष्‍टों और अनंत पर अवशिष्‍टों का योग शून्य है।

श्रृंखला विधियाँ

यदि किसी फलन के भागो या सभी को टेलर श्रृंखला या लॉरेंट श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, जो संभव हो सकता है, यदि भागों या पूर्ण फलन में मानक श्रृंखला विस्तार हो, तो अवशिष्‍ट की गणना करना अन्य विधियों की तुलना में अत्यधिक सरल है।

1. प्रथम उदाहरण के रूप में, फलन की विलक्षणताओं पर अवशेषों की गणना करने पर विचार करें
   $$f(z)={\sin z \over z^{2}-z}$$

   जिसका उपयोग कुछ समोच्च इंटीग्रल्स की गणना के लिए किया जा सकता है। ऐसा प्रतीत होता है कि इस फलन में विलक्षणता है at z = 0, किन्तु यदि कोई हर को गुणनखंडित करता है और इस प्रकार फलन को इस प्रकार लिखता है।

   $$f(z)={\sin z \over z(z-1)}$$

   यह स्पष्ट है कि z = 0 पर विलक्षणता एक है विस्थापित योग्य विलक्षणता और तत्पश्चात z = 0 अवशेष इसलिए 0 है।

   एकमात्र अन्य विलक्षणता z = 1 पर है। z = a के बारे में g(z) फलन के लिए टेलर श्रृंखला की अभिव्यक्ति को याद करें:

   $$g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots$$

   So, for g(z) = sin z and a = 1 we have

   $$\sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .$$
   और g(z) = 1/z और a = 1 के लिए हमारे पास है
   $${\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .$$

   उन दोनों श्रृंखलाओं को गुणा करके प्रस्तुत करना 1/(z − 1) हमें देता है

   $${\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .$$
   तो z = 1 पर f(z) का अवशेष पाप 1 है।
2. आगामी उदाहरण दिखाता है कि, श्रृंखला विस्तार द्वारा अवशेषों की गणना करने में प्रमुख भूमिका निभाई जाती है औपचारिक श्रृंखला लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय होने देना
   $$u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}$$
   एक [[संपूर्ण फलन], बनें, और रहने दें
   $$v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}$$
   अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या के साथ, और साथ ${\textstyle v_{1}\neq 0}$. So ${\textstyle v(z)}$ स्थानीय व्युत्क्रम है ${\textstyle V(z)}$ at 0, and ${\textstyle u(1/V(z))}$ 0 पर मेरोमोर्फिक है। तब हमारे पास है:
   $$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.$$
   Indeed,
   $$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}$$
   क्योंकि प्रथम श्रृंखला 0 के आसपास किसी भी अल्प वृत्त पर समान रूप से अभिसरण करती है। लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करना
   $$\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},$$
   और हमें उपरोक्त अभिव्यक्ति मिलती है। उदाहरण के लिए, यदि $u(z)=z+z^{2}$ and also $v(z)=z+z^{2}$, तब
   $$V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}$$
   और
   $$u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.$$
   प्रथम पद अवशेष में 1 का योगदान देता है, और दूसरा पद 2 का योगदान देता है क्योंकि यह$1/z^{2}+2/z$ के लिए स्पर्शोन्मुख है। ध्यान दें कि ${\textstyle u(z)}$ and ${\textstyle v(z)}$, पर संबंधित दृढ़ सममित धारणाओं के साथ, यह भी अनुसरण करता है।
   $$\operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),$$
   जहां ${\textstyle U(z)}$ ${\textstyle u(z)}$ at 0.का स्थानीय व्युत्क्रम है।

यह भी देखें

• अवशिष्‍ट प्रमेय किसी फलन के कुछ ध्रुवों के चारों ओर समुच्चय अभिन्न भाग को उनके अवशिष्‍टों के योग से जोड़ता है।
• कॉची का अभिन्न सूत्र
• कॉची का अभिन्न प्रमेय
• मित्तग-लेफ़लर का प्रमेय
• समुच्चय एकीकरण के विधि
• मोरेरा का प्रमेय
• सम्मिश्र विश्लेषण में आंशिक अंश

संदर्भ

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
• Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Basic Complex Analysis (3rd ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

बाहरी संबंध

• "Residue of an analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Complex Residue". MathWorld.