संवलन प्रमेय

गणित में, संवलन प्रमेय में कहा गया है कि उपयुक्त परिस्थितियों में दो फलनों (या संकेत ) के संवलन का फूरियर रूपांतरण उनके फूरियर रूपांतरण का बिंदुवार उत्पाद है। सामान्यतः, एक डोमेन (जैसे, समय डोमेन) में संवलन दूसरे डोमेन (जैसे, आवृत्ति डोमेन ) में क्रमवार बिंदुओं के गुणन के बराबर होता है। संवलन प्रमेय के अन्य संस्करण फूरियर से संबंधित परिवर्तनों की विभिन्न सूची पर लागू होते हैं |

एक सतत चर के फलन

दो फलनों पर विचार करें $g(x)$ तथा $h(x)$ फूरियर रूपांतरण के साथ $G$ तथा $H$:

$${\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }h(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}$$

जहाँ पे ${\mathcal {F}}$ फूरियर रूपांतरण ऑपरेटर (गणित) को दर्शाता है। परिवर्तन को अन्य पद्यतियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिस स्थिति में निरंतर स्केलिंग कारक (सामान्यतः $2\pi$ या ${\sqrt {2\pi }}$) नीचे दिए गए संवलन प्रमेय में दिखाई देगा। का संवलन $g$ तथा $h$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$r(x)=\{g*h\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }g(x-\tau )h(\tau )\,d\tau .$$

इस संदर्भ में, तारांकन मानक गुणन के अतिरिक्त दृढ़ संवलन को दर्शाता है। टेंसर उत्पाद प्रतीक $\otimes$ इसके अतिरिक्त कभी-कभी उपयोग किया जाता है।

संवलन प्रमेय कहता है कि:

$$R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=G(f)H(f).\quad f\in \mathbb {R}$$

(Eq.1a)

उलटा फूरियर रूपांतरण लागू करना ${\mathcal {F}}^{-1}$, परिणाम उत्पन्न करता है:

संवलन प्रमेय

$r(x)=\{g*h\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{G\cdot H\},$

(Eq.1b)

यहाँ, $\cdot$ बिंदुवार गुणन को दर्शाता है

प्रमेय सामान्यतः बहु-आयामी फलनों पर भी लागू होता है।

Multi-dimensional derivation of Eq.1

Consider functions $g,h$ in L^p-space $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, with Fourier transforms $G,H$:

$${\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}$$

where $f\cdot x$ indicates the inner product of $\mathbb {R} ^{n}$:   $f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j},$   and   $dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.$

The convolution of $g$ and $h$ is defined by:

$$r(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau .$$

Also:

$$\iint |g(\tau )h(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|g(\tau )|\int |h(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |g(\tau )|\,\|h\|_{1}\,d\tau =\|g\|_{1}\|h\|_{1}.$$

Hence by Fubini's theorem we have that $r\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ so its Fourier transform $R$ is defined by the integral formula:

$${\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{aligned}}$$

Note that $|g(\tau )h(x-\tau )e^{-i2\pi f\cdot x}|=|g(\tau )h(x-\tau )|$ and hence by the argument above we may apply Fubini's theorem again (i.e. interchange the order of integration): Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 1:16"): {\displaystyle \begin{align} R(f) &= \int_{\mathbb{R}^n} g(\tau) \underbrace{\left(\int_{\mathbb{R}^n} h(x-\tau)\ e^{-i 2 \pi f \cdot x}\,dx\right)}_{H(f)\ e^{-i 2 \pi f \cdot \tau}}\,डी\ताऊ\\ &=\अंडरब्रेस{\बाएं(\int_{\mathbb{R}^n} g(\tau)\ e^{-i 2\pi f \cdot \tau}\,d\tau\right)}_{ जी(एफ)}\ एच(एफ)। \end{align}}

यह प्रमेय लाप्लास रूपांतरण , को दो तरफा लाप्लास परिवर्तन और उपयुक्त रूप से संशोधित किया जाता है, जो मध्य परिवर्तन और हार्टले रूपांतरण (मध्य उलटा प्रमेय देखें) के लिए भी है। इसे स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह पर आधारित सार हार्मोनिक विश्लेषण के फूरियर रूपांतरण तक बढ़ाया जा सकता है।

आवधिक संवलन(फूरियर श्रृंखला गुणांक)

विचार करना $P$-आवधिक फलन $g_{_{P}}$ तथा $h_{_{P}},$ जिसे आवधिक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$g_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g(x-mP)$$

तथा

$$h_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h(x-mP).$$

व्यवहार में घटकों के गैर-शून्य भाग $g$ तथा $h$ यद्यपि अवधि तक सीमित होते हैं $P,$ लेकिन प्रमेय में कुछ भी इसकी आवश्यकता नहीं है। फूरियर श्रृंखला गुणांक हैं:

$${\begin{aligned}G[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\H[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{h_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$$

जहाँ पे ${\mathcal {F}}$ फूरियर श्रृंखला अभिन्न को दर्शाता है।

• बिंदुवार उत्पाद: $g_{_{P}}(x)\cdot h_{_{P}}(x)$ ई आल्सो $P$-आवधिक, और इसके फूरियर श्रृंखला गुणांक संवलन #डिस्क्रिट संवलन द्वारा दिए गए हैं $G$ तथा $H$ क्रम:
  $${\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\cdot h_{_{P}}\}[k]=\{G*H\}[k].$$
• संवलन :
  $${\begin{aligned}\{g_{_{P}}*h\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}$$
  ई आल्सो $P$-आवधिक, और इसे आवर्ती संवलन कहा जाता है। संगत संवलन प्रमेय है:

$${\mathcal {F}}\{g_{_{P}}*h\}[k]=\ P\cdot G[k]\ H[k].$$

(Eq.2)

Derivation of Eq.2

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 1:16"): {\displaystyle \begin{align} \mathcal{F}\{g_{_P} * h\}[k] &\triangleq \frac{1}{P} \int_P \left(\int_P g_{_P}(\tau)\cdot h_{_P}(x-\tau)\ d\tau\right) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx\\ &= \int_P g_{_P}(\tau)\left(\frac{1}{P}\int_P h_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k x/P} dx\right) \, d\tau\\ &= \int_P g_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P} \underbrace{\left(\frac{1}{P}\int_P h_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k (x-\tau)/P} dx\right)}_{H[k], \quad \text{due to periodicity}} \, डी\ताऊ\\ &=\अंडरब्रेस{\बाएं(\int_P\ g_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P} d\tau\right)}_{P\cdot G[k] }\ एच [के]। \अंत{संरेखण} </गणित>}} == एक असतत चर के कार्य (अनुक्रम) == समीकरण 1 के समान एक व्युत्पत्ति द्वारा, अनुक्रमों के लिए एक समान प्रमेय है, जैसे कि दो निरंतर कार्यों के नमूने, जहां अब <math>\mathcal{F}} असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT) ऑपरेटर को दर्शाता है। दो अनुक्रमों पर विचार करें $g[n]$ तथा $h[n]$ परिवर्तन के साथ $G$ तथा $H$:

$${\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;.\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}$$

§ Discrete convolution

का $g$ तथा $h$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$r[n]\triangleq (g*h)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]\cdot h[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-m]\cdot h[m].$$

संवलन #असतत अनुक्रमों के लिए असतत संवलन है:

$$R(f)={\mathcal {F}}\{g*h\}(f)=\ G(f)H(f).$$

(Eq.3)

आवर्त संवलन

$G(f)$ तथा $H(f),$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, आवधिक हैं, 1 की अवधि के साथ। विचार करें $N$-आवधिक अनुक्रम $g_{_{N}}$ तथा $h_{_{N}}$:

$$g_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-mN]$$

तथा

$$h_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .$$

ये फलन नमूने के परिणाम के रूप में होते हैं $G$ तथा $H$ के अंतराल पर $1/N$ और एक व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण (DFT) पर प्रदर्शन कर रहा है $N$ नमूने (देखें § Sampling the DTFT) असतत संवलन:

$$\{g_{_{N}}*h\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g_{_{N}}[m]\cdot h[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[n-m]$$

$N$-आवधिक, और इसे आवर्त संवलन कहा जाता है फिर से परिभाषित करना ${\mathcal {F}}$ ऑपरेटर के रूप में $N$-लंबाई डीएफटी, संबंधित प्रमेय है:

$${\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}[k]} _{G(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}[k]} _{H(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .$$

(Eq.4a)

और इसीलिए:

$$\{g_{_{N}}*h\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}\}.$$

(Eq.4b)

सही परिस्थितियों में, इस एन-लंबाई अनुक्रम के लिए ए . का विरूपण-मुक्त खंड सम्मिलित करना संभव है $g*h$ दृढ़ संवलन लेकिन गैर-शून्य भाग $g(n)$ या $h(n)$ अनुक्रम बराबर या उससे लंबा है $N,$ कुछ विकृति अपरिहार्य है। ऐसी ही परिस्थिति है जब $H(k/N)$ अनंत लंबे . के डीटीएफटी को सीधे नमूना करके अनुक्रम प्राप्त किया जाता है § पृथक हिल्बर्ट रूपांतरण आवेग प्रतिक्रिया के लिये $g$ तथा $h$ अनुक्रम जिनकी गैर-शून्य अवधि से कम या उसके बराबर है $N,$ एक अंतिम सरलीकरण है:

वृत्ताकार संवलन

$\{g_{_{N}}*h\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g\}\cdot {\mathcal {F}}\{h\}\}.$

(Eq.4c)

इस फॉर्म का उपयोग यद्यपि कंप्यूटर द्वारा संख्यात्मक संवलन को कुशलता से लागू करने के लिए किया जाता है। (देखना § Fast convolution algorithms तथा § Example)

आंशिक पारस्परिक के रूप में, यह दिखाया गया है कि कोई भी रैखिक परिवर्तन जो संवलन को बिंदुवार उत्पाद में बदल देता है, वह DFT (गुणांक के क्रमपरिवर्तन तक) है।

Derivations of Eq.4

A time-domain derivation proceeds as follows:

$${\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}*h\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).$$