मिश्रित पॉइसन वितरण

mixed Poisson distribution

Notation	$\operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )$
Parameters	$\lambda \in (0,\infty )$
Support	$k\in \mathbb {N} _{0}$
PMF	$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda$
Mean	$\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
Variance	$\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi })^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
Skewness	${\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}$
MGF	$M_{\pi }(e^{t}-1)$, with $M_{\pi }$ the MGF of π
CF	$M_{\pi }(e^{it}-1)$
PGF	$M_{\pi }(z-1)$

मिश्रित पॉइसन वितरण स्टोचैस्टिक्स में एक यूनीवेरिएट वितरण असतत संभाव्यता वितरण है। यह यह मानने से उत्पन्न होता है कि एक यादृच्छिक चर का नियमित वितरण, दर पैरामीटर के मान को देखते हुए, एक पॉइसन वितरण है, और स्केल पैरामीटर या दर पैरामीटर को स्वयं एक यादृच्छिक चर माना जाता है। इसलिए यह मिश्रित संभाव्यता वितरण का एक विशेष स्तिति है। मिश्रित पॉइसन वितरण को बीमांकिक विज्ञान में प्रमाणों की संख्या के वितरण के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण के रूप में पाया जा सकता है और इसे संक्रामक रोग के गणितीय मॉडलिंग के रूप में भी जांचा जाता है। इसे यौगिक पॉइसन वितरण या यौगिक पॉइसन प्रक्रिया के साथ अस्पष्ट नहीं किया जाना चाहिए।

परिभाषा

एक यादृच्छिक चर X मिश्रित पॉइसन वितरण को संतुष्ट करता है घनत्व π(λ) यदि इसमें संभाव्यता वितरण है

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

यदि हम पॉइसन वितरण की संभावनाओं को q_λ(k) द्वारा निरूपित करते हैं

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

गुण

• विचरण सदैव अपेक्षित मान से बड़ा होता है। इस गुण को अतिप्रकीर्णन कहा जाता है। यह पॉइसन वितरण के विपरीत है जहां माध्य और विचरण समान हैं।
• वास्तव में, लगभग केवल गामा वितरण, लॉग-सामान्य वितरण और व्युत्क्रम गाऊसी वितरण के घनत्व का उपयोग घनत्व π(λ). के रूप में किया जाता है यदि हम गामा वितरण का घनत्व चुनते हैं, तो हमें ऋणात्मक द्विपद वितरण मिलता है, जो बताता है कि इसे पॉइसन गामा वितरण भी क्यों कहा जाता है।

निम्नलिखित में चलो $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,$ घनत्व का अपेक्षित मान हो $\pi (\lambda )\,$ और $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,$ घनत्व का विचरण हो.

अपेक्षित मूल्य

मिश्रित पॉइसन वितरण का अपेक्षित मान है

$\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.$

भिन्नता

भिन्नता के लिए एक मिलता है

$\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.$

विषमता

विषमता को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$\operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.$

विशेषता कार्य

चारित्रिक कार्य का रूप होता है

$\varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,$

जहाँ $M_{\pi }$ घनत्व का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य है।

संभाव्यता उत्पन्न करने वाला फलन

संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फलन के लिए, कोई प्राप्त करता है

$m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,$

क्षण उत्पन्न करने वाला फलन

मिश्रित पॉइसन वितरण का क्षण-उत्पादक कार्य है

$M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,$

उदाहरण

Theorem — पॉइसन वितरण को गामा वितरण के अनुसार वितरित दर पैरामीटर के साथ संयोजित करने से एक नकारात्मक द्विपद वितरण प्राप्त होता है। Proof Let $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ be a density of a $\operatorname {\Gamma } \left(r,{\frac {p}{1-p}}\right)$ distributed random variable. ${\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda {\frac {1}{1-p}}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k+r}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda }\,\mathrm {d} \lambda } _{=\Gamma (r+k)}\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k}p^{r}\end{aligned}}$ Therefore we get $X\sim \operatorname {NegB} (r,p).$

Theorem — पॉइसन वितरण को घातीय वितरण के अनुसार वितरित दर पैरामीटर के साथ संयोजित करने से एक ज्यामितीय वितरण प्राप्त होता है। Proof Let $\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ be a density of a $\mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)$ distributed random variable. Using integration by parts n times yields: $${\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\cdot k!\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&=\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)\end{aligned}}$$ Therefore we get $X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)} .$

मिश्रित पॉइसन वितरण की तालिका

मिश्रण वितरण	मिश्रित पॉइसन वितरण
गामा	नकारात्मक द्विपद
घातीय	ज्यामितिक
विपरित गाऊसी	सिचेल
प्वासों	नेमन
सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी	पॉइसन-सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी
सामान्यीकृत गामा	पॉइसन-सामान्यीकृत गामा
सामान्यीकृत पेरेटो	पॉइसन-सामान्यीकृत पेरेटो
व्युत्क्रम-गामा	पॉइसन-उलटा गामा
लॉग-सामान्य	पॉइसन-लॉग-सामान्य
लोमैक्स	पॉइसन-लोमैक्स
परेटो	पॉइसन-पेरेटो
पियर्सन का वितरण परिवार	पॉइसन-पियर्सन परिवार
सामान्य रूप से छोटा कर दिया गया	पॉइज़न-छंटाई सामान्य
वर्दी	पॉइसन-वर्दी
स्थानांतरित गामा	डेलापोर्टे
विशिष्ट पैरामीटर मानों के साथ बीटा	यूल

साहित्य

• जान ग्रैंडेल: मिश्रित पॉइसन प्रक्रियाएं। चैपमैन एंड हॉल, लंदन 1997, आईएसबीएन 0-412-78700-8 .
• टॉम ब्रिटन: अनुमान के साथ स्टोकेस्टिक महामारी मॉडल। स्प्रिंगर, 2019, doi:10.1007/978-3-030-30900-8