आर्ग मैक्स: Difference between revisions

Latest revision as of 09:32, 27 July 2023

उदाहरण के रूप में, अनमान्यकृत और मानकृत सिंक फलन के लिए उपरोक्त दोनों में

\operatorname {argmax}

का 0 होता है, क्योंकि दोनों में x = 0 पर उनके वृहत्तम मान 1 होते हैं।

असामान्यीकृत चिन्ह फलन (लाल) का आर्ग न्यूनतम अधिकतर {−4.49, 4.49} होता है, इसके x = ±4.49 पर अधिकतर -0.217 के दो वृहत्तम न्यूनतम मान होते हैं। यद्यपि, सामान्यीकृत चिन्ह फलन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} होता है,क्योंकि इसके वृहत्तम न्यूनतम मान x = ±1.43 पर होते हैं, चूंकि न्यूनतम मान समान होता है।^[1]

गणित में, अधिकतम का तर्क (जिसे संक्षेप में आर्ग मैक्स या आर्गमैक्स कहा जाता है) वह बिंदु होते हैं, या तत्व, किसी फलन (गणित) के कार्यक्षेत्र के बिंदु होते हैं, जिन पर फलन के मान अधिकतम होते हैं।^{[note 1]} वैश्विक अधिकतम के विपरीत, जो संदर्भित करता है किसी फलन का सबसे बड़ा आउटपुट, आर्ग मैक्स इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फलन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।

परिभाषा

गणित में, दिए गए ऐसे समुच्चय $X$ , पूरी प्रकार से ऑर्डर किया गया समुच्चय $Y$ , और फलन, $f\colon X\to Y$ , के लिए $X$ के किसी उपसेट $S$ के लिए $\operatorname {argmax}$ (आर्ग मैक्स) को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:

\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.

यदि $S=X$ या $S$ प्रसंग से स्पष्ट है, तो अधिकांशतः $S$ को छोड़ दिया जाता है, जैसे ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.$ अन्या शब्दों में, $\operatorname {argmax}$ अंकों का समुच्चय (गणित) है जिसमें $x$ के बिंदु सम्मलित हैं, जिनके लिए $f(x)$ फलन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह उपस्थित है)। $\operatorname {Argmax}$ यह खाली समुच्चय, सिंगलटन (गणित) हो सकता है, या इसमें कई तत्व सम्मलित हो सकते हैं।

उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्र में,थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है जब विशेष स्थितियों में $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित वास्तविक संख्याएँ होती हैं।^[2] इस स्थितियों में, यदि $f$ समान रूप से समान होता है,तो $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ (इसका तात्पर्य है $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$ ) और अन्यथा $\operatorname {argmax} _{S}f$ उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है, जहां इस स्थितियों में $\operatorname {argmax} _{S}f$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}

जहां इसे संकेत में रखा गया है कि यह समानता

\sup {}_{S}f

के साथ केवल उस स्थिति में साझा किया जाता है जब

f

,

S

.पर असीम नहीं होता है।^[2]

आर्ग न्यूनतम

$\operatorname {argmin}$ (या $\operatorname {arg\,min}$ ) की धारणा (जो न्यूनतम के तर्क के लिए होती है) उसी विधि से परिभाषित होती है। उदाहरण के लिए,

{\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}

$x$ के बिंदु वही होते हैं जिनके लिए $f(x)$ फलन का सबसे छोटा मान प्राप्त करता है। यह $\operatorname {arg\,max}$ . (न्यूनतम के तर्क का तर्क) के पूरक ऑपरेटर होता है।

विशेष स्थितियों में जहां $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित यथार्थात्मक संख्याएँ होती हैं, यदि $f$ सभी $S$ पर असीम रूप से $-\infty$ पर तबके समान होता है, तो $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ (इसका तात्पर्य है, $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$ ) होता है, और अन्यथा $\operatorname {argmin} _{S}f$ f उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है और इसके अतिरिक्त, इस स्थितियों में (जब $f$ असीमता रूप से $-\infty$ के समान नहीं होता है) निम्नलिखित को भी पूर्ण करता है:

\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.

^[2]

उदाहरण और गुण

उदाहरण के लिए, यदि $f(x)$ निम्नलिखित रूप हो:

$1-|x|,$

तो $f$ का अधिकतम मूल्य को सिर्फ बिंदु $x=0.$ पर प्राप्त करता है। इसलिए,

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.

$\operatorname {argmax}$ ऑपरेटर $\operatorname {max}$ ऑपरेटर से अलग होता है। $\operatorname {max}$ ऑपरेटर, जब एक साथी फ़ंक्शन को दिया जाता है, वह फ़ंक्शन का अधिकतम मान देता है, बल्कि उस बिंदु या बिंदुओं को नहीं जिससे वह फ़ंक्शन उस मान तक पहुंचता है। अन्य शब्दों में,

\max _{x}f(x)

में तत्व है

\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.

$\operatorname {argmax} ,$ की प्रकार $\operatorname {max}$ रिक्त समुच्चय (जिसमें अधिकतम अवरोधित है) या एकल समुच्चय हो सकता है, किन्तु $\operatorname {argmax} ,$ के विपरीत, $\operatorname {max}$ एकाधिक तत्वों को नहीं समेत सकता है: उदाहरण के लिए, यदि: $f(x)$ = $4x^{2}-x^{4},$ है, तो ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},$ किन्तु ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}$ क्योंकि फलन $\operatorname {argmax} .$ प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है

समान रूप से, यदि $M$ की अधिकतम है $f,$ तो $\operatorname {argmax}$ अधिकतम का स्तर समुच्चय है:^{[note 2]}

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).

हम इसे पुनर्व्यवस्थित करके सरल सम्मिश्रण प्राप्त कर सकते हैं^{[note 3]}

f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).

यदि अधिकतम बिंदु पर पहुंच जाता है तो इस बिंदु को अधिकांशतः $\operatorname {argmax} ,$ के रूप में संदर्भित किया जाता है और $\operatorname {argmax}$ को बिंदु माना जाता है, न कि बिंदुओं का सेट के लिए। इसलिए, उदाहरण के लिए,

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5

(एकलटन(गणित) समुच्चय के अतिरिक्त $\{5\}$ ), क्योंकि फलन $x(10-x)$ का अधिकतम मान $25,$ है, जो बिंदु $x=5.$ ^{[note 4]} पर होता है। चूंकि, यदि अधिकतम कई बिंदुओं पर पहुंचा जाता है, तो $\operatorname {argmax}$ को बिंदु सेट के रूप में विचार किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए,

{\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}

क्योंकि $\cos x$ का अधिकतम मान $1,$ है, जो इस अवधि पर बिंदु $x=0,2\pi$ या $4\pi .$ पर होता है। पूरे वास्तविक रेखा पर,

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},

तो अनंत समुच्चय है।

फलन सामान्यतः अधिकतम मान नहीं प्राप्त करते हैं, और इसलिए $\operatorname {argmax}$ कभी-कभी रिक्त सेट होता है; उदाहरण के लिए, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,$ क्योंकि $x^{3}$ ,वास्तविक रेखा पर असीमित होता है। उदाहरण के रूप में, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,$ यद्यपि | $\arctan$ वास्तविक रेखा पर $\pm \pi /2.$ से बंद है। यद्यपि, चरम मूल्य प्रमेय के अनुसार, अंतराल (गणित) पर सतत वास्तविक-मूल्यवान फलन में अधिकतम होता है, और इसलिए खाली नहीं $\operatorname {argmax} .$ होता है।

यह भी देखें

किसी फलन का तर्क
उच्चिष्ट और निम्निष्ट
मोड (सांख्यिकी)
गणितीय अनुकूलन
कर्नेल (रैखिक बीजगणित)
पूर्वछवि

↑ For clarity, we refer to the input (x) as points and the output (y) as values; compare critical point and critical value.
↑ Due to the anti-symmetry of $\,\leq ,$ a function can have at most one maximal value.
↑ This is an identity between sets, more particularly, between subsets of $Y.$
↑ Note that $x(10-x)=25-(x-5)^{2}\leq 25$ with equality if and only if $x-5=0.$

संदर्भ

↑ "The Unnormalized Sinc Function Archived 2017-02-15 at the Wayback Machine", University of Sydney
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Rockafellar & Wets 2009, pp. 1–37.

Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

बाहरी संबंध

arg min and arg max at PlanetMath.

[2] For clarity, we refer to the input (x) as points and the output (y) as values; compare critical point and critical value.

[4] Due to the anti-symmetry of $\,\leq ,$ a function can have at most one maximal value.

[5] This is an identity between sets, more particularly, between subsets of $Y.$

[6] Note that $x(10-x)=25-(x-5)^{2}\leq 25$ with equality if and only if $x-5=0.$

[1] "The Unnormalized Sinc Function Archived 2017-02-15 at the Wayback Machine", University of Sydney

[FOOTNOTERockafellarWets20091–37-3] 2.0 ^2.1 ^2.2 Rockafellar & Wets 2009, pp. 1–37.

[1]

[note 1]

[2]

[note 2]

[note 3]

[note 4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|Inputs at which function values are highest}}
+{{Short description|Inputs at which function values are highest}}[[File:Si_sinc.svg|thumb|350px|उदाहरण के रूप में, अनमान्यकृत और मानकृत सिंक फलन के लिए उपरोक्त दोनों में <math>\operatorname{argmax}</math> का 0 होता है, क्योंकि दोनों में x = 0 पर उनके वृहत्तम मान 1 होते हैं।<br /><br />असामान्यीकृत चिन्ह फलन (लाल) का आर्ग न्यूनतम अधिकतर {−4.49, 4.49} होता है, इसके x = ±4.49 पर अधिकतर -0.217 के दो वृहत्तम न्यूनतम मान होते हैं। यद्यपि, सामान्यीकृत चिन्ह फलन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} होता है,क्योंकि इसके वृहत्तम न्यूनतम मान x = ±1.43 पर होते हैं, चूंकि न्यूनतम मान समान होता है।<ref>"[http://physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf The Unnormalized Sinc Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215045226/http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf |date=2017-02-15 }}", University of Sydney</ref>]]गणित में, '''अधिकतम का तर्क'''  (जिसे संक्षेप में '''आर्ग मैक्स''' या '''आर्गमैक्स''' कहा जाता है) वह बिंदु होते हैं, या तत्व, किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] के कार्यक्षेत्र के बिंदु होते हैं, जिन पर फलन के मान अधिकतम होते हैं।<ref group="note">For clarity, we refer to the input (''x'') as ''points'' and the output (''y'') as ''values;'' compare [[critical point (mathematics)|critical point]] and [[critical value]].</ref>  [[वैश्विक अधिकतम]] के विपरीत, जो संदर्भित करता है किसी फलन का सबसे बड़ा आउटपुट, आर्ग मैक्स इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फलन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।
-{{refimprove|date=October 2014}}
-[[File:Si_sinc.svg|thumb|350px|उदाहरण के तौर पर, उपरोक्त दोनों असामान्यीकृत और सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन हैं <math>\operatorname{argmax}</math> {0} का क्योंकि दोनों x = 0 पर अपना वैश्विक अधिकतम मान 1 प्राप्त करते हैं।<br /><br />असामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन (लाल) का आर्ग मिनट लगभग {−4.49, 4.49} है, क्योंकि इसमें 2 है x = ±4.49 पर वैश्विक न्यूनतम मान लगभग −0.217 है। हालाँकि, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} है, लगभग, क्योंकि उनका वैश्विक न्यूनतम x = ±1.43 पर होता है, भले ही न्यूनतम मान समान हो।<ref>"[http://physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf The Unnormalized Sinc Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215045226/http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf |date=2017-02-15 }}", University of Sydney</ref>]]गणित में, मैक्सिमा (संक्षिप्त रूप में arg max या argmax) के तर्क कुछ [[फ़ंक्शन (गणित)]] के फ़ंक्शन के डोमेन के बिंदु, या सबसे बड़े और सबसे कम तत्व होते हैं, जिस पर फ़ंक्शन मान [[मैक्सिमा और मिनिमा]] होते हैं।<ref group="note">For clarity, we refer to the input (''x'') as ''points'' and the output (''y'') as ''values;'' compare [[critical point (mathematics)|critical point]] and [[critical value]].</ref> [[वैश्विक अधिकतम]] के विपरीत, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े आउटपुट को संदर्भित करता है, arg max किसी फ़ंक्शन के इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फ़ंक्शन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।
 == परिभाषा ==
-एक मनमाना सेट दिया गया (गणित) {{nowrap|<math>X</math>,}} एक [[पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट]] {{nowrap|<math>Y</math>,}} और एक फ़ंक्शन, {{nowrap|<math>f\colon X \to Y</math>,}} द <math>\operatorname{argmax}</math> कुछ उपसमुच्चय पर <math>S</math> का <math>X</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
+गणित में, दिए गए ऐसे समुच्चय {{nowrap|<math>X</math>,}} [[पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट|पूरी प्रकार से ऑर्डर किया गया समुच्चय]] {{nowrap|<math>Y</math>,}} और फलन, {{nowrap|<math>f\colon X \to Y</math>,}} के लिए <math>X</math> के किसी उपसेट <math>S</math> के लिए <math>\operatorname{argmax}</math> (आर्ग मैक्स) को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:
 :<math>\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>
-अगर <math>S = X</math> या <math>S</math> तो, संदर्भ से स्पष्ट है <math>S</math> अक्सर छोड़ दिया जाता है, जैसे कि <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in X \}.</math> दूसरे शब्दों में, <math>\operatorname{argmax}</math> अंकों का समुच्चय (गणित) है <math>x</math> जिसके लिए <math>f(x)</math> फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह मौजूद है)। <math>\operatorname{Argmax}</math> यह [[खाली सेट]], एक [[सिंगलटन (गणित)]] हो सकता है, या इसमें कई तत्व शामिल हो सकते हैं।
+यदि <math>S = X</math> या <math>S</math> प्रसंग से स्पष्ट है, तो अधिकांशतः <math>S</math> को छोड़ दिया जाता है, जैसे <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in X \}.</math> अन्या शब्दों में, <math>\operatorname{argmax}</math> अंकों का समुच्चय (गणित) है जिसमें <math>x</math> के बिंदु सम्मलित हैं, जिनके लिए <math>f(x)</math> फलन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह उपस्थित है)। <math>\operatorname{Argmax}</math> यह [[खाली सेट|खाली समुच्चय]], [[सिंगलटन (गणित)]] हो सकता है, या इसमें कई तत्व सम्मलित हो सकते हैं।
-[[उत्तल विश्लेषण]] और [[परिवर्तनशील विश्लेषण]] के क्षेत्र में, विशेष मामले में थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है <math>Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}</math> [[विस्तारित वास्तविक संख्याएँ]] हैं।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}} इस मामले में, यदि <math>f</math> समान रूप से बराबर है <math>\infty</math> पर <math>S</math> तब <math>\operatorname{argmax}_S f := \varnothing</math> (वह है, <math>\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing</math>) और अन्यथा <math>\operatorname{argmax}_S f</math> ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है, जहां इस मामले में <math>\operatorname{argmax}_S f</math> इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
+[[उत्तल विश्लेषण]] और [[परिवर्तनशील विश्लेषण]] के क्षेत्र में,थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है जब विशेष स्थितियों में <math>Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}</math> [[विस्तारित वास्तविक संख्याएँ]] होती हैं।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}} इस स्थितियों में, यदि <math>f</math> समान रूप से समान होता है,तो <math>\operatorname{argmax}_S f := \varnothing</math> (इसका तात्पर्य है <math>\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing</math>) और अन्यथा <math>\operatorname{argmax}_S f</math> उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है, जहां इस स्थितियों में <math>\operatorname{argmax}_S f</math> को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
-:<math>\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}</math> जहां इस बात पर जोर दिया गया है कि इसमें समानता शामिल है <math>\sup {}_S f</math> रखती है {{em|only}} कब <math>f</math> समान रूप से नहीं है <math>\infty</math> पर {{nowrap|<math>S</math>.}}{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}}
+:<math>\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}</math> जहां इसे संकेत में रखा गया है कि यह समानता <math>\sup {}_S f</math> के साथ केवल उस स्थिति में साझा किया जाता है जब <math>f</math>, {{nowrap|<math>S</math>.}}पर असीम नहीं होता है।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}}
-===गुस्सा मेरा<!--'Arg min' redirects here--> ===
+===आर्ग न्यूनतम ===
-की अवधारणा <math>\operatorname{argmin}</math> (या <math>\operatorname{arg\,min}</math>), जो न्यूनतम के तर्क के लिए खड़ा है, अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए,
+<math>\operatorname{argmin}</math> (या <math>\operatorname{arg\,min}</math>) की धारणा (जो न्यूनतम के तर्क के लिए होती है) उसी विधि से परिभाषित होती है। उदाहरण के लिए,
 :<math>\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x)  \text{ for all } s \in S \}</math>
-बिंदु हैं <math>x</math> जिसके लिए <math>f(x)</math> अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है। यह का पूरक संचालक है {{nowrap|<math>\operatorname{arg\,max}</math>.}}
+<math>x</math> के बिंदु वही होते हैं जिनके लिए <math>f(x)</math> फलन का सबसे छोटा मान प्राप्त करता है। यह {{nowrap|<math>\operatorname{arg\,max}</math>.}} (न्यूनतम के तर्क का तर्क) के पूरक ऑपरेटर होता है।
-विशेष मामले में जहां <math>Y = [-\infty,\infty] = \R \cup \{ \pm\infty \}</math> विस्तारित वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि <math>f</math> समान रूप से बराबर है <math>-\infty</math> पर <math>S</math> तब <math>\operatorname{argmin}_S f := \varnothing</math> (वह है, <math>\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing</math>) और अन्यथा <math>\operatorname{argmin}_S f</math> उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है और इसके अलावा, इस मामले में (के) <math>f</math> समान रूप से समान नहीं है <math>-\infty</math>) यह भी संतुष्ट करता है:
+विशेष स्थितियों में जहां <math>Y = [-\infty,\infty] = \R \cup \{ \pm\infty \}</math> विस्तारित यथार्थात्मक संख्याएँ होती हैं, यदि <math>f</math> सभी <math>S</math> पर असीम रूप से <math>-\infty</math> पर तबके समान होता है, तो <math>\operatorname{argmin}_S f := \varnothing</math> (इसका तात्पर्य है, <math>\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing</math>) होता है, और अन्यथा <math>\operatorname{argmin}_S f</math> f उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है और इसके अतिरिक्त, इस स्थितियों में (जब <math>f</math> असीमता रूप से <math>-\infty</math> के समान नहीं होता है) निम्नलिखित को भी पूर्ण करता है:
 :<math>\operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}.</math>{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}}
 == उदाहरण और गुण ==
-उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x)</math> है <math>1 - |x|,</math> तब <math>f</math> का अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है <math>1</math> केवल बिंदु पर <math>x = 0.</math> इस प्रकार
+उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x)</math> निम्नलिखित रूप हो:
-:<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.</math>
+<math>1 - |x|,</math>
- <math>\operatorname{argmax}</math> h>ऑपरेटर से भिन्न है <math>\max</math> ऑपरेटर। <math>\max</math> h> ऑपरेटर, जब समान फ़ंक्शन दिया जाता है, तो लौटाता है {{em|[[Maxima and minima|maximum value]]}} के बजाय फ़ंक्शन का {{em|point or points}} जो उस फ़ंक्शन को उस मान तक पहुंचने का कारण बनता है; दूसरे शब्दों में
+तो <math>f</math> का अधिकतम  मूल्य को सिर्फ बिंदु <math>x = 0.</math> पर प्राप्त करता है। इसलिए,
+:<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.</math>
+<math>\operatorname{argmax}</math> ऑपरेटर <math>\operatorname{max}</math> ऑपरेटर से अलग होता है। <math>\operatorname{max}</math> ऑपरेटर, जब एक साथी फ़ंक्शन को दिया जाता है, वह फ़ंक्शन का अधिकतम मान देता है, बल्कि उस बिंदु या बिंदुओं को नहीं जिससे वह फ़ंक्शन उस मान तक पहुंचता है। अन्य शब्दों में,
 :<math>\max_x f(x)</math> में तत्व है <math>\{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>
-पसंद <math>\operatorname{argmax},</math> अधिकतम एक खाली सेट हो सकता है (जिस स्थिति में अधिकतम अपरिभाषित है) या एक सिंगलटन, लेकिन इसके विपरीत <math>\operatorname{argmax},</math> <math>\operatorname{max}</math> एकाधिक तत्व शामिल नहीं हो सकते:<ref group=note>Due to the [[Antisymmetric relation|anti-symmetry]] of <math>\,\leq,</math> a function can have at most one maximal value.</ref> उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x)</math> है <math>4 x^2 - x^4,</math> तब <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},</math> लेकिन <math>\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}</math> क्योंकि फ़ंक्शन प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है <math>\operatorname{argmax}.</math>
+<math>\operatorname{argmax},</math> की प्रकार <math>\operatorname{max}</math> रिक्त समुच्चय (जिसमें अधिकतम अवरोधित है) या एकल समुच्चय हो सकता है, किन्तु <math>\operatorname{argmax},</math> के विपरीत, <math>\operatorname{max}</math> एकाधिक तत्वों को नहीं समेत सकता है: उदाहरण के लिए, यदि: <math>f(x)</math> = <math>4 x^2 - x^4,</math> है, तो <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},</math> किन्तु <math>\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}</math> क्योंकि फलन <math>\operatorname{argmax}.</math> प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है
-समान रूप से, यदि <math>M</math> की अधिकतम है <math>f,</math> फिर <math>\operatorname{argmax}</math> अधिकतम का स्तर सेट है:
+समान रूप से, यदि <math>M</math> की अधिकतम है <math>f,</math> तो <math>\operatorname{argmax}</math> अधिकतम का स्तर समुच्चय है:<ref group="note">Due to the [[Antisymmetric relation|anti-symmetry]] of <math>\,\leq,</math> a function can have at most one maximal value.</ref>
 :<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = \{ x ~:~ f(x) = M \} =: f^{-1}(M).</math>
-हम सरल पहचान देने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं<ref group=note>This is an identity between sets, more particularly, between subsets of <math>Y.</math></ref>
+हम इसे पुनर्व्यवस्थित करके सरल सम्मिश्रण प्राप्त कर सकते हैं<ref group="note">This is an identity between sets, more particularly, between subsets of <math>Y.</math></ref>
 :<math>f\left(\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) \right) = \max_x f(x).</math>
-यदि अधिकतम एक बिंदु पर पहुंच जाता है तो इस बिंदु को अक्सर कहा जाता है {{em|the}} <math>\operatorname{argmax},</math> और <math>\operatorname{argmax}</math> एक बिंदु माना जाता है, बिंदुओं का समूह नहीं। तो, उदाहरण के लिए,
+यदि अधिकतम बिंदु पर पहुंच जाता है तो इस बिंदु को अधिकांशतः <math>\operatorname{argmax},</math> के रूप में संदर्भित किया जाता है और <math>\operatorname{argmax}</math> को बिंदु माना जाता है, न कि बिंदुओं का सेट के लिए। इसलिए, उदाहरण के लिए,
 :<math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5</math>
-(सिंगलटन (गणित) सेट के बजाय <math>\{ 5 \}</math>), के अधिकतम मूल्य के बाद से <math>x (10 - x)</math> है <math>25,</math> जिसके लिए होता है <math>x = 5.</math><ref group="note">Note that <math>x (10 - x) = 25 - (x-5)^2 \leq 25</math> with equality if and only if <math>x - 5 = 0.</math></ref> हालाँकि, यदि कई बिंदुओं पर अधिकतम पहुँच जाता है, <math>\operatorname{argmax}</math> एक पर विचार करने की आवश्यकता है {{em|set}} अंकों का.
+(एकलटन(गणित) समुच्चय के अतिरिक्त <math>\{ 5 \}</math>), क्योंकि फलन <math>x (10 - x)</math> का अधिकतम मान <math>25,</math>है, जो बिंदु <math>x = 5.</math><ref group="note">Note that <math>x (10 - x) = 25 - (x-5)^2 \leq 25</math> with equality if and only if <math>x - 5 = 0.</math></ref> पर होता है। चूंकि, यदि अधिकतम कई बिंदुओं पर पहुंचा जाता है, तो <math>\operatorname{argmax}</math> को बिंदु सेट के रूप में विचार किया जाना चाहिए।
-उदाहरण के लिए
+उदाहरण के लिए,
 :<math>\underset{x \in [0, 4 \pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{ 0, 2 \pi, 4 \pi \}</math>
-क्योंकि का अधिकतम मान <math>\cos x</math> है <math>1,</math> जो इस अंतराल पर होता है <math>x = 0, 2 \pi</math> या <math>4 \pi.</math> पूरी वास्तविक लाइन पर
+क्योंकि <math>\cos x</math> का अधिकतम मान <math>1,</math> है, जो इस अवधि पर बिंदु <math>x = 0, 2 \pi</math> या <math>4 \pi.</math> पर होता है। पूरे वास्तविक रेखा पर,
-:<math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},</math> तो एक अनंत सेट.
-फ़ंक्शंस को सामान्य रूप से अधिकतम मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं होती है, और इसलिए <math>\operatorname{argmax}</math> कभी-कभी खाली सेट होता है; उदाहरण के लिए, <math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing,</math> तब से <math>x^3</math> वास्तविक रेखा पर [[बंधा हुआ कार्य]] है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing,</math> यद्यपि चाप स्पर्शरेखा|<math>\arctan</math>से घिरा हुआ है <math>\pm\pi/2.</math> हालाँकि, [[चरम मूल्य प्रमेय]] के अनुसार, एक [[अंतराल (गणित)]] पर एक सतत वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन में अधिकतम होता है, और इस प्रकार एक गैर-रिक्त होता है <math>\operatorname{argmax}.</math>
+:<math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},</math> तो अनंत समुच्चय है।
+फलन सामान्यतः अधिकतम मान नहीं प्राप्त करते हैं, और इसलिए <math>\operatorname{argmax}</math> कभी-कभी रिक्त सेट होता है; उदाहरण के लिए, <math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing,</math> क्योंकि <math>x^3</math>,वास्तविक रेखा पर असीमित होता है। उदाहरण के रूप में, <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing,</math> यद्यपि |<math>\arctan</math> वास्तविक रेखा पर <math>\pm\pi/2.</math> से बंद है। यद्यपि, [[चरम मूल्य प्रमेय]] के अनुसार, [[अंतराल (गणित)]] पर सतत वास्तविक-मूल्यवान फलन में अधिकतम होता है, और इसलिए खाली नहीं <math>\operatorname{argmax}.</math> होता है।
 ==यह भी देखें==
-* किसी फ़ंक्शन का तर्क
+* किसी फलन का तर्क
-* मैक्सिमा और मिनिमा
+* उच्चिष्ट और निम्निष्ट
 * [[मोड (सांख्यिकी)]]
 * [[गणितीय अनुकूलन]]
@@ Line 64: / Line 62: @@
 ==टिप्पणियाँ==
 {{reflist|group=note}}
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
-* {{Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer}} <!-- {{sfn|Rockafellar|Wets|2009|p=}} -->
+* {{Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer}}
 ==बाहरी संबंध==
 *{{PlanetMath|urlname=argminandargmax|title=arg min and arg max}}
-[[Category: प्रारंभिक गणित]] [[Category: उलटा कार्य]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 08/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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