समतुल्य सहसंरचना: Difference between revisions

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[[गणित]] में, '''समतुल्य सहसंरचना''' [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] से एक सह-समरूपता सिद्धांत है जो समूह कार्रवाई के साथ [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर लागू होता है। इसे [[समूह सहसंगति]] विज्ञान के एक सामान्य सामान्यीकरण और एक सामान्य [[सहसंयोजी सिद्धांत]] के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, किसी स्थान का समतुल्य सहसंयोजी स्पेस <math>X</math> एक संस्थानिक समूह की कार्रवाई के साथ <math>G</math> गुणांक रिंग के साथ साधारण  [[Index.php?title=सह-समरूपता रिंग|सह-समरूपता रिंग]] के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\Lambda</math> [[समरूप भागफल]] का <math>EG \times_G X</math>:
[[Index.php?title=अंक शास्त्र|अंक शास्त्र]] में, '''समतुल्य सहसंरचना''' [[Index.php?title=बीजगणितीय सांस्थिति|=बीजगणितीय सांस्थिति]] से एक सह-समरूपता सिद्धांत है जो समूह कार्य के साथ [[Index.php?title=संस्थानिक स्पेस|संस्थानिक स्पेस]] पर लागू होता है। इसे [[समूह सहसंगति]] विज्ञान के एक सामान्य सामान्यीकरण और एक सामान्य [[सहसंयोजी सिद्धांत]] के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, किसी स्थान का समतुल्य सहसंयोजी स्पेस <math>X</math> एक संस्थानिक समूह कार्य के साथ <math>G</math> गुणांक रिंग के साथ साधारण  [[Index.php?title=सह-समरूपता रिंग|सह-समरूपता रिंग]] के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\Lambda</math> [[समरूप भागफल]] का <math>EG \times_G X</math>:
:<math>H_G^*(X; \Lambda) = H^*(EG \times_G X; \Lambda).</math>
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अगर <math>G</math> [[Index.php?title= निरर्थक समूह|निरर्थक समूह]] है, यह साधारण [[Index.php?title=सह-समरूपता रिंग|सह-समरूपता रिंग]] है, जबकि यदि <math>X</math> [[संकुचन योग्य]] है, यह वर्गीकृत स्थान के सह-समरूपता रिंग में कम हो जाता है <math>BG</math> यदि G, X पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, तो विहित मानचित्र <math>EG \times_G X \to X/G</math> एक समरूप तुल्यता है। <math>H_G^*(X; \Lambda) = H^*(X/G; \Lambda).</math>
यदि <math>G</math> [[Index.php?title= निरर्थक समूह|निरर्थक समूह]] है, यह साधारण [[Index.php?title=सह-समरूपता रिंग|सह-समरूपता रिंग]] है, तो <math>X</math> [[संकुचन योग्य]] है, यह वर्गीकृत स्थान के सह-समरूपता रिंग में कम हो जाता है <math>BG</math> यदि G, X पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, तो विहित मानचित्र <math>EG \times_G X \to X/G</math> एक समरूप तुल्यता है। <math>H_G^*(X; \Lambda) = H^*(X/G; \Lambda).</math>




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  <math>H_G^*(X;A)</math> का <math>X</math> A में गुणांक के साथ
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  <math>G</math>-मॉड्यूल A; ये [[एबेलियन समूह]] हैं।
  <math>G</math>-मॉड्यूल A; ये [[एबेलियन समूह]] हैं।
यह निर्माण स्थानीय गुणांकों के साथ सह-समरूपता का अनुरूप है।
यह निर्माण अवस्थिति गुणांकों के साथ सह-समरूपता का अनुरूप है।


यदि X एक बहुआयामी है, G एक सघन असत्य समूह है और <math>\Lambda</math>\लैम्ब्डा वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है, तो उपरोक्त सह-समरूपता की गणना तथाकथित कार्टन मॉडल का उपयोग करके की जा सकती है।
यदि X एक बहुआयामी है, G एक सघन (कॉम्पैक्ट) लाई समूह है और <math>\Lambda</math>\लैम्ब्डा वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र या सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र है, तो उपरोक्त सह-समरूपता की गणना तथाकथित कार्टन मॉडल का उपयोग करके की जा सकती है।


निर्माण को अन्य सह-समरूपता सिद्धांतों के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जैसे कि [[Index.php?title=ब्रेडन सह-समरूपता|ब्रेडन सह-समरूपता]] या [[Index.php?title=अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों|अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों]] की सह-समरूपता यदि G एक कॉम्पैक्ट लाई समूह है, तो, औसत तर्क द्वारा{{Citation needed|reason=Previous link was incorrect.|date=October 2017}}, किसी भी रूप को अपरिवर्तनीय बनाया जा सकता है; इस प्रकार, अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों के सह-समरूपता से नई जानकारी नहीं मिलती है।
निर्माण को अन्य सह-समरूपता सिद्धांतों के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जैसे कि [[Index.php?title=ब्रेडन सह-समरूपता|ब्रेडन सह-समरूपता]] या [[Index.php?title=अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों|अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों]] की सह-समरूपता यदि G एक सघन मिथ्या समूह है, तो, औसत तर्क द्वारा{{Citation needed|reason=Previous link was incorrect.|date=October 2017}}, किसी भी रूप को अपरिवर्तनीय बनाया जा सकता है; इस प्रकार, अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों के सह-समरूपता से नई जानकारी नहीं मिलती है।


कोस्ज़ुल द्वंद्व को समतुल्य सहसंगति और साधारण सहसंगति के बीच माना जाता है।
कोस्ज़ुल द्वंद्व को समतुल्य सहसंगति और साधारण सहसंगति के बीच माना जाता है।


=== ग्रुपॉइड कोहोमोलॉजी के साथ संबंध ===
=== ग्रुपॉइड कोहोमोलॉजी के साथ संबंध ===
एक लाई समूह के लिए <math>\mathfrak{X} = [X_1 \rightrightarrows X_0]</math>  सहज बहुआयामी की समतुल्य सहसंरचना<ref>{{harvnb|Behrend|2004}}</ref> लाई ग्रुपॉइड सह-समरूपता का एक विशेष उदाहरण है। ऐसा इसलिए है चूंकि दिया गया है <math>G</math>-स्पेस एक कॉम्पैक्ट लाई समूह के लिए <math>X</math> <math>G</math>, एक संबद्ध समूह है
एक मिथ्या समूह के लिए <math>\mathfrak{X} = [X_1 \rightrightarrows X_0]</math>  सहज बहुआयामी की समतुल्य सहसंरचना<ref>{{harvnb|Behrend|2004}}</ref> मिथ्या ग्रुपॉइड सह-समरूपता का एक विशेष उदाहरण है। ऐसा इसलिए है चूंकि दिया गया है <math>G</math>-स्पेस एक सघन मिथ्या समूह के लिए <math>X</math> <math>G</math>, एक संबद्ध समूह है


<math>\mathfrak{X}_G = [G\times X \rightrightarrows X] </math>
<math>\mathfrak{X}_G = [G\times X \rightrightarrows X] </math>


जिनके समतुल्य सहसंयोजक समूहों की गणना कार्टन कॉम्प्लेक्स का उपयोग करके की जा सकती है <math>\Omega_G^\bullet(X)</math> जो ग्रुपॉइड के D-रैम डबल कॉम्प्लेक्स का कुलीकरण है।  
जिनके समतुल्य सहसंयोजक समूहों की गणना कार्टन सम्मिश्र का उपयोग करके की जा सकती है <math>\Omega_G^\bullet(X)</math> जो ग्रुपॉइड के D-रैम डबल सम्मिश्र का कुलीकरण है।  


<math>\Omega^n_G(X) = \bigoplus_{2k+i = n}(\text{Sym}^k(\mathfrak{g}^\vee)\otimes \Omega^i(X))^G</math>
<math>\Omega^n_G(X) = \bigoplus_{2k+i = n}(\text{Sym}^k(\mathfrak{g}^\vee)\otimes \Omega^i(X))^G</math>


जहां <math>\text{Sym}^\bullet(\mathfrak{g}^\vee)</math> लाई समूह से दोहरे लाई बीजगणित का सममित है, और <math>G</math> <math>(-)^G</math> से मेल खाता है <math>G</math>-अपरिवर्तनीय रूप. यह सह-समरूपता की गणना के लिए एक विशेष रूप से उपयोगी उपकरण है <math>BG</math> एक कॉम्पैक्ट लाई समूह के लिए <math>G</math> चूँकि इसकी गणना सह-समरूपता के रूप में की जा सकती है<blockquote> <math>[G \rightrightarrows *]</math></blockquote>जहां एक बिंदु पर कार्रवाई लघु है।  
जहां <math>\text{Sym}^\bullet(\mathfrak{g}^\vee)</math> मिथ्या समूह से दोहरे मिथ्या बीजगणित का सममित है, और <math>G</math> <math>(-)^G</math> से मेल खाता है <math>G</math>-अपरिवर्तनीय रूप. यह सह-समरूपता की गणना के लिए एक विशेष रूप से उपयोगी उपकरण है <math>BG</math> एक सघन मिथ्या समूह के लिए <math>G</math> चूँकि इसकी गणना सह-समरूपता के रूप में की जा सकती है<blockquote> <math>[G \rightrightarrows *]</math></blockquote>जहां एक बिंदु पर कार्य निरर्थक है।  


<math>H^*_{dR}(BG) = \bigoplus_{k\geq 0 }\text{Sym}^{2k}(\mathfrak{g}^\vee)^G</math>
<math>H^*_{dR}(BG) = \bigoplus_{k\geq 0 }\text{Sym}^{2k}(\mathfrak{g}^\vee)^G</math>
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&\cong \mathbb{R}[t] \\
&\cong \mathbb{R}[t] \\
&\text{ where } \deg(t) = 2
&\text{ where } \deg(t) = 2
\end{align}</math></blockquote><math>U(1)</math>-दोहरी लाई बीजगणित पर कार्रवाई लघु है।
\end{align}</math></blockquote><math>U(1)</math>-दोहरी मिथ्या बीजगणित पर कार्य निरर्थक है।


== समरूपी भागफल ==
== समरूपी भागफल ==


होमोटोपी भागफल, जिसे होमोटोपी [[कक्षा स्थान]] या बोरेल निर्माण भी कहा जाता है, कक्षा स्थान (का भागफल) का "समरूप रूप से सही" संस्करण है इसके द्वारा <math>X</math> <math>G</math>-एक्शन) जिसमें <math>X</math> को पहले एक बड़े लेकिन [[समरूप समतुल्य]] स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है ताकि कार्रवाई मुक्त होने की गारंटी हो।
समस्थेयता भागफल, जिसे होमोटोपी [[Index.php?title=क्लासरूम स्पेस|क्लासरूम स्पेस]] कहा जाता है, क्लासरूम स्पेस का "समरूप से सही" संस्करण है इसके द्वारा <math>G</math>-<math>X</math> जिसमें <math>X</math> को पहले एक बड़े परंतु [[समरूप समतुल्य]] स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमे क्रिया मुक्त होने से  निश्चित हो सके।


इस प्रयोजन के लिए, G के लिए [[सार्वभौमिक बंडल]] EG → BG का निर्माण करें और याद रखें कि EG एक निःशुल्क G-क्रिया को स्वीकार करता है। फिर उत्पाद EG ×<sup>−1</sup>x): मुफ़्त क्योंकि यह EG पर मुफ़्त है। इसलिए हम समरूप भागफल XG को इस मुक्त G-क्रिया की कक्षा स्थान (EG × X)/G के रूप में परिभाषित करते हैं।
इस प्रयोजन के लिए, G के लिए [[सार्वभौमिक बंडल]] EG → BG का निर्माण करें और याद रखें कि EG एक निःशुल्क G-क्रिया को स्वीकार करता है। उत्पाद EG ×<sup>−1</sup>x): चूंकि यह EG पर है। इसलिए हम समरूप भागफल XG को इस G-क्रिया की क्लासरूम स्पेस  (EG × X)/G के रूप में परिभाषित करते हैं।


दूसरे शब्दों में, होमोटॉपी भागफल बीजी पर संबंधित एक्स-बंडल है जो एक स्थान एक्स और मुख्य बंडल ईजी बीजी पर जी की कार्रवाई से प्राप्त होता है। इस बंडल X → XG → BG को बोरेल फ़िब्रेशन कहा जाता है।
दूसरे शब्दों में, समस्थेयता भागफल BG पर संबंधित <math>X</math>- समूह है जो एक स्थान और मुख्य समूह  EG BG पर G की क्रिया से प्राप्त होता है। इस समूह X → XG → BG को बोरेल फ़िब्रेशन कहा जाता है।


== समरूप भागफल का एक उदाहरण ==
== समरूप भागफल का एक उदाहरण ==
निम्नलिखित उदाहरण का प्रस्ताव 1 है। [http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureIV-Approaches.pdf]  
निम्नलिखित उदाहरण का प्रस्ताव 1 है। [http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureIV-Approaches.pdf]  


मान लीजिए कि X एक जटिल प्रक्षेप्य [[बीजगणितीय वक्र]] है। हम जटिल बिंदुओं के सेट के साथ एक्स को एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में पहचानते हैं <math>X(\mathbb{C})</math>, जो एक कॉम्पैक्ट [[रीमैन सतह]] है। मान लीजिए G एक जटिल सरल रूप से जुड़ा हुआ अर्धसरल झूठ समूह है। फिर एक्स पर कोई भी प्रमुख जी-बंडल वर्गीकृत स्थान के बाद से एक तुच्छ बंडल के लिए आइसोमोर्फिक है  <math>BG</math> [[ n-कनेक्टेड ]]|2-कनेक्टेड है और एक्स का वास्तविक आयाम 2 है। कुछ चिकने जी-बंडल को ठीक करें <math>P_\text{sm}</math> फिर कोई भी प्रमुख G-बंडल चालू करें <math>X</math> समरूपी है <math>P_\text{sm}</math>. दूसरे शब्दों में, सेट एक्स पर एक प्रमुख जी-बंडल और उस पर एक जटिल-विश्लेषणात्मक संरचना से युक्त जोड़े के सभी समरूपता वर्गों के <math>\Omega</math>\ओमेगा को जटिल-विश्लेषणात्मक संरचनाओं के सेट के साथ पहचाना जा सकता है <math>P_\text{sm}</math> या समकक्ष रूप से X पर होलोमोर्फिक कनेक्शन का सेट (चूंकि कनेक्शन आयाम कारण के लिए पूर्णांक हैं)। <math>\Omega</math>\ओमेगा एक अनंत-आयामी जटिल एफ़िन स्पेस है और इसलिए अनुबंध योग्य है।
X एक सम्मिश्र प्रक्षेप्य [[बीजगणितीय वक्र]] है। हम सम्मिश्र बिंदुओं के सेट के साथ X को एक संस्थानिक स्पेस के रूप में पहचानते हैं <math>X(\mathbb{C})</math>, जो एक सघन [[रीमैन सतह]] है। मान लीजिए G एक सम्मिश्र सरल रूप से जुड़ा हुआ अर्धसरल मिथ्या समूह है। फिर X पर कोई भी प्रमुख G-समूह वर्गीकृत स्थान के बाद से एक निरर्थक समूह के लिए समरूपी है  <math>BG</math> A[[ n-कनेक्टेड |N-कनेक्टेड]] है और X का वास्तविक आयाम 2 है। कुछ स्थूल G-समूह <math>P_\text{sm}</math> <math>X</math> समरूपी है <math>P_\text{sm}</math>. दूसरे शब्दों में, सेट X पर एक प्रमुख G-समूह और उस पर एक जटिल-विश्लेषणात्मक संरचना से युक्त जोड़े के सभी समरूपता वर्गों के <math>\Omega</math>\ओमेगा को जटिल-विश्लेषणात्मक संरचनाओं के सेट के साथ पहचाना जा सकता है <math>P_\text{sm}</math> या समकक्ष रूप से X पर होलोमोर्फिक संयोजन सेट <math>\Omega</math>\ओमेगा एक अनंत-आयामी सम्मिश्र एफ़िन स्पेस है और इसलिए अनुबंध योग्य है।


<math>\mathcal{G}</math> के सभी ऑटोमोर्फिज्म का समूह बनें <math>P_\text{sm}</math> (अर्थात, [[गेज समूह]]) का समरूप भागफल <math>\Omega</math>\ओमेगा द्वारा <math>\mathcal{G}</math> जटिल-विश्लेषणात्मक (या समकक्ष बीजीय) प्रिंसिपल जी-बंडलों को एक्स पर वर्गीकृत करता है; यानी, यह सटीक रूप से वर्गीकरण स्थान है <math>B\mathcal{G}</math> असतत समूह है।
<math>\mathcal{G}</math> के सभी स्वचालितता का समूह बनें <math>P_\text{sm}</math> का समरूप भागफल <math>\Omega</math>\ओमेगा द्वारा <math>\mathcal{G}</math> सम्मिश्र -विश्लेषणात्मक प्रिंसिपल G-समूहों को X पर वर्गीकृत करता है; अर्थात् , यह सटीक रूप से वर्गीकरण स्थान है <math>B\mathcal{G}</math> असतत समूह है।


<math>\mathcal{G}</math> प्रमुख बंडलों के मॉड्यूलि स्टैक को परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{Bun}_G(X)</math> [[Index.php?title=भागफल स्टैक|भागफल स्टैक]] के रूप में <math>[\Omega/\mathcal{G}]</math> और फिर समरूप भागफल <math>B\mathcal{G}</math> परिभाषा के अनुसार, होमोटॉपी प्रकार है। <math>\operatorname{Bun}_G(X)</math>
<math>\mathcal{G}</math> प्रमुख समूहों के मॉड्यूलि स्टैक को परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{Bun}_G(X)</math> [[Index.php?title=भागफल स्टैक|भागफल स्टैक]] के रूप में <math>[\Omega/\mathcal{G}]</math> और फिर समरूप भागफल <math>B\mathcal{G}</math> परिभाषा के अनुसार, समस्थेयता का प्रकार है।


== समतुल्य विशेषता वर्ग ==
== समतुल्य विशेषता वर्ग ==
मान लीजिए E, G-मैनिफोल्ड M पर एक समवर्ती वेक्टर बंडल है। यह एक वेक्टर बंडल को जन्म देता है <math>\widetilde{E}</math> समरूप भागफल पर <math>EG \times_G M</math> ताकि यह बंडल में वापस खींच सके <math>\widetilde{E}=EG \times E</math> ऊपर <math>EG \times M</math>. E का एक समतुल्य विशेषता वर्ग तब का एक सामान्य विशेषता वर्ग होता है <math>\widetilde{E}</math>, जो कोहोमोलॉजी रिंग के पूरा होने का एक तत्व है <math>H^*(EG \times_G M) = H^*_G(M)</math> (चेर्न-वील सिद्धांत को लागू करने के लिए, ईजी के एक परिमित-आयामी सन्निकटन का उपयोग किया जाता है।)
E, G बहुविध M पर एक समवर्ती वेक्टर समूह है। यह एक वेक्टर समूह को जन्म देता है <math>\widetilde{E}</math> समरूप भागफल पर <math>EG \times_G M</math> इसलिये यह समूह में वापस खींच सके <math>\widetilde{E}=EG \times E</math> ऊपर <math>EG \times M</math>. E का एक समतुल्य विशेषता वर्ग तब का एक सामान्य विशेषता वर्ग होता है <math>\widetilde{E}</math>, जो सह-समरूपता रिंग के पूरा होने का एक तत्व है। <math>H^*(EG \times_G M) = H^*_G(M)</math>  


वैकल्पिक रूप से, कोई पहले एक समतुल्य चेर्न वर्ग को परिभाषित कर सकता है और फिर अन्य विशिष्ट वर्गों को सामान्य मामले की तरह चेर्न वर्गों के अपरिवर्तनीय बहुपद के रूप में परिभाषित कर सकता है; उदाहरण के लिए, एक समवर्ती रेखा बंडल का समवर्ती टॉड वर्ग टॉड फ़ंक्शन है जिसका मूल्यांकन बंडल के समवर्ती प्रथम चेर्न वर्ग में किया जाता है। (एक लाइन बंडल का एक समतुल्य टोड वर्ग समतुल्य प्रथम चेर्न वर्ग में एक शक्ति श्रृंखला है (गैर-समतुल्य मामले में बहुपद नहीं); इसलिए, यह समवर्ती कोहोलॉजी रिंग के पूरा होने से संबंधित है।)
वैकल्पिक रूप से, कोई पहले एक समतुल्य चेर्न वर्ग को परिभाषित कर सकता है और फिर अन्य विशिष्ट वर्गों को सामान्य स्थिति की तरह चेर्न वर्गों के अपरिवर्तनीय बहुपद के रूप में परिभाषित कर सकता है; उदाहरण के लिए, एक समवर्ती रेखा समूह का समवर्ती टॉड वर्ग फलन है जिसका मूल्यांकन समूह के समवर्ती प्रथम चेर्न वर्ग में किया जाता है।  


गैर-समतुल्य मामले में, पहले चेर्न वर्ग को कई गुना एम पर जटिल रेखा बंडलों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप के रूप में देखा जा सकता है <math>H^2(M; \mathbb{Z}).</math><ref>using [[Čech cohomology]] and the isomorphism <math>H^1(M; \mathbb{C}^*) \simeq H^2(M; \mathbb{Z})</math> given by the [[exponential function|exponential map]].</ref> समतुल्य मामले में, इसका अनुवाद इस प्रकार है: समतुल्य प्रथम चेर्न समवर्ती जटिल रेखा बंडलों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप देता है।
गैर-समतुल्य स्थिति में, पहले चेर्न वर्ग को कई गुना M पर सम्मिश्र रेखा समूहों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप के रूप में देखा जा सकता है <math>H^2(M; \mathbb{Z}).</math><ref>using [[Čech cohomology]] and the isomorphism <math>H^1(M; \mathbb{C}^*) \simeq H^2(M; \mathbb{Z})</math> given by the [[exponential function|exponential map]].</ref> समतुल्य स्थिति में, इसका अनुवाद इस प्रकार है: समतुल्य प्रथम चेर्न समवर्ती सम्मिश्र रेखा समूहों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप देता है।


== स्थानीयकरण प्रमेय ==
== स्थानीयकरण प्रमेय ==
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*{{cite web |author=Young-Hoon Kiem |url=http://www.math.snu.ac.kr/~kiem/mylecture-equivcoh.pdf |title=Introduction to equivariant cohomology theory |date=2008 |publisher=Seoul National University }}
*{{cite web |author=Young-Hoon Kiem |url=http://www.math.snu.ac.kr/~kiem/mylecture-equivcoh.pdf |title=Introduction to equivariant cohomology theory |date=2008 |publisher=Seoul National University }}
*[https://mathoverflow.net/q/20671 What is the equivariant cohomology of a group acting on itself by conjugation?]
*[https://mathoverflow.net/q/20671 What is the equivariant cohomology of a group acting on itself by conjugation?]
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Latest revision as of 16:38, 29 July 2023

अंक शास्त्र में, समतुल्य सहसंरचना =बीजगणितीय सांस्थिति से एक सह-समरूपता सिद्धांत है जो समूह कार्य के साथ संस्थानिक स्पेस पर लागू होता है। इसे समूह सहसंगति विज्ञान के एक सामान्य सामान्यीकरण और एक सामान्य सहसंयोजी सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, किसी स्थान का समतुल्य सहसंयोजी स्पेस एक संस्थानिक समूह कार्य के साथ गुणांक रिंग के साथ साधारण सह-समरूपता रिंग के रूप में परिभाषित किया गया है समरूप भागफल का :

यदि निरर्थक समूह है, यह साधारण सह-समरूपता रिंग है, तो संकुचन योग्य है, यह वर्गीकृत स्थान के सह-समरूपता रिंग में कम हो जाता है यदि G, X पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, तो विहित मानचित्र एक समरूप तुल्यता है।


परिभाषाएँ

समतुल्य सहसंगति को परिभाषित करना भी संभव है

 का  A में गुणांक के साथ
-मॉड्यूल A; ये एबेलियन समूह हैं।

यह निर्माण अवस्थिति गुणांकों के साथ सह-समरूपता का अनुरूप है।

यदि X एक बहुआयामी है, G एक सघन (कॉम्पैक्ट) लाई समूह है और \लैम्ब्डा वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र या सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र है, तो उपरोक्त सह-समरूपता की गणना तथाकथित कार्टन मॉडल का उपयोग करके की जा सकती है।

निर्माण को अन्य सह-समरूपता सिद्धांतों के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जैसे कि ब्रेडन सह-समरूपता या अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों की सह-समरूपता यदि G एक सघन मिथ्या समूह है, तो, औसत तर्क द्वारा[citation needed], किसी भी रूप को अपरिवर्तनीय बनाया जा सकता है; इस प्रकार, अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों के सह-समरूपता से नई जानकारी नहीं मिलती है।

कोस्ज़ुल द्वंद्व को समतुल्य सहसंगति और साधारण सहसंगति के बीच माना जाता है।

ग्रुपॉइड कोहोमोलॉजी के साथ संबंध

एक मिथ्या समूह के लिए सहज बहुआयामी की समतुल्य सहसंरचना[1] मिथ्या ग्रुपॉइड सह-समरूपता का एक विशेष उदाहरण है। ऐसा इसलिए है चूंकि दिया गया है -स्पेस एक सघन मिथ्या समूह के लिए , एक संबद्ध समूह है

जिनके समतुल्य सहसंयोजक समूहों की गणना कार्टन सम्मिश्र का उपयोग करके की जा सकती है जो ग्रुपॉइड के D-रैम डबल सम्मिश्र का कुलीकरण है।

जहां मिथ्या समूह से दोहरे मिथ्या बीजगणित का सममित है, और से मेल खाता है -अपरिवर्तनीय रूप. यह सह-समरूपता की गणना के लिए एक विशेष रूप से उपयोगी उपकरण है एक सघन मिथ्या समूह के लिए चूँकि इसकी गणना सह-समरूपता के रूप में की जा सकती है

जहां एक बिंदु पर कार्य निरर्थक है।

उदाहरण के लिए,

-दोहरी मिथ्या बीजगणित पर कार्य निरर्थक है।

समरूपी भागफल

समस्थेयता भागफल, जिसे होमोटोपी क्लासरूम स्पेस कहा जाता है, क्लासरूम स्पेस का "समरूप से सही" संस्करण है इसके द्वारा - जिसमें को पहले एक बड़े परंतु समरूप समतुल्य स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमे क्रिया मुक्त होने से निश्चित हो सके।

इस प्रयोजन के लिए, G के लिए सार्वभौमिक बंडल EG → BG का निर्माण करें और याद रखें कि EG एक निःशुल्क G-क्रिया को स्वीकार करता है। उत्पाद EG ×−1x): चूंकि यह EG पर है। इसलिए हम समरूप भागफल XG को इस G-क्रिया की क्लासरूम स्पेस (EG × X)/G के रूप में परिभाषित करते हैं।

दूसरे शब्दों में, समस्थेयता भागफल BG पर संबंधित - समूह है जो एक स्थान और मुख्य समूह EG → BG पर G की क्रिया से प्राप्त होता है। इस समूह X → XG → BG को बोरेल फ़िब्रेशन कहा जाता है।

समरूप भागफल का एक उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण का प्रस्ताव 1 है। [1]

X एक सम्मिश्र प्रक्षेप्य बीजगणितीय वक्र है। हम सम्मिश्र बिंदुओं के सेट के साथ X को एक संस्थानिक स्पेस के रूप में पहचानते हैं , जो एक सघन रीमैन सतह है। मान लीजिए G एक सम्मिश्र सरल रूप से जुड़ा हुआ अर्धसरल मिथ्या समूह है। फिर X पर कोई भी प्रमुख G-समूह वर्गीकृत स्थान के बाद से एक निरर्थक समूह के लिए समरूपी है AN-कनेक्टेड है और X का वास्तविक आयाम 2 है। कुछ स्थूल G-समूह समरूपी है . दूसरे शब्दों में, सेट X पर एक प्रमुख G-समूह और उस पर एक जटिल-विश्लेषणात्मक संरचना से युक्त जोड़े के सभी समरूपता वर्गों के \ओमेगा को जटिल-विश्लेषणात्मक संरचनाओं के सेट के साथ पहचाना जा सकता है या समकक्ष रूप से X पर होलोमोर्फिक संयोजन सेट \ओमेगा एक अनंत-आयामी सम्मिश्र एफ़िन स्पेस है और इसलिए अनुबंध योग्य है।

के सभी स्वचालितता का समूह बनें का समरूप भागफल \ओमेगा द्वारा सम्मिश्र -विश्लेषणात्मक प्रिंसिपल G-समूहों को X पर वर्गीकृत करता है; अर्थात् , यह सटीक रूप से वर्गीकरण स्थान है असतत समूह है।

प्रमुख समूहों के मॉड्यूलि स्टैक को परिभाषित कर सकता है भागफल स्टैक के रूप में और फिर समरूप भागफल परिभाषा के अनुसार, समस्थेयता का प्रकार है।

समतुल्य विशेषता वर्ग

E, G बहुविध M पर एक समवर्ती वेक्टर समूह है। यह एक वेक्टर समूह को जन्म देता है समरूप भागफल पर इसलिये यह समूह में वापस खींच सके ऊपर . E का एक समतुल्य विशेषता वर्ग तब का एक सामान्य विशेषता वर्ग होता है , जो सह-समरूपता रिंग के पूरा होने का एक तत्व है।

वैकल्पिक रूप से, कोई पहले एक समतुल्य चेर्न वर्ग को परिभाषित कर सकता है और फिर अन्य विशिष्ट वर्गों को सामान्य स्थिति की तरह चेर्न वर्गों के अपरिवर्तनीय बहुपद के रूप में परिभाषित कर सकता है; उदाहरण के लिए, एक समवर्ती रेखा समूह का समवर्ती टॉड वर्ग फलन है जिसका मूल्यांकन समूह के समवर्ती प्रथम चेर्न वर्ग में किया जाता है।

गैर-समतुल्य स्थिति में, पहले चेर्न वर्ग को कई गुना M पर सम्मिश्र रेखा समूहों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप के रूप में देखा जा सकता है [2] समतुल्य स्थिति में, इसका अनुवाद इस प्रकार है: समतुल्य प्रथम चेर्न समवर्ती सम्मिश्र रेखा समूहों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप देता है।

स्थानीयकरण प्रमेय

स्थानीयकरण प्रमेय समतुल्य सहविज्ञान में सबसे शक्तिशाली उपकरणों में से एक है।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. Behrend 2004
  2. using Čech cohomology and the isomorphism given by the exponential map.


संदर्भ

  • Atiyah, Michael; Bott, Raoul (1984), "The moment map and equivariant cohomology", Topology, 23: 1–28, doi:10.1016/0040-9383(84)90021-1
  • Brion, M. (1998). "Equivariant cohomology and equivariant intersection theory" (PDF). Representation Theories and Algebraic Geometry. Nato ASI Series. Vol. 514. Springer. pp. 1–37. arXiv:math/9802063. doi:10.1007/978-94-015-9131-7_1. ISBN 978-94-015-9131-7. S2CID 14961018.
  • Goresky, Mark; Kottwitz, Robert; MacPherson, Robert (1998), "Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem", Inventiones Mathematicae, 131: 25–83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450, doi:10.1007/s002220050197, S2CID 6006856
  • Hsiang, Wu-Yi (1975). Cohomology Theory of Topological Transformation Groups. Springer. doi:10.1007/978-3-642-66052-8. ISBN 978-3-642-66052-8.
  • Tu, Loring W. (March 2011). "What Is . . . Equivariant Cohomology?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 58 (3): 423–6. arXiv:1305.4293.



ढेर से संबंध

  • Behrend, K. (2004). "Cohomology of stacks" (PDF). प्रतिच्छेदन सिद्धांत और मापांक. ICTP Lecture Notes. Vol. 19. pp. 249–294. ISBN 9789295003286. पीडीएफ पेज 10 में उदाहरणों के साथ मुख्य परिणाम है।

अग्रिम पठन


बाहरी संबंध