क्रिस्टलीय सहसंरचना: Difference between revisions

Latest revision as of 10:25, 27 July 2023

गणित में, क्रिस्टलीय सह-समरुपता के आधार क्षेत्र k पर स्कीम (गणित) के X के लिए वेइल सह-समरुपता सिद्धांत है। इसके मान Hⁿ(X/W) पर विट सदिश वलय W के ऊपर मॉड्यूल (गणित) के होते है, इसे सिकंदर ग्रोथेडाइक (1966, 1968) द्वारा आरंभ किया गया था और इसे 1974 में पियर बर्थलॉट द्वारा विकसित किया गया है।

वर्ष 1960 में, क्रिस्टलीय सह-समरुपता आंशिक रूप से वेइल अनुमानों के भाग डवर्क में पी-एडिक के प्रमाण से प्रेरित है और यह डी रेहम सह-समरुपता के बीजीय संस्करण से बहुत निकटता से संबंधित है, जो अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक (1963) द्वारा शुरू किया गया था और इस प्रकार सामान्य रूप में कहें तो, विशिष्ट पी में बीजगणितीय किस्म एक्स की क्रिस्टलीय सह-समरुपता एक्स की विशिष्टता 0 तक एक स्मूथ सीधी लिफ्ट डी रैम सह-समरुपता के रूप में है, जबकि एक्स का डी रैम सह-समरुपता उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद क्रिस्टलीय सह-समरुपता कम मॉड p के रूप में होते है ।

क्रिस्टलीय सह-समरुपता का सुझाव, सामान्यतः एक योजना के ज़ारिस्की टोपोलॉजी को विभाजित शक्ति संरचनाओं के साथ ज़ारिस्की विवृत समुच्चय की अनंत मोटाई के रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके लिए प्रेरणा यह है कि इसकी गणना किसी योजना को विशिष्टता p से विशिष्टता 0 तक स्थानीय रूप से उठाकर और बीजगणितीय डी रेहम सह-समरुपता के उचित संस्करण को नियोजित करके की जाती है।

क्रिस्टलीय सह-समरुपता केवल सुचारू योजनाओं के लिए ही अच्छा काम करती है और इस प्रकार रिजिड सह-समरुपता इसे अधिक सामान्य योजनाओं तक विस्तारित करती है।

अनुप्रयोग

सकारात्मक विशिष्टता वाली योजनाओं के लिए, क्रिस्टलीय सह-समरुपता सिद्धांत p-एडिक एटले सह-समरुपता की तुलना में सह-समरुपता समूहों में पी-टोरसन के बारे में प्रश्नों को बहुत अच्छे ढंग से संभाल सकता है। यह इसे p-एडिक L-फलन पर अधिकांश काम के लिए एक स्वाभाविक पृष्ठभूमि के रूप में बनाता है।

क्रिस्टलीय सह-समरुपता संख्या सिद्धांत की दृष्टि से L-एडिक सह-समरुपता सूचना के अंतराल को भरता है, जो ठीक उसी जगह होती है जहां 'समान विशिष्टता वाले प्राइमस' होते हैं और इस प्रकार पारंपरिक रूप से प्रभाव सिद्धांत का संरक्षण के बाद क्रिस्टलीय कोहोलॉजी इस स्थिति को डायडोने मॉड्यूल सिद्धांत में परिवर्तित करता है, जिससे अंकगणितीय समस्याओं पर एक महत्वपूर्ण नियंत्रण मिलता है। इसे औपचारिक बयानों के रूप में व्यापक सीमा वाले अनुमान जीन-मार्क फॉनटेन द्वारा प्रतिपादित किए गए थे, जिसके प्रस्ताव को पी-एडिक हॉज सिद्धांत कहा जाता है।

गुणांक

विशिष्टता P > 0 के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर एक किस्म X के लिए, $\ell$ -एडिक सह-समरुपता समूहों के लिए $\ell$ P के अतिरिक्त कोई भी प्राइमस संख्या वलय में गुणांक के साथ X के संतोषजनक सह-समरुपता समूह के रूप में होती है, $\mathbf {Z} _{\ell }$ $\ell$ -एडिक पूर्णांक. Q में गुणांक वाले समान सह-समरूपता समूहों को खोजना सामान्यतः संभव नहीं होता है, Q_p (या Z_p, या Q, या Z) के पास उचित गुण होते है।

चिरसम्मत कारण सेरे का अर्थ यह है कि यदि X एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र के रूप में होता है, तो इसकी एंडोमोर्फिज्म वलय Q के ऊपर चतुर्धातुक बीजगणित B में अधिकतम क्रम के रूप में होता है, जो p और ∞ पर विस्तृत है। यदि X के पास Q_p के ऊपर एक सह-समरुपता समूह है और इस प्रकार अपेक्षित आयाम 2 बीजगणित के विपरीत B 'Q_p' के ऊपर इस 2-आयामी स्थान पर कार्य करता है, जो असंभव है क्योंकि B का प्रभाव p पर होता है।^[1]

ग्रोथेंडिक का क्रिस्टलीय सह-समरुपता सिद्धांत इस बाधा को दूर करता है क्योंकि यह मूल क्षेत्र के विट सदिश की वलय पर मॉड्यूल का उत्पादन करता है। तो यदि मूल क्षेत्र परिमित क्षेत्र का बीजगणितीय समापन है| F_p, इसके मान 'Z'_p, के असंबद्ध विस्तार के पी-एडिक पूर्णता पर मॉड्यूल के रूप में होते है, एक बहुत बड़ा वलय जिसमें सभी n के लिए यूनिटी की nवीं रुट के रूप में सम्मलित हैं, जो 'Z_p.' के अतिरिक्त p से विभाज्य नहीं है

प्रेरणा

वेइल सह-समरुपता के सिद्धांत को एक विशिष्ट क्षेत्र K के ऊपर X प्रकार के X को परिभाषित करने का एक विचार है 'लिफ्ट', X 'प्रकार के k के वेट्स सदिश के ऊपर जिसे X घटा हुआ p पर वापस देता है और फिर इस लिफ्ट का डी रैम सह-समरुपता में समस्या यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि यह सहयोजन के रूप में स्वतंत्र होता है।

विशिष्टता 0 में क्रिस्टलीय सह-समरुपता का विचार एक उपयुक्त साइट (शीफ सिद्धांत) पर निरंतर शीव्स के सह-समरुपता के रूप में सह-समरुपता सिद्धांत की सीधी परिभाषा ढूंढना है।

Inf(X)

X के ऊपर, अनन्तिमल साइट कहा जाता है और फिर दिखाया जाता है कि यह किसी भी लिफ्ट के डी रएम सह-समरुपता के समान होते है।

साइट Inf(X) एक श्रेणी है जिसकी वस्तुओं को X के पारंपरिक विवृत समुच्चय के कुछ प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है और इस प्रकार विशिष्टता 0 में इसकी वस्तुएं X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U→T की अनंत मोटाई वाली होती है। इसका अर्थ यह है कि U एक योजना T की संवृत उपयोजना है जिसे T पर आदर्शों के शून्य-शक्तिशाली शीफ द्वारा परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए इस प्रकार दर्शाया गया है, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x²)).

ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि 'C' पर स्मूथ योजनाओं X के लिए, शीफ O_X की सह-समरुपता Inf(X) पर सामान्य सुचारू या बीजगणितीय रैम सह-समरुपता के समान होती है।

क्रिस्टलीय सह-समरुपता

विशिष्टता p में विशिष्टता 0 में ऊपर परिभाषित क्रिस्टलीय साइट का सबसे स्पष्ट एनालॉग काम नहीं करता है। इसका कारण सामान्यतः यह है कि डी रैम कॉम्प्लेक्स की सटीकता को साबित करने के लिए किसी को किसी प्रकार के पोंकारे लेम्मा की आवश्यकता होती है, जिसका प्रमाण बदले में एकीकरण का उपयोग करता है और एकीकरण के लिए विभिन्न विभाजित शक्तियों की आवश्यकता होती है, जो विशिष्टता 0 के रूप में उपस्थित होती हैं लेकिन अधिकांशतः विशिष्टता p में नहीं होती है। ग्रोथेंडिक ने X के क्रिस्टलीय स्थल की वस्तुओं को X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चयों की लगभग असीम मोटाई के रूप में परिभाषित करके, एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ आवश्यक विभाजित शक्तियां प्रदान करके इस समस्या को हल किया जाता है।

हम विशेषता p>0 के एक पूर्ण क्षेत्र k पर लंबाई n के विट सदिश के वलय W_n = W/pⁿW पर काम करते है। उदाहरण के लिए, k क्रम p और W_n का परिमित क्षेत्र हो सकता है, तो वलय Z'/pⁿZ.के रूप में होता है और इस प्रकार सामान्यतः कोई आधार योजना S पर काम कर सकता है जिसमें विभाजित शक्ति संरचना के साथ आदर्शों की एक निश्चित शीफ होती है I यदि X, k पर एक योजना है, तो W_n के सापेक्ष 'X' की 'क्रिस्टलीय साइट' चिह्नित Cris(X/W_n) में इसकी वस्तुओं के जोड़े U→T के रूप में X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U का कुछ W_n में संवृत इमर्शन के रूप में सम्मलित है, डिफाइन टी आदर्शों J के एक समूह द्वारा परिभाषित J पर विभाजित शक्ति संरचना के साथ-साथ W_n. पर संगत रूप में होते है।

किसी स्कीम X ओवर k की क्रिस्टलीय सहसंगति को व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है,

H^{i}(X/W)=\varprojlim H^{i}(X/W_{n})

जहाँ

H^{i}(X/W_{n})=H^{i}(\operatorname {Cris} (X/W_{n}),O)

X/W_n के क्रिस्टलीय स्थल की सह-समरूपता है और इस प्रकार वलय के शीफ़ में मान O := O_Wn. के रूप में होते है_.

सिद्धांत का एक मुख्य बिंदु यह है कि एक सुचारु योजना के रूप में होते है

H^{i}(X/W)=H_{DR}^{i}(Z/W)\quad (=H^{i}(Z,\Omega _{Z/W}^{*})=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))

डब्ल्यू की औपचारिक योजना पर Z के डी रैम सह-समरुपता के साथ X के क्रिस्टलीय सह-समरूपता का अवकलन रूपों की जटिलताओं के हाइपर सह-समरुपता की एक व्युत्क्रम सीमा इसके विपरीत, X की डी रैम सह-समरुपता को इसके क्रिस्टलीय सह-समरुपता के रिडक्शन मॉड p के रूप में उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

क्रिस्टल

यदि X, S के ऊपर एक योजना है तो शीफ़ O_X/S द्वारा परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार O_X_/S(T) = निर्देशांक का समन्वय वलय के रूप में होता है, जहां हम T को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं Cris(X/S) की एक वस्तु U → T के रूप में होता है।

साइट Cris(X/S) पर एक 'क्रिस्टल', O_X_/S का एक शीफ F के रूप में परिभाषित किया जाता है और मॉड्यूल जो निम्नलिखित अर्थों में रिजिड के रूप में होता है

Cris(X/S) की वस्तुओं T, T'' के बीच किसी भी मानचित्र f के लिए, f से प्राकृतिक मानचित्र^*F(T) से F(T') एक समरूपता के रूप में होती है।

यह ज़ारिस्की टोपोलॉजी में मॉड्यूल के क्वासिकोहेरेंट शीफ की परिभाषा के समान होता है।

क्रिस्टल का एक उदाहरण शीफ़ O_X_/S है

जॉन टेट (गणितज्ञ) (1966) को ग्रोथेंडिक के पत्र में समझाया गया सिद्धांत से जुड़ा क्रिस्टल शब्द, बीजगणितीय अंतर समीकरण के कुछ गुणों से प्रेरित एक रूपक के रूप में था। इन्होंने विशेष रूप से डवर्क के काम में पी-एडिक सह-समरुपता सिद्धांतों में भूमिका निभाई थी और इस प्रकार क्रिस्टलीय सिद्धांत के पूर्ववर्ती, बर्नार्ड डवर्क, पॉल मोंस्की, वॉशनिट्जर, लबकिन और निक काट्ज़ द्वारा विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किए गए थे, ऐसे अंतर समीकरणों को बीजगणितीय कोस्ज़ुल कनेक्शन के माध्यम से आसानी से तैयार किया जा सकता है, लेकिन पी-एडिक सिद्धांत में विश्लेषणात्मक निरंतरता का एनालॉग अधिक रहस्यमय रूप में होता है, चूंकि पी-एडिक डिस्क ओवरलैप के अतिरिक्त असंयुक्त रूप में होते हैं और इस प्रकार डिक्री द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता की स्थितियों में एक क्रिस्टल में 'कठोरता' और 'प्रसार' उल्लेखनीय रूप में होता है। Cf. 1960 के दशक में जॉन टेट (गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तुत किए गए है और इस प्रकार रिजिड विश्लेषणात्मक स्थान की इन स्थितियों पर सक्रिय रूप से बहस होती है।

यह भी देखें

मोटिविक सह-समरुपता
डी रैम सह-समरुपता

संदर्भ

↑ A quite subtle point is that if X is a supersingular elliptic curve over the field F_p of p elements, then its crystalline cohomology is a free rank 2 module over Z_p. The argument given does not apply in this case, because some of the endomorphisms of such a curve X are defined only over F_p².

Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, vol. 407, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5, MR 0384804
Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978), Notes on crystalline cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9, MR 0491705
Chambert-Loir, Antoine (1998), "Cohomologie cristalline: un survol", Expositiones Mathematicae, 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869, MR 1654786, archived from the original on 2011-07-21
Dwork, Bernard (1960), "On the rationality of the zeta function of an algebraic variety", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 82 (3): 631–648, doi:10.2307/2372974, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372974, MR 0140494
Grothendieck, Alexander (1966), "On the de Rham cohomology of algebraic varieties", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques, 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, MR 0199194 (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
Grothendieck, Alexander (1966), Letter to J. Tate (PDF), archived from the original (PDF) on 2021-07-21.
Grothendieck, Alexander (1968), "Crystals and the de Rham cohomology of schemes" (PDF), in Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L.; et al. (eds.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Advanced studies in pure mathematics, vol. 3, Amsterdam: North-Holland, pp. 306–358, MR 0269663, archived from the original (PDF) on 2022-02-08
Illusie, Luc (1975), "Report on crystalline cohomology", Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 29, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 459–478, MR 0393034
Illusie, Luc (1976), "Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. No. 456, Lecture Notes in Math., vol. 514, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 53–60, MR 0444668, archived from the original on 2012-02-10, retrieved 2007-09-20
Illusie, Luc (1994), "Crystalline cohomology", Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 43–70, MR 1265522
Kedlaya, Kiran S. (2009), "p-adic cohomology", in Abramovich, Dan; Bertram, A.; Katzarkov, L.; Pandharipande, Rahul; Thaddeus., M. (eds.), Algebraic geometry---Seattle 2005. Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 80, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 667–684, arXiv:math/0601507, Bibcode:2006math......1507K, ISBN 978-0-8218-4703-9, MR 2483951

[1] A quite subtle point is that if X is a supersingular elliptic curve over the field F_p of p elements, then its crystalline cohomology is a free rank 2 module over Z_p. The argument given does not apply in this case, because some of the endomorphisms of such a curve X are defined only over F_p².

[1]

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-गणित में, क्रिस्टलीय सहसंरचना के आधार क्षेत्र ''k'' पर स्कीम (गणित) के ''X'' के लिए [[वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत|वेइल सहसंरचना सिद्धांत]] के रूप में है। इसके मान ''H<sup>n</sup>(X/W)'' पर [[विट वेक्टर]] वलय W के ऊपर [[मॉड्यूल (गणित)]] के रूप में होते है, इसे [[सिकंदर ग्रोथेडाइक]] (1966, 1968) द्वारा आरंभ किया गया था और इसे [[पियर बर्थलॉट]] (1974) में विकसित किया  है।
+गणित में, क्रिस्टलीय सह-समरुपता के आधार क्षेत्र ''k'' पर स्कीम (गणित) के ''X'' के लिए [[वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत|वेइल सह-समरुपता सिद्धांत]] है। इसके मान ''H<sup>n</sup>(X/W)'' पर [[विट वेक्टर|विट सदिश]] वलय W के ऊपर [[मॉड्यूल (गणित)]] के होते है, इसे [[सिकंदर ग्रोथेडाइक]] (1966, 1968) द्वारा आरंभ किया गया था और इसे 1974 में [[पियर बर्थलॉट]] द्वारा विकसित किया गया है।
-क्रिस्टलीय सहसंरचना  आंशिक रूप से वेइल अनुमानों के भाग [[डवर्क]] (1960) में पी-एडिक के प्रमाण से प्रेरित है और यह डी [[रेहम सहसंरचना]] के बीजीय संस्करण से बहुत निकटता से संबंधित होता है, जो [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] (1963) द्वारा शुरू किया गया था। और इस प्रकार सामान्यतः कहें तो, विशिष्ट ''पी''  में बीजगणितीय किस्म ''एक्स'' की क्रिस्टलीय सहसंरचना ''एक्स'' की विशेषता 0 तक एक चिकनी सीधी लिफ्ट का डी. आर. एच [[कठोर सहसंरचना|सहसंरचना]] है, जबकि ''एक्स''  की डी रैम सहसंरचना क्रिस्टलीय सहसंरचना कम मॉड ''पी''  उच्चतर ट्यूरों को ध्यान में रखते हुए कम करती है।
+वर्ष 1960 में, क्रिस्टलीय सह-समरुपता आंशिक रूप से वेइल अनुमानों के भाग [[डवर्क]] में पी-एडिक के प्रमाण से प्रेरित है और यह डी [[रेहम सहसंरचना|रेहम सह-समरुपता]] के बीजीय संस्करण से बहुत निकटता से संबंधित है, जो [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] (1963) द्वारा शुरू किया गया था और इस प्रकार सामान्य रूप में कहें तो, विशिष्ट ''पी'' में बीजगणितीय किस्म ''एक्स'' की क्रिस्टलीय सह-समरुपता ''एक्स'' की विशिष्टता 0 तक एक स्मूथ सीधी लिफ्ट डी रैम [[कठोर सहसंरचना|सह-समरुपता]] के रूप में है, जबकि ''एक्स'' का डी रैम सह-समरुपता उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद क्रिस्टलीय सह-समरुपता कम मॉड ''p'' के रूप में होते है ।
-क्रिस्टलीय सहसंरचना का विचार, सामान्यतः , एक योजना की [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] को [[विभाजित शक्ति संरचना]]ओं के साथ ज़ारिस्की विवृत समुच्चय  की अनंत मोटाई के रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके लिए प्रेरणा यह है कि इसकी गणना किसी योजना को विशेषता ''पी'' से विशेषता ''0'' तक स्थानीय रूप से उठाकर और बीजगणितीय डी  रेहम  सहसंरचना के उचित संस्करण को नियोजित करके की जा सकती है।
+क्रिस्टलीय सह-समरुपता का सुझाव, सामान्यतः एक योजना के [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] को [[विभाजित शक्ति संरचना|विभाजित शक्ति संरचनाओं]] के साथ ज़ारिस्की विवृत समुच्चय की अनंत मोटाई के रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके लिए प्रेरणा यह है कि इसकी गणना किसी योजना को विशिष्टता ''p'' से विशिष्टता ''0'' तक स्थानीय रूप से उठाकर और बीजगणितीय डी रेहम सह-समरुपता के उचित संस्करण को नियोजित करके की जाती है।
-क्रिस्टलीय सहसंरचना केवल सुचारू योजनाओं के लिए ही अच्छा काम करती है और इस प्रकार रिजिड सहसंरचना इसे अधिक सामान्य योजनाओं तक विस्तारित करती है।
+क्रिस्टलीय सह-समरुपता केवल सुचारू योजनाओं के लिए ही अच्छा काम करती है और इस प्रकार रिजिड सह-समरुपता इसे अधिक सामान्य योजनाओं तक विस्तारित करती है।
 ==अनुप्रयोग==
-सकारात्मक विशेषता वाली योजनाओं के लिए, क्रिस्टलीय सहसंरचना सिद्धांत [[पी-एडिक एटले]] सहसंरचना की तुलना में सहसंरचना समूहों में पी-टोरसन के बारे में प्रश्नों को बहुत अच्छे ढंग से संभाल सकता है। यह इसे [[पी-एडिक एल-फंक्शन|पी-एडिक एल-फलन]] पर अधिकांश काम के लिए एक स्वाभाविक पृष्ठभूमि के रूप में बनाता है।
+सकारात्मक विशिष्टता वाली योजनाओं के लिए, क्रिस्टलीय सह-समरुपता सिद्धांत p[[पी-एडिक एटले|-एडिक एटले]] सह-समरुपता की तुलना में सह-समरुपता समूहों में पी-टोरसन के बारे में प्रश्नों को बहुत अच्छे ढंग से संभाल सकता है। यह इसे p[[पी-एडिक एल-फंक्शन|-एडिक L-फलन]] पर अधिकांश काम के लिए एक स्वाभाविक पृष्ठभूमि के रूप में बनाता है।
-क्रिस्टलीय सहसंरचना संख्या सिद्धांत की दृष्टि से एल-एडिक सहसंरचना सूचना के अंतराल को भरता है, जो ठीक उसी जगह होती है जहां 'समान विशेषता वाले प्राइमस' होते हैं और इस प्रकार पारंपरिक रूप से [[प्रभाव सिद्धांत]] का संरक्षण के बाद क्रिस्टलीय कोहोलॉजी इस स्थिति को डायडोने मॉड्यूल सिद्धांत में परिवर्तित करता है, जिससे अंकगणितीय समस्याओं पर एक महत्वपूर्ण नियंत्रण मिलता है। इसे औपचारिक बयानों के रूप में व्यापक सीमा वाले अनुमान [[ जीन-मार्क फॉनटेन ]] द्वारा प्रतिपादित किए गए थे, जिसके प्रस्ताव को [[पी-एडिक हॉज सिद्धांत]] कहा जाता है।
+क्रिस्टलीय सह-समरुपता संख्या सिद्धांत की दृष्टि से L-एडिक सह-समरुपता सूचना के अंतराल को भरता है, जो ठीक उसी जगह होती है जहां 'समान विशिष्टता वाले प्राइमस' होते हैं और इस प्रकार पारंपरिक रूप से [[प्रभाव सिद्धांत]] का संरक्षण के बाद क्रिस्टलीय कोहोलॉजी इस स्थिति को डायडोने मॉड्यूल सिद्धांत में परिवर्तित करता है, जिससे अंकगणितीय समस्याओं पर एक महत्वपूर्ण नियंत्रण मिलता है। इसे औपचारिक बयानों के रूप में व्यापक सीमा वाले अनुमान [[ जीन-मार्क फॉनटेन |जीन-मार्क फॉनटेन]] द्वारा प्रतिपादित किए गए थे, जिसके प्रस्ताव को [[पी-एडिक हॉज सिद्धांत]] कहा जाता है।
 ==गुणांक==
-विशेषता P > 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक किस्म X के लिए, <math>\ell</math>-एडिक सहसंरचना समूहों के लिए <math>\ell</math> P के अतिरिक्त कोई भी प्राइमस संख्या  वलय  में गुणांक के साथ X के संतोषजनक सहसंरचना समूह के रूप में होती है,  <math>\mathbf{Z}_\ell</math> <math>\ell</math>-एडिक पूर्णांक. Q में गुणांक वाले समान सह-समरूपता समूहों को खोजना सामान्यतः संभव नहीं होता है, '''Q'''<sub>''p''</sub> (या '''Z'''<sub>''p''</sub>, या '''Q''', या '''Z''') के पास उचित गुण  होते है।
+विशिष्टता P > 0 के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर एक किस्म X के लिए, <math>\ell</math>-एडिक सह-समरुपता समूहों के लिए <math>\ell</math> P के अतिरिक्त कोई भी प्राइमस संख्या वलय में गुणांक के साथ X के संतोषजनक सह-समरुपता समूह के रूप में होती है, <math>\mathbf{Z}_\ell</math> <math>\ell</math>-एडिक पूर्णांक. Q में गुणांक वाले समान सह-समरूपता समूहों को खोजना सामान्यतः संभव नहीं होता है, '''Q'''<sub>''p''</sub> (या '''Z'''<sub>''p''</sub>, या '''Q''', या '''Z''') के पास उचित गुण होते है।
-चिरसम्मत कारण सेरे का अर्थ यह है कि यदि ''X'' एक [[सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र]] के रूप में होता है, तो इसकी [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|एंडोमोर्फिज्म वलय]]  Q के ऊपर चतुर्धातुक बीजगणित ''B'' में [[अधिकतम क्रम]] के रूप में होता है, जो ''p'' और ∞ पर विस्तृत है। यदि ''X'' के पास Q{{sub|''p''}} के ऊपर एक सहसंरचना समूह है और इस प्रकार अपेक्षित आयाम 2 बीजगणित के विपरीत B 'Q{{sub|''p''}}' के ऊपर इस 2-आयामी स्थान पर कार्य करता है, जो असंभव है क्योंकि B का प्रभाव p पर होता है।<ref>A quite subtle point is that if ''X'' is a supersingular elliptic curve over the field '''F'''{{sub|''p''}} of ''p'' elements, then its crystalline cohomology is a free rank 2 module over '''Z'''{{sub|''p''}}. The argument given does not apply in this case, because some of the endomorphisms of such a curve ''X'' are defined only over '''F'''{{sub|''p''{{sup|2}}}}.</ref>
+चिरसम्मत कारण सेरे का अर्थ यह है कि यदि ''X'' एक [[सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र]] के रूप में होता है, तो इसकी [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|एंडोमोर्फिज्म वलय]] Q के ऊपर चतुर्धातुक बीजगणित ''B'' में [[अधिकतम क्रम]] के रूप में होता है, जो ''p'' और ∞ पर विस्तृत है। यदि ''X'' के पास Q{{sub|''p''}} के ऊपर एक सह-समरुपता समूह है और इस प्रकार अपेक्षित आयाम 2 बीजगणित के विपरीत B 'Q{{sub|''p''}}' के ऊपर इस 2-आयामी स्थान पर कार्य करता है, जो असंभव है क्योंकि B का प्रभाव p पर होता है।<ref>A quite subtle point is that if ''X'' is a supersingular elliptic curve over the field '''F'''{{sub|''p''}} of ''p'' elements, then its crystalline cohomology is a free rank 2 module over '''Z'''{{sub|''p''}}. The argument given does not apply in this case, because some of the endomorphisms of such a curve ''X'' are defined only over '''F'''{{sub|''p''{{sup|2}}}}.</ref>
-ग्रोथेंडिक का क्रिस्टलीय सहसंरचना सिद्धांत इस बाधा को दूर करता है क्योंकि यह मूल क्षेत्र के विट वैक्टर की वलय  पर मॉड्यूल का उत्पादन करता है। तो यदि [[ज़मीनी मैदान|मूल क्षेत्र]] परिमित क्षेत्र का [[बीजगणितीय समापन]] है| F{{sub|''p''}}, इसके मान 'Z'{{sub|''p''}}, के [[असंबद्ध विस्तार]] के पी-एडिक पूर्णता पर मॉड्यूल के रूप में होते है, एक बहुत बड़ा वलय जिसमें सभी n के लिए यूनिटी की nवीं रुट के रूप में सम्मलित हैं, जो 'Z{{sub|''p''}}.' के अतिरिक्त p से विभाज्य नहीं है
+ग्रोथेंडिक का क्रिस्टलीय सह-समरुपता सिद्धांत इस बाधा को दूर करता है क्योंकि यह मूल क्षेत्र के विट सदिश की वलय पर मॉड्यूल का उत्पादन करता है। तो यदि [[ज़मीनी मैदान|मूल क्षेत्र]] परिमित क्षेत्र का [[बीजगणितीय समापन]] है| F{{sub|''p''}}, इसके मान 'Z'{{sub|''p''}}, के [[असंबद्ध विस्तार]] के पी-एडिक पूर्णता पर मॉड्यूल के रूप में होते है, एक बहुत बड़ा वलय जिसमें सभी n के लिए यूनिटी की nवीं रुट के रूप में सम्मलित हैं, जो 'Z{{sub|''p''}}.' के अतिरिक्त p से विभाज्य नहीं है
 ==प्रेरणा==
-विशेषता पी के फ़ील्ड k पर एक किस्म इस लिफ्ट की डी राम सहसंरचना लें। समस्या यह है कि यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि यह सह-समरूपता उठाने की पसंद से स्वतंत्र है।
+वेइल सह-समरुपता के सिद्धांत को एक विशिष्ट क्षेत्र K के ऊपर X प्रकार के X को परिभाषित करने का एक विचार है 'लिफ्ट', X 'प्रकार के k के वेट्स सदिश के ऊपर जिसे X घटा हुआ p पर वापस देता है और फिर इस लिफ्ट का डी रैम सह-समरुपता में समस्या यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि यह सहयोजन के रूप में स्वतंत्र होता है।
-विशेषता 0 में क्रिस्टलीय सहसंरचना का विचार एक उपयुक्त [[साइट (शीफ सिद्धांत)]] पर निरंतर शीव्स के सहसंरचना के रूप में सहसंरचना सिद्धांत की सीधी परिभाषा ढूंढना है।
+विशिष्टता 0 में क्रिस्टलीय सह-समरुपता का विचार एक उपयुक्त [[साइट (शीफ सिद्धांत)]] पर निरंतर शीव्स के सह-समरुपता के रूप में सह-समरुपता सिद्धांत की सीधी परिभाषा ढूंढना है।
-:इन्फ(एक्स)
+:Inf(''X'')
+:
+X के ऊपर, [[अनन्तिमल साइट]] कहा जाता है और फिर दिखाया जाता है कि यह किसी भी लिफ्ट के डी रएम सह-समरुपता के समान होते है।
-एक्स के ऊपर, [[अनन्तिमल साइट]] कहा जाता है और फिर दिखाया जाता है कि यह किसी भी लिफ्ट के डी राम सहसंरचना के समान है।
+साइट Inf(X) एक श्रेणी है जिसकी वस्तुओं को X के पारंपरिक विवृत समुच्चय के कुछ प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है और इस प्रकार विशिष्टता 0 में इसकी वस्तुएं X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U→T की अनंत मोटाई वाली होती है। इसका अर्थ यह है कि U एक योजना T की संवृत उपयोजना है जिसे T पर आदर्शों के शून्य-शक्तिशाली शीफ द्वारा परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए इस प्रकार दर्शाया गया है, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x<sup>2</sup>)).
-साइट Inf(X) एक श्रेणी है जिसकी वस्तुओं को X के पारंपरिक विवृत समुच्चय  के कुछ प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है। विशेषता 0 में इसकी वस्तुएं X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U→T की अनंत मोटाई वाली हैं। इसका मतलब यह है कि यू एक योजना टी की बंद उपयोजना है जिसे टी पर आदर्शों के शून्य-शक्तिशाली शीफ द्वारा परिभाषित किया गया है; उदाहरण के लिए, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x<sup>2</sup>)).
+ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि 'C' पर स्मूथ योजनाओं X के लिए, शीफ O<sub>''X''</sub> की सह-समरुपता Inf(X) पर सामान्य सुचारू या बीजगणितीय रैम सह-समरुपता के समान होती है।
-ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि 'सी' पर चिकनी योजनाओं एक्स के लिए, शीफ ओ की सहसंरचना <sub>''X''</sub> Inf(X) पर सामान्य (सुचारू या बीजगणितीय) Rham cohomology के समान है।
+==क्रिस्टलीय सह-समरुपता ==
+विशिष्टता p में विशिष्टता 0 में ऊपर परिभाषित क्रिस्टलीय साइट का सबसे स्पष्ट एनालॉग काम नहीं करता है। इसका कारण सामान्यतः यह है कि डी रैम कॉम्प्लेक्स की सटीकता को साबित करने के लिए किसी को किसी प्रकार के पोंकारे लेम्मा की आवश्यकता होती है, जिसका प्रमाण बदले में एकीकरण का उपयोग करता है और एकीकरण के लिए विभिन्न विभाजित शक्तियों की आवश्यकता होती है, जो विशिष्टता 0 के रूप में उपस्थित होती हैं लेकिन अधिकांशतः विशिष्टता p में नहीं होती है। ग्रोथेंडिक ने X के क्रिस्टलीय स्थल की वस्तुओं को X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चयों की लगभग असीम मोटाई के रूप में परिभाषित करके, एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ आवश्यक विभाजित शक्तियां प्रदान करके इस समस्या को हल किया जाता है।
-==क्रिस्टलीय सहसंरचना ==
+हम विशेषता p>0 के एक पूर्ण क्षेत्र k पर लंबाई n के [[विट वैक्टर|विट]] सदिश के वलय ''W<sub>n</sub>'' = ''W''/''p<sup>n</sup>W'' पर काम करते है। उदाहरण के लिए, k क्रम p और ''W<sub>n</sub>'' का परिमित क्षेत्र हो सकता है, तो वलय '''Z'''/''p<sup>n</sup>'''''Z'''.के रूप में होता है और इस प्रकार सामान्यतः कोई आधार योजना S पर काम कर सकता है जिसमें विभाजित शक्ति संरचना के साथ आदर्शों की एक निश्चित शीफ होती है I यदि X, k पर एक योजना है, तो '''W<sub>n</sub>'' के सापेक्ष 'X' की 'क्रिस्टलीय साइट' चिह्नित Cris(''X''/''W<sub>n</sub>'') में इसकी वस्तुओं के जोड़े U→T के रूप में X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U का कुछ W<sub>''n''</sub> में संवृत इमर्शन के रूप में सम्मलित है, डिफाइन टी आदर्शों J के एक समूह द्वारा परिभाषित J पर विभाजित शक्ति संरचना के साथ-साथ W<sub>''n''</sub>. पर संगत रूप में होते है।
-विशेषता पी में विशेषता 0 में ऊपर परिभाषित क्रिस्टलीय साइट का सबसे स्पष्ट एनालॉग काम नहीं करता है। इसका कारण सामान्यतः  यह है कि डी राम कॉम्प्लेक्स की सटीकता को साबित करने के लिए, किसी को किसी प्रकार के पोंकारे लेम्मा की आवश्यकता होती है, जिसका प्रमाण बदले में एकीकरण का उपयोग करता है, और एकीकरण के लिए विभिन्न विभाजित शक्तियों की आवश्यकता होती है, जो विशेषता 0 में मौजूद होती हैं लेकिन हमेशा विशेषता पी में नहीं। ग्रोथेंडिक ने एक्स के क्रिस्टलीय स्थल की वस्तुओं को एक्स के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चयों की लगभग असीम मोटाई के रूप में परिभाषित करके, एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ आवश्यक विभाजित शक्तियां प्रदान करके इस समस्या को हल किया।
-हम वलय  डब्ल्यू पर काम करेंगे<sub>''n''</sub> = डब्ल्यू/पी<sup>n</sup>विशेषता p>0 के एक पूर्ण क्षेत्र k पर लंबाई n के [[विट वैक्टर]] का W। उदाहरण के लिए, k क्रम p और W का परिमित क्षेत्र हो सकता है<sub>''n''</sub> तो वलय Z/''p'' है<sup>n</sup>'Z'. (अधिक आम तौर पर कोई आधार योजना एस पर काम कर सकता है जिसमें विभाजित शक्ति संरचना के साथ आदर्शों I का एक निश्चित शीफ होता है।) यदि एक्स, के पर एक योजना है, तो 'डब्ल्यू' के सापेक्ष 'एक्स' की 'क्रिस्टलीय साइट'<sub>''n''</sub>, निरूपित क्रिस(एक्स/डब्ल्यू<sub>''n''</sub>), इसकी वस्तुओं के जोड़े हैं
+किसी स्कीम X ओवर k की क्रिस्टलीय सहसंगति को व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है,
-U→T में X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U का कुछ W में बंद विसर्जन सम्मलित है<sub>''n''</sub>-योजना टी
-आदर्शों J के एक समूह द्वारा परिभाषित, J पर विभाजित शक्ति संरचना के साथ-साथ W पर संगत<sub>''n''</sub>.
-किसी स्कीम X ओवर k की क्रिस्टलीय सहसंगति को व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>H^i(X/W)=\varprojlim H^i(X/W_n)</math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>H^i(X/W_n)= H^i(\operatorname{Cris}(X/W_n),O)</math>
-X/W के क्रिस्टलीय स्थल की सह-समरूपता है<sub>''n''</sub> छल्लों के शीफ़ में मान के साथ O := O<sub>''W''<sub>''n''</sub></उप>.
+''X''/''W<sub>n</sub>'' के क्रिस्टलीय स्थल की सह-समरूपता है और इस प्रकार वलय के शीफ़ में मान ''O'' := ''O<sub>Wn</sub>''. के रूप में होते है<sub>.
-सिद्धांत का एक मुख्य बिंदु यह है कि एक सुचारु योजना
+सिद्धांत का एक मुख्य बिंदु यह है कि एक सुचारु योजना के रूप में होते है
 :<math>H^i(X/W) = H^i_{DR}(Z/W) \quad(= H^i(Z,\Omega_{Z/W}^*)= \varprojlim H^i(Z,\Omega_{Z/W_n}^*))</math>
-डब्ल्यू की [[औपचारिक योजना]] पर ज़ेड के डी राम सहसंरचना के साथ एक्स के क्रिस्टलीय सह-समरूपता का
+डब्ल्यू की [[औपचारिक योजना]] पर Z के डी रैम सह-समरुपता के साथ X के क्रिस्टलीय सह-समरूपता का अवकलन रूपों की जटिलताओं के हाइपर सह-समरुपता की एक व्युत्क्रम सीमा इसके विपरीत, X की डी रैम सह-समरुपता को इसके क्रिस्टलीय सह-समरुपता के रिडक्शन मॉड p के रूप में उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
-(विभेदक रूपों के परिसरों की हाइपरसहसंरचना की एक व्युत्क्रम सीमा)।
-इसके विपरीत, एक्स की डी राम सहसंरचना को इसके क्रिस्टलीय सहसंरचना के रिडक्शन मॉड पी के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है (उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद)।
 ==क्रिस्टल==
-{{main|Crystal (mathematics)}}
+{{main|क्रिस्टल (गणित)}}
-यदि X, S के ऊपर एक योजना है तो शीफ़ O<sub>''X''/''S''</sub> द्वारा परिभाषित किया गया है
+यदि X, S के ऊपर एक योजना है तो शीफ़ O<sub>''X''/''S''</sub> द्वारा परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार ''O<sub>X</sub>''<sub>/''S''</sub>(''T'') = निर्देशांक का समन्वय वलय के रूप में होता है, जहां हम T को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं Cris(''X''/''S'') की एक वस्तु ''U'' → ''T के रूप में होता है''।
-हे<sub>''X''/''S''</sub>(टी) = टी का समन्वय वलय, जहां हम टी को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं
-क्रिस(एक्स/एस) की एक वस्तु यू → टी।
-साइट क्रिस(एक्स/एस) पर एक 'क्रिस्टल', ओ का एक शीफ एफ है<sub>''X''/''S''</sub> मॉड्यूल जो निम्नलिखित अर्थों में रिजिड है:
+साइट Cris(''X''/''S'') पर एक 'क्रिस्टल', ''O<sub>X</sub>''<sub>/''S''</sub> का एक शीफ F के रूप में परिभाषित किया जाता है और मॉड्यूल जो निम्नलिखित अर्थों में रिजिड के रूप में होता है
-:क्रिस(''X''/''S'' की वस्तुओं ''T'', ''T'''' के बीच किसी भी मानचित्र ''f'' के लिए, ''f'' से प्राकृतिक मानचित्र<sup>*</sup>F(T) से F(T') एक समरूपता है।
+:Cris(''X''/''S'') की वस्तुओं ''T'', ''T'''' के बीच किसी भी मानचित्र ''f'' के लिए, ''f'' से प्राकृतिक मानचित्र<sup>*</sup>F(T) से F(T') एक समरूपता के रूप में होती है।
-यह ज़ारिस्की टोपोलॉजी में मॉड्यूल के [[क्वासिकोहेरेंट शीफ]] की परिभाषा के समान है।
+यह ज़ारिस्की टोपोलॉजी में मॉड्यूल के [[क्वासिकोहेरेंट शीफ]] की परिभाषा के समान होता है।
-क्रिस्टल का एक उदाहरण शीफ़ O है<sub>''X''/''S''</sub>.
+क्रिस्टल का एक उदाहरण शीफ़ ''O<sub>X</sub>''<sub>/''S''</sub> है
-[[जॉन टेट (गणितज्ञ)]] (1966) को ग्रोथेंडिक के पत्र में समझाया गया सिद्धांत से जुड़ा क्रिस्टल शब्द, [[बीजगणितीय अंतर समीकरण]]ों के कुछ गुणों से प्रेरित एक रूपक था। इन्होंने विशेष रूप से डवर्क के काम में पी-एडिक सहसंरचना सिद्धांतों (क्रिस्टलीय सिद्धांत के अग्रदूत, [[बर्नार्ड डवर्क]], [[पॉल मोंस्की]], वॉशनिट्जर, लबकिन और [[निक काट्ज़]] द्वारा विभिन्न रूपों में पेश किए गए) में भूमिका निभाई थी। ऐसे अंतर समीकरणों को बीजगणितीय [[कनेक्शन शर्ट]] के माध्यम से आसानी से तैयार किया जा सकता है, लेकिन पी-एडिक सिद्धांत में [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] का एनालॉग अधिक रहस्यमय है (चूंकि पी-एडिक डिस्क ओवरलैप के बजाय असंयुक्त होते हैं)। डिक्री द्वारा, जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता के मामले में एक क्रिस्टल में 'कठोरता' और 'प्रसार' उल्लेखनीय होगा। (Cf. 1960 के दशक में जॉन टेट (गणितज्ञ) द्वारा पेश किए गए [[कठोर विश्लेषणात्मक स्थान|रिजिड विश्लेषणात्मक स्थान]] भी, जब इन मामलों पर सक्रिय रूप से बहस हो रही थी।)
+[[जॉन टेट (गणितज्ञ)]] (1966) को ग्रोथेंडिक के पत्र में समझाया गया सिद्धांत से जुड़ा क्रिस्टल शब्द, [[बीजगणितीय अंतर समीकरण]] के कुछ गुणों से प्रेरित एक रूपक के रूप में था। इन्होंने विशेष रूप से डवर्क के काम में पी-एडिक सह-समरुपता सिद्धांतों में भूमिका निभाई थी और इस प्रकार क्रिस्टलीय सिद्धांत के पूर्ववर्ती, [[बर्नार्ड डवर्क]], [[पॉल मोंस्की]], वॉशनिट्जर, लबकिन और [[निक काट्ज़]] द्वारा विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किए गए थे, ऐसे अंतर समीकरणों को बीजगणितीय [[कनेक्शन शर्ट|कोस्ज़ुल कनेक्शन]] के माध्यम से आसानी से तैयार किया जा सकता है, लेकिन पी-एडिक सिद्धांत में [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] का एनालॉग अधिक रहस्यमय रूप में होता है, चूंकि पी-एडिक डिस्क ओवरलैप के अतिरिक्त असंयुक्त रूप में होते हैं और इस प्रकार डिक्री द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता की स्थितियों में एक क्रिस्टल में 'कठोरता' और 'प्रसार' उल्लेखनीय रूप में होता है। Cf. 1960 के दशक में जॉन टेट (गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तुत किए गए है और इस प्रकार [[कठोर विश्लेषणात्मक स्थान|रिजिड विश्लेषणात्मक स्थान]] की इन स्थितियों पर सक्रिय रूप से बहस होती है।
 == यह भी देखें ==
-*[[मोटिविक कोहोमोलॉजी|मोटिविक सहसंरचना]]
+*[[मोटिविक कोहोमोलॉजी|मोटिविक सह-समरुपता]]
-*डी राम सहसंरचना
+*डी रैम सह-समरुपता
 ==संदर्भ==
@@ Line 85: / Line 79: @@
 * {{Citation | last1=Illusie | first1=Luc | title=Motives (Seattle, WA, 1991) | publisher=Amer. Math. Soc. | location=Providence, RI | series=Proc. Sympos. Pure Math. | mr=1265522 | year=1994 | volume=55 | chapter=Crystalline cohomology | pages=43–70}}
 *{{Citation |last1=Kedlaya |first1=Kiran S. |editor1-last=Abramovich |editor1-first=Dan |author-link=Kiran Kedlaya |editor2-last=Bertram |editor2-first=A. |editor3-last=Katzarkov |editor3-first=L. |editor4-last=Pandharipande |editor4-first=Rahul |editor5-last=Thaddeus. |editor5-first=M. |title=Algebraic geometry---Seattle 2005. Part 2 |publisher=Amer. Math. Soc. |location=Providence, R.I. |series=Proc. Sympos. Pure Math. |isbn=978-0-8218-4703-9 |mr=2483951 |year=2009 |volume=80 |chapter=p-adic cohomology |arxiv=math/0601507 |pages=667–684 |bibcode=2006math......1507K}}
-[[Category: बीजगणितीय ज्यामिति]] [[Category: सहसंगति सिद्धांत]] [[Category: सजातीय बीजगणित]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
 [[Category:Created On 08/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:बीजगणितीय ज्यामिति]]
+[[Category:सजातीय बीजगणित]]
+[[Category:सहसंगति सिद्धांत]]

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