पृथक्करणीय अवस्था: Difference between revisions

Latest revision as of 12:51, 28 July 2023

क्वांटम यांत्रिकी में, पृथक्करणीय अवस्था एक समग्र अवस्था से संबंधित क्वांटम अवस्था होती हैं जिन्हें अलग उपसमष्‍टि से संबंधित अलग अवस्था में विभाजित किया जा सकता है। एक अवस्था को जटिल कहा जाता है यदि यह अलग करने योग्य नहीं है। सामान्य रूप में, यह निर्धारित करना कि क्या कोई अवस्था अलग करने योग्य है या नहीं, और समस्या को NP-हार्ड के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

द्विदलीय प्रणालियों की पृथक्करणीयता

स्वतंत्रता की दो डिग्री वाले पहले मिश्रित अवस्थाओं पर विचार करें, जिन्हें द्विदलीय अवस्था कहा जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के एक अभिधारणा द्वारा इन्हें टेंसर उत्पाद समष्टि $H_{1}\otimes H_{2}$ में सदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इस परिचर्चा में हम हिल्बर्ट समष्टि $H_{1}$ और $H_{2}$ के परिमित-आयामी होने के प्रकरण पर ध्यान केंद्रित करते है।

शुद्ध अवस्था

मान लीजिए कि $\{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}$ और $\{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}$ क्रमशः $H_{1}$ और $H_{2}$ , के लिए लम्बवत् आधार हैं। $H_{1}\otimes H_{2}$ का आधार तब $\{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}$ , या अधिक संक्षिप्त संकेतन $\{|a_{i}b_{j}\rangle \}$ में होता है। टेंसर उत्पाद की परिभाषा से, मानक 1 के किसी भी सदिश, अर्थात समग्र प्रणाली की शुद्ध अवस्था को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

|\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,

जहाँ $c_{i,j}$ एक स्थिरांक है। अगर $|\psi \rangle$ को एक साधारण टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात् $|\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle$ के साथ $|\psi _{i}\rangle$ i-वें समष्टि में एक शुद्ध अवस्था के रूप में इसे एक उत्पाद अवस्था कहा जाता है, और, विशेष रूप से, अलग करने योग्य है अन्यथा इसे जटिल कहा जाता है। ध्यान दें कि, भले ही उत्पाद और अलग-अलग अवस्थाओं की धारणाएं शुद्ध अवस्थाओं के अनुरूप हैं, वे मिश्रित अवस्थाओं के अधिक सामान्य प्रकरण में नहीं हैं।

शुद्ध अवस्था तभी जटिल होती हैं जब उनकी आंशिक अवस्थाएँ शुद्ध नहीं होतीं है। इसे देखने के लिए, $|\psi \rangle$ के श्मिट अपघटन को इस रूप में लिखें

|\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),

जहाँ ${\sqrt {p_{k}}}>0$ धनात्मक वास्तविक संख्या हैं, $r_{\psi }$ $|\psi \rangle$ की श्मिट श्रेणी है, $\{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}$ और $\{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}$ क्रमशः $H_{1}$ और $H_{2}$ में लंबात्मक अवस्थाओं के समुच्चय हैं। अवस्था $|\psi \rangle$ जटिल है यदि और केवल यदि $r_{\psi }>1$ है। साथ ही आंशिक अवस्था का स्वरूप है।

\rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.

इसका तात्पर्य यह है कि $\rho _{A}$ शुद्ध है --- अर्थात, इकाई-श्रेणी के साथ प्रक्षेपण है --- यदि और केवल यदि $r_{\psi }=1$ , जो कि $|\psi \rangle$ के वियोज्य होने के समतुल्य है।

भौतिक रूप से, इसका अर्थ यह है कि उपप्रणालियों को एक निश्चित (शुद्ध) अवस्था निर्दिष्ट करना संभव नहीं है, जिसे इसके बदले शुद्ध अवस्थाओं के सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जाना चाहिए, अर्थात घनत्व आव्यूह के रूप में भी किया जाना चाहिए। एक शुद्ध अवस्था $\rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |$ इस प्रकार जटिल है यदि और केवल यदि आंशिक अवस्था $\rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )$ की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी गैर-शून्य है।

औपचारिक रूप से, अवस्थाओं के उत्पाद को उत्पाद अवस्था में एम्बेड करना सेग्रे अंतःस्थापन द्वारा दिया जाता है।^[1] अर्थात्, क्वान्टम यांत्रिकीय शुद्ध अवस्था को तभी अलग किया जा सकता है जब वह सेग्रे अंतःस्थापन के प्रतिरूप में होता है।

उपरोक्त परिचर्चा को उस अवस्था तक बढ़ाया जा सकता है जब अवस्था समष्टि अनंत-आयामी होती है और वस्तुतः कुछ भी नहीं बदल सकता है।^{[clarification needed]}

मिश्रित अवस्था

मिश्रित अवस्था के प्रकरण पर विचार करें। मिश्रित प्रणाली की मिश्रित अवस्था का वर्णन $H_{1}\otimes H_{2}$ पर कार्य करने वाले घनत्व आव्यूह $\rho$ द्वारा किया जाता है। ρ वियोज्य है यदि $p_{k}\geq 0$ , $\{\rho _{1}^{k}\}$ और $\{\rho _{2}^{k}\}$ उपस्थित है, जो संबंधित उपप्रणालियों की मिश्रित अवस्था हैं जैसे कि

\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}

जहां

\;\sum _{k}p_{k}=1.

अन्यथा $\rho$ को जटिल अवस्था कहा जाता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति में सामान्यता खोए बिना हम यह मान सकते हैं कि $\{\rho _{1}^{k}\}$ और $\{\rho _{2}^{k}\}$ सभी श्रेणी-1 अनुमान हैं, अर्थात, वे उपयुक्त उप-प्रणालियों के शुद्ध समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिभाषा से स्पष्ट है कि पृथक्करणीय अवस्थाओं का वर्ग एक उत्तल समुच्चय है।

ध्यान दें कि, फिर से टेंसर उत्पाद की परिभाषा से किसी भी घनत्व आव्यूह, वास्तव में समग्र अवस्था समष्टि पर कार्य करने वाला कोई भी आव्यूह, वांछित रूप में लिखा जा सकता है, यदि हम यह आवश्यकता छोड़ देते हैं कि $\{\rho _{1}^{k}\}$ और $\{\rho _{2}^{k}\}$ स्वयं अवस्था और $\;\sum _{k}p_{k}=1$ है। यदि ये आवश्यकताएं संतुष्ट हैं, तो हम कुल अवस्था की व्याख्या असंबद्ध उत्पाद अवस्थाओं पर संभाव्यता वितरण के रूप में कर सकते हैं।

क्वांटम चैनलों के संदर्भ में, स्थानीय क्रियाओं और शास्त्रीय संचार का उपयोग करके किसी अन्य अवस्था से एक अलग अवस्था बनाई जा सकती है जबकि एक जटिल आवस्था नहीं बनाई जा सकती है।

जब अवस्था समष्टि अनंत-आयामी होती हैं, तो घनत्व आव्यूह को ट्रेस 1 के साथ धनात्मक ट्रेस वर्ग संकारक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और एक अवस्था को अलग किया जा सकता है यदि इसे उपरोक्त विधि के अवस्थाओं द्वारा, ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।

यदि केवल अशून्य $p_{k}$ है, तो अवस्था को केवल ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2}}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसे केवल अलग करने योग्य या उत्पाद अवस्था कहा जाता है। उत्पाद अवस्था का एक गुण यह है कि एन्ट्रापी के संदर्भ में,

S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).

बहुपक्षीय प्रकरण का विस्तार

उपरोक्त परिचर्चा दो से अधिक उपप्रणालियों से युक्त क्वांटम प्रणाली के प्रकरण को आसानी से सामान्यीकृत करती है। मान लीजिए कि एक प्रणाली में n उपप्रणाली हैं और अवस्था समष्टि $H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}$ है। शुद्ध अवस्था $|\psi \rangle \in H$ यदि यह रूप लेती है तो अलग किया जा सकता है।

|\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .

इसी प्रकार, H पर कार्य करने वाली एक मिश्रित अवस्था ρ वियोज्य है यदि यह एक अवमुख योग है।

\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.

या, अनंत-आयामी प्रकरण में, ρ वियोज्य है यदि इसे उपरोक्त रूप के अवस्थाओं द्वारा ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।

पृथक्करणीयता मानदंड

यह तय करने की समस्या कि क्या कोई अवस्था सामान्य रूप से अलग कि जा सकती है, कभी-कभी क्वांटम सूचना सिद्धांत में पृथक्करणीयता समस्या कहलाती है। यह एक कठिन समस्या मानी जाती है। इसे कई प्रकरण में NP-हार्ड दिखाया गया है ^[2]^[3] और सामान्यतः ऐसा माना जाता है। इस कठिनाई के लिए कुछ अभिमूल्यन प्राप्त की जा सकती है यदि कोई एक निश्चित आयाम के लिए प्रत्यक्ष नीच प्रवृति दृष्टिकोण को नियोजित करके समस्या का समाधान करने का प्रयास करता है। हम देखते हैं कि समस्या शीघ्र ही कम आयामों के लिए भी कठिन हो जाती है। अत: अधिक परिष्कृत सूत्रीकरण की आवश्यकता है। पृथक्करण समस्या वर्तमान अनुसंधान का विषय है।

पृथक्करण मानदंड एक आवश्यक प्रतिबंध है जिसे अवस्था को अलग होने के लिए पूरा करना है। निम्न-आयामी (2 X 2 और 2 X 3) प्रकरण में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड वास्तव में पृथक्करण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबंध है। अन्य पृथक्करण मानदंडों में श्रेणी मानदंड, न्यूनीकरण मानदंड और अनिश्चितता संबंधों पर आधारित (लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं) सम्मिलित हैं।^[4]^[5]^[6]^[7] ^[8] असतत चर प्रणालियों में पृथक्करण मानदंड की समीक्षा के लिए संदर्भ देखें।

सतत परिवर्तनशील प्रणालियों में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड भी उपयोजित होते है। विशेष रूप से, साइमन ^[9] ने विहित संचालक के दूसरे क्रम के क्षणों के संदर्भ में पेरेस-होरोडेकी मानदंड का एक विशेष संस्करण तैयार किया और दिखाया कि यह $1\oplus 1$ -प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए आवश्यक और पर्याप्त है^[10] (प्रतीत होता है कि भिन्न लेकिन अनिवार्य रूप से समतुल्य दृष्टिकोण के लिए संदर्भ देखें)। बाद में यह पाया गया कि ^[11] साइमन की अवस्था $1\oplus n$ -प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए भी आवश्यक और पर्याप्त है, लेकिन अब $2\oplus 2$ -प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए पर्याप्त नहीं है। साइमन की अवस्था को कैनोनिकल संचालक के उच्च क्रम के क्षणों को ध्यान में रखकर या एन्ट्रोपि माप का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है ^[12]^[13]^[14]

बीजगणितीय ज्यामिति के माध्यम से लक्षण वर्णन

क्वांटम यांत्रिकी को प्रक्षेप्य हिल्बर्ट समष्टि पर तैयार किया जा सकता है, और ऐसे दो अवस्थाओं का श्रेणीबद्ध उत्पाद सेग्रे अंतःस्थापन है। द्विदलीय प्रकरण में, एक क्वांटम अवस्था को अलग किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब यह सेग्रे अंतःस्थापन की प्रतिबिंब में निहित होते है। जॉन मैग्ने लीनास, जान मायरहेम और एरिक ओवरम ने अपने दस्तावेज़ में ''जटिलता के ज्यामितीय रूप''^[15] में समस्या का वर्णन किया है और सामान्य अवस्था आव्यूह के उपसमुच्चय के रूप में अलग-अलग अवस्थाओं की ज्यामिति का अध्ययन किया है। इस उपसमुच्चय का पेरेज़-होरोडेकी मानदंड रखने वाले अवस्थाओं के उपसमुच्चय के साथ कुछ प्रतिच्छेदन है। इस दस्तावेज़ में, लीनास एट अल और अन्य सामान्य प्रकरण में पृथक्करण के परीक्षण के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण भी देते हैं।

पृथक्करण परीक्षण

सामान्य प्रकरण में पृथक्करण के लिए परीक्षण एक NP-हार्ड समस्या है।^[2]^[3] लीनास एट अल^[15] और अन्य ने परीक्षण के लिए एक पुनरावृत्त, संभाव्य एल्गोरिदम तैयार किया कि क्या कोई दी गई अवस्था अलग करने योग्य है। जब एल्गोरिदम सफल होता है, तो यह दिए गए अवस्था को एक अलग करने योग्य अवस्था के रूप में स्पष्ट, यादृच्छिक, प्रतिनिधित्व देता है। अन्यथा यह दिए गए अवस्था की निकटतम वियोज्य अवस्था से दूरी बताता है जिसे वह खोज सकता है।

यह भी देखें

जटिलता प्रमाण

संदर्भ

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↑ ^15.0 ^15.1 "Geometrical aspects of entanglement", Physical Review A 74, 012313 (2006)

बाहरी संबंध

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[1] Gharahi, Masoud; Mancini, Stefano; Ottaviani, Giorgio (2020-10-01). "बीजगणितीय ज्यामिति द्वारा मल्टीक्यूबिट उलझाव का सूक्ष्म संरचना वर्गीकरण". Physical Review Research. 2 (4): 043003. arXiv:1910.09665. Bibcode:2020PhRvR...2d3003G. doi:10.1103/PhysRevResearch.2.043003. S2CID 204824024.

[NP-hard1-2] 2.0 ^2.1 Gurvits, L., Classical deterministic complexity of Edmonds’ problem and quantum entanglement, in Proceedings of the 35th ACM Symposium on Theory of Computing, ACM Press, New York, 2003.

[NP-hard2-3] 3.0 ^3.1 Sevag Gharibian, Strong NP-Hardness of the Quantum Separability Problem, Quantum Information and Computation, Vol. 10, No. 3&4, pp. 343-360, 2010. arXiv:0810.4507.

[4] Hofmann, Holger F.; Takeuchi, Shigeki (22 September 2003). "उलझाव के हस्ताक्षर के रूप में स्थानीय अनिश्चितता संबंधों का उल्लंघन". Physical Review A. 68 (3): 032103. arXiv:quant-ph/0212090. Bibcode:2003PhRvA..68c2103H. doi:10.1103/PhysRevA.68.032103. S2CID 54893300.

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[10] Duan, Lu-Ming; Giedke, G.; Cirac, J. I.; Zoller, P. (2000). "सतत परिवर्तनीय प्रणालियों के लिए अविभाज्यता मानदंड". Physical Review Letters. 84 (12): 2722–2725. arXiv:quant-ph/9908056. Bibcode:2000PhRvL..84.2722D. doi:10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID 11017309. S2CID 9948874.

[11] Werner, R. F.; Wolf, M. M. (2001). "बंधे हुए उलझे हुए गॉसियन राज्य". Physical Review Letters. 86 (16): 3658–3661. arXiv:quant-ph/0009118. Bibcode:2001PhRvL..86.3658W. doi:10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID 11328047. S2CID 20897950.

[12] Shchukin, E.; Vogel, W. (2005). "सतत द्विदलीय क्वांटम अवस्थाओं के लिए अविभाज्यता मानदंड". Physical Review Letters. 95 (23): 230502. arXiv:quant-ph/0508132. Bibcode:2005PhRvL..95w0502S. doi:10.1103/PhysRevLett.95.230502. PMID 16384285. S2CID 28595936.

[13] Hillery, Mark; Zubairy, M.Suhail (2006). "दो-मोड राज्यों के लिए उलझाव की स्थिति". Physical Review Letters. 96 (5): 050503. arXiv:quant-ph/0507168. Bibcode:2006PhRvL..96e0503H. doi:10.1103/PhysRevLett.96.050503. PMID 16486912. S2CID 43756465.

[14] Walborn, S.; Taketani, B.; Salles, A.; Toscano, F.; de Matos Filho, R. (2009). "सतत चर के लिए एंट्रोपिक एंटैंगलमेंट मानदंड". Physical Review Letters. 103 (16): 160505. arXiv:0909.0147. Bibcode:2009PhRvL.103p0505W. doi:10.1103/PhysRevLett.103.160505. PMID 19905682. S2CID 10523704.

[geom_approach-15] 15.0 ^15.1 "Geometrical aspects of entanglement", Physical Review A 74, 012313 (2006)

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Quantum states that aren't entangled}}
-{{Use American English|date = February 2019}}
+[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, '''पृथक्करणीय अवस्था''' एक समग्र अवस्था से संबंधित क्वांटम अवस्था होती हैं जिन्हें अलग उपसमष्‍टि से संबंधित अलग अवस्था में विभाजित किया जा सकता है। एक अवस्था को जटिल कहा जाता है यदि यह अलग करने योग्य नहीं है। सामान्य रूप में, यह निर्धारित करना कि क्या कोई अवस्था अलग करने योग्य है या नहीं, और समस्या को[[ एनपी कठिन | NP-हार्ड]] के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
-{{Use mdy dates|date = February 2019}}
-[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, वियोज्य अवस्थाएँ एक समग्र स्थान से संबंधित क्वांटम अवस्थाएँ होती हैं जिन्हें अलग-अलग उप-स्थानों से संबंधित अलग-अलग राज्यों में विभाजित किया जा सकता है। एक स्थिति को क्वांटम उलझाव कहा जाता है यदि यह अलग करने योग्य नहीं है। सामान्य तौर पर, यह निर्धारित करना कि क्या कोई राज्य अलग किया जा सकता है, सीधा नहीं है और समस्या को [[ एनपी कठिन ]] के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
+== द्विदलीय प्रणालियों की पृथक्करणीयता ==
+स्वतंत्रता की दो डिग्री वाले पहले मिश्रित अवस्थाओं पर विचार करें, जिन्हें द्विदलीय अवस्था कहा जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के एक अभिधारणा द्वारा इन्हें टेंसर उत्पाद समष्टि <math>H_1\otimes H_2</math> में सदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इस परिचर्चा में हम [[हिल्बर्ट स्थान|हिल्बर्ट]] समष्टि <math>H_1</math> और <math>H_2</math> के परिमित-आयामी होने के प्रकरण पर ध्यान केंद्रित करते है।
-== द्विदलीय प्रणालियों की पृथक्करण ==
+=== शुद्ध अवस्था ===
-स्वतंत्रता की दो डिग्री वाले पहले मिश्रित राज्यों पर विचार करें, जिन्हें द्विदलीय राज्य कहा जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के एक अभिधारणा द्वारा इन्हें मॉड्यूल स्पेस के टेन्सर उत्पाद में वैक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>H_1\otimes H_2</math>. इस चर्चा में हम [[हिल्बर्ट स्थान]]ों के मामले पर ध्यान केंद्रित करेंगे <math>H_1</math> और <math>H_2</math> परिमित-आयामी होना।
-=== शुद्ध अवस्थाएँ ===
+मान लीजिए कि <math>\{|{a_i}\rangle\}_{i=1}^n\subset H_1</math> और <math>\{|{b_j}\rangle\}_{j=1}^m \subset H_2</math> क्रमशः <math>H_1</math> और <math>H_2</math>, के लिए लम्बवत् आधार हैं। <math>H_1 \otimes H_2</math> का आधार तब <math>\{|{a_i}\rangle\otimes |{b_j}\rangle\}</math>, या अधिक संक्षिप्त संकेतन <math>\{|a_i b_j \rangle\}</math> में होता है। टेंसर उत्पाद की परिभाषा से, मानक 1 के किसी भी सदिश, अर्थात समग्र प्रणाली की शुद्ध अवस्था को इस प्रकार लिखा जा सकता है।
-होने देना <math>\{|{a_i}\rangle\}_{i=1}^n\subset H_1</math> और <math>\{|{b_j}\rangle\}_{j=1}^m \subset H_2</math> बे ऑर्थोनॉर्मल बेसिस फॉर <math>H_1</math> और <math>H_2</math>, क्रमश। के लिए एक आधार <math>H_1 \otimes H_2</math> तब है <math>\{|{a_i}\rangle\otimes |{b_j}\rangle\}</math>, या अधिक संक्षिप्त संकेतन में <math>\{|a_i b_j \rangle\}</math>. टेंसर उत्पाद की परिभाषा से, मानक 1 के किसी भी वेक्टर, यानी समग्र प्रणाली की शुद्ध स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 : <math>
 |\psi\rangle = \sum_{i,j} c_{i,j} (| a_i \rangle \otimes | b_j \rangle) =\sum_{i,j} c_{i,j} | a_i b_j \rangle,
 </math>
-कहाँ <math>c_{i,j}</math> एक स्थिरांक है.
+जहाँ <math>c_{i,j}</math> एक स्थिरांक है। अगर <math> |\psi\rangle</math> को एक साधारण टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात् <math>|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle </math> के साथ <math>|\psi _i \rangle </math> i-वें समष्टि में एक शुद्ध अवस्था के रूप में इसे एक उत्पाद अवस्था कहा जाता है, और, विशेष रूप से, अलग करने योग्य है अन्यथा इसे जटिल कहा जाता है। ध्यान दें कि, भले ही उत्पाद और अलग-अलग अवस्थाओं की धारणाएं शुद्ध अवस्थाओं के अनुरूप हैं, वे मिश्रित अवस्थाओं के अधिक सामान्य प्रकरण में नहीं हैं।
-अगर <math> |\psi\rangle</math> एक साधारण टेन्सर के रूप में, अर्थात् रूप में लिखा जा सकता है <math>|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle </math> साथ <math>|\psi _i \rangle </math> i-वें स्थान में एक शुद्ध अवस्था, इसे एक उत्पाद अवस्था कहा जाता है, और, विशेष रूप से, अलग करने योग्य। अन्यथा इसे उलझा हुआ कहा जाता है. ध्यान दें कि, भले ही उत्पाद और अलग-अलग राज्यों की धारणाएं शुद्ध राज्यों के लिए मेल खाती हैं, वे मिश्रित राज्यों के अधिक सामान्य मामले में नहीं हैं।
-शुद्ध अवस्थाएँ उलझी हुई हैं यदि और केवल यदि क्वांटम ऑपरेशन के रूप में उनका आंशिक ट्रेस#आंशिक ट्रेस [[शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी)]] नहीं है। इसे देखने के लिए, [[श्मिट अपघटन]] लिखें <math>|\psi\rangle</math> जैसा
+शुद्ध अवस्था तभी जटिल होती हैं जब उनकी आंशिक अवस्थाएँ शुद्ध नहीं होतीं है। इसे देखने के लिए, <math>|\psi\rangle</math> के [[श्मिट अपघटन]] को इस रूप में लिखें
 :<math>|\psi\rangle=\sum_{k=1}^{r_\psi} \sqrt{p_k} (|u_k\rangle\otimes|v_k\rangle),</math>
-कहाँ <math>\sqrt{p_k}>0</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, <math>r_\psi</math> की श्मिट रैंक है <math>|\psi\rangle</math>, और <math>\{|u_k\rangle\}_{k=1}^{r_\psi}\subset H_1</math> और <math>\{|v_k\rangle\}_{k=1}^{r_\psi}\subset H_2</math> में लंबात्मक अवस्थाओं के समूह हैं <math>H_1</math> और <math>H_2</math>, क्रमश।
+जहाँ <math>\sqrt{p_k}>0</math> धनात्मक वास्तविक संख्या हैं, <math>r_\psi</math> <math>|\psi\rangle</math> की श्मिट श्रेणी है, <math>\{|u_k\rangle\}_{k=1}^{r_\psi}\subset H_1</math> और <math>\{|v_k\rangle\}_{k=1}^{r_\psi}\subset H_2</math> क्रमशः  <math>H_1</math> और <math>H_2</math> में लंबात्मक अवस्थाओं के समुच्चय हैं। अवस्था <math>|\psi\rangle</math> जटिल है यदि और केवल यदि <math>r_\psi>1</math> है। साथ ही आंशिक अवस्था का स्वरूप है।
-राज्य <math>|\psi\rangle</math> उलझा हुआ है यदि और केवल यदि <math>r_\psi>1</math>. साथ ही आंशिक अवस्था का स्वरूप होता है
 :<math>\rho_A\equiv \operatorname{Tr}_B(|\psi\rangle\!\langle\psi|) = \sum_{k=1}^{r_\psi} p_k \, |u_k\rangle\!\langle u_k|.</math>
-यह इस प्रकार है कि <math>\rho_A</math> शुद्ध है --- अर्थात इकाई-रैंक के साथ प्रक्षेपण है --- यदि और केवल यदि <math>r_\psi=1</math>, जो के बराबर है <math>|\psi\rangle</math> वियोज्य होना.
+इसका तात्पर्य यह है कि <math>\rho_A</math> शुद्ध है --- अर्थात, इकाई-श्रेणी के साथ प्रक्षेपण है --- यदि और केवल यदि <math>r_\psi=1</math>, जो कि <math>|\psi\rangle</math> के वियोज्य होने के समतुल्य है।
-भौतिक रूप से, इसका मतलब यह है कि उपप्रणालियों को एक निश्चित (शुद्ध) स्थिति निर्दिष्ट करना संभव नहीं है, जिसे इसके बजाय शुद्ध राज्यों के सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जाना चाहिए, अर्थात [[घनत्व मैट्रिक्स]] के रूप में। एक शुद्ध अवस्था <math>\rho=|\psi\rangle\!\langle\psi|</math> इस प्रकार उलझा हुआ है यदि और केवल यदि वॉन न्यूमैन आंशिक अवस्था की एन्ट्रापी है <math>\rho_A\equiv\operatorname{Tr}_B(\rho)</math> शून्येतर है.
+भौतिक रूप से, इसका अर्थ यह है कि उपप्रणालियों को एक निश्चित (शुद्ध) अवस्था निर्दिष्ट करना संभव नहीं है, जिसे इसके बदले शुद्ध अवस्थाओं के सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जाना चाहिए, अर्थात [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] के रूप में भी किया जाना चाहिए। एक शुद्ध अवस्था <math>\rho=|\psi\rangle\!\langle\psi|</math> इस प्रकार जटिल है यदि और केवल यदि आंशिक अवस्था <math>\rho_A\equiv\operatorname{Tr}_B(\rho)</math> की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी गैर-शून्य है।
-औपचारिक रूप से, राज्यों के उत्पाद को उत्पाद स्थान में एम्बेड करना [[सेग्रे एम्बेडिंग]] द्वारा दिया जाता है।<ref>{{Cite journal |last1=Gharahi |first1=Masoud |last2=Mancini |first2=Stefano |last3=Ottaviani |first3=Giorgio |date=2020-10-01 |title=बीजगणितीय ज्यामिति द्वारा मल्टीक्यूबिट उलझाव का सूक्ष्म संरचना वर्गीकरण|journal=Physical Review Research |volume=2 |issue=4 |pages=043003 |doi=10.1103/PhysRevResearch.2.043003|arxiv=1910.09665 |bibcode=2020PhRvR...2d3003G |s2cid=204824024 |doi-access=free }}</ref> अर्थात्, क्वांटम-मैकेनिकल शुद्ध अवस्था को तभी अलग किया जा सकता है जब वह सेग्रे एम्बेडिंग की छवि में हो।
+औपचारिक रूप से, अवस्थाओं के उत्पाद को उत्पाद अवस्था में एम्बेड करना [[सेग्रे एम्बेडिंग|सेग्रे अंतःस्थापन]] द्वारा दिया जाता है।<ref>{{Cite journal |last1=Gharahi |first1=Masoud |last2=Mancini |first2=Stefano |last3=Ottaviani |first3=Giorgio |date=2020-10-01 |title=बीजगणितीय ज्यामिति द्वारा मल्टीक्यूबिट उलझाव का सूक्ष्म संरचना वर्गीकरण|journal=Physical Review Research |volume=2 |issue=4 |pages=043003 |doi=10.1103/PhysRevResearch.2.043003|arxiv=1910.09665 |bibcode=2020PhRvR...2d3003G |s2cid=204824024 |doi-access=free }}</ref> अर्थात्, क्वान्टम यांत्रिकीय शुद्ध अवस्था को तभी अलग किया जा सकता है जब वह सेग्रे अंतःस्थापन के प्रतिरूप में होता है।
-उपरोक्त चर्चा को उस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जब राज्य स्थान अनंत-आयामी है और वस्तुतः कुछ भी नहीं बदला है।{{Clarify|reason=this statement should be made more precise|date=December 2021}}
+उपरोक्त परिचर्चा को उस अवस्था तक बढ़ाया जा सकता है जब अवस्था समष्टि अनंत-आयामी होती है और वस्तुतः कुछ भी नहीं बदल सकता है।{{Clarify|reason=this statement should be made more precise|date=December 2021}}
-===मिश्रित अवस्थाएँ===
+===मिश्रित अवस्था===
-मिश्रित अवस्था के मामले पर विचार करें. मिश्रित प्रणाली की मिश्रित अवस्था का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स द्वारा किया जाता है <math>\rho</math> अभिनय कर रहे <math>H_1 \otimes H_2</math>. यदि मौजूद है तो ρ वियोज्य है <math>p_k\geq 0</math>, <math>\{ \rho_1^k \}</math> और <math>\{ \rho_2^k \}</math> जो कि संबंधित उपप्रणालियों की मिश्रित अवस्थाएँ हैं
+मिश्रित अवस्था के प्रकरण पर विचार करें। मिश्रित प्रणाली की मिश्रित अवस्था का वर्णन <math>H_1 \otimes H_2</math> पर कार्य करने वाले घनत्व आव्यूह <math>\rho</math> द्वारा किया जाता है। ρ वियोज्य है यदि <math>p_k\geq 0</math>, <math>\{ \rho_1^k \}</math> और <math>\{ \rho_2^k \}</math> उपस्थित है, जो संबंधित उपप्रणालियों की मिश्रित अवस्था हैं जैसे कि
 :<math>
 \rho=\sum_k p_k \rho_1^k \otimes \rho_2^k
 </math>
-कहाँ
+जहां
 :<math>\;
 \sum_k p_k = 1.
 </math>
-अन्यथा <math>\rho</math> उलझी हुई अवस्था कहलाती है. उपरोक्त अभिव्यक्ति में व्यापकता खोए बिना हम यह मान सकते हैं <math>\{ \rho_1^k \}</math> और <math>\{ \rho_2^k \}</math> सभी रैंक-1 प्रक्षेपण हैं, यानी, वे उपयुक्त उपप्रणालियों के शुद्ध समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिभाषा से स्पष्ट है कि पृथक्करणीय अवस्थाओं का परिवार एक उत्तल समुच्चय है।
+अन्यथा <math>\rho</math> को जटिल अवस्था कहा जाता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति में सामान्यता खोए बिना हम यह मान सकते हैं कि <math>\{ \rho_1^k \}</math> और <math>\{ \rho_2^k \}</math> सभी श्रेणी-1 अनुमान हैं, अर्थात, वे उपयुक्त उप-प्रणालियों के शुद्ध समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिभाषा से स्पष्ट है कि पृथक्करणीय अवस्थाओं का वर्ग एक उत्तल समुच्चय है।
-ध्यान दें कि, फिर से टेंसर उत्पाद की परिभाषा से, किसी भी घनत्व मैट्रिक्स, वास्तव में समग्र राज्य स्थान पर कार्य करने वाला कोई भी मैट्रिक्स, वांछित रूप में तुच्छ रूप से लिखा जा सकता है, यदि हम आवश्यकता को छोड़ देते हैं <math>\{ \rho_1^k \}</math> और <math>\{ \rho_2^k \}</math> स्वयं राज्य हैं और <math>\; \sum_k p_k = 1.</math> यदि ये आवश्यकताएं संतुष्ट हैं, तो हम कुल स्थिति की व्याख्या असंबद्ध उत्पाद राज्यों पर संभाव्यता वितरण के रूप में कर सकते हैं।
+ध्यान दें कि, फिर से टेंसर उत्पाद की परिभाषा से किसी भी घनत्व आव्यूह, वास्तव में समग्र अवस्था समष्टि पर कार्य करने वाला कोई भी आव्यूह, वांछित रूप में लिखा जा सकता है, यदि हम यह आवश्यकता छोड़ देते हैं कि <math>\{ \rho_1^k \}</math> और <math>\{ \rho_2^k \}</math> स्वयं अवस्था और <math>\; \sum_k p_k = 1</math> है। यदि ये आवश्यकताएं संतुष्ट हैं, तो हम कुल अवस्था की व्याख्या असंबद्ध उत्पाद अवस्थाओं पर संभाव्यता वितरण के रूप में कर सकते हैं।
-[[क्वांटम चैनल]]ों के संदर्भ में, [[एलओसीसी]] का उपयोग करके किसी अन्य राज्य से एक अलग राज्य बनाया जा सकता है जबकि एक उलझा हुआ राज्य नहीं बनाया जा सकता है।
+[[क्वांटम चैनल|क्वांटम चैनलों]] के संदर्भ में, स्थानीय क्रियाओं और शास्त्रीय संचार का उपयोग करके किसी अन्य अवस्था से एक अलग अवस्था बनाई जा सकती है जबकि एक जटिल आवस्था नहीं बनाई जा सकती है।
-जब राज्य स्थान अनंत-आयामी होते हैं, तो घनत्व मैट्रिक्स को ट्रेस 1 के साथ सकारात्मक [[ट्रेस क्लास]] ऑपरेटरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और एक राज्य को अलग किया जा सकता है यदि इसे उपरोक्त फॉर्म के राज्यों द्वारा, ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।
+जब अवस्था समष्टि अनंत-आयामी होती हैं, तो घनत्व आव्यूह को ट्रेस 1 के साथ धनात्मक [[ट्रेस क्लास|ट्रेस वर्ग]] संकारक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और एक अवस्था को अलग किया जा सकता है यदि इसे उपरोक्त विधि के अवस्थाओं द्वारा, ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।
-यदि केवल एक ही अशून्य है <math>p_k</math>, तो अवस्था को ऐसे ही व्यक्त किया जा सकता है <math display="inline"> \rho = \rho_1 \otimes \rho_2 , </math> और इसे केवल वियोज्य या उत्पाद अवस्था कहा जाता है। उत्पाद स्थिति की एक संपत्ति यह है कि वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी के संदर्भ में,
+यदि केवल अशून्य <math>p_k</math> है, तो अवस्था को केवल <math display="inline"> \rho = \rho_1 \otimes \rho_2  </math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसे केवल अलग करने योग्य या उत्पाद अवस्था कहा जाता है। उत्पाद अवस्था का एक गुण यह है कि एन्ट्रापी के संदर्भ में,
 : <math> S(\rho) = S(\rho_1) + S(\rho_2). </math>
+== बहुपक्षीय प्रकरण का विस्तार ==
+उपरोक्त परिचर्चा दो से अधिक उपप्रणालियों से युक्त क्वांटम प्रणाली के प्रकरण को आसानी से सामान्यीकृत करती है। मान लीजिए कि एक प्रणाली में n उपप्रणाली हैं और अवस्था समष्टि <math>H = H_1 \otimes \cdots \otimes H_n</math> है। शुद्ध अवस्था <math>| \psi \rangle \in H</math> यदि यह रूप लेती है तो अलग किया जा सकता है।
-== बहुपक्षीय मामले का विस्तार ==
-उपरोक्त चर्चा दो से अधिक उपप्रणालियों से युक्त क्वांटम प्रणाली के मामले को आसानी से सामान्यीकृत करती है। मान लीजिए कि एक सिस्टम में n सबसिस्टम हैं और स्टेट स्पेस है <math>H = H_1 \otimes \cdots \otimes H_n</math>. एक शुद्ध अवस्था <math>| \psi \rangle \in H</math> यदि यह रूप ले लेता है तो अलग किया जा सकता है
 :<math>| \psi \rangle = | \psi_1 \rangle \otimes \cdots \otimes | \psi_n \rangle .</math>
-इसी प्रकार, H पर कार्य करने वाली एक मिश्रित अवस्था ρ वियोज्य है यदि यह एक उत्तल योग है
+इसी प्रकार, H पर कार्य करने वाली एक मिश्रित अवस्था ρ वियोज्य है यदि यह एक अवमुख योग है।
 :<math>\rho = \sum_k p_k \rho_1 ^k \otimes \cdots \otimes \rho_n ^k.</math>
-या, अनंत-आयामी मामले में, ρ वियोज्य है यदि इसे उपरोक्त फॉर्म के राज्यों द्वारा ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।
+या, अनंत-आयामी प्रकरण में, ρ वियोज्य है यदि इसे उपरोक्त रूप के अवस्थाओं द्वारा ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।
 == पृथक्करणीयता मानदंड ==
-यह तय करने की समस्या कि क्या कोई राज्य सामान्य रूप से अलग किया जा सकता है, कभी-कभी पृथक्करण समस्या कहलाती है{{anchor|quantum separability problem}} [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]] में। यह एक कठिन समस्या मानी जाती है। इसे कई मामलों में एनपी-हार्ड दिखाया गया है <ref name="NP-hard1">Gurvits, L., Classical deterministic complexity of Edmonds’ problem and quantum entanglement, in Proceedings of the 35th ACM Symposium on Theory of Computing, ACM Press, New York, 2003.</ref><ref name="NP-hard2">Sevag Gharibian,  Strong NP-Hardness of the Quantum Separability Problem, Quantum Information and Computation, Vol. 10, No. 3&4, pp. 343-360, 2010. arXiv:0810.4507.</ref> और सामान्यतः ऐसा ही माना जाता है। इस कठिनाई के लिए कुछ सराहना प्राप्त की जा सकती है यदि कोई एक निश्चित आयाम के लिए प्रत्यक्ष क्रूर बल दृष्टिकोण को नियोजित करके समस्या को हल करने का प्रयास करता है। हम देखते हैं कि समस्या शीघ्र ही कठिन हो जाती है, यहां तक कि कम आयामों के लिए भी। अत: अधिक परिष्कृत फॉर्मूलेशन की आवश्यकता है। पृथक्करण समस्या वर्तमान शोध का विषय है।
+यह तय करने की समस्या कि क्या कोई अवस्था सामान्य रूप से अलग कि जा सकती है, कभी-कभी [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]] में '''पृथक्करणीयता समस्या''' कहलाती है। यह एक कठिन समस्या मानी जाती है। इसे कई प्रकरण में NP-हार्ड दिखाया गया है <ref name="NP-hard1">Gurvits, L., Classical deterministic complexity of Edmonds’ problem and quantum entanglement, in Proceedings of the 35th ACM Symposium on Theory of Computing, ACM Press, New York, 2003.</ref><ref name="NP-hard2">Sevag Gharibian,  Strong NP-Hardness of the Quantum Separability Problem, Quantum Information and Computation, Vol. 10, No. 3&4, pp. 343-360, 2010. arXiv:0810.4507.</ref> और सामान्यतः ऐसा माना जाता है। इस कठिनाई के लिए कुछ अभिमूल्यन प्राप्त की जा सकती है यदि कोई एक निश्चित आयाम के लिए प्रत्यक्ष नीच प्रवृति दृष्टिकोण को नियोजित करके समस्या का समाधान करने का प्रयास करता है। हम देखते हैं कि समस्या शीघ्र ही कम आयामों के लिए भी कठिन हो जाती है। अत: अधिक परिष्कृत सूत्रीकरण की आवश्यकता है। पृथक्करण समस्या वर्तमान अनुसंधान का विषय है।
-पृथक्करण मानदंड एक आवश्यक शर्त है जिसे राज्य को अलग होने के लिए पूरा करना होगा। निम्न-आयामी (2 एक्स 2 और 2 एक्स 3) मामलों में, [[पेरेस-होरोडेकी मानदंड]] वास्तव में पृथक्करण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। अन्य पृथक्करण मानदंडों में [[सीमा मानदंड]], कमी मानदंड और अनिश्चितता संबंधों पर आधारित (लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं) शामिल हैं।<ref>{{cite journal |last1=Hofmann |first1=Holger F. |last2=Takeuchi |first2=Shigeki |title=उलझाव के हस्ताक्षर के रूप में स्थानीय अनिश्चितता संबंधों का उल्लंघन|journal=Physical Review A |date=22 September 2003 |volume=68 |issue=3 |page=032103 |doi=10.1103/PhysRevA.68.032103|arxiv=quant-ph/0212090 |bibcode=2003PhRvA..68c2103H |s2cid=54893300 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gühne |first1=Otfried |title=अनिश्चितता संबंधों के माध्यम से उलझाव की विशेषता|journal=Physical Review Letters |date=18 March 2004 |volume=92 |issue=11 |page=117903 |doi=10.1103/PhysRevLett.92.117903|arxiv=quant-ph/0306194 |pmid=15089173 |bibcode=2004PhRvL..92k7903G |s2cid=5696147 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gühne |first1=Otfried |last2=Lewenstein |first2=Maciej |title=एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध और उलझाव|journal=Physical Review A |date=24 August 2004 |volume=70 |issue=2 |page=022316 |doi=10.1103/PhysRevA.70.022316|arxiv=quant-ph/0403219 |bibcode=2004PhRvA..70b2316G |s2cid=118952931 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Huang |first1=Yichen |title=अवतल-फ़ंक्शन अनिश्चितता संबंधों के माध्यम से उलझाव मानदंड|journal=Physical Review A |date=29 July 2010 |volume=82 |issue=1 |page=012335 |doi=10.1103/PhysRevA.82.012335 |bibcode=2010PhRvA..82a2335H}}</ref> रेफरी देखें.<ref>{{cite journal|last1=Gühne|first1=Otfried|last2=Tóth|first2=Géza|title=उलझाव का पता लगाना|journal=Physics Reports|volume=474|issue=1–6|pages=1–75|doi=10.1016/j.physrep.2009.02.004|arxiv = 0811.2803 |bibcode = 2009PhR...474....1G|year=2009 |s2cid=119288569 }}</ref> असतत चर प्रणालियों में पृथक्करण मानदंड की समीक्षा के लिए।
-सतत परिवर्तनशील प्रणालियों में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड भी लागू होता है। विशेष रूप से, साइमन <ref>{{cite journal|last1=Simon|first1=R.|title=सतत परिवर्तनीय प्रणालियों के लिए पेरेस-होरोडेकी पृथक्करण मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=84|issue=12|pages=2726–2729|doi=10.1103/PhysRevLett.84.2726|arxiv = quant-ph/9909044 |bibcode = 2000PhRvL..84.2726S|pmid=11017310|year=2000|s2cid=11664720 }}</ref> विहित ऑपरेटरों के दूसरे क्रम के क्षणों के संदर्भ में पेरेस-होरोडेकी मानदंड का एक विशेष संस्करण तैयार किया और दिखाया कि यह आवश्यक और पर्याप्त है <math> 1\oplus1 </math>-मोड गॉसियन राज्य (संदर्भ देखें।<ref>{{cite journal|last1=Duan|first1=Lu-Ming|last2=Giedke|first2=G.|last3=Cirac|first3=J. I.|last4=Zoller|first4=P.|title=सतत परिवर्तनीय प्रणालियों के लिए अविभाज्यता मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=84|issue=12|pages=2722–2725|doi=10.1103/PhysRevLett.84.2722|arxiv = quant-ph/9908056 |bibcode = 2000PhRvL..84.2722D|pmid=11017309|year=2000 |s2cid=9948874 }}</ref> प्रतीत होता है कि भिन्न लेकिन अनिवार्य रूप से समतुल्य दृष्टिकोण के लिए)। यह बाद में पाया गया <ref>{{cite journal|last1=Werner|first1=R. F.|last2=Wolf|first2=M. M.|title=बंधे हुए उलझे हुए गॉसियन राज्य|journal=Physical Review Letters|volume=86|issue=16|pages=3658–3661|doi=10.1103/PhysRevLett.86.3658|arxiv = quant-ph/0009118 |bibcode = 2001PhRvL..86.3658W|pmid=11328047|year=2001 |s2cid=20897950 }}</ref> साइमन की स्थिति भी आवश्यक और पर्याप्त है <math> 1\oplus n </math>-मोड गॉसियन राज्य, लेकिन अब इसके लिए पर्याप्त नहीं है <math> 2\oplus2 </math>-मोड गॉसियन राज्य। कैनोनिकल ऑपरेटरों के उच्च क्रम के क्षणों को ध्यान में रखकर साइमन की स्थिति को सामान्यीकृत किया जा सकता है <ref>{{cite journal|last1=Shchukin|first1=E.|last2=Vogel|first2=W.|title=सतत द्विदलीय क्वांटम अवस्थाओं के लिए अविभाज्यता मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=95|issue=23|doi=10.1103/PhysRevLett.95.230502|arxiv = quant-ph/0508132 |bibcode = 2005PhRvL..95w0502S|pmid=16384285|year=2005|page=230502 |s2cid=28595936 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Hillery|first1=Mark|last2=Zubairy|first2=M.Suhail|title=दो-मोड राज्यों के लिए उलझाव की स्थिति|journal=Physical Review Letters|volume=96|issue=5|doi=10.1103/PhysRevLett.96.050503|arxiv = quant-ph/0507168 |bibcode = 2006PhRvL..96e0503H|pmid=16486912|page=050503|year=2006|s2cid=43756465 }}</ref> या एन्ट्रोपिक उपायों का उपयोग करके।<ref>{{cite journal|last1=Walborn|first1=S.|last2=Taketani|first2=B.|last3=Salles|first3=A.|last4=Toscano|first4=F.|last5=de Matos Filho|first5=R.|title=सतत चर के लिए एंट्रोपिक एंटैंगलमेंट मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=103|issue=16|doi=10.1103/PhysRevLett.103.160505|arxiv = 0909.0147 |bibcode = 2009PhRvL.103p0505W|pmid=19905682|page=160505|year=2009|s2cid=10523704 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Yichen Huang |title=Entanglement Detection: Complexity and Shannon Entropic Criteria |journal=IEEE Transactions on Information Theory |date=October 2013 |volume=59 |issue=10 |pages=6774–6778 |doi=10.1109/TIT.2013.2257936|s2cid=7149863 }}</ref>
+पृथक्करण मानदंड एक आवश्यक प्रतिबंध है जिसे अवस्था को अलग होने के लिए पूरा करना है। निम्न-आयामी (''2 X 2'' और  ''2 X 3'') प्रकरण में, [[पेरेस-होरोडेकी मानदंड]] वास्तव में पृथक्करण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबंध है। अन्य पृथक्करण मानदंडों में [[सीमा मानदंड|श्रेणी मानदंड]], न्यूनीकरण मानदंड और अनिश्चितता संबंधों पर आधारित (लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं) सम्मिलित हैं।<ref>{{cite journal |last1=Hofmann |first1=Holger F. |last2=Takeuchi |first2=Shigeki |title=उलझाव के हस्ताक्षर के रूप में स्थानीय अनिश्चितता संबंधों का उल्लंघन|journal=Physical Review A |date=22 September 2003 |volume=68 |issue=3 |page=032103 |doi=10.1103/PhysRevA.68.032103|arxiv=quant-ph/0212090 |bibcode=2003PhRvA..68c2103H |s2cid=54893300 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gühne |first1=Otfried |title=अनिश्चितता संबंधों के माध्यम से उलझाव की विशेषता|journal=Physical Review Letters |date=18 March 2004 |volume=92 |issue=11 |page=117903 |doi=10.1103/PhysRevLett.92.117903|arxiv=quant-ph/0306194 |pmid=15089173 |bibcode=2004PhRvL..92k7903G |s2cid=5696147 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gühne |first1=Otfried |last2=Lewenstein |first2=Maciej |title=एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध और उलझाव|journal=Physical Review A |date=24 August 2004 |volume=70 |issue=2 |page=022316 |doi=10.1103/PhysRevA.70.022316|arxiv=quant-ph/0403219 |bibcode=2004PhRvA..70b2316G |s2cid=118952931 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Huang |first1=Yichen |title=अवतल-फ़ंक्शन अनिश्चितता संबंधों के माध्यम से उलझाव मानदंड|journal=Physical Review A |date=29 July 2010 |volume=82 |issue=1 |page=012335 |doi=10.1103/PhysRevA.82.012335 |bibcode=2010PhRvA..82a2335H}}</ref> <ref>{{cite journal|last1=Gühne|first1=Otfried|last2=Tóth|first2=Géza|title=उलझाव का पता लगाना|journal=Physics Reports|volume=474|issue=1–6|pages=1–75|doi=10.1016/j.physrep.2009.02.004|arxiv = 0811.2803 |bibcode = 2009PhR...474....1G|year=2009 |s2cid=119288569 }}</ref> असतत चर प्रणालियों में पृथक्करण मानदंड की समीक्षा के लिए संदर्भ देखें।
+सतत परिवर्तनशील प्रणालियों में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड भी उपयोजित होते है। विशेष रूप से, साइमन <ref>{{cite journal|last1=Simon|first1=R.|title=सतत परिवर्तनीय प्रणालियों के लिए पेरेस-होरोडेकी पृथक्करण मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=84|issue=12|pages=2726–2729|doi=10.1103/PhysRevLett.84.2726|arxiv = quant-ph/9909044 |bibcode = 2000PhRvL..84.2726S|pmid=11017310|year=2000|s2cid=11664720 }}</ref> ने विहित संचालक के दूसरे क्रम के क्षणों के संदर्भ में पेरेस-होरोडेकी मानदंड का एक विशेष संस्करण तैयार किया और दिखाया कि यह <math> 1\oplus1 </math> -प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए आवश्यक और पर्याप्त है<ref>{{cite journal|last1=Duan|first1=Lu-Ming|last2=Giedke|first2=G.|last3=Cirac|first3=J. I.|last4=Zoller|first4=P.|title=सतत परिवर्तनीय प्रणालियों के लिए अविभाज्यता मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=84|issue=12|pages=2722–2725|doi=10.1103/PhysRevLett.84.2722|arxiv = quant-ph/9908056 |bibcode = 2000PhRvL..84.2722D|pmid=11017309|year=2000 |s2cid=9948874 }}</ref> (प्रतीत होता है कि भिन्न लेकिन अनिवार्य रूप से समतुल्य दृष्टिकोण के लिए संदर्भ देखें)। बाद में यह पाया गया कि <ref>{{cite journal|last1=Werner|first1=R. F.|last2=Wolf|first2=M. M.|title=बंधे हुए उलझे हुए गॉसियन राज्य|journal=Physical Review Letters|volume=86|issue=16|pages=3658–3661|doi=10.1103/PhysRevLett.86.3658|arxiv = quant-ph/0009118 |bibcode = 2001PhRvL..86.3658W|pmid=11328047|year=2001 |s2cid=20897950 }}</ref> साइमन की अवस्था <math> 1\oplus n </math>-प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए भी आवश्यक और पर्याप्त है, लेकिन अब <math> 2\oplus2 </math>-प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए पर्याप्त नहीं है। साइमन की अवस्था को कैनोनिकल संचालक के उच्च क्रम के क्षणों को ध्यान में रखकर या एन्ट्रोपि माप का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है <ref>{{cite journal|last1=Shchukin|first1=E.|last2=Vogel|first2=W.|title=सतत द्विदलीय क्वांटम अवस्थाओं के लिए अविभाज्यता मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=95|issue=23|doi=10.1103/PhysRevLett.95.230502|arxiv = quant-ph/0508132 |bibcode = 2005PhRvL..95w0502S|pmid=16384285|year=2005|page=230502 |s2cid=28595936 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Hillery|first1=Mark|last2=Zubairy|first2=M.Suhail|title=दो-मोड राज्यों के लिए उलझाव की स्थिति|journal=Physical Review Letters|volume=96|issue=5|doi=10.1103/PhysRevLett.96.050503|arxiv = quant-ph/0507168 |bibcode = 2006PhRvL..96e0503H|pmid=16486912|page=050503|year=2006|s2cid=43756465 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Walborn|first1=S.|last2=Taketani|first2=B.|last3=Salles|first3=A.|last4=Toscano|first4=F.|last5=de Matos Filho|first5=R.|title=सतत चर के लिए एंट्रोपिक एंटैंगलमेंट मानदंड|journal=Physical Review Letters|volume=103|issue=16|doi=10.1103/PhysRevLett.103.160505|arxiv = 0909.0147 |bibcode = 2009PhRvL.103p0505W|pmid=19905682|page=160505|year=2009|s2cid=10523704 }}</ref>
 == बीजगणितीय ज्यामिति के माध्यम से लक्षण वर्णन ==
-क्वांटम यांत्रिकी को [[प्रक्षेप्य हिल्बर्ट स्थान]] पर तैयार किया जा सकता है, और ऐसे दो स्थानों का [[श्रेणीबद्ध उत्पाद]] सेग्रे एम्बेडिंग है। द्विदलीय मामले में, एक क्वांटम स्थिति को अलग किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब यह सेग्रे एम्बेडिंग की [[छवि (गणित)]] में निहित हो।
+क्वांटम यांत्रिकी को [[प्रक्षेप्य हिल्बर्ट स्थान|प्रक्षेप्य हिल्बर्ट समष्टि]] पर तैयार किया जा सकता है, और ऐसे दो अवस्थाओं का [[श्रेणीबद्ध उत्पाद]] सेग्रे अंतःस्थापन है। द्विदलीय प्रकरण में, एक क्वांटम अवस्था को अलग किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब यह सेग्रे अंतःस्थापन की [[छवि (गणित)|प्रतिबिंब]] में निहित होते है। [[जॉन मैग्ने लीनास, जान मायरहेम]] और [[एरिक ओवरम]] ने अपने दस्तावेज़ में <nowiki>''जटिलता के ज्यामितीय रूप''</nowiki><ref name="geom approach">"Geometrical aspects of entanglement", Physical Review A 74, 012313 (2006)</ref> में समस्या का वर्णन किया है और सामान्य अवस्था आव्यूह के उपसमुच्चय के रूप में अलग-अलग अवस्थाओं की ज्यामिति का अध्ययन किया है। इस उपसमुच्चय का पेरेज़-होरोडेकी मानदंड रखने वाले अवस्थाओं के उपसमुच्चय के साथ कुछ प्रतिच्छेदन है। इस दस्तावेज़ में, लीनास एट अल और अन्य सामान्य प्रकरण में पृथक्करण के परीक्षण के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण भी देते हैं।
-[[लीना में जॉन मैग्ने]], [[जान मिरहेम]] और [[एरिक ओवरम]] ने अपने पेपर में उलझाव के ज्यामितीय पहलू<ref name="geom approach">"Geometrical aspects of entanglement", Physical Review A 74, 012313 (2006)</ref> समस्या का वर्णन करें और सामान्य राज्य मैट्रिक्स के सबसेट के रूप में अलग-अलग राज्यों की ज्यामिति का अध्ययन करें। इस उपसमूह का पेरेज़-होरोडेकी मानदंड रखने वाले राज्यों के उपसमूह के साथ कुछ प्रतिच्छेदन है। इस पेपर में, लीनास एट अल। सामान्य मामले में पृथक्करण के परीक्षण के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण भी दें।
-== पृथक्करण के लिए परीक्षण ==
+== पृथक्करण परीक्षण ==
-सामान्य मामले में पृथक्करण के लिए परीक्षण एक एनपी-हार्ड समस्या है।<ref name="NP-hard1" /><ref name="NP-hard2" />  लीनास एट अल.<ref name="geom approach" />यदि कोई दी गई स्थिति अलग करने योग्य है तो परीक्षण के लिए एक पुनरावृत्त, संभाव्य एल्गोरिदम तैयार किया गया। जब एल्गोरिदम सफल होता है, तो यह दिए गए राज्य को एक अलग करने योग्य राज्य के रूप में एक स्पष्ट, यादृच्छिक, प्रतिनिधित्व देता है। अन्यथा यह दिए गए राज्य की निकटतम वियोज्य राज्य से दूरी बताता है जिसे वह पा सकता है।
+सामान्य प्रकरण में पृथक्करण के लिए परीक्षण एक NP-हार्ड समस्या है।<ref name="NP-hard1" /><ref name="NP-hard2" />  लीनास एट अल<ref name="geom approach" /> और अन्य ने परीक्षण के लिए एक पुनरावृत्त, संभाव्य एल्गोरिदम तैयार किया कि क्या कोई दी गई अवस्था अलग करने योग्य है। जब एल्गोरिदम सफल होता है, तो यह दिए गए अवस्था को एक अलग करने योग्य अवस्था के रूप में स्पष्ट, यादृच्छिक, प्रतिनिधित्व देता है। अन्यथा यह दिए गए अवस्था की निकटतम वियोज्य अवस्था से दूरी बताता है जिसे वह खोज सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* उलझाव का गवाह
+* [[उलझाव प्रमाण|जटिलता]] [[उलझाव प्रमाण|प्रमाण]]
 == संदर्भ ==
@@ Line 93: / Line 83: @@
 == बाहरी संबंध ==
 * [https://phweb.technion.ac.il/~stateseparator/index.html "StateSeparator" web-app]
-[[Category: क्वांटम सूचना विज्ञान]] [[Category: आप कितना खर्च करते हैं?]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 06/07/2023]]
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Contents

द्विदलीय प्रणालियों की पृथक्करणीयता

शुद्ध अवस्था

मिश्रित अवस्था

बहुपक्षीय प्रकरण का विस्तार

पृथक्करणीयता मानदंड

बीजगणितीय ज्यामिति के माध्यम से लक्षण वर्णन

पृथक्करण परीक्षण

यह भी देखें

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शुद्ध अवस्था

मिश्रित अवस्था

बहुपक्षीय प्रकरण का विस्तार

पृथक्करणीयता मानदंड

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