औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र: Difference between revisions
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गणित में, विशेष रूप से [[क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] और [[वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति]] में, औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसे एक ( | गणित में, विशेष रूप से [[क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] और [[वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र''' एक ऐसा क्षेत्र है जिसे एक (आवश्यक नहीं कि अद्वितीय हो) क्रम से सुसज्जित किया जा सकता है, जो इसे एक क्रमित क्षेत्र बनाता है। | ||
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ऊपर दी गई परिभाषा [[प्रथम-क्रम तर्क]] की परिभाषा नहीं है, क्योंकि इसमें [[सेट (गणित)]] पर क्वांटिफायर की आवश्यकता होती है। चूंकि, निम्नलिखित मानदंडों को क्षेत्र की भाषा में (अनंत रूप से कई) प्रथम-क्रम [[वाक्य (गणितीय तर्क)]] के रूप में कोडित किया जा सकता है और यह उपरोक्त परिभाषा के समतुल्य होते हैं। | ऊपर दी गई परिभाषा [[प्रथम-क्रम तर्क]] की परिभाषा नहीं है, क्योंकि इसमें [[सेट (गणित)]] पर क्वांटिफायर की आवश्यकता होती है। चूंकि, निम्नलिखित मानदंडों को क्षेत्र की भाषा में (अनंत रूप से कई) प्रथम-क्रम [[वाक्य (गणितीय तर्क)]] के रूप में कोडित किया जा सकता है और यह उपरोक्त परिभाषा के समतुल्य होते हैं। | ||
औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र F एक ऐसा क्षेत्र है जो निम्नलिखित समकक्ष गुणों में से एक को भी संतुष्ट करता है:<ref>Rajwade, Theorem 15.1.</ref><ref>Milnor and Husemoller (1973) p.60</ref> | इसी प्रकार औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र F एक ऐसा क्षेत्र है जो निम्नलिखित समकक्ष गुणों में से एक को भी संतुष्ट करता है:<ref>Rajwade, Theorem 15.1.</ref><ref>Milnor and Husemoller (1973) p.60</ref> | ||
* −1, F में [[वर्ग संख्या]] का योग नहीं है। दूसरे शब्दों में, F का मान (बीजगणित) अनंत है। (विशेष रूप से, ऐसे क्षेत्र में [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 होनी चाहिए, क्योंकि विशेषता पी के क्षेत्र में तत्व -1, 1 का योग है।) इसे प्रथम-क्रम तर्क में प्रत्येक चर संख्या के लिए एक वाक्य के साथ <math>\forall x_1 (-1 \ne x_1^2)</math> <math>\forall x_1 x_2 (-1 \ne x_1^2 + x_2^2)</math>, आदि द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। | * −1, F में [[वर्ग संख्या]] का योग नहीं है। दूसरे शब्दों में, F का मान (बीजगणित) अनंत है। (विशेष रूप से, ऐसे क्षेत्र में [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 होनी चाहिए, क्योंकि विशेषता पी के क्षेत्र में तत्व -1, 1 का योग है।) इसे प्रथम-क्रम तर्क में प्रत्येक चर संख्या के लिए एक वाक्य के साथ <math>\forall x_1 (-1 \ne x_1^2)</math> <math>\forall x_1 x_2 (-1 \ne x_1^2 + x_2^2)</math>, आदि द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। | ||
*F का एक तत्व उपस्थित है जो F में वर्गों का योग नहीं है, और F की विशेषता 2 नहीं है। | *F का एक तत्व उपस्थित है जो F में वर्गों का योग नहीं है, और F की विशेषता 2 नहीं है। | ||
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यह देखना सरल होता है कि ये तीन गुण समतुल्य हैं। इसके अतिरिक्त यह देखना भी सरल होता है कि एक क्षेत्र जो क्रमीकरण स्वीकार करता है उसे इन तीन गुणों को भी पूरा करना होता है। | यह देखना सरल होता है कि ये तीन गुण समतुल्य हैं। इसके अतिरिक्त यह देखना भी सरल होता है कि एक क्षेत्र जो क्रमीकरण स्वीकार करता है उसे इन तीन गुणों को भी पूरा करना होता है। | ||
एक प्रमाण कि यदि F इन तीन गुणों को संतुष्ट करता है, तो F एक क्रमीकरण स्वीकार करता है जो पूर्वधनात्मक शंकु और धनात्मक शंकु की धारणा का उपयोग करता है। मान लीजिए -1 वर्गों का योग नहीं है; फिर ज़ोर्न के लेम्मा तर्क से पता चलता है कि वर्गों के योग के पूर्वधनात्मक शंकु को एक धनात्मक शंकु {{nowrap|''P'' ⊆ ''F''}} तक बढ़ाया जा सकता है। कोई इस धनात्मक शंकु का उपयोग क्रम को परिभाषित करने के लिए करता है: {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}} यदि और केवल यदि {{nowrap|''b'' − ''a''}}, P से संबंधित है। | एक प्रमाण यह है कि यदि F इन तीन गुणों को संतुष्ट करता है, तो F एक क्रमीकरण स्वीकार करता है जो पूर्वधनात्मक शंकु और धनात्मक शंकु की धारणा का उपयोग करता है। मान लीजिए -1 वर्गों का योग नहीं है; फिर ज़ोर्न के लेम्मा तर्क से पता चलता है कि वर्गों के योग के पूर्वधनात्मक शंकु को एक धनात्मक शंकु {{nowrap|''P'' ⊆ ''F''}} तक बढ़ाया जा सकता है। कोई इस धनात्मक शंकु का उपयोग क्रम को परिभाषित करने के लिए करता है: {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}} यदि और केवल यदि {{nowrap|''b'' − ''a''}}, P से संबंधित है। | ||
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औपचारिक रूप से वास्तविक उचित बीजीय विस्तार के बिना एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र एक [[वास्तविक बंद क्षेत्र|वास्तविक विवृत क्षेत्र]] है।<ref name="R216">Rajwade (1993) p.216</ref> यदि K औपचारिक रूप से वास्तविक है और Ω K युक्त एक [[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड|बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र]] है, तो K युक्त Ω का एक वास्तविक विवृत उपक्षेत्र है। एक वास्तविक विवृत क्षेत्र को एक अनूठी विधि से व्यवस्थित किया जा सकता है,<ref name="R216" /> और गैर-ऋणात्मक तत्व बिल्कुल वर्ग हैं। | औपचारिक रूप से वास्तविक उचित बीजीय विस्तार के बिना एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र एक [[वास्तविक बंद क्षेत्र|वास्तविक विवृत क्षेत्र]] है।<ref name="R216">Rajwade (1993) p.216</ref> इसी प्रकार यदि K औपचारिक रूप से वास्तविक है और Ω K युक्त एक [[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड|बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र]] है, तो K युक्त Ω का एक वास्तविक विवृत उपक्षेत्र है। एक वास्तविक विवृत क्षेत्र को एक अनूठी विधि से व्यवस्थित किया जा सकता है,<ref name="R216" /> और गैर-ऋणात्मक तत्व बिल्कुल वर्ग हैं। | ||
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Latest revision as of 10:09, 27 July 2023
गणित में, विशेष रूप से क्षेत्र सिद्धांत (गणित) और वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति में, औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसे एक (आवश्यक नहीं कि अद्वितीय हो) क्रम से सुसज्जित किया जा सकता है, जो इसे एक क्रमित क्षेत्र बनाता है।
वैकल्पिक परिभाषाएँ
ऊपर दी गई परिभाषा प्रथम-क्रम तर्क की परिभाषा नहीं है, क्योंकि इसमें सेट (गणित) पर क्वांटिफायर की आवश्यकता होती है। चूंकि, निम्नलिखित मानदंडों को क्षेत्र की भाषा में (अनंत रूप से कई) प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) के रूप में कोडित किया जा सकता है और यह उपरोक्त परिभाषा के समतुल्य होते हैं।
इसी प्रकार औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र F एक ऐसा क्षेत्र है जो निम्नलिखित समकक्ष गुणों में से एक को भी संतुष्ट करता है:[1][2]
- −1, F में वर्ग संख्या का योग नहीं है। दूसरे शब्दों में, F का मान (बीजगणित) अनंत है। (विशेष रूप से, ऐसे क्षेत्र में विशेषता (बीजगणित) 0 होनी चाहिए, क्योंकि विशेषता पी के क्षेत्र में तत्व -1, 1 का योग है।) इसे प्रथम-क्रम तर्क में प्रत्येक चर संख्या के लिए एक वाक्य के साथ , आदि द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
- F का एक तत्व उपस्थित है जो F में वर्गों का योग नहीं है, और F की विशेषता 2 नहीं है।
- यदि F के तत्वों के वर्गों का कोई भी योग शून्य के समतुल्य है, तो उनमें से प्रत्येक तत्व शून्य होता है।
यह देखना सरल होता है कि ये तीन गुण समतुल्य हैं। इसके अतिरिक्त यह देखना भी सरल होता है कि एक क्षेत्र जो क्रमीकरण स्वीकार करता है उसे इन तीन गुणों को भी पूरा करना होता है।
एक प्रमाण यह है कि यदि F इन तीन गुणों को संतुष्ट करता है, तो F एक क्रमीकरण स्वीकार करता है जो पूर्वधनात्मक शंकु और धनात्मक शंकु की धारणा का उपयोग करता है। मान लीजिए -1 वर्गों का योग नहीं है; फिर ज़ोर्न के लेम्मा तर्क से पता चलता है कि वर्गों के योग के पूर्वधनात्मक शंकु को एक धनात्मक शंकु P ⊆ F तक बढ़ाया जा सकता है। कोई इस धनात्मक शंकु का उपयोग क्रम को परिभाषित करने के लिए करता है: a ≤ b यदि और केवल यदि b − a, P से संबंधित है।
वास्तविक विवृत क्षेत्र
औपचारिक रूप से वास्तविक उचित बीजीय विस्तार के बिना एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र एक वास्तविक विवृत क्षेत्र है।[3] इसी प्रकार यदि K औपचारिक रूप से वास्तविक है और Ω K युक्त एक बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र है, तो K युक्त Ω का एक वास्तविक विवृत उपक्षेत्र है। एक वास्तविक विवृत क्षेत्र को एक अनूठी विधि से व्यवस्थित किया जा सकता है,[3] और गैर-ऋणात्मक तत्व बिल्कुल वर्ग हैं।
टिप्पणियाँ
संदर्भ
- Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). Symmetric bilinear forms. Springer. ISBN 3-540-06009-X.
- Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
