काल्पनिक अवयव: Difference between revisions

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[[मॉडल सिद्धांत]] में, गणित की एक शाखा, संरचना का एक काल्पनिक तत्व मोटे तौर पर एक निश्चित [[तुल्यता वर्ग]] है। इनका परिचय कराया गया {{harvtxt|Shelah|1990}}, और कल्पनाओं का उन्मूलन शुरू किया गया था {{harvtxt|Poizat|1983}}.
एक [[मॉडल सिद्धांत]] में, गणित की शाखा, संरचना का '''काल्पनिक अवयव''' साधारणतया एक निश्चित [[तुल्यता वर्ग]] है। अतः इन्हें {{harvtxt|शेला|1990}} द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और '''कल्पनाओं का उन्मूलन''' {{harvtxt|पोइज़ैट|1983}} द्वारा प्रस्तुत किया गया था।


==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ==
*M कुछ थ्योरी (गणितीय तर्क) का एक [[मॉडल (मॉडल सिद्धांत)]] है।
*'''M''' कुछ सिद्धांत (गणितीय तर्क) का एक [[मॉडल (मॉडल सिद्धांत)]] है।
*'x' और 'y' कुछ [[प्राकृतिक संख्या]] n के लिए, चरों के n-टुपल्स को दर्शाते हैं।
*'''<nowiki/>'x'''' और '''<nowiki/>'y'''' कुछ [[प्राकृतिक संख्या]] '''n''' के लिए, चरों के '''n'''-टपल को दर्शाते हैं।
*एक 'समतुल्यता सूत्र' एक [[सुगठित सूत्र]] φ('x', 'y') है जो एक [[सममित संबंध]] और [[सकर्मक संबंध]] [[द्विआधारी संबंध]] है। इसका डोमेन एम के तत्वों '' का [[सेट (गणित)]] है<sup>{{space|hair}}n</sup> ऐसा कि φ('a', 'a'); यह अपने डोमेन पर एक तुल्यता संबंध है।
*एक '''<nowiki/>'समतुल्यता सूत्र'''' [[सुगठित सूत्र]] '''''φ('x', 'y')''''' है जो [[सममित संबंध]] और [[सकर्मक संबंध]] [[द्विआधारी संबंध]] है। इस प्रकार से इसका प्रांत '''M<sup>n</sup>''' के अवयवों 'a' का [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] है, जैसे कि '''''φ('a', 'a')'''''; यह अपने प्रांत पर एक तुल्यता संबंध है।
*M का एक 'काल्पनिक तत्व' 'a'/φ एक तुल्यता वर्ग 'a' के साथ एक तुल्यता सूत्र φ है।
*'''M''' का एक '''<nowiki/>'काल्पनिक अवयव'''' '''<nowiki/>'a'/φ''' तुल्यता वर्ग '''<nowiki/>'a'''' के साथ तुल्यता सूत्र '''φ''' है।
*एम में 'कल्पनाओं का उन्मूलन' है यदि प्रत्येक काल्पनिक तत्व ''/φ के लिए एक सूत्र θ('x','y') है जैसे कि एक अद्वितीय टपल 'बी' है ताकि '' का समतुल्य वर्ग हो ' टुपल्स 'x' से मिलकर बनता है जैसे कि θ('x', 'b')
*यदि प्रत्येक काल्पनिक अवयव '''a''' के लिए एक सूत्र '''θ(x, y)''' है, तो '''M''' में '''काल्पनिकताओं का उन्मूलन''' है, ताकि एक अद्वितीय टपल '''b''' हो ताकि '''a''' के समतुल्य वर्ग में टपल '''x''' सम्मिलित हो जैसे कि '''θ(x, b)'''।
*एक मॉडल में 'कल्पनाओं का एक समान उन्मूलन' होता है यदि सूत्र θ को '' से स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।
*एक मॉडल में '''<nowiki/>'कल्पनाओं का समान उन्मूलन'''' होता है यदि सूत्र '''θ''' को '''<nowiki/>'a'''' से स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।
*एक सिद्धांत में 'कल्पनाओं का उन्मूलन' होता है यदि उस सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल ऐसा करता है (और इसी तरह समान उन्मूलन के लिए भी)।
*एक सिद्धांत में '''<nowiki/>'कल्पनाओं का उन्मूलन'''' होता है यदि उस सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल ऐसा करता है (और इसी प्रकार समान उन्मूलन के लिए भी)।


==उदाहरण==
==उदाहरण==
*[[ZFC]] में कल्पनाओं का उन्मूलन है।
*[[ZFC|जेडएफसी]] में कल्पनाओं का उन्मूलन है।
*[[पीनो अंकगणित]] में कल्पनाओं का एक समान उन्मूलन होता है।
*[[पीनो अंकगणित]] में कल्पनाओं का समान उन्मूलन होता है।
*कम से कम 3 तत्वों वाले एक [[परिमित क्षेत्र]] पर कम से कम 2 [[आयाम ([[सदिश स्थल]])]] के एक वेक्टर स्थान में कल्पनाओं का उन्मूलन नहीं होता है।
*कम से कम 3 अवयवों वाले [[परिमित क्षेत्र]] पर कम से कम 2 विमा ([[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]]) के सदिश समष्टि में कल्पनाओं का उन्मूलन नहीं होता है।


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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|journal=Journal of Symbolic Logic |volume=48 |year=1983|issue= 4|pages= 1151–1170|doi=10.2307/2273680|jstor=2273680 }}
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*{{Citation | last1=Shelah | first1=Saharon | author1-link=Saharon Shelah | title=Classification theory and the number of nonisomorphic models | origyear=1978 | publisher=Elsevier | edition=2nd | series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics | isbn=978-0-444-70260-9 | year=1990 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/classificationth0092shel }}
*{{Citation | last1=Shelah | first1=Saharon | author1-link=Saharon Shelah | title=Classification theory and the number of nonisomorphic models | origyear=1978 | publisher=Elsevier | edition=2nd | series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics | isbn=978-0-444-70260-9 | year=1990 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/classificationth0092shel }}
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एक मॉडल सिद्धांत में, गणित की शाखा, संरचना का काल्पनिक अवयव साधारणतया एक निश्चित तुल्यता वर्ग है। अतः इन्हें शेला (1990) द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और कल्पनाओं का उन्मूलन पोइज़ैट (1983) द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

परिभाषाएँ

  • M कुछ सिद्धांत (गणितीय तर्क) का एक मॉडल (मॉडल सिद्धांत) है।
  • 'x' और 'y' कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए, चरों के n-टपल को दर्शाते हैं।
  • एक 'समतुल्यता सूत्र' सुगठित सूत्र φ('x', 'y') है जो सममित संबंध और सकर्मक संबंध द्विआधारी संबंध है। इस प्रकार से इसका प्रांत Mn के अवयवों 'a' का समुच्चय (गणित) है, जैसे कि φ('a', 'a'); यह अपने प्रांत पर एक तुल्यता संबंध है।
  • M का एक 'काल्पनिक अवयव' 'a'/φ तुल्यता वर्ग 'a' के साथ तुल्यता सूत्र φ है।
  • यदि प्रत्येक काल्पनिक अवयव a/φ के लिए एक सूत्र θ(x, y) है, तो M में काल्पनिकताओं का उन्मूलन है, ताकि एक अद्वितीय टपल b हो ताकि a के समतुल्य वर्ग में टपल x सम्मिलित हो जैसे कि θ(x, b)
  • एक मॉडल में 'कल्पनाओं का समान उन्मूलन' होता है यदि सूत्र θ को 'a' से स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।
  • एक सिद्धांत में 'कल्पनाओं का उन्मूलन' होता है यदि उस सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल ऐसा करता है (और इसी प्रकार समान उन्मूलन के लिए भी)।

उदाहरण

संदर्भ

  • Hodges, Wilfrid (1993), Model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30442-9
  • Poizat, Bruno (1983), "Une théorie de Galois imaginaire. [An imaginary Galois theory]", Journal of Symbolic Logic, 48 (4): 1151–1170, doi:10.2307/2273680, JSTOR 2273680, MR 0727805
  • Shelah, Saharon (1990) [1978], Classification theory and the number of nonisomorphic models, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (2nd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9