स्टिल्टजेस परिवर्तन: Difference between revisions

Latest revision as of 10:19, 2 August 2023

गणित में, वास्तविक अंतराल $I$ पर घनत्व $ρ$ के माप का स्टिल्टजेस परिवर्तन $S ρ (z)$ सूत्र द्वारा $I$ के बाहर परिभाषित जटिल चर $z$ का कार्य है

S_{\rho }(z)=\int _{I}{\frac {\rho (t)\,dt}{z-t}},\qquad z\in \mathbb {C} \setminus I.

कुछ शर्तों के अंतर्गत हम स्टिल्टजेस-पेरॉन के व्युत्क्रम सूत्र की बदौलत इसके स्टिल्टजेस परिवर्तन से प्रारम्भ करके घनत्व फलन ρ को पुनर्गठित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि घनत्व

ρ

सर्वत्र सतत्

I

है, इस अंतराल के अंदर निम्न होगा

\rho (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{\rho }(x-i\varepsilon )-S_{\rho }(x+i\varepsilon )}{2i\pi }}.

मापों के आघुर्ण के साथ संबंध

यदि घनत्व का माप $ρ$ में समानता द्वारा प्रत्येक पूर्णांक के लिए परिभाषित किसी भी क्रम का क्षण (गणित) है

m_{n}=\int _{I}t^{n}\,\rho (t)\,dt,

तब ρ का स्टिल्टजेस परिवर्तन प्रत्येक पूर्णांक n के लिए अनंत के प्रतिवैस में दिए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार को स्वीकार करता है

S_{\rho }(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {m_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).

कुछ स्तिथियों के अंतर्गत लॉरेंट श्रृंखला के रूप में पूर्ण विस्तार प्राप्त किया जा सकता है:

S_{\rho }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}.

आयतीय बहुपदों से संबंध

पत्राचार ${\textstyle (f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\rho (t)\,dt}$ अंतराल पर निरंतर कार्यों के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद $I$ को परिभाषित करता है।

अगर ${P n}$ इस उत्पाद के लिए आयतीय बहुपदों का एक क्रम है, हम सूत्र द्वारा संबंधित माध्यमिक बहुपदों का अनुक्रम बना सकते हैं।

Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.

यह प्रतीत होता है कि

{\textstyle F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}}

का पैडे सन्निकटन

S ρ (z)

अनंत के प्रतिवैस में है, इस अर्थ में

S_{\rho }(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).

चूँकि बहुपदों के ये दो क्रम तीन पदों में समान पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, हम स्टिल्टजेस परिवर्तन के लिए एक सामान्यीकृत निरंतर अंश विकसित कर सकते हैं, जिसके क्रमिक अभिसरण (निरंतर अंश) अंश

F n (z)

हैं।

स्टिल्टजेस परिवर्तन का उपयोग घनत्व ρ से द्वितीयक बहुपदों को आयतीय प्रणाली में बदलने के लिए एक प्रभावी उपाय बनाने के लिए भी किया जा सकता है। (अधिक जानकारी के लिए लेख द्वितीयक उपाय देखें।)

यह भी देखें

आयतीय बहुपद
द्वितीयक बहुपद
द्वितीयक उपाय

संदर्भ

H. S. Wall (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company Inc.

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-गणित में, स्टिल्टजेस परिवर्तन {{math|''S''<sub>''ρ''</sub>(''z'')}} घनत्व के माप का {{math|''ρ''}} वास्तविक अंतराल पर {{mvar|I}} जटिल चर का कार्य है {{mvar|z}} बाहर परिभाषित {{mvar|I}} सूत्र द्वारा
+गणित में, वास्तविक अंतराल {{mvar|I}} पर घनत्व {{math|''ρ''}} के माप का '''स्टिल्टजेस परिवर्तन''' {{math|''S''<sub>''ρ''</sub>(''z'')}} सूत्र द्वारा {{mvar|I}} के बाहर परिभाषित जटिल चर {{mvar|z}} का कार्य है
 <math display="block">S_{\rho}(z)=\int_I\frac{\rho(t)\,dt}{z-t}, \qquad z \in \mathbb{C} \setminus I.</math>
-कुछ शर्तों के तहत हम घनत्व फ़ंक्शन को पुनर्गठित कर सकते हैं {{math|''ρ''}} स्टिल्टजेस-पेरोन के व्युत्क्रम सूत्र की बदौलत इसके स्टिल्टजेस परिवर्तन से शुरुआत। उदाहरण के लिए, यदि घनत्व {{math|''ρ''}} सर्वत्र सतत् है {{mvar|I}}, इस अंतराल के अंदर एक होगा
+कुछ शर्तों के अंतर्गत हम स्टिल्टजेस-पेरॉन के व्युत्क्रम सूत्र की बदौलत इसके स्टिल्टजेस परिवर्तन से प्रारम्भ करके घनत्व फलन ρ को पुनर्गठित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि घनत्व {{math|''ρ''}} सर्वत्र सतत् {{mvar|I}} है, इस अंतराल के अंदर निम्न होगा
 <math display="block">\rho(x)=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{S_{\rho}(x-i\varepsilon)-S_{\rho}(x+i\varepsilon)}{2i\pi}.</math>
-==मापों के क्षणों के साथ संबंध==
+==मापों के आघुर्ण के साथ संबंध==
-{{Main|Moment problem}}
+{{Main|आघुर्ण समस्या}}
 यदि घनत्व का माप {{math|''ρ''}} में समानता द्वारा प्रत्येक पूर्णांक के लिए परिभाषित किसी भी क्रम का [[क्षण (गणित)]] है
 <math display="block">m_{n}=\int_I t^n\,\rho(t)\,dt,</math>
-फिर [[Stiltjes]] का परिवर्तन {{math|''ρ''}} प्रत्येक पूर्णांक के लिए स्वीकार करता है {{mvar|n}} अनंत के पड़ोस में एसिम्प्टोटिक विश्लेषण विस्तार द्वारा दिया गया
+तब ρ का स्टिल्टजेस परिवर्तन प्रत्येक पूर्णांक n के लिए अनंत के प्रतिवैस में दिए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार को स्वीकार करता है
 <math display="block">S_{\rho}(z)=\sum_{k=0}^{n}\frac{m_k}{z^{k+1}}+o\left(\frac{1}{z^{n+1}}\right).</math>
-कुछ शर्तों के तहत [[लॉरेंट श्रृंखला]] के रूप में पूर्ण विस्तार प्राप्त किया जा सकता है:
+कुछ स्तिथियों के अंतर्गत [[लॉरेंट श्रृंखला]] के रूप में पूर्ण विस्तार प्राप्त किया जा सकता है:
 <math display="block">S_{\rho}(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{m_n}{z^{n+1}}.</math>
-==ओर्थोगोनल बहुपदों से संबंध==
+==आयतीय बहुपदों से संबंध==
-पत्राचार <math display="inline">(f,g) \mapsto \int_I f(t) g(t) \rho(t) \, dt</math> अंतराल पर निरंतर कार्यों के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करता है {{mvar|I}}.
+पत्राचार <math display="inline">(f,g) \mapsto \int_I f(t) g(t) \rho(t) \, dt</math> अंतराल पर निरंतर कार्यों के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद {{mvar|I}} को परिभाषित करता है।
-अगर {{math|{''P<sub>n</sub>''}<nowiki/>}} इस उत्पाद के लिए [[ऑर्थोगोनल बहुपद]]ों का एक क्रम है, हम सूत्र द्वारा संबंधित माध्यमिक बहुपदों का अनुक्रम बना सकते हैं
+अगर {{math|{''P<sub>n</sub>''}<nowiki/>}} इस उत्पाद के लिए [[ऑर्थोगोनल बहुपद|आयतीय बहुपदों]] का एक क्रम है, हम सूत्र द्वारा संबंधित माध्यमिक बहुपदों का अनुक्रम बना सकते हैं।
 <math display="block">Q_n(x)=\int_I \frac{P_n (t)-P_n (x)}{t-x}\rho (t)\,dt.</math>
-यह प्रतीत होता है कि <math display="inline">F_n(z) = \frac{Q_n(z)}{P_n(z)}</math> का पैडे सन्निकटन है {{math|''S''<sub>''ρ''</sub>(''z'')}} अनंत के पड़ोस में, इस अर्थ में
+यह प्रतीत होता है कि <math display="inline">F_n(z) = \frac{Q_n(z)}{P_n(z)}</math> का पैडे सन्निकटन {{math|''S''<sub>''ρ''</sub>(''z'')}} अनंत के प्रतिवैस में है, इस अर्थ में
 <math display="block">S_\rho(z)-\frac{Q_n(z)}{P_n(z)}=O\left(\frac{1}{z^{2n}}\right).</math>
-चूँकि बहुपदों के ये दो क्रम तीन पदों में समान पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, हम स्टिल्टजेस परिवर्तन के लिए एक [[सामान्यीकृत निरंतर अंश]] विकसित कर सकते हैं, जिसके क्रमिक [[अभिसरण (निरंतर अंश)]] अंश हैं {{math|''F<sub>n</sub>''(''z'')}}.
+चूँकि बहुपदों के ये दो क्रम तीन पदों में समान पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, हम स्टिल्टजेस परिवर्तन के लिए एक [[सामान्यीकृत निरंतर अंश]] विकसित कर सकते हैं, जिसके क्रमिक [[अभिसरण (निरंतर अंश)]] अंश {{math|''F<sub>n</sub>''(''z'')}} हैं।
-स्टिल्टजेस परिवर्तन का उपयोग घनत्व से निर्माण के लिए भी किया जा सकता है {{math|''ρ''}} द्वितीयक बहुपदों को ऑर्थोगोनल प्रणाली में बदलने के लिए एक प्रभावी उपाय। (अधिक जानकारी के लिए लेख [[द्वितीयक उपाय]] देखें।)
+स्टिल्टजेस परिवर्तन का उपयोग घनत्व ρ से द्वितीयक बहुपदों को आयतीय प्रणाली में बदलने के लिए एक प्रभावी उपाय बनाने के लिए भी किया जा सकता है। (अधिक जानकारी के लिए लेख [[द्वितीयक उपाय]] देखें।)
 ==यह भी देखें==
-* ऑर्थोगोनल बहुपद
+* आयतीय बहुपद
 * द्वितीयक बहुपद
 *द्वितीयक उपाय
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 ==संदर्भ==
 *{{cite book|author = H. S. Wall|title = Analytic Theory of Continued Fractions|publisher = D. Van Nostrand Company Inc.|year = 1948}}
-[[Category: अभिन्न परिवर्तन]] [[Category: निरंतर भिन्न]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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