प्राकृतिक संख्या ऑब्जेक्ट: Difference between revisions

Latest revision as of 15:15, 5 September 2023

श्रेणी सिद्धांत में, एक प्राकृतिक संख्या ऑब्जेक्ट (एनएनओ) प्राकृतिक संख्याओं के समान रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) गणितीय संरचना से एक संपन्न ऑब्जेक्ट है। टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 के साथ श्रेणी (गणित) E में अधिक शुद्ध रूप से, एक NNO N इस प्रकार दिया जाता है::

एक व्यापक तत्व z : 1 → N, और
एक तीर s : N → N,

ऐसा कि E के किसी भी ऑब्जेक्ट A के लिए, व्यापक तत्व q: 1 → A और तीर f: A → A, एक अद्वितीय तीर u: N → A उपस्थित है जैसे:

u ∘ z = q, और
u ∘ s = f ∘ u.^[1]^[2]^[3]

अन्य शब्दों में, निम्नलिखित चित्र में त्रिभुज और वर्ग परिवर्तित होते हैं।

युग्म (q, f) को कभी-कभी पुनरावर्ती परिभाषा के रूप में दिए गए यू के लिए पुनरावर्ती (रिकर्शन) डेटा कहा जाता है:

⊢ u (z) = q
y ∈_E N ⊢ u (s y) = f (u (y))

उपरोक्त परिभाषा NNO की सार्वभौमिक गुण है जिसका अर्थ है कि उन्हें कैनानिकल समाकारिकता तक परिभाषित किया गया है। यदि उपरोक्त परिभाषित तीर u का केवल अस्तित्व होना है अर्थात विशिष्टता की आवश्यकता नहीं है, तो N को अशक्त NNO कहा जाता है।

समतुल्य परिभाषाएँ

कार्टेशियन संवृत श्रेणियों (सीसीसी) या टोपोई में एनएनओ को कभी-कभी निम्नलिखित तुल्य प्रकार से परिभाषित किया जाता है (लॉवर के कारण): तीरों की प्रत्येक युग्म g : A → B और f : B → B के लिए एक अद्वितीय h : N × A → B है इस प्रकार कि निम्नलिखित आरेख में वर्ग परिवर्तन करते हैं।^[4]

alternate NNO definition

यही निर्माण कार्टेशियन श्रेणियों में अशक्त NNO को परिभाषित करता है जो कार्टेशियन संवृत नहीं हैं।

टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 और बाइनरी कॉप्रोडक्ट्स (+ द्वारा चिह्नित) वाली श्रेणी में एक NNO को एंडोफन्क्टर के प्रारंभिक बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो ऑब्जेक्ट्स पर $X \mapsto 1 + X$ और तीरों पर $f \mapsto id 1 + f$ द्वारा कार्य करता है।^[5]

गुण

प्रत्येक NNO फॉर्म के आरेख (श्रेणी सिद्धांत) की श्रेणी की प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है

1\xrightarrow {~\quad q\quad ~} A\xrightarrow {~\quad f\quad ~} A

यदि कार्टेशियन संवृत श्रेणी में अशक्त एनएनओ है तो इसके प्रत्येक भाग में भी अशक्त एनएनओ है।
एनएनओ का उपयोग विश्लेषण के अमानक मॉडल के समान प्रकार के सिद्धांत के अमानक मॉडल के लिए किया जा सकता है। ऐसी श्रेणियों (या टोपोई) में "अपरिमित रूप से अनेक" अमानक प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।^{[clarification needed]}(सदैव की तरह अमानक एनएनओ प्राप्त करने के सरल तरीके हैं; उदाहरण के लिए यदि z = s z है तो उस स्थिति में श्रेणी या टोपोस E नगण्य है।)
पीटर फ्रायड ने प्रदर्शित किया कि z और s, NNO के लिए एक कॉप्रोडक्ट् आरेख का निर्माण करते हैं; इसके अतिरिक्त, !N : N → 1, s और 1N का एक सहतुल्यकारक है, अर्थात, N के व्यापक तत्वों के प्रत्येक युग्म s के माध्यम से जुड़ा हुए है; इसके अतिरिक्त तथ्यों के यह युग्म सभी NNO की विशेषता का वर्णन करती है।

उदाहरण

समुच्चय में, समुच्चय की श्रेणी, में मानक प्राकृतिक संख्याएँ एक NNO हैं।^[6] समुच्चय में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट एकल(गणित) है तथा एकल में से एक फलन समुच्चय के एक तत्व (सेट सिद्धांत) का चयन करता है। प्राकृतिक संख्याएँ 𝐍 एक NNO हैं जहाँ z एक एकल से 𝐍 तक एक फलन है जिसकी धारणा(गणित) शून्य है और s परवर्ती फलन है। (वस्तुतः हम z को 𝐍 के किसी भी तत्व को चयनित करने की अनुमति दे सकते हैं तथा परिणामी NNO इसके लिए समरूपी होगा।) कोई यह सिद्ध कर सकता है कि परिभाषा में आरेख गणितीय प्रेरण का उपयोग करके परिवर्तित होता है।
मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत के प्रकारों की श्रेणी में (ऑब्जेक्ट्स के रूप में प्ररूप और तीर के रूप में फलन) मानक प्राकृतिक संख्या प्ररूप नेट एक NNO है। यह प्रदर्शित करने के लिए कि उपयुक्त आरेख परिवर्तित होता है, नेट के लिए रिकर्सर का उपयोग किया जा सकता है।
मान लें कि ${\mathcal {E}}$ टर्मिनल ऑब्जेक्ट $\top$ के साथ एक ग्रोथेंडिक टोपोस है और श्रेणी ${\mathfrak {C}}$ पर कुछ ग्रोथेंडिक सांस्थिति $J$ के लिए ${\mathcal {E}}\simeq \mathbf {Shv} ({\mathfrak {C}},J)$ है। पुनः यदि $\Gamma _{\mathbb {N} }$ , ${\mathfrak {C}}$ पर अचर प्रीशीफ है तो ${\mathcal {E}}$ में NNO, $\Gamma _{\mathbb {N} }$ का शीफिफिकेशन है तथा इसे फॉर्म लेने के लिए प्रदर्शित किया जा सकता है $\mathbb {N} _{\mathcal {E}}\cong \left(\Gamma _{\mathbb {N} }\right)^{++}\cong \coprod _{n\in \mathbb {N} }\top .$

यह भी देखें

पीनो के अंकगणित के सिद्धांत
श्रेणीकृत गणितीय तर्क

संदर्भ

↑ Johnstone 2002, A2.5.1.
↑ Lawvere 2005, p. 14.
↑ Leinster, Tom (2014). "सेट सिद्धांत पर पुनर्विचार". American Mathematical Monthly. 121 (5): 403–415. arXiv:1212.6543. Bibcode:2012arXiv1212.6543L. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.05.403. S2CID 5732995.
↑ Johnstone 2002, A2.5.2.
↑ Barr, Michael; Wells, Charles (1990). कंप्यूटिंग विज्ञान के लिए श्रेणी सिद्धांत. New York: Prentice Hall. p. 358. ISBN 0131204866. OCLC 19126000.
↑ Johnstone 2005, p. 108.

Johnstone, Peter T. (2002). Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0198534256. OCLC 50164783.
Lawvere, William (2005) [1964]. "An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary". Reprints in Theory and Applications of Categories. 11: 1–35.

बाहरी संबंध

Lecture notes from Robert Harper which discuss NNOs in Section 2.2: https://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/notes/notes_week3.pdf
A blog post by Clive Newstead on the n-Category Cafe: https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/01/an_elementary_theory_of_the_ca.html
Notes on datatypes as algebras for endofunctors by computer scientist Philip Wadler: http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt
Notes on the nLab: https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

[FOOTNOTEJohnstone2002A2.5.1-1] Johnstone 2002, A2.5.1.

[FOOTNOTELawvere200514-2] Lawvere 2005, p. 14.

[3] Leinster, Tom (2014). "सेट सिद्धांत पर पुनर्विचार". American Mathematical Monthly. 121 (5): 403–415. arXiv:1212.6543. Bibcode:2012arXiv1212.6543L. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.05.403. S2CID 5732995.

[FOOTNOTEJohnstone2002A2.5.2-4] Johnstone 2002, A2.5.2.

[5] Barr, Michael; Wells, Charles (1990). कंप्यूटिंग विज्ञान के लिए श्रेणी सिद्धांत. New York: Prentice Hall. p. 358. ISBN 0131204866. OCLC 19126000.

[FOOTNOTEJohnstone2005108-6] Johnstone 2005, p. 108.

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-'''[[श्रेणी सिद्धांत]] में, एक [[प्राकृतिक संख्या]] वस्तु (एनएनओ) प्राकृतिक संख्याओं के समान [[रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)]] [[गणितीय संरचना]] से संपन्न एक वस्तु है।''' [[ टर्मिनल वस्तु |टर्मिनल ऑब्जेक्ट]] 1 के साथ [[श्रेणी (गणित)]] '''E''' में अधिक शुद्ध रूप से, एक NNO ''N'' इस प्रकार दिया जाता है::
+[[श्रेणी सिद्धांत]] में, एक '''[[प्राकृतिक संख्या]] ऑब्जेक्ट''' (एनएनओ) प्राकृतिक संख्याओं के समान [[रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)]] [[गणितीय संरचना]] से एक संपन्न ऑब्जेक्ट है। [[ टर्मिनल वस्तु |टर्मिनल ऑब्जेक्ट]] 1 के साथ [[श्रेणी (गणित)]] '''E''' में अधिक शुद्ध रूप से, एक NNO ''N'' इस प्रकार दिया जाता है::
 # एक [[वैश्विक तत्व|व्यापक तत्व]] ''z'' : 1 → ''N'', और
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 == समतुल्य परिभाषाएँ ==
-'''कार्टेशियन बंद श्रेणी (सीसीसी) या [[टोपोस]] में एनएनओ को कभी-कभी निम्नलिखित समकक्ष तरीके से परिभाषित किया जाता है (लॉवर के कारण): तीरों की प्रत्येक जोड़ी के लिए जी: ए → बी और एफ: बी → बी, एक अद्वितीय एच: एन × ए है → बी इस प्रकार है कि निम्नलिखित आरेख में वर्ग कम्यूट होते हैं।'''{{sfn|Johnstone|2002|loc=A2.5.2}}
+कार्टेशियन संवृत श्रेणियों (सीसीसी) या टोपोई में एनएनओ को कभी-कभी निम्नलिखित तुल्य प्रकार से परिभाषित किया जाता है (लॉवर के कारण): तीरों की प्रत्येक युग्म g : A → B और  f : B → B के लिए एक अद्वितीय h : N × A → B है इस प्रकार कि निम्नलिखित आरेख में वर्ग परिवर्तन करते हैं।{{sfn|Johnstone|2002|loc=A2.5.2}}
 <div शैली= मार्जिन-बाएँ: 2em >[[Image:NNO definition alt.png|alternate NNO definition]]</div>
-यही निर्माण कार्टेशियन श्रेणियों में अशक्त एनएनओ को परिभाषित करता है जो कार्टेशियन संवृत नहीं हैं।
+यही निर्माण कार्टेशियन श्रेणियों में अशक्त NNO को परिभाषित करता है जो कार्टेशियन संवृत नहीं हैं।
-टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 और बाइनरी [[ सहउत्पाद ]]्स (+ द्वारा चिह्नित) वाली श्रेणी में, एक एनएनओ को [[ एंडोफन्क्टर ]] के [[प्रारंभिक बीजगणित]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो ऑब्जेक्ट पर कार्य करता है {{math|{{var|X}} ↦ 1 + {{var|X}}}} और द्वारा तीरों पर {{math|{{var|f}} ↦ id<sub>1</sub> + {{var|f}}}}.<ref>{{Cite book|title=कंप्यूटिंग विज्ञान के लिए श्रेणी सिद्धांत|last1=Barr|first1=Michael|last2=Wells|first2=Charles|date=1990|publisher=Prentice Hall|isbn=0131204866|location=New York|oclc=19126000|page=358}}</ref>
+टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 और बाइनरी [[ सहउत्पाद |कॉप्रोडक्ट्स]] (+ द्वारा चिह्नित) वाली श्रेणी में एक NNO को [[ एंडोफन्क्टर |एंडोफन्क्टर]] के [[प्रारंभिक बीजगणित]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो ऑब्जेक्ट्स पर {{math|{{var|X}} ↦ 1 + {{var|X}}}} और तीरों पर {{math|{{var|f}} ↦ id<sub>1</sub> + {{var|f}}}}  द्वारा कार्य करता है।<ref>{{Cite book|title=कंप्यूटिंग विज्ञान के लिए श्रेणी सिद्धांत|last1=Barr|first1=Michael|last2=Wells|first2=Charles|date=1990|publisher=Prentice Hall|isbn=0131204866|location=New York|oclc=19126000|page=358}}</ref>
 == गुण ==
-* प्रत्येक एनएनओ प्रपत्र के [[आरेख (श्रेणी सिद्धांत)]] की श्रेणी की प्रारंभिक वस्तु है
+* प्रत्येक NNO फॉर्म के [[आरेख (श्रेणी सिद्धांत)]] की श्रेणी की प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है
 ::<math displaystyle="block">1 \xrightarrow{~ \quad q \quad ~} A \xrightarrow{~ \quad f \quad ~} A</math>
-* यदि किसी कार्टेशियन बंद श्रेणी में कमजोर एनएनओ है, तो उसकी प्रत्येक स्लाइस श्रेणी में भी कमजोर एनएनओ है।
+* यदि कार्टेशियन संवृत श्रेणी में अशक्त एनएनओ है तो इसके प्रत्येक भाग में भी अशक्त एनएनओ है।
-* एनएनओ का उपयोग विश्लेषण के गैर-मानक मॉडल के समान प्रकार के सिद्धांत के गैर-मानक मॉडल के लिए किया जा सकता है। ऐसी श्रेणियों (या टोपोई) में अपरिमित रूप से कई गैर-मानक प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।{{clarify|date=December 2017}} (हमेशा की तरह, गैर-मानक एनएनओ प्राप्त करने के सरल तरीके हैं; उदाहरण के लिए, यदि z = s z, तो उस स्थिति में श्रेणी या टॉपोस 'ई' तुच्छ है।)
+* एनएनओ का उपयोग विश्लेषण के अमानक मॉडल के समान प्रकार के सिद्धांत के अमानक मॉडल के लिए किया जा सकता है। ऐसी श्रेणियों (या टोपोई) में "अपरिमित रूप से अनेक" अमानक प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।{{clarify|date=December 2017}}(सदैव की तरह अमानक एनएनओ प्राप्त करने के सरल तरीके हैं; उदाहरण के लिए यदि z = s z है तो उस स्थिति में श्रेणी या टोपोस E नगण्य है।)
-* [[पीटर फ्रायड]] ने दिखाया कि z और s एनएनओ के लिए एक सह-उत्पाद आरेख बनाते हैं; भी, !<sub>''N''</sub> : N → 1, s और 1 का [[सहतुल्यकारक]] है<sub>''N''</sub>, यानी, एन के वैश्विक तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एस के माध्यम से जुड़ी हुई है; इसके अलावा, तथ्यों की यह जोड़ी सभी एनएनओ की विशेषता बताती है।
+* [[पीटर फ्रायड]] ने प्रदर्शित किया कि z और s, NNO के लिए एक कॉप्रोडक्ट् आरेख का निर्माण करते हैं; इसके अतिरिक्त, !N : N → 1, s और 1N का एक सहतुल्यकारक है, अर्थात, N के व्यापक तत्वों के प्रत्येक युग्म s के माध्यम से जुड़ा हुए है; इसके अतिरिक्त तथ्यों के यह युग्म सभी NNO की विशेषता का वर्णन करती है।
 == उदाहरण ==
-* सेट में, [[सेट की श्रेणी]], मानक प्राकृतिक संख्याएँ एक एनएनओ हैं।{{sfn|Johnstone|2005|p=108}} सेट में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट एक [[सिंगलटन (गणित)]] है, और सिंगलटन में से एक फ़ंक्शन सेट के एक एकल [[तत्व (सेट सिद्धांत)]] को चुनता है। प्राकृतिक संख्याएँ 𝐍 एक NNO हैं जहाँ {{var|z}} एक सिंगलटन से 𝐍 तक एक फ़ंक्शन है जिसकी [[छवि (गणित)]] शून्य है, और {{var|s}} [[उत्तराधिकारी कार्य]] है। (हम वास्तव में अनुमति दे सकते हैं {{var|z}} 𝐍 के किसी भी तत्व को चुनने के लिए, और परिणामी एनएनओ इस के लिए समरूपी होगा।) कोई यह साबित कर सकता है कि परिभाषा में आरेख [[गणितीय प्रेरण]] का उपयोग करके बदलता है।
+* समुच्चय में, [[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]], में मानक प्राकृतिक संख्याएँ एक NNO हैं।{{sfn|Johnstone|2005|p=108}} समुच्चय में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट [[सिंगलटन (गणित)|एकल(गणित)]] है तथा एकल में से एक फलन समुच्चय के एक [[तत्व (सेट सिद्धांत)]] का चयन करता है। प्राकृतिक संख्याएँ 𝐍 एक NNO हैं जहाँ z एक एकल से 𝐍 तक एक फलन है जिसकी [[छवि (गणित)|धारणा(गणित)]] शून्य है और {{var|s}} [[उत्तराधिकारी कार्य|परवर्ती फलन]] है। (वस्तुतः हम z को 𝐍 के किसी भी तत्व को चयनित करने की अनुमति दे सकते हैं तथा परिणामी NNO इसके लिए समरूपी होगा।) कोई यह सिद्ध कर सकता है कि परिभाषा में आरेख [[गणितीय प्रेरण]] का उपयोग करके परिवर्तित होता है।
-* मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत के प्रकारों की श्रेणी में (वस्तुओं के रूप में प्रकार और तीरों के रूप में कार्यों के साथ), मानक प्राकृतिक संख्या प्रकार 'नैट' एक एनएनओ है। यह दिखाने के लिए कि उपयुक्त आरेख आवागमन करता है, कोई 'nat' के लिए पुनरावर्तक का उपयोग कर सकता है।
+* मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत के प्रकारों की श्रेणी में (ऑब्जेक्ट्स के रूप में प्ररूप और तीर के रूप में फलन) मानक प्राकृतिक संख्या प्ररूप नेट एक NNO है। यह प्रदर्शित करने के लिए कि उपयुक्त आरेख परिवर्तित होता है, नेट के लिए रिकर्सर का उपयोग किया जा सकता है।
-* ये मान लीजिए <math> \mathcal{E} </math> टर्मिनल ऑब्जेक्ट के साथ [[ग्रोथेंडिक टोपोस]] है <math> \top </math> ओर वो <math> \mathcal{E} \simeq \mathbf{Shv}(\mathfrak{C},J) </math> कुछ [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी]] के लिए <math> J </math> श्रेणी पर <math> \mathfrak{C} </math>. तो अगर <math> \Gamma_{\mathbb{N}} </math> निरंतर प्रीशीफ चालू है <math> \mathfrak{C} </math>, फिर एनएनओ में <math> \mathcal{E} </math> का शीफ़ीकरण है <math> \Gamma_{\mathbb{N}} </math> और फॉर्म लेने के लिए दिखाया जा सकता है <math display="block"> \mathbb{N}_{\mathcal{E}} \cong \left(\Gamma_{\mathbb{N}}\right)^{++} \cong \coprod_{n \in \mathbb{N}} \top. </math>
+* मान लें कि <math> \mathcal{E} </math> टर्मिनल ऑब्जेक्ट <math> \top </math> के साथ एक [[ग्रोथेंडिक टोपोस]] है और श्रेणी <math> \mathfrak{C} </math> पर कुछ [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] <math> J </math> के लिए <math> \mathcal{E} \simeq \mathbf{Shv}(\mathfrak{C},J) </math>  है। पुनः यदि  <math> \Gamma_{\mathbb{N}} </math>, <math> \mathfrak{C} </math> पर अचर प्रीशीफ है तो <math> \mathcal{E} </math> में NNO, <math> \Gamma_{\mathbb{N}} </math> का शीफिफिकेशन है तथा  इसे फॉर्म लेने के लिए प्रदर्शित किया जा सकता है <math display="block"> \mathbb{N}_{\mathcal{E}} \cong \left(\Gamma_{\mathbb{N}}\right)^{++} \cong \coprod_{n \in \mathbb{N}} \top. </math>
 ==यह भी देखें==
-* पीनो के [[अंकगणित]] के अभिगृहीत
+* पीनो के [[अंकगणित]] के सिद्धांत
-* [[श्रेणीबद्ध तर्क]]
+* [[श्रेणीबद्ध तर्क|श्रेणीकृत गणितीय तर्क]]
 == संदर्भ ==
@@ Line 59: / Line 59: @@
 {{Category theory}}
-[[Category: वस्तुएँ (श्रेणी सिद्धांत)]] [[Category: टोपोस सिद्धांत]] [[Category: श्रेणीबद्ध तर्क]]
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 08/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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