लूप बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 10:16, 28 July 2023

गणित में, लूप बीजगणित में विशेष प्रकार के लाई बीजगणित हैं, जो सैद्धांतिक भौतिकी में विशेष रुचि रखते हैं।

परिभाषा

एक क्षेत्र $K$ पर लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के लिए यदि $K[t,t^{-1}]$ लॉरेंट बहुपद का समष्टि है, तो

L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],

निहित कोष्ठक के साथ

[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.

ज्यामितीय परिभाषा

यदि ${\mathfrak {g}}$ एक लाई बीजगणित है, जिसमें $C \infty (S 1)$ के साथ ${\mathfrak {g}}$ का प्रदिश गुणनफल, अनेक वृत्त $S 1$ पर (सम्मिश्र) निष्कोण फलनों का बीजगणित है(तुल्यतः, निर्धारित अवधि के निष्कोण सम्मिश्र-मान आवर्ती फलन),

{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),

लाई कोष्ठक द्वारा दिया गया एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है

[g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.

यहाँ $g 1$ और $g 2$ , ${\mathfrak {g}}$ के तत्व हैं तथा $f 1$ और $f 2$ , $C \infty (S 1)$ के तत्व हैं .

यह यथावत् वैसा नहीं है जो सहजता प्रतिबंध के कारण $S 1$ में प्रत्येक बिंदु के लिए एक ${\mathfrak {g}}$ , के असीमित अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष फलन के अनुरूप होगा। इसके अतिरिक्त, इसे अन्य शब्दों में ${\mathfrak {g}}$ में एक सहज पैरामिट्रीकृत लूप $S 1$ से ${\mathfrak {g}}$ तक सुचारू योजना के संदर्भ में विचारा जा सकता है। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।

वर्गीकरण

${\mathfrak {g}}_{i}$ को रैखिक उपसमष्टि ${\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},$ के रूप में परिभाषित करते हुए कोष्ठक एक फलन तक सीमित करता है

[\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},

अतः लूप बीजगणित को

\mathbb {Z}

-वर्गीकृत लाई बीजगणित संरचना प्रदान की गई।

विशेषतः, कोष्ठक 'शून्य-प्रणाली' उपबीजगणित ${\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}$ तक प्रतिबंधित है।

व्युत्पत्ति

लूप बीजगणित पर एक प्राकृतिक व्युत्पत्ति है, जिसे पारंपरिक रूप से $d$ निरूपित किया गया है जो निम्न प्रकार कार्य करता है

d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}

d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}

और इसलिए औपचारिक रूप से

d=t{\frac {d}{dt}}

. के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

एफ़िन लाई बीजगणित को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत में किया जाता है।

लूप समूह

इसी प्रकार $S 1$ से लेकर लाई समूह $G$ तक के सभी सहज आरेखों का एक समुच्चय एक अनंत-विमितीय लाई समूह का निर्माण करता है (इस अर्थ में, ली समूह को फलनात्मक व्युत्पन्न से परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का लाई बीजगणित समरूपी लूप बीजगणित है।

लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में एफ़िन ली बीजगणित

यदि ${\mathfrak {g}}$ एक अर्धसरल लाई बीजगणित है, तो इसके लूप बीजगणित $L{\mathfrak {g}}$ का असाधारण केंद्रीय विस्तार एफ़िन लाई बीजगणित को उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है।^[1]केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व ${\hat {k}}$ , को सलंग्न करके दिया जाता है अर्थात सभी $X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}$ के लिए

[{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,

और लूप बीजगणित पर कोष्ठक को संशोधित करके

[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},

जहाँ

B(\cdot ,\cdot )

किलिंग फॉर्म है.

केंद्रीय विस्तार एक सदिश समष्टि के रूप में $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ (इसकी सामान्य परिभाषा में, जैसा कि सामान्यतः होता है, $\mathbb {C}$ को एक यादृच्छिक क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है)।

सहचक्र

लाई बीजगणित सहसमरूपता की भाषा का उपयोग करते हुए, केंद्रीय विस्तार को लूप बीजगणित पर 2- सहचक्र का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह मैप है

\varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C}

जो संतुष्ट करता है

\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.

तो कोष्ठक में याेजित अतिरिक्त शब्द है

$\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.$

एफ़िन लाई बीजगणित

भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में यह अपर्याप्त है तथा पूर्ण एफ़िन लाई बीजगणित सदिश समष्टि है^[2]

{\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d

जहाँ

d

ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।

इस समष्टि पर, किलिंग फॉर्म को अनपभ्रष्ट फॉर्म तक विस्तारित किया जा सकता है तथा इस प्रकार एफ़िन ली बीजगणित के मूल तंत्र विश्लेषण की अनुमति प्राप्त होती है।

संदर्भ

↑ Kac 1990 Exercise 7.8.
↑ P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X

Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X

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[1] Kac 1990 Exercise 7.8.

[BYB-2] P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Type of Lie algebra of interest in physics}}
-{{distinguish|text=[[quasigroup]] with an [[identity element]], also called an algebraic loop}}
+{{distinguish|text=[[अर्द्धसमूह]] एक [[तत्समक अवयव ]] के साथ, जिसे बीजगणितीय लूप भी कहा जाता है}}
-गणित में, लूप अलजेब्रा कुछ प्रकार के लाई अलजेब्रा हैं, जो [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में विशेष रुचि रखते हैं।
+गणित में, लूप बीजगणित में विशेष प्रकार के लाई बीजगणित हैं, जो [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में विशेष रुचि रखते हैं।
 ==परिभाषा==
-एक झूठ बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g}</math> एक मैदान के ऊपर <math>K</math>, अगर <math>K[t,t^{-1}]</math> तो, [[लॉरेंट बहुपद]] का स्थान है
+एक क्षेत्र <math>K</math> पर लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> के लिए यदि <math>K[t,t^{-1}]</math> [[लॉरेंट बहुपद]] का समष्टि है, तो <math display=block>L\mathfrak{g} := \mathfrak{g}\otimes K[t,t^{-1}],</math>निहित कोष्ठक के साथ<math display=block>[X\otimes t^m, Y\otimes t^n] = [X,Y]\otimes t^{m+n}.</math>
-<math display=block>L\mathfrak{g} := \mathfrak{g}\otimes K[t,t^{-1}],</math>
-विरासत में मिले ब्रैकेट के साथ
-<math display=block>[X\otimes t^m, Y\otimes t^n] = [X,Y]\otimes t^{m+n}.</math>
 === ज्यामितीय परिभाषा ===
+यदि <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित है, जिसमें {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} के साथ <math>\mathfrak{g}</math> का प्रदिश गुणनफल, अनेक वृत्त {{math|''S''<sup>1</sup>}} पर (सम्मिश्र) निष्कोण फलनों का बीजगणित है(तुल्यतः, निर्धारित अवधि के निष्कोण सम्मिश्र-मान आवर्ती फलन),<math display=block>\mathfrak{g}\otimes C^\infty(S^1),</math>लाई कोष्ठक द्वारा दिया गया एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है <math display=block>[g_1\otimes f_1,g_2 \otimes f_2]=[g_1,g_2]\otimes f_1 f_2.</math>
-अगर <math>\mathfrak{g}</math> एक झूठ बीजगणित है, जिसका टेंसर गुणनफल है <math>\mathfrak{g}</math> साथ {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}}, ए[[ एन-क्षेत्र ]] [[ कई गुना ]] पर (जटिल) [[सुचारू कार्य]]ों का सहयोगी बीजगणित {{math|''S''<sup>1</sup>}} (समकक्ष, किसी दिए गए अवधि का सुचारू जटिल-मूल्यवान [[आवधिक कार्य]]),
-<math display=block>\mathfrak{g}\otimes C^\infty(S^1),</math>
-वेक्टर फ़ील्ड्स के लाई ब्रैकेट के साथ एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है
-<math display=block>[g_1\otimes f_1,g_2 \otimes f_2]=[g_1,g_2]\otimes f_1 f_2.</math>
+यहाँ {{math|''g''<sub>1</sub>}} और {{math|''g''<sub>2</sub>}},  <math>\mathfrak{g}</math> के तत्व हैं तथा {{math|''f''<sub>1</sub>}} और {{math|''f''<sub>2</sub>}}, {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} के तत्व हैं .
-यहाँ {{math|''g''<sub>1</sub>}} और {{math|''g''<sub>2</sub>}} के तत्व हैं <math>\mathfrak{g}</math> और {{math|''f''<sub>1</sub>}} और {{math|''f''<sub>2</sub>}} के तत्व हैं {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}}.
-यह बिल्कुल वैसा नहीं है जो अनंत प्रतियों के [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] के अनुरूप होगा <math>\mathfrak{g}</math>, प्रत्येक बिंदु के लिए एक {{math|''S''<sup>1</sup>}}, चिकनाई प्रतिबंध के कारण। इसके बजाय, इसे सहज मानचित्र के संदर्भ में सोचा जा सकता है {{math|''S''<sup>1</sup>}} को <math>\mathfrak{g}</math>; अंदर एक चिकना पैरामीट्रिज्ड लूप <math>\mathfrak{g}</math>, दूसरे शब्दों में। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।
+यह यथावत् वैसा नहीं है जो सहजता प्रतिबंध के कारण {{math|''S''<sup>1</sup>}} में प्रत्येक बिंदु के लिए एक <math>\mathfrak{g}</math>, के असीमित अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष फलन के अनुरूप होगा। इसके अतिरिक्त, इसे अन्य शब्दों में <math>\mathfrak{g}</math> में एक सहज पैरामिट्रीकृत लूप {{math|''S''<sup>1</sup>}} से <math>\mathfrak{g}</math> तक सुचारू योजना के संदर्भ में विचारा जा सकता है। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।
-== पदक्रम ==
+== वर्गीकरण ==
-परिभाषित <math>\mathfrak{g}_i</math> [[रैखिक उपस्थान]] होना <math>\mathfrak{g}_i = \mathfrak{g}\otimes t^i < L\mathfrak{g},</math> ब्रैकेट किसी उत्पाद तक सीमित है
+<math>\mathfrak{g}_i</math>को [[रैखिक उपस्थान|रैखिक उपसमष्टि]] <math>\mathfrak{g}_i = \mathfrak{g}\otimes t^i < L\mathfrak{g},</math> के रूप में परिभाषित करते हुए कोष्ठक एक फलन तक सीमित करता है <math display=block>[\cdot\, , \, \cdot]: \mathfrak{g}_i \times \mathfrak{g}_j \rightarrow \mathfrak{g}_{i+j},</math><br />अतः लूप बीजगणित को <math>\mathbb{Z}</math>-वर्गीकृत लाई बीजगणित संरचना प्रदान की गई।
-<math display=block>[\cdot\, , \, \cdot]: \mathfrak{g}_i \times \mathfrak{g}_j \rightarrow \mathfrak{g}_{i+j},</math>
-इसलिए लूप बीजगणित a दिया जा रहा है <math>\mathbb{Z}</math>-वर्गीकृत झूठ बीजगणित संरचना।
-विशेष रूप से, ब्रैकेट 'शून्य-मोड' उपबीजगणित तक सीमित है <math>\mathfrak{g}_0 \cong \mathfrak{g}</math>.
+विशेषतः, कोष्ठक 'शून्य-प्रणाली' उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}_0 \cong \mathfrak{g}</math> तक प्रतिबंधित है।
 == व्युत्पत्ति ==
-{{See also|Derivation (differential algebra)}}
+{{See also|व्युत्पत्ति (अवकल बीजगणित)}}
-लूप बीजगणित पर एक प्राकृतिक व्युत्पत्ति है, जिसे पारंपरिक रूप से दर्शाया गया है <math>d</math> के रूप में कार्य
-<math display=block>d: L\mathfrak{g} \rightarrow L\mathfrak{g}</math>
-<math display=block>d(X\otimes t^n) = nX\otimes t^n</math>
-और औपचारिक रूप से ऐसा सोचा जा सकता है <math>d = t\frac{d}{dt}</math>.
-[[एफ़िन लाई बीजगणित]] को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] में किया जाता है।
+लूप बीजगणित पर एक प्राकृतिक व्युत्पत्ति है, जिसे पारंपरिक रूप से <math>d</math> निरूपित किया गया है जो निम्न प्रकार कार्य करता है <math display=block>d: L\mathfrak{g} \rightarrow L\mathfrak{g}</math><math display=block>d(X\otimes t^n) = nX\otimes t^n</math>और इसलिए औपचारिक रूप से <math>d = t\frac{d}{dt}</math>. के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+[[एफ़िन लाई बीजगणित]] को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत|अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत]] में किया जाता है।
 ==लूप समूह==
-इसी प्रकार, सभी सुचारू मानचित्रों का एक सेट {{math|''S''<sup>1</sup>}} एक [[झूठ समूह]] के लिए {{math|''G''}} एक अनंत-आयामी झूठ समूह बनाता है (झूठ समूह इस अर्थ में कि हम इसके ऊपर [[कार्यात्मक व्युत्पन्न]] को परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का झूठ बीजगणित संगत लूप बीजगणित है।
+इसी प्रकार {{math|''S''<sup>1</sup>}} से लेकर [[झूठ समूह|लाई समूह]] {{math|''G''}} तक के सभी सहज आरेखों का एक समुच्चय एक अनंत-विमितीय [[झूठ समूह|लाई]] समूह का निर्माण करता है (इस अर्थ में, ली समूह को फलनात्मक व्युत्पन्न से परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का [[झूठ समूह|लाई]] बीजगणित समरूपी लूप बीजगणित है।
-==लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में एफ़िन लाई बीजगणित==
+==लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में एफ़िन ली बीजगणित ==
-{{See also |Lie algebra extension#Polynomial loop-algebra |Affine Lie algebra}}
+{{See also |लाई बीजगणित एक्सटेंशन#बहुपद पाश-बीजगणित|एफ़िन लाई बीजगणित}}
-अगर <math>\mathfrak{g}</math> एक [[अर्धसरल झूठ बीजगणित]] है, फिर एक गैर-तुच्छ समूह विस्तार#इसके लूप बीजगणित का केंद्रीय विस्तार <math>L\mathfrak g</math> एक एफ़िन लाई बीजगणित को जन्म देता है। इसके अलावा यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है।<ref>{{harvnb|Kac|1990}} Exercise 7.8.</ref>
-केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व को जोड़कर दिया जाता है <math>\hat k</math>, अर्थात सभी के लिए <math>X\otimes t^n \in L\mathfrak{g}</math>,
+यदि <math>\mathfrak{g}</math> एक [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, तो इसके लूप बीजगणित <math>L\mathfrak g</math> का असाधारण केंद्रीय विस्तार एफ़िन लाई बीजगणित को उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है।<ref>{{harvnb|Kac|1990}} Exercise 7.8.</ref>केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व <math>\hat k</math>, को सलंग्न करके दिया जाता है अर्थात सभी <math>X\otimes t^n \in L\mathfrak{g}</math> के लिए
 <math display=block>[\hat k, X\otimes t^n] = 0,</math>
-और लूप बीजगणित पर ब्रैकेट को संशोधित करना
+और लूप बीजगणित पर कोष्ठक को संशोधित करके
 <math display=block>[X\otimes t^m, Y\otimes t^n] = [X,Y] \otimes t^{m + n} + mB(X,Y) \delta_{m+n,0} \hat k,</math>
-कहाँ <math>B(\cdot, \cdot)</math> [[संहार रूप]] है.
+जहाँ <math>B(\cdot, \cdot)</math> [[संहार रूप|किलिंग फॉर्म]] है.
-केंद्रीय विस्तार, एक सदिश समष्टि के रूप में है, <math>L\mathfrak{g} \oplus \mathbb{C}\hat k</math> (इसकी सामान्य परिभाषा में, जैसा कि आम तौर पर होता है, <math>\mathbb{C}</math> एक मनमाना क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है)।
+केंद्रीय विस्तार एक सदिश समष्टि के रूप में <math>L\mathfrak{g} \oplus \mathbb{C}\hat k</math> (इसकी सामान्य परिभाषा में, जैसा कि सामान्यतः होता है, <math>\mathbb{C}</math> को एक यादृच्छिक क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है)।
-=== कोसाइकिल ===
+=== सहचक्र ===
-{{See also|Lie algebra extension#Central}}
+{{See also|लाई बीजगणित एक्सटेंशन#केन्द्रीय}}
-[[झूठ बीजगणित सहसंरचना]] की भाषा का उपयोग करते हुए, केंद्रीय विस्तार को लूप बीजगणित पर 2-कोसायकल का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह नक्शा है
+[[झूठ बीजगणित सहसंरचना|लाई बीजगणित सहसमरूपता]] की भाषा का उपयोग करते हुए, केंद्रीय विस्तार को लूप बीजगणित पर 2- सहचक्र का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह मैप है<math display=block>\varphi: L\mathfrak g \times L\mathfrak g \rightarrow \mathbb{C}</math>जो संतुष्ट करता है<math display=block>\varphi(X\otimes t^m, Y\otimes t^n) = mB(X,Y)\delta_{m+n,0}.</math>तो कोष्ठक में याेजित अतिरिक्त शब्द है
-<math display=block>\varphi: L\mathfrak g \times L\mathfrak g \rightarrow \mathbb{C}</math>
-संतुष्टि देने वाला
-<math display=block>\varphi(X\otimes t^m, Y\otimes t^n) = mB(X,Y)\delta_{m+n,0}.</math>
-फिर कोष्ठक में जोड़ा गया अतिरिक्त शब्द है <math>\varphi(X\otimes t^m, Y\otimes t^n)\hat k.</math>
+<math>\varphi(X\otimes t^m, Y\otimes t^n)\hat k.</math>
 ===एफ़िन लाई बीजगणित===
-भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार <math>L\mathfrak g \oplus \mathbb C \hat k</math> इसे कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में, यह अपर्याप्त है, और पूर्ण एफ़िन ले बीजगणित वेक्टर स्थान है<ref name="BYB">P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, ''Conformal Field Theory'', 1997, {{ISBN|0-387-94785-X}}</ref>
+भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार <math>L\mathfrak g \oplus \mathbb C \hat k</math> कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में यह अपर्याप्त है तथा पूर्ण एफ़िन लाई बीजगणित सदिश समष्टि है<ref name="BYB">P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, ''Conformal Field Theory'', 1997, {{ISBN|0-387-94785-X}}</ref><math display=block>\hat \mathfrak{g} = L\mathfrak{g} \oplus \mathbb C \hat k \oplus \mathbb C d</math>जहाँ <math>d</math> ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।
-<math display=block>\hat \mathfrak{g} = L\mathfrak{g} \oplus \mathbb C \hat k \oplus \mathbb C d</math>
-कहाँ <math>d</math> ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।
-इस स्थान पर, किलिंग फॉर्म को गैर-पतित फॉर्म तक बढ़ाया जा सकता है, और इस प्रकार एफ़िन लाई बीजगणित के रूट सिस्टम विश्लेषण की अनुमति मिलती है।
+इस समष्टि पर, किलिंग फॉर्म को अनपभ्रष्ट फॉर्म तक विस्तारित किया जा सकता है तथा इस प्रकार एफ़िन ली बीजगणित के मूल तंत्र विश्लेषण की अनुमति प्राप्त होती है।
 ==संदर्भ==
@@ Line 73: / Line 57: @@
 *{{citation|first=Jurgen|last= Fuchs|title=Affine Lie Algebras and Quantum Groups|year=1992|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-48412-X}}
-{{DEFAULTSORT:Loop Algebra}}[[Category: झूठ बीजगणित]]
+{{DEFAULTSORT:Loop Algebra}}
 {{String theory topics |state=collapsed}}
 {{algebra-stub}}
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+[[Category:All stub articles|Loop Algebra]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Loop Algebra]]
-[[Category:Created On 03/07/2023]]
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+[[Category:Created On 03/07/2023|Loop Algebra]]
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+[[Category:Machine Translated Page|Loop Algebra]]
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v t e String theory
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
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