लूप बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 10:16, 28 July 2023

गणित में, लूप बीजगणित में विशेष प्रकार के लाई बीजगणित हैं, जो सैद्धांतिक भौतिकी में विशेष रुचि रखते हैं।

परिभाषा

एक क्षेत्र $K$ पर लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के लिए यदि $K[t,t^{-1}]$ लॉरेंट बहुपद का समष्टि है, तो

L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],

निहित कोष्ठक के साथ

[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.

ज्यामितीय परिभाषा

यदि ${\mathfrak {g}}$ एक लाई बीजगणित है, जिसमें $C \infty (S 1)$ के साथ ${\mathfrak {g}}$ का प्रदिश गुणनफल, अनेक वृत्त $S 1$ पर (सम्मिश्र) निष्कोण फलनों का बीजगणित है(तुल्यतः, निर्धारित अवधि के निष्कोण सम्मिश्र-मान आवर्ती फलन),

{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),

लाई कोष्ठक द्वारा दिया गया एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है

[g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.

यहाँ $g 1$ और $g 2$ , ${\mathfrak {g}}$ के तत्व हैं तथा $f 1$ और $f 2$ , $C \infty (S 1)$ के तत्व हैं .

यह यथावत् वैसा नहीं है जो सहजता प्रतिबंध के कारण $S 1$ में प्रत्येक बिंदु के लिए एक ${\mathfrak {g}}$ , के असीमित अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष फलन के अनुरूप होगा। इसके अतिरिक्त, इसे अन्य शब्दों में ${\mathfrak {g}}$ में एक सहज पैरामिट्रीकृत लूप $S 1$ से ${\mathfrak {g}}$ तक सुचारू योजना के संदर्भ में विचारा जा सकता है। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।

वर्गीकरण

${\mathfrak {g}}_{i}$ को रैखिक उपसमष्टि ${\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},$ के रूप में परिभाषित करते हुए कोष्ठक एक फलन तक सीमित करता है

[\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},

अतः लूप बीजगणित को

\mathbb {Z}

-वर्गीकृत लाई बीजगणित संरचना प्रदान की गई।

विशेषतः, कोष्ठक 'शून्य-प्रणाली' उपबीजगणित ${\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}$ तक प्रतिबंधित है।

व्युत्पत्ति

लूप बीजगणित पर एक प्राकृतिक व्युत्पत्ति है, जिसे पारंपरिक रूप से $d$ निरूपित किया गया है जो निम्न प्रकार कार्य करता है

d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}

d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}

और इसलिए औपचारिक रूप से

d=t{\frac {d}{dt}}

. के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

एफ़िन लाई बीजगणित को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत में किया जाता है।

लूप समूह

इसी प्रकार $S 1$ से लेकर लाई समूह $G$ तक के सभी सहज आरेखों का एक समुच्चय एक अनंत-विमितीय लाई समूह का निर्माण करता है (इस अर्थ में, ली समूह को फलनात्मक व्युत्पन्न से परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का लाई बीजगणित समरूपी लूप बीजगणित है।

लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में एफ़िन ली बीजगणित

यदि ${\mathfrak {g}}$ एक अर्धसरल लाई बीजगणित है, तो इसके लूप बीजगणित $L{\mathfrak {g}}$ का असाधारण केंद्रीय विस्तार एफ़िन लाई बीजगणित को उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है।^[1]केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व ${\hat {k}}$ , को सलंग्न करके दिया जाता है अर्थात सभी $X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}$ के लिए

[{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,

और लूप बीजगणित पर कोष्ठक को संशोधित करके

[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},

जहाँ

B(\cdot ,\cdot )

किलिंग फॉर्म है.

केंद्रीय विस्तार एक सदिश समष्टि के रूप में $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ (इसकी सामान्य परिभाषा में, जैसा कि सामान्यतः होता है, $\mathbb {C}$ को एक यादृच्छिक क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है)।

सहचक्र

लाई बीजगणित सहसमरूपता की भाषा का उपयोग करते हुए, केंद्रीय विस्तार को लूप बीजगणित पर 2- सहचक्र का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह मैप है

\varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C}

जो संतुष्ट करता है

\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.

तो कोष्ठक में याेजित अतिरिक्त शब्द है

$\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.$

एफ़िन लाई बीजगणित

भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में यह अपर्याप्त है तथा पूर्ण एफ़िन लाई बीजगणित सदिश समष्टि है^[2]

{\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d

जहाँ

d

ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।

इस समष्टि पर, किलिंग फॉर्म को अनपभ्रष्ट फॉर्म तक विस्तारित किया जा सकता है तथा इस प्रकार एफ़िन ली बीजगणित के मूल तंत्र विश्लेषण की अनुमति प्राप्त होती है।

संदर्भ

↑ Kac 1990 Exercise 7.8.
↑ P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X

Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X

This algebra-related article is a stub. You can help Wikipedia by expanding it.

[1] Kac 1990 Exercise 7.8.

[BYB-2] P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Type of Lie algebra of interest in physics}}
-{{distinguish|text=[[अर्द्धसमूह]] एक [[तत्समक तत्व]] के साथ, जिसे बीजगणितीय लूप भी कहा जाता है}}
+{{distinguish|text=[[अर्द्धसमूह]] एक [[तत्समक अवयव ]] के साथ, जिसे बीजगणितीय लूप भी कहा जाता है}}
-गणित में, लूप बीजगणित कुछ प्रकार के लाई बीजगणित हैं, जो [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में विशेष रुचि रखते हैं।
+गणित में, लूप बीजगणित में विशेष प्रकार के लाई बीजगणित हैं, जो [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में विशेष रुचि रखते हैं।
 ==परिभाषा==
@@ Line 8: / Line 8: @@
 === ज्यामितीय परिभाषा ===
-यदि <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित है, जिसमें <math>\mathfrak{g}</math> के साथ {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} का प्रदिश गुणनफल है, तो वृत्त मैनिफोल्ड {{math|''S''<sup>1</sup>}} पर (सम्मिश्र) सुचारु फलनों का बीजगणित (तुल्यतः, किसी दिए गए अवधि के सुचारु सम्मिश्र-मान आवधिक फलन),<math display=block>\mathfrak{g}\otimes C^\infty(S^1),</math>लाई कोष्ठक द्वारा दिया गया एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है <math display=block>[g_1\otimes f_1,g_2 \otimes f_2]=[g_1,g_2]\otimes f_1 f_2.</math>
+यदि <math>\mathfrak{g}</math> एक लाई बीजगणित है, जिसमें {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} के साथ <math>\mathfrak{g}</math> का प्रदिश गुणनफल, अनेक वृत्त {{math|''S''<sup>1</sup>}} पर (सम्मिश्र) निष्कोण फलनों का बीजगणित है(तुल्यतः, निर्धारित अवधि के निष्कोण सम्मिश्र-मान आवर्ती फलन),<math display=block>\mathfrak{g}\otimes C^\infty(S^1),</math>लाई कोष्ठक द्वारा दिया गया एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है <math display=block>[g_1\otimes f_1,g_2 \otimes f_2]=[g_1,g_2]\otimes f_1 f_2.</math>
@@ Line 14: / Line 14: @@
 यहाँ {{math|''g''<sub>1</sub>}} और {{math|''g''<sub>2</sub>}},  <math>\mathfrak{g}</math> के तत्व हैं तथा {{math|''f''<sub>1</sub>}} और {{math|''f''<sub>2</sub>}}, {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} के तत्व हैं .
-यह यथावत् वैसा नहीं है जो सुचारुता प्रतिबंध के कारण {{math|''S''<sup>1</sup>}} में प्रत्येक बिंदु के लिए एक <math>\mathfrak{g}</math>, के अनंत प्रतियों के प्रत्यक्ष उत्पाद के अनुरूप होगा। इसके अलावा, इसे {{math|''S''<sup>1</sup>}} से <math>\mathfrak{g}</math> तक के सुचारू मैप अर्थात् <math>\mathfrak{g}</math>, पैरामिट्रीकृत लूप के संदर्भ में विचारा जा सकता है। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।
+यह यथावत् वैसा नहीं है जो सहजता प्रतिबंध के कारण {{math|''S''<sup>1</sup>}} में प्रत्येक बिंदु के लिए एक <math>\mathfrak{g}</math>, के असीमित अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष फलन के अनुरूप होगा। इसके अतिरिक्त, इसे अन्य शब्दों में <math>\mathfrak{g}</math> में एक सहज पैरामिट्रीकृत लूप {{math|''S''<sup>1</sup>}} से <math>\mathfrak{g}</math> तक सुचारू योजना के संदर्भ में विचारा जा सकता है। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।
 == वर्गीकरण ==
-<math>\mathfrak{g}_i</math>को [[रैखिक उपस्थान|रैखिक उपसमष्टि]] <math>\mathfrak{g}_i = \mathfrak{g}\otimes t^i < L\mathfrak{g},</math> के रूप में परिभाषित करते हुए कोष्ठक किसी उत्पाद <math display=block>[\cdot\, , \, \cdot]: \mathfrak{g}_i \times \mathfrak{g}_j \rightarrow \mathfrak{g}_{i+j},</math><br />तक प्रतिबंधित है, अतः लूप बीजगणित को <math>\mathbb{Z}</math>-वर्गीकृत लाई बीजगणित संरचना दिया गया है।
+<math>\mathfrak{g}_i</math>को [[रैखिक उपस्थान|रैखिक उपसमष्टि]] <math>\mathfrak{g}_i = \mathfrak{g}\otimes t^i < L\mathfrak{g},</math> के रूप में परिभाषित करते हुए कोष्ठक एक फलन तक सीमित करता है <math display=block>[\cdot\, , \, \cdot]: \mathfrak{g}_i \times \mathfrak{g}_j \rightarrow \mathfrak{g}_{i+j},</math><br />अतः लूप बीजगणित को <math>\mathbb{Z}</math>-वर्गीकृत लाई बीजगणित संरचना प्रदान की गई।
-विशेषतः, कोष्ठक 'शून्य-मोड' उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}_0 \cong \mathfrak{g}</math> तक प्रतिबंधित है।
+विशेषतः, कोष्ठक 'शून्य-प्रणाली' उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}_0 \cong \mathfrak{g}</math> तक प्रतिबंधित है।
 == व्युत्पत्ति ==
@@ Line 26: / Line 26: @@
 लूप बीजगणित पर एक प्राकृतिक व्युत्पत्ति है, जिसे पारंपरिक रूप से <math>d</math> निरूपित किया गया है जो निम्न प्रकार कार्य करता है <math display=block>d: L\mathfrak{g} \rightarrow L\mathfrak{g}</math><math display=block>d(X\otimes t^n) = nX\otimes t^n</math>और इसलिए औपचारिक रूप से <math>d = t\frac{d}{dt}</math>. के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-[[एफ़िन लाई बीजगणित]] को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] में किया जाता है।
+[[एफ़िन लाई बीजगणित]] को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत|अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत]] में किया जाता है।
 ==लूप समूह==
-इसी प्रकार {{math|''S''<sup>1</sup>}}  से लेकर [[झूठ समूह|लाई समूह]] {{math|''G''}} तक के सभी सुचारू मैप के समुच्चय एक अनंत-विमितीय [[झूठ समूह|लाई]] समूह बनाता है (इस अर्थ में, ली समूह को फलनात्मक व्युत्पन्न से परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का [[झूठ समूह|लाई]] बीजगणित समरूपी लूप बीजगणित है।
+इसी प्रकार {{math|''S''<sup>1</sup>}} से लेकर [[झूठ समूह|लाई समूह]] {{math|''G''}} तक के सभी सहज आरेखों का एक समुच्चय एक अनंत-विमितीय [[झूठ समूह|लाई]] समूह का निर्माण करता है (इस अर्थ में, ली समूह को फलनात्मक व्युत्पन्न से परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का [[झूठ समूह|लाई]] बीजगणित समरूपी लूप बीजगणित है।
 ==लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में एफ़िन ली बीजगणित ==
 {{See also |लाई बीजगणित एक्सटेंशन#बहुपद पाश-बीजगणित|एफ़िन लाई बीजगणित}}
-यदि <math>\mathfrak{g}</math> एक [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, तो इसके लूप बीजगणित <math>L\mathfrak g</math> का असतहीय केंद्रीय विस्तार एफ़िन लाई बीजगणित को उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है।<ref>{{harvnb|Kac|1990}} Exercise 7.8.</ref>केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व <math>\hat k</math>, को सलंग्न करके दिया जाता है अर्थात सभी <math>X\otimes t^n \in L\mathfrak{g}</math> के लिए
+यदि <math>\mathfrak{g}</math> एक [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाई बीजगणित]] है, तो इसके लूप बीजगणित <math>L\mathfrak g</math> का असाधारण केंद्रीय विस्तार एफ़िन लाई बीजगणित को उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है।<ref>{{harvnb|Kac|1990}} Exercise 7.8.</ref>केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व <math>\hat k</math>, को सलंग्न करके दिया जाता है अर्थात सभी <math>X\otimes t^n \in L\mathfrak{g}</math> के लिए
 <math display=block>[\hat k, X\otimes t^n] = 0,</math>
 और लूप बीजगणित पर कोष्ठक को संशोधित करके
@@ Line 49: / Line 49: @@
 <math>\varphi(X\otimes t^m, Y\otimes t^n)\hat k.</math>
 ===एफ़िन लाई बीजगणित===
-भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार <math>L\mathfrak g \oplus \mathbb C \hat k</math> कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में यह अपर्याप्त है तथा पूर्ण एफ़िन लाई बीजगणित सदिश समष्टि है<ref name="BYB">P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, ''Conformal Field Theory'', 1997, {{ISBN|0-387-94785-X}}</ref><math display=block>\hat \mathfrak{g} = L\mathfrak{g} \oplus \mathbb C \hat k \oplus \mathbb C d</math>
+भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार <math>L\mathfrak g \oplus \mathbb C \hat k</math> कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में यह अपर्याप्त है तथा पूर्ण एफ़िन लाई बीजगणित सदिश समष्टि है<ref name="BYB">P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, ''Conformal Field Theory'', 1997, {{ISBN|0-387-94785-X}}</ref><math display=block>\hat \mathfrak{g} = L\mathfrak{g} \oplus \mathbb C \hat k \oplus \mathbb C d</math>जहाँ <math>d</math> ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।
+इस समष्टि पर, किलिंग फॉर्म को अनपभ्रष्ट फॉर्म तक विस्तारित किया जा सकता है तथा इस प्रकार एफ़िन ली बीजगणित के मूल तंत्र विश्लेषण की अनुमति प्राप्त होती है।
-जहाँ <math>d</math> ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।
-इस समष्टि पर, किलिंग फॉर्म को प्रव्यपजनन फॉर्म तक विस्तारित किया जा सकता है, और इस प्रकार एफ़िन ली बीजगणित के मूल तंत्र विश्लेषण की अनुमति प्राप्त होती है।
 ==संदर्भ==
@@ Line 61: / Line 57: @@
 *{{citation|first=Jurgen|last= Fuchs|title=Affine Lie Algebras and Quantum Groups|year=1992|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-48412-X}}
-{{DEFAULTSORT:Loop Algebra}}[[Category: झूठ बीजगणित]]
+{{DEFAULTSORT:Loop Algebra}}
 {{String theory topics |state=collapsed}}
 {{algebra-stub}}
+[[Category:Algebra stubs|Loop Algebra]]
+[[Category:All stub articles|Loop Algebra]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Loop Algebra]]
-[[Category:Created On 03/07/2023]]
+[[Category:Collapse templates|Loop Algebra]]
+[[Category:Created On 03/07/2023|Loop Algebra]]
+[[Category:Lua-based templates|Loop Algebra]]
+[[Category:Machine Translated Page|Loop Algebra]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Loop Algebra]]
+[[Category:Pages with script errors|Loop Algebra]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Loop Algebra]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Loop Algebra]]
+[[Category:Templates generating microformats|Loop Algebra]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Loop Algebra]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Loop Algebra]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Loop Algebra]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Loop Algebra]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Loop Algebra]]
+[[Category:झूठ बीजगणित|Loop Algebra]]

v t e String theory
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Cleaver Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach

Anonymous

Search

लूप बीजगणित: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 10:16, 28 July 2023

Contents