परिणाम (संभावना): Difference between revisions
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संभावना सिद्धांत में, परिणाम [[प्रयोग (संभावना सिद्धांत)]] या परीक्षण का संभावित परिणाम होता है।<ref>{{cite web |url=http://www.icoachmath.com/math_dictionary/outcome.html|title=परिणाम - संभाव्यता - गणित शब्दकोश|author=<!--Staff writer(s); no by-line.--> |publisher=HighPointsLearning|access-date=25 June 2013}}</ref> किसी विशेष प्रयोग का प्रत्येक संभावित परिणाम अद्वितीय होता है, और विभिन्न परिणाम परस्पर अनन्य घटनाएँ होते हैं (प्रयोग के प्रत्येक परीक्षण पर केवल एक ही परिणाम घटित होगा)। किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणाम नमूना समिष्ट के तत्वों का निर्माण करते हैं।<ref>{{cite web |url=http://www-math.bgsu.edu/~albert/m115/probability/sample_space.html|title=सभी संभावित परिणामों की सूची बनाना (नमूना स्थान)|last=Albert|first=Jim|date=21 January 1998|publisher=Bowling Green State University|access-date=June 25, 2013|archive-date=16 October 2000|archive-url=https://web.archive.org/web/20001016182602/http://www-math.bgsu.edu/~albert/m115/probability/sample_space.html|url-status=dead}}</ref> | |||
प्रयोग के लिए जहां हम | प्रयोग के लिए जहां हम सिक्के को दो बार उछालते हैं, हमारे नमूना समिष्ट को बनाने वाले चार संभावित परिणाम (H, T), (T, H), (T, T) और (H, H) हैं, जहां H हेड का प्रतिनिधित्व करता है , और T टेल को दर्शाता है। परिणामों को [[घटना (संभावना सिद्धांत)]] के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो परिणामों के {{em|[[सेट (गणित)|सेट]]}} (या अनौपचारिक रूप से, "समूह") हैं। तुलना के लिए, हम उस घटना को परिभाषित कर सकते हैं, जो तब घटित होती है जब प्रयोग में कम से कम एक 'हेड' को फ़्लिप किया जाता है - अर्थात, जब परिणाम में कम से कम एक 'हेड' होता है। इस घटना में नमूना समिष्ट में तत्व (T, T) को छोड़कर सभी परिणाम सम्मिलित होंगे। | ||
==परिणामों का समूह: घटनाएँ== | ==परिणामों का समूह: घटनाएँ== | ||
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चूँकि व्यक्तिगत परिणाम कम व्यावहारिक रुचि के हो सकते हैं, या क्योंकि उनमें से निषेधात्मक रूप से (यहां तक कि असीम रूप से भी) कई हो सकते हैं, परिणामों को परिणामों के [[सेट (गणित)]] में समूहीकृत किया जाता है जो कुछ नियमों को पूरा करते हैं, जिन्हें घटना ( | चूँकि व्यक्तिगत परिणाम कम व्यावहारिक रुचि के हो सकते हैं, या क्योंकि उनमें से निषेधात्मक रूप से (यहां तक कि असीम रूप से भी) कई हो सकते हैं, परिणामों को परिणामों के [[सेट (गणित)]] में समूहीकृत किया जाता है जो कुछ नियमों को पूरा करते हैं, जिन्हें घटना (संभावना सिद्धांत) कहा जाता है। ऐसी सभी घटनाओं का संग्रह [[सिग्मा-बीजगणित]] है।<ref>{{cite book|last=Leon-Garcia|first=Alberto|title=इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के लिए संभाव्यता, सांख्यिकी और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=GUJosCkbBywC|location=Upper Saddle River, NJ|publisher=Pearson|year=2008|isbn=9780131471221}}</ref> | ||
जिस घटना का बिल्कुल एक ही परिणाम हो उसे [[प्राथमिक घटना]] कहा जाता है। वह घटना जिसमें किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणाम सम्मिलित हैं, उसका नमूना समिष्ट है। एक ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का हिस्सा हो सकता है।<ref>{{cite book|last=Pfeiffer|first=Paul E.|year=1978|title=संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाएँ|page=18|url=https://books.google.com/books?id=_mayRBczVRwC&pg=PA18|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-63677-1}}</ref> | जिस घटना का बिल्कुल एक ही परिणाम हो उसे [[प्राथमिक घटना]] कहा जाता है। वह घटना जिसमें किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणाम सम्मिलित हैं, उसका नमूना समिष्ट है। एक ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का हिस्सा हो सकता है।<ref>{{cite book|last=Pfeiffer|first=Paul E.|year=1978|title=संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाएँ|page=18|url=https://books.google.com/books?id=_mayRBczVRwC&pg=PA18|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-63677-1}}</ref> | ||
संभवतया, जब नमूना समिष्ट परिमित होता है, तो नमूना समिष्ट का कोई भी उपसमुच्चय | संभवतया, जब नमूना समिष्ट परिमित होता है, तो नमूना समिष्ट का कोई भी उपसमुच्चय घटना होता है (अर्थात, नमूना समिष्ट के [[ सत्ता स्थापित |नमूना सेट]] के सभी तत्वों को घटनाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है)। चूँकि, यह दृष्टिकोण उन स्थितियों में अच्छी तरह से काम नहीं करता है, जहां नमूना समिष्ट [[बेशुमार अनंत|अनगिनत अनंत]] है (विशेष रूप से जब परिणाम कुछ [[वास्तविक संख्या]]एं होनी चाहिए)। इसलिए, [[संभाव्यता स्थान|संभाव्यता समिष्ट]] को परिभाषित करते समय नमूना समिष्ट के कुछ उपसेट को घटनाओं से बाहर करना संभव है, और अधिकांशतः आवश्यक होता है। | ||
==परिणाम की | ==परिणाम की संभावना== | ||
परिणाम ऐसी | परिणाम ऐसी संभावनाओं के साथ आ सकते हैं, जो शून्य और एक (समावेशी) के बीच हों। असतत यादृच्छिक परिवर्तनीय संभाव्यता वितरण में जिसका नमूना समिष्ट परिमित है, प्रत्येक परिणाम को विशेष संभावना दी गई है। इसके विपरीत, सतत यादृच्छिक परिवर्तनीय वितरण में, सभी व्यक्तिगत परिणामों में शून्य संभावना होती है, और गैर-शून्य संभावनाओं को केवल परिणामों की श्रेणियों को सौंपा जा सकता है। | ||
कुछ मिश्रित वितरणों में निरंतर परिणाम और कुछ असतत परिणाम दोनों सम्मिलित होते हैं; ऐसे वितरणों में अलग-अलग परिणामों को परमाणु कहा जा सकता है और उनकी गैर-शून्य | कुछ मिश्रित वितरणों में निरंतर परिणाम और कुछ असतत परिणाम दोनों सम्मिलित होते हैं; ऐसे वितरणों में अलग-अलग परिणामों को परमाणु कहा जा सकता है और उनकी गैर-शून्य संभावनाएं हो सकती हैं।<ref>{{cite book|last=Kallenberg|first=Olav|title=आधुनिक संभाव्यता की नींव|edition=2nd|year=2002|page=9|url=https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-94957-7}}</ref> | ||
संभाव्यता समिष्ट की [[माप सिद्धांत]] परिभाषा के अनुसार, किसी परिणाम की | संभाव्यता समिष्ट की [[माप सिद्धांत]] परिभाषा के अनुसार, किसी परिणाम की संभावना को परिभाषित करने की भी आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, घटनाओं का समूह जिस पर संभाव्यता परिभाषित की गई है, वह <math>S</math>पर कुछ σ-बीजगणित हो सकता है और आवश्यक नहीं कि पूर्ण पावर सेट हो। | ||
==समान रूप से संभावित परिणाम== | ==समान रूप से संभावित परिणाम== | ||
[[File:Coin tossing.JPG|thumb|सिक्के को उछालने से दो परिणाम सामने आते हैं जिनकी | [[File:Coin tossing.JPG|thumb|सिक्के को उछालने से दो परिणाम सामने आते हैं जिनकी संभावना लगभग समान होती है।]] | ||
[[File:Brass thumbtack.jpg|thumb|alt=A brass tack with point downward|ऊपर या नीचे? पीतल की कील को पलटने से दो परिणाम सामने आते हैं जिनकी समान | [[File:Brass thumbtack.jpg|thumb|alt=A brass tack with point downward|ऊपर या नीचे? पीतल की कील को पलटने से दो परिणाम सामने आते हैं जिनकी समान संभावना नहीं होती।]]कुछ नमूना समिष्टों में, यह अनुमान लगाना या मान लेना उचित है कि समिष्ट में सभी परिणाम समान [[संभावना]] वाले हैं (कि वे समान संभावना के साथ घटित होते हैं)। उदाहरण के लिए, साधारण सिक्के को उछालते समय, संभवतया यह मान लिया जाता है कि परिणाम हेड और टेल आने की समान संभावना है। अंतर्निहित धारणा कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, संयोग के सामान्य खेलों में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश [[यादृच्छिकीकरण]] उपकरण को रेखांकित करते हैं (उदाहरण के लिए [[पासा]] घुमाना, ताश के पत्तों को फेरना, शीर्ष या पहियों को घुमाना, [[लॉटरी]] निकालना, आदि)। निःसंदेह, ऐसे खेलों में खिलाड़ी समान संभावना से व्यवस्थित विचलन को सूक्ष्मता से प्रस्तुत करके धोखा देने की प्रयास कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, [[ कार्ड अंकन |कार्ड अंकन]], लोडेड डाइस या शेव्ड डाइस और अन्य विधियों से)। | ||
संभाव्यता के कुछ उपचार यह मानते हैं कि किसी प्रयोग के विभिन्न परिणामों को सदैव इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि वे समान रूप से संभावित हों।<ref>{{cite book|last=Foerster|first=Paul A.|year=2006|title=Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition|edition=Classics|page=[https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/633 633]|publisher=[[Prentice Hall]]|location=Upper Saddle River, NJ|isbn=0-13-165711-9|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/633}}</ref> चूँकि, ऐसे प्रयोग हैं, जिन्हें समान रूप से संभावित परिणामों के सेट द्वारा सरलता से वर्णित नहीं किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि कोई [[अंगूठे की कील]] को कई बार उछालता है और देखता है कि यह अपने बिंदु के साथ ऊपर या नीचे की ओर उतरा है, तो यह सुझाव देने के लिए कोई समरूपता नहीं है कि दोनों परिणाम समान रूप से संभावित होने चाहिए। | संभाव्यता के कुछ उपचार यह मानते हैं कि किसी प्रयोग के विभिन्न परिणामों को सदैव इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि वे समान रूप से संभावित हों।<ref>{{cite book|last=Foerster|first=Paul A.|year=2006|title=Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition|edition=Classics|page=[https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/633 633]|publisher=[[Prentice Hall]]|location=Upper Saddle River, NJ|isbn=0-13-165711-9|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/633}}</ref> चूँकि, ऐसे प्रयोग हैं, जिन्हें समान रूप से संभावित परिणामों के सेट द्वारा सरलता से वर्णित नहीं किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि कोई [[अंगूठे की कील]] को कई बार उछालता है और देखता है कि यह अपने बिंदु के साथ ऊपर या नीचे की ओर उतरा है, तो यह सुझाव देने के लिए कोई समरूपता नहीं है कि दोनों परिणाम समान रूप से संभावित होने चाहिए। | ||
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Latest revision as of 16:36, 29 July 2023
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| Probability theory |
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संभावना सिद्धांत में, परिणाम प्रयोग (संभावना सिद्धांत) या परीक्षण का संभावित परिणाम होता है।[1] किसी विशेष प्रयोग का प्रत्येक संभावित परिणाम अद्वितीय होता है, और विभिन्न परिणाम परस्पर अनन्य घटनाएँ होते हैं (प्रयोग के प्रत्येक परीक्षण पर केवल एक ही परिणाम घटित होगा)। किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणाम नमूना समिष्ट के तत्वों का निर्माण करते हैं।[2]
प्रयोग के लिए जहां हम सिक्के को दो बार उछालते हैं, हमारे नमूना समिष्ट को बनाने वाले चार संभावित परिणाम (H, T), (T, H), (T, T) और (H, H) हैं, जहां H हेड का प्रतिनिधित्व करता है , और T टेल को दर्शाता है। परिणामों को घटना (संभावना सिद्धांत) के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो परिणामों के सेट (या अनौपचारिक रूप से, "समूह") हैं। तुलना के लिए, हम उस घटना को परिभाषित कर सकते हैं, जो तब घटित होती है जब प्रयोग में कम से कम एक 'हेड' को फ़्लिप किया जाता है - अर्थात, जब परिणाम में कम से कम एक 'हेड' होता है। इस घटना में नमूना समिष्ट में तत्व (T, T) को छोड़कर सभी परिणाम सम्मिलित होंगे।
परिणामों का समूह: घटनाएँ
चूँकि व्यक्तिगत परिणाम कम व्यावहारिक रुचि के हो सकते हैं, या क्योंकि उनमें से निषेधात्मक रूप से (यहां तक कि असीम रूप से भी) कई हो सकते हैं, परिणामों को परिणामों के सेट (गणित) में समूहीकृत किया जाता है जो कुछ नियमों को पूरा करते हैं, जिन्हें घटना (संभावना सिद्धांत) कहा जाता है। ऐसी सभी घटनाओं का संग्रह सिग्मा-बीजगणित है।[3]
जिस घटना का बिल्कुल एक ही परिणाम हो उसे प्राथमिक घटना कहा जाता है। वह घटना जिसमें किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणाम सम्मिलित हैं, उसका नमूना समिष्ट है। एक ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का हिस्सा हो सकता है।[4]
संभवतया, जब नमूना समिष्ट परिमित होता है, तो नमूना समिष्ट का कोई भी उपसमुच्चय घटना होता है (अर्थात, नमूना समिष्ट के नमूना सेट के सभी तत्वों को घटनाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है)। चूँकि, यह दृष्टिकोण उन स्थितियों में अच्छी तरह से काम नहीं करता है, जहां नमूना समिष्ट अनगिनत अनंत है (विशेष रूप से जब परिणाम कुछ वास्तविक संख्याएं होनी चाहिए)। इसलिए, संभाव्यता समिष्ट को परिभाषित करते समय नमूना समिष्ट के कुछ उपसेट को घटनाओं से बाहर करना संभव है, और अधिकांशतः आवश्यक होता है।
परिणाम की संभावना
परिणाम ऐसी संभावनाओं के साथ आ सकते हैं, जो शून्य और एक (समावेशी) के बीच हों। असतत यादृच्छिक परिवर्तनीय संभाव्यता वितरण में जिसका नमूना समिष्ट परिमित है, प्रत्येक परिणाम को विशेष संभावना दी गई है। इसके विपरीत, सतत यादृच्छिक परिवर्तनीय वितरण में, सभी व्यक्तिगत परिणामों में शून्य संभावना होती है, और गैर-शून्य संभावनाओं को केवल परिणामों की श्रेणियों को सौंपा जा सकता है।
कुछ मिश्रित वितरणों में निरंतर परिणाम और कुछ असतत परिणाम दोनों सम्मिलित होते हैं; ऐसे वितरणों में अलग-अलग परिणामों को परमाणु कहा जा सकता है और उनकी गैर-शून्य संभावनाएं हो सकती हैं।[5]
संभाव्यता समिष्ट की माप सिद्धांत परिभाषा के अनुसार, किसी परिणाम की संभावना को परिभाषित करने की भी आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, घटनाओं का समूह जिस पर संभाव्यता परिभाषित की गई है, वह पर कुछ σ-बीजगणित हो सकता है और आवश्यक नहीं कि पूर्ण पावर सेट हो।
समान रूप से संभावित परिणाम
कुछ नमूना समिष्टों में, यह अनुमान लगाना या मान लेना उचित है कि समिष्ट में सभी परिणाम समान संभावना वाले हैं (कि वे समान संभावना के साथ घटित होते हैं)। उदाहरण के लिए, साधारण सिक्के को उछालते समय, संभवतया यह मान लिया जाता है कि परिणाम हेड और टेल आने की समान संभावना है। अंतर्निहित धारणा कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, संयोग के सामान्य खेलों में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश यादृच्छिकीकरण उपकरण को रेखांकित करते हैं (उदाहरण के लिए पासा घुमाना, ताश के पत्तों को फेरना, शीर्ष या पहियों को घुमाना, लॉटरी निकालना, आदि)। निःसंदेह, ऐसे खेलों में खिलाड़ी समान संभावना से व्यवस्थित विचलन को सूक्ष्मता से प्रस्तुत करके धोखा देने की प्रयास कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, कार्ड अंकन, लोडेड डाइस या शेव्ड डाइस और अन्य विधियों से)।
संभाव्यता के कुछ उपचार यह मानते हैं कि किसी प्रयोग के विभिन्न परिणामों को सदैव इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि वे समान रूप से संभावित हों।[6] चूँकि, ऐसे प्रयोग हैं, जिन्हें समान रूप से संभावित परिणामों के सेट द्वारा सरलता से वर्णित नहीं किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि कोई अंगूठे की कील को कई बार उछालता है और देखता है कि यह अपने बिंदु के साथ ऊपर या नीचे की ओर उतरा है, तो यह सुझाव देने के लिए कोई समरूपता नहीं है कि दोनों परिणाम समान रूप से संभावित होने चाहिए।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ "परिणाम - संभाव्यता - गणित शब्दकोश". HighPointsLearning. Retrieved 25 June 2013.
- ↑ Albert, Jim (21 January 1998). "सभी संभावित परिणामों की सूची बनाना (नमूना स्थान)". Bowling Green State University. Archived from the original on 16 October 2000. Retrieved June 25, 2013.
- ↑ Leon-Garcia, Alberto (2008). इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के लिए संभाव्यता, सांख्यिकी और यादृच्छिक प्रक्रियाएं. Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 9780131471221.
- ↑ Pfeiffer, Paul E. (1978). संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाएँ. Dover Publications. p. 18. ISBN 978-0-486-63677-1.
- ↑ Kallenberg, Olav (2002). आधुनिक संभाव्यता की नींव (2nd ed.). New York: Springer. p. 9. ISBN 0-387-94957-7.
- ↑ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 633. ISBN 0-13-165711-9.
बाहरी संबंध
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