विकल्प फलन: Difference between revisions

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'''विकल्प फलन''' ('''चयनकर्ता, चयन''') एक गणितीय फलन ''AF'' है जिसे अरिक्त [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के कुछ संग्रह ''एक्स'' पर परिभाषित किया गया है और उस संग्रह में प्रत्येक समुच्चय ''AC'' के कुछ तत्व को नियुक्त करता है ''एस'' बाय ''F'' (''S''); ''F'' (''S'') ''S'' को ''S'' के कुछ तत्वों से मैप करता है। दूसरे शब्दों में, ''F'' ''X'' के लिए एक विकल्प फलन है यदि और केवल यदि यह ''X'' के [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] से संबंधित है।
 
एक विकल्प फलन (चयनकर्ता, चयन) एक गणितीय समारोह ''एफ'' है जिसे अरिक्त [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के कुछ संग्रह ''एक्स'' पर परिभाषित किया गया है और उस संग्रह में प्रत्येक समुच्चय ''एस'' के कुछ तत्व को नियुक्त करता है ''एस'' बाय ''एफ'' (''एस''); ''एफ'' (''एस'') ''एस'' को ''एस'' के कुछ तत्वों से मैप करता है। दूसरे शब्दों में, ''एफ'' ''एक्स'' के लिए एक विकल्प फलन है यदि और केवल यदि यह ''एक्स'' के [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] से संबंधित है।


== एक उदाहरण ==
== एक उदाहरण ==
मान लीजिए एक्स= { {1,4,7}, {9}, {2,7} }। फिर वह फलन जो समुच्चय {1,4,7} को 7, {9} को 9, और {2,7} को 2 निर्दिष्ट करता है, एक्स पर एक विकल्प फलन है।
मान लीजिए X= { {1,4,7}, {9}, {2,7} }। फिर वह फलन जो समुच्चय {1,4,7} को 7, {9} को 9, और {2,7} को 2 निर्दिष्ट करता है, X पर एक विकल्प फलन है।


== इतिहास और महत्व ==
== इतिहास और महत्व ==
[[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] (1904) ने विकल्प फलन के साथ-साथ विकल्प के स्वयंसिद्ध (एसी ) की शुरुआत की और सुव्यवस्थित प्रमेय को सिद्ध किया,<ref name="Zermelo, 1904">{{cite journal| first=Ernst| last=Zermelo| year=1904| title=सबूत है कि किसी भी सेट को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है| journal=Mathematische Annalen| volume=59| issue=4| pages=514–16| doi=10.1007/BF01445300| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=28526}}</ref> जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय सुव्यवस्थित हो सकता है | एसी बताता है कि अरिक्त समुच्चयों के प्रत्येक समुच्चय में एक विकल्प कार्य होता है। एसी का एक कमजोर रूप, [[गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध|गणनीय विकल्पका स्वयंसिद्ध]] (एसी<sub>ω</sub>) बताता है कि अरिक्त समुच्चयों के प्रत्येक [[गणनीय सेट|गणनीय समुच्चय]] में एक विकल्प कार्य होता है। हालांकि, एसी या एसी<sub>ω</sub> की अनुपस्थिति में, कुछ समुच्चयों को अभी भी एक विकल्प फलन के रूप में दिखाया जा सकता है।
[[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] (1904) ने विकल्प फलन के साथ-साथ विकल्प के स्वयंसिद्ध (AC) की प्रारम्भ की और सुव्यवस्थित प्रमेय को सिद्ध किया,<ref name="Zermelo, 1904">{{cite journal| first=Ernst| last=Zermelo| year=1904| title=सबूत है कि किसी भी सेट को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है| journal=Mathematische Annalen| volume=59| issue=4| pages=514–16| doi=10.1007/BF01445300| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=28526}}</ref> जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय सुव्यवस्थित हो सकता है | AC बताता है कि अरिक्त समुच्चयों के प्रत्येक समुच्चय में एक विकल्प कार्य होता है। AC का एक कमजोर रूप, [[गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध|गणनीय विकल्पका स्वयंसिद्ध]] (AC<sub>ω</sub>) बताता है कि अरिक्त समुच्चयों के प्रत्येक [[गणनीय सेट|गणनीय समुच्चय]] में एक विकल्प कार्य होता है। हालांकि, AC या AC<sub>ω</sub> की अनुपस्थिति में, कुछ समुच्चयों को अभी भी एक विकल्प फलन के रूप में दिखाया जा सकता है।


*यदि <math>X</math> अरिक्त समुच्चयों का एक सीमित समुच्चय समुच्चय है, तो कोई इसके लिए एक विकल्प समारोह बना सकता है <math>X</math> के प्रत्येक सदस्य से एक तत्व चुनकर <math>X.</math> इसके लिए केवल बहुत से विकल्पों की आवश्यकता होती है, इसलिए न तो एसी या एसी<sub>ω</sub> ज़रूरी है।
*यदि <math>X</math> अरिक्त समुच्चयों का एक सीमित समुच्चय समुच्चय है, तो कोई इसके लिए एक विकल्प फलन बना सकता है <math>X</math> के प्रत्येक सदस्य से एक तत्व चुनकर <math>X.</math> इसके लिए केवल बहुत से विकल्पों की आवश्यकता होती है, इसलिए न तो AC या AC<sub>ω</sub> ज़रूरी है।
*यदि प्रत्येक सदस्य <math>X</math> एक अरिक्त समुच्चय है, और [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] <math>\bigcup X</math> सुव्यवस्थित है, तो कोई भी प्रत्येक सदस्य के कम से कम तत्व को चुन सकता है <math>X</math>. इस स्थिति में, प्रत्येक सदस्य को एक साथ अच्छी तरह से आदेश देना संभव था <math>X</math> संघ के एक सुव्यवस्था का सिर्फ एक विकल्प बनाकर, इसलिए न तो एसी और न ही एसी<sub>ω</sub> चाहिए था। (इस उदाहरण से पता चलता है कि सुक्रम प्रमेय एसी का तात्पर्य है। विपरीत (तर्क) भी सत्य है, लेकिन कम तुच्छ है।)
*यदि प्रत्येक सदस्य <math>X</math> एक अरिक्त समुच्चय है, और [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] <math>\bigcup X</math> सुव्यवस्थित है, तो कोई भी प्रत्येक सदस्य के कम से कम तत्व को चुन सकता है <math>X</math>. इस स्थिति में, प्रत्येक सदस्य को एक साथ अच्छी तरह से आदेश देना संभव था <math>X</math> संघ के एक सुव्यवस्था का सिर्फ एक विकल्प बनाकर, इसलिए न तो AC और न ही AC<sub>ω</sub> चाहिए था। (इस उदाहरण से पता चलता है कि सुक्रम प्रमेय AC का तात्पर्य है। विपरीत (तर्क) भी सत्य है, लेकिन कम तुच्छ है।)


== बहु-मूल्यांकित मानचित्र का विकल्प फलन ==
== बहु-मूल्यांकित मानचित्र का विकल्प फलन ==
दो समुच्चय एक्स और Y दिए गए हैं, मान लीजिए कि एफ, एक्स से Y तक एक बहुमूल्यांकित फलन है (समकक्ष रूप से, <math>F:X\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> एक्स से Y के [[ सत्ता स्थापित |सत्ता स्थापित]] का एक समारोह है)।
दो समुच्चय एक्स और Y दिए गए हैं, मान लीजिए कि ''F'', ''X'' से Y तक एक बहुमूल्यांकित फलन है (समकक्ष रूप से, <math>F:X\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> XF से Y के [[ सत्ता स्थापित |सत्ता स्थापित]] का एक फलन है)।


एक समारोह <math>f: X \rightarrow Y</math> 'एफ' का चयन कहा जाता है, यदि:
एक फलन <math>f: X \rightarrow Y</math> '''F''<nowiki/>' का चयन कहा जाता है, यदि:


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<math display="block">\forall x \in X \, ( f(x) \in F(x) ) \,.</math>
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[[निकोलस बोरबाकी]] ने अपने प्रतिष्ठान के लिए [[एप्सिलॉन गणना]] को प्रयुक्त किया जिसमें a <math> \tau </math> प्रतीक जिसे एक वस्तु (यदि कोई अस्तित्व में है) चुनने के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जो किसी दिए गए प्रस्ताव को संतुष्ट करता है। तो यदि <math> P(x) </math> एक विधेय है, तो <math>\tau_{x}(P)</math> एक विशेष वस्तु है जो संतुष्ट करती है <math>P</math> (यदि कोई मौजूद है, अन्यथा यह एक मनमाना वस्तु लौटाता है)। इसलिए हम विकल्प फलन से परिमाण कों प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए <math> P( \tau_{x}(P))</math> के बराबर था <math> (\exists x)(P(x))</math>.<ref>{{cite book|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Elements of Mathematics: Theory of Sets|isbn=0-201-00634-0}}</ref>
[[निकोलस बोरबाकी]] ने अपने प्रतिष्ठान के लिए [[एप्सिलॉन गणना]] को प्रयुक्त किया जिसमें a <math> \tau </math> प्रतीक जिसे एक वस्तु (यदि कोई अस्तित्व में है) चुनने के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जो किसी दिए गए प्रस्ताव को संतुष्ट करता है। तो यदि <math> P(x) </math> एक विधेय है, तो <math>\tau_{x}(P)</math> एक विशेष वस्तु है जो संतुष्ट करती है <math>P</math> (यदि कोई मौजूद है, अन्यथा यह एक मनमाना वस्तु लौटाता है)। इसलिए हम विकल्प फलन से परिमाण कों प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए <math> P( \tau_{x}(P))</math> के बराबर था <math> (\exists x)(P(x))</math>.<ref>{{cite book|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Elements of Mathematics: Theory of Sets|isbn=0-201-00634-0}}</ref>


हालाँकि, बोरबाकी का विकल्पप्रचालक सामान्य से अधिक मजबूत है: यह एक वैश्विक विकल्पप्रचालक है। अर्थात्, यह वैश्विक विकल्पके स्वयंसिद्ध को दर्शाता है।<ref>John Harrison, "The Bourbaki View" [http://www.rbjones.com/rbjpub/logic/jrh0105.htm eprint].</ref> एप्सिलॉन गणना की शुरुआत करते समय हिल्बर्ट को इसका एहसास हुआ।<ref>"Here, moreover, we come upon a very remarkable circumstance, namely, that all of these transfinite axioms are derivable from a single axiom, one that also contains the core of one of the most attacked axioms in the literature of mathematics, namely, the axiom of choice: <math>A(a)\to A(\varepsilon(A))</math>, where <math>\varepsilon</math> is the transfinite logical choice function." Hilbert (1925), “On the Infinite”, excerpted in Jean van Heijenoort, ''From Frege to Gödel'', p. 382. From [http://ncatlab.org/nlab/show/choice+operator nCatLab].</ref>
हालाँकि, बोरबाकी का विकल्पप्रचालक सामान्य से अधिक मजबूत है: यह एक वैश्विक विकल्पप्रचालक है। अर्थात्, यह वैश्विक विकल्पके स्वयंसिद्ध को दर्शाता है।<ref>John Harrison, "The Bourbaki View" [http://www.rbjones.com/rbjpub/logic/jrh0105.htm eprint].</ref> एप्सिलॉन गणना की प्रारम्भ करते समय हिल्बर्ट को इसका एहसास हुआ।<ref>"Here, moreover, we come upon a very remarkable circumstance, namely, that all of these transfinite axioms are derivable from a single axiom, one that also contains the core of one of the most attacked axioms in the literature of mathematics, namely, the axiom of choice: <math>A(a)\to A(\varepsilon(A))</math>, where <math>\varepsilon</math> is the transfinite logical choice function." Hilbert (1925), “On the Infinite”, excerpted in Jean van Heijenoort, ''From Frege to Gödel'', p. 382. From [http://ncatlab.org/nlab/show/choice+operator nCatLab].</ref>


== यह भी देखें ==
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==संदर्भ==
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Latest revision as of 13:04, 30 October 2023

विकल्प फलन (चयनकर्ता, चयन) एक गणितीय फलन AF है जिसे अरिक्त समुच्चय (गणित) के कुछ संग्रह एक्स पर परिभाषित किया गया है और उस संग्रह में प्रत्येक समुच्चय AC के कुछ तत्व को नियुक्त करता है एस बाय F (S); F (S) S को S के कुछ तत्वों से मैप करता है। दूसरे शब्दों में, F X के लिए एक विकल्प फलन है यदि और केवल यदि यह X के प्रत्यक्ष उत्पाद से संबंधित है।

एक उदाहरण

मान लीजिए X= { {1,4,7}, {9}, {2,7} }। फिर वह फलन जो समुच्चय {1,4,7} को 7, {9} को 9, और {2,7} को 2 निर्दिष्ट करता है, X पर एक विकल्प फलन है।

इतिहास और महत्व

अर्नेस्ट ज़र्मेलो (1904) ने विकल्प फलन के साथ-साथ विकल्प के स्वयंसिद्ध (AC) की प्रारम्भ की और सुव्यवस्थित प्रमेय को सिद्ध किया,[1] जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय सुव्यवस्थित हो सकता है | AC बताता है कि अरिक्त समुच्चयों के प्रत्येक समुच्चय में एक विकल्प कार्य होता है। AC का एक कमजोर रूप, गणनीय विकल्पका स्वयंसिद्ध (ACω) बताता है कि अरिक्त समुच्चयों के प्रत्येक गणनीय समुच्चय में एक विकल्प कार्य होता है। हालांकि, AC या ACω की अनुपस्थिति में, कुछ समुच्चयों को अभी भी एक विकल्प फलन के रूप में दिखाया जा सकता है।

  • यदि अरिक्त समुच्चयों का एक सीमित समुच्चय समुच्चय है, तो कोई इसके लिए एक विकल्प फलन बना सकता है के प्रत्येक सदस्य से एक तत्व चुनकर इसके लिए केवल बहुत से विकल्पों की आवश्यकता होती है, इसलिए न तो AC या ACω ज़रूरी है।
  • यदि प्रत्येक सदस्य एक अरिक्त समुच्चय है, और संघ (समुच्चय सिद्धांत) सुव्यवस्थित है, तो कोई भी प्रत्येक सदस्य के कम से कम तत्व को चुन सकता है . इस स्थिति में, प्रत्येक सदस्य को एक साथ अच्छी तरह से आदेश देना संभव था संघ के एक सुव्यवस्था का सिर्फ एक विकल्प बनाकर, इसलिए न तो AC और न ही ACω चाहिए था। (इस उदाहरण से पता चलता है कि सुक्रम प्रमेय AC का तात्पर्य है। विपरीत (तर्क) भी सत्य है, लेकिन कम तुच्छ है।)

बहु-मूल्यांकित मानचित्र का विकल्प फलन

दो समुच्चय एक्स और Y दिए गए हैं, मान लीजिए कि F, X से Y तक एक बहुमूल्यांकित फलन है (समकक्ष रूप से, XF से Y के सत्ता स्थापित का एक फलन है)।

एक फलन 'F' का चयन कहा जाता है, यदि:

अंतर समावेशन, इष्टतम नियंत्रण और गणितीय अर्थशास्त्र के सिद्धांत में निरंतर या मापने योग्य चयन जैसे अधिक नियमित विकल्प कार्यों का अस्तित्व महत्वपूर्ण है।[2] चयन प्रमेय देखें।

बोरबाकी ताऊ फलन

निकोलस बोरबाकी ने अपने प्रतिष्ठान के लिए एप्सिलॉन गणना को प्रयुक्त किया जिसमें a प्रतीक जिसे एक वस्तु (यदि कोई अस्तित्व में है) चुनने के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जो किसी दिए गए प्रस्ताव को संतुष्ट करता है। तो यदि एक विधेय है, तो एक विशेष वस्तु है जो संतुष्ट करती है (यदि कोई मौजूद है, अन्यथा यह एक मनमाना वस्तु लौटाता है)। इसलिए हम विकल्प फलन से परिमाण कों प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए के बराबर था .[3]

हालाँकि, बोरबाकी का विकल्पप्रचालक सामान्य से अधिक मजबूत है: यह एक वैश्विक विकल्पप्रचालक है। अर्थात्, यह वैश्विक विकल्पके स्वयंसिद्ध को दर्शाता है।[4] एप्सिलॉन गणना की प्रारम्भ करते समय हिल्बर्ट को इसका एहसास हुआ।[5]

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Zermelo, Ernst (1904). "सबूत है कि किसी भी सेट को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है". Mathematische Annalen. 59 (4): 514–16. doi:10.1007/BF01445300.
  2. ↑ Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
  3. ↑ Bourbaki, Nicolas. Elements of Mathematics: Theory of Sets. ISBN 0-201-00634-0.
  4. ↑ John Harrison, "The Bourbaki View" eprint.
  5. ↑ "Here, moreover, we come upon a very remarkable circumstance, namely, that all of these transfinite axioms are derivable from a single axiom, one that also contains the core of one of the most attacked axioms in the literature of mathematics, namely, the axiom of choice: , where is the transfinite logical choice function." Hilbert (1925), “On the Infinite”, excerpted in Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel, p. 382. From nCatLab.


संदर्भ

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