डेडेकाइंड अनंत समुच्चय: Difference between revisions

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[[गणित]] में, एक [[सबसेट|समुच्चय]] A '''डेडेकाइंड-अनंत''' है (जर्मन गणितज्ञ [[रिचर्ड डेडेकाइंड]] के नाम पर) यदि A का कुछ उचित [[उपसमुच्चय]] B, A के [[बराबर]] है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि A से A के कुछ उचित उपसमुच्चय B पर एक विशेषण फलन उपस्थित है। एक समुच्चय 'डेडेकाइंड-परिमित' है यदि वह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है (अर्थात, ऐसी कोई एकैक आच्छादन उपस्थित नहीं है)। 1888 में डेडेकाइंड द्वारा प्रस्तावित, डेडेकाइंड-अनंतता "अनंत" की पहली परिभाषा थी जो [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी।<ref name="moore">{{cite book |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence |last=Moore |first=Gregory H. |year=2013 |orig-year=unabridged republication of the work originally published in 1982 as Volume 8 in the series "Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences" by Springer-Verlag, New York |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-48841-7}}</ref>
[[गणित]] में, एक [[सबसेट|समुच्चय]] A '''डेडेकाइंड-अनंत''' है (जर्मन गणितज्ञ [[रिचर्ड डेडेकाइंड]] के नाम पर) यदि A के कुछ उचित [[उपसमुच्चय]] B, A के [[बराबर]] है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि A से A के कुछ उचित उपसमुच्चय B पर एक विशेषण फलन उपस्थित है। एक समुच्चय 'डेडेकाइंड-परिमित' है यदि वह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है (अर्थात, ऐसी कोई एकैकी आच्छादन उपस्थित नहीं है)। 1888 में डेडेकाइंड द्वारा प्रस्तावित, डेडेकाइंड-अनंतता "अनंत" की पहली परिभाषा थी जो [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी।<ref name="moore">{{cite book |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence |last=Moore |first=Gregory H. |year=2013 |orig-year=unabridged republication of the work originally published in 1982 as Volume 8 in the series "Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences" by Springer-Verlag, New York |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-48841-7}}</ref>


एक साधारण उदाहरण है <math>\mathbb{N}</math>, [[प्राकृतिक संख्याओं]] का समुच्चय। गैलीलियो के विरोधाभास से, एक एकैक आच्छादन उपस्थित है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को उसके [[वर्ग संख्या]] ''n''<sup>2</sup> में प्रतिचित्रित करता है। चूँकि वर्गों का समुच्चय एक उचित उपसमुच्चय है <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{N}</math> डेडेकाइंड-अनंत है।  
एक साधारण उदाहरण <math>\mathbb{N}</math> है ,जो [[प्राकृतिक संख्याओं]] का समुच्चय है। [[गैलीलियो के विरोधाभास]] से, एक एकैकी आच्छादन उपस्थित है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को उसके [[वर्ग संख्या]] ''n''<sup>2</sup> में प्रतिचित्रित करता है। चूँकि वर्गों का समुच्चय <math>\mathbb{N}</math> का एक उचित उपसमुच्चय है, इसलिए <math>\mathbb{N}</math> डेडेकाइंड-अनंत है।  


जब तक [[गणित के मूलभूत संकट]] ने समुच्चय सिद्धांत के अधिक सावधानीपूर्वक ट्रीटमेंट की आवश्यकता नहीं दिखाई, तब तक अधिकांश गणितज्ञों ने यह मान लिया था कि एक समुच्चय [[अनंत है यदि और केवल यदि]] वह डेडेकाइंड-अनंत है। बीसवीं सदी की शुरुआत में, [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत,]] जो आज स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का सबसे अधिक उपयोग  किया जाने वाला रूप है, को रसेल के विरोधाभास जैसे विरोधाभासों से मुक्त समुच्चय के सिद्धांत को तैयार करने के लिए एक [[स्वयंसिद्ध प्रणाली]] के रूप में प्रस्तावित किया गया था। पसंद के मूल रूप से अत्यधिक विवादास्पद स्वयंसिद्ध ('''ZFC''') के साथ [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय]] सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि एक समुच्चय डेडेकाइंड-परिमित है यदि और केवल यदि यह सामान्य अर्थों में सीमित है। हालाँकि, पसंद के स्वयंसिद्ध ('''ZF''') के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का एक मॉडल उपस्थित है जिसमें एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है, जो दर्शाता है कि '''ZF''' के स्वयंसिद्ध यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं कि डेडेकाइंड-परिमित प्रत्येक समुच्चय परिमित है। <ref name="herrlich">{{cite book |title=पसंद का सिद्धांत|last=Herrlich | first=Horst |year=2006 |publisher=Springer-Verlag |series=Lecture Notes in Mathematics 1876 |isbn=978-3540309895}}</ref><ref name="moore" />डेडेकाइंड द्वारा दी गई परिभाषाओं के अलावा [[समुच्चयों की परिमितता और अनंतता की परिभाषाएँ]] भी हैं जो पसंद के सिद्धांत पर निर्भर नहीं करती हैं।  
जब तक [[गणित के मूलभूत संकट]] ने समुच्चय सिद्धांत के अधिक सावधानीपूर्वक अभिक्रिया की आवश्यकता नहीं दिखाई, तब तक अधिकांश गणितज्ञों ने यह [[मान]] लिया था कि एक समुच्चय [[अनंत है यदि और केवल यदि|अनंत है यदि]] वह डेडेकाइंड-अनंत है। बीसवीं सदी की शुरुआत में, [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत,]] जो आज स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का सबसे अधिक उपयोग  किया जाने वाला रूप है, उसको [[रसेल के विरोधाभास]] जैसे विरोधाभासों से मुक्त [[समुच्चय के सिद्धांत]] को तैयार करने के लिए एक [[स्वयंसिद्ध प्रणाली]] के रूप में प्रस्तावित किया गया था। [[पसंद के मूल रूप]] से अत्यधिक विवादास्पद स्वयंसिद्ध ('''जेडएफसी''') के साथ [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय]] सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि एक समुच्चय डेडेकाइंड-परिमित है यदि यह सामान्य अर्थों में सीमित है। हालाँकि, पसंद के स्वयंसिद्ध ('''जेडएफ''') के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का एक प्रारूप उपस्थित है जिसमें एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है, जो दर्शाता है कि '''जेडएफ''' के स्वयंसिद्ध यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं कि डेडेकाइंड-परिमित प्रत्येक समुच्चय परिमित है। <ref name="herrlich">{{cite book |title=पसंद का सिद्धांत|last=Herrlich | first=Horst |year=2006 |publisher=Springer-Verlag |series=Lecture Notes in Mathematics 1876 |isbn=978-3540309895}}</ref><ref name="moore" /> डेडेकाइंड द्वारा दी गई परिभाषाओं के अलावा [[समुच्चयों की परिमितता और अनंतता की परिभाषाएँ]] भी हैं जो पसंद के सिद्धांत पर निर्भर नहीं करती हैं।  


एक अस्पष्ट रूप से संबंधित धारणा [[डेडेकाइंड-परिमित वलय]] की है।
एक अस्पष्ट रूप से संबंधित धारणा [[डेडेकाइंड-परिमित वलय]] की है।


==अनंत समुच्चय की सामान्य परिभाषा के साथ तुलना==
==अनंत समुच्चय की सामान्य परिभाषा से तुलना==
[[अनंत समुच्चय|"अनंत समुच्चय]]" की इस परिभाषा की तुलना सामान्य परिभाषा से की जानी चाहिए: एक समुच्चय A [[अनंत]] है जब इसे किसी परिमित [[क्रमसूचक]] के साथ एकैकी आच्छादन में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात् कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए रूप {0, 1, 2, ..., ''n''−1} का एक समुच्चय - एक अनंत समुच्चय वह है जो एकैकी आच्छादन के अर्थ में वस्तुत: "परिमित नहीं" है।
[[अनंत समुच्चय|"अनंत समुच्चय]]" की इस परिभाषा की तुलना सामान्य परिभाषा से की जानी चाहिए, एक समुच्चय A [[अनंत]] है जब इसे किसी परिमित [[क्रमसूचक]] के साथ एकैकी आच्छादन में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात् कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए रूप {0, 1, 2, ..., ''n''−1} का एक समुच्चय - एक अनंत समुच्चय वह है जो एकैकी आच्छादन के अर्थ में वस्तुत, "परिमित नहीं" है।


19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, अधिकांश [[गणितज्ञों]] ने यह मान लिया कि एक समुच्चय अनंत है [[यदि और केवल यदि]] वह डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इस तुल्यता को [[पसंद के सिद्धांत]] (AC) (आमतौर पर "'''ZF'''" के रूप में दर्शाया जाता है) के बिना [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल]] [[समुच्चय सिद्धांत]] के सिद्धांतों के साथ सिद्ध नहीं किया जा सकता है। समतुल्यता सिद्ध करने के लिए AC के पूर्ण सामर्थ्य की आवश्यकता नहीं है; वास्तव में, दो परिभाषाओं की [[तुल्यता गणनीय विकल्प]] (CC) के सिद्धांत की तुलना में [[सख्ती]] से दुर्बल है। (नीचे संदर्भ देखें।)
19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, अधिकांश [[गणितज्ञों]] ने यह मान लिया कि एक समुच्चय अनंत है [[यदि और केवल यदि|यदि]] वह डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इस तुल्यता को [[पसंद के सिद्धांत]] (एसी) (आमतौर पर "'''जेडएफ'''" के रूप में दर्शाया जाता है) के बिना [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल]] [[समुच्चय सिद्धांत]] के सिद्धांतों के साथ सिद्ध नहीं किया जा सकता है। समतुल्यता सिद्ध करने के लिए एसी के पूर्ण सामर्थ्य की आवश्यकता नहीं है, वास्तव में, दो परिभाषाओं की [[तुल्यता गणनीय विकल्प]] (सीसी) के सिद्धांत की तुलना में [[सख्ती|पूर्णतः]] कमजोर है। (नीचे संदर्भ देखें।)


==ZF में डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय ==
==जेडएफ में डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय ==


एक समुच्चय A '''डेडेकाइंड-अनंत''' है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य ('''ZF''' पर) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है:
एक समुच्चय A '''डेडेकाइंड-अनंत''' है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य ('''जेडएफ''' पर) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है,
*इसका एक [[गणनीय अनंत]] उपसमुच्चय है;
*इसका एक [[गणनीय अनंत]] उपसमुच्चय है,
*गणनीय अनंत समुच्चय से A तक एक एकैकी मानचित्र उपस्थित है;
*गणनीय अनंत समुच्चय से A तक एक एकैकी मानचित्र उपस्थित है,
*एक फलन {{nowrap|''f'' : ''A'' → ''A''}} है वह [[विशेषण फलन|एकैकी]] है लेकिन आच्छादी नहीं है;
*एक फलन {{nowrap|''f'' : ''A'' → ''A''}} है जो [[विशेषण फलन|एकैकी]] है लेकिन आच्छादी नहीं है,
*एक [[इंजेक्शन समारोह|एकैकी फलन]] {{nowrap|''f'' : '''N''' → ''A''}} है, जहां N सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है;
*एक [[इंजेक्शन समारोह|एकैकी फलन]] {{nowrap|''f'' : '''N''' → ''A''}} है, जहां N सभी [[प्राकृतिक संख्याओं]] के समुच्चय को दर्शाता है,
यह द्वैत रूप से डेडेकाइंड-अनंत है यदि:
यह द्वैत रूप से डेडेकाइंड-अनंत है यदि,
*एक फलन {{nowrap|1=''f'' : ''A'' → ''A''}} है जो आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं है;
*एक फलन {{nowrap|1=''f'' : ''A'' → ''A''}} है जो आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं है,
यह '''दुर्बल रूप से डेडेकाइंड-अनंत''' है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य ('''ZF''' से अधिक) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है:
यह '''कमजोर रूप से डेडेकाइंड-अनंत''' है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य ('''जेडएफ''' से अधिक) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है,
*''A'' ''से गणनीय अनंत समुच्चय पर एक आच्छादी मानचित्र उपस्थित है;''
*''A'' ''से गणनीय अनंत समुच्चय पर एक आच्छादी मानचित्र उपस्थित है,''
*''A'' का घात समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है;
*''A'' का घात समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है,
और यह अनंत है यदि:
और यह अनंत है यदि,
*किसी भी प्राकृतिक संख्या ''n'' के लिए, {0, 1, 2, ..., n−1} से ''A'' तक कोई एकैकी आच्छादन नहीं है।
*किसी भी प्राकृतिक संख्या ''n'' के लिए, {0, 1, 2, ..., n−1} से ''A'' तक कोई एकैकी आच्छादन नहीं है।


फिर, '''ZF''' निम्नलिखित निहितार्थ सिद्ध करता है: डेडेकाइंड-अनंत ⇒ द्वैत डेडेकाइंड-अनंत ⇒ दुर्बल डेडेकाइंड-अनंत ⇒ अनंत।
फिर, '''जेडएफ''' निम्नलिखित निहितार्थ सिद्ध करता है, डेडेकाइंड-अनंत ⇒ द्वैत डेडेकाइंड-अनंत ⇒ कमजोर डेडेकाइंड-अनंत ⇒ अनंत।


'''अनंत डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय वाले ZF के मॉडल उपस्थि'''त हैं। मान लीजिए ''ए'' एक ऐसा समुच्चय है, और ''बी'' ''ए'' से परिमित [[इंजेक्शन|अंतःक्षेपक]] अनुक्रमों का समुच्चय है। चूंकि ''ए'' अनंत है, फ़ंक्शन अंतिम तत्व को ''बी'' से अपने आप में छोड़ देता है, यह विशेषण है लेकिन विशेषण नहीं है, इसलिए ''बी'' दोहरी रूप से डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, चूंकि ''ए'' डेडेकाइंड-परिमित है, तो ''बी'' भी ऐसा ही है (यदि ''बी'' में एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय है, तो इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि ''बी'' के तत्व अंतःक्षेपक अनुक्रम हैं , कोई ''ए'') का अनगिनत अनंत उपसमुच्चय प्रदर्शित कर सकता है)।
अनंत डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय वाले जेडएफ के प्रारूप उपस्थित हैं। मान लीजिए ''A'' एक ऐसा समुच्चय है, जो ''B'' ''ए'' से परिमित [[इंजेक्शन|अंतःक्षेपण]] अनुक्रमों का समुच्चय है। चूंकि ''A'' अनंत है, तथा B से फलन अंतिम तत्व का बिंदु फलन ''आच्छादी'' है लेकिन एकैकी फलन नहीं है, इसलिए B दोहरे रूप से डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, चूंकि A डेडेकाइंड-परिमित है, तो B भी ऐसा ही है (यदि B में एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय है, तो इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि B के तत्व अंतःक्षेपक अनुक्रम हैं, कोई A का एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय प्रदर्शित कर सकता है)।


जब समुच्चय में अतिरिक्त संरचनाएं होती हैं, तो दोनों प्रकार की अनंतता को कभी-कभी ZF के बराबर सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ZF सिद्ध करता है कि एक सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है यदि और केवल यदि यह अनंत है।
जब समुच्चय में अतिरिक्त संरचनाएं होती हैं, तो दोनों प्रकार की अनंतता को कभी-कभी जेडएफ के बराबर सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जेडएफ सिद्ध करता है कि एक सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है यदि यह अनंत है।


==इतिहास==
==इतिहास==
इस शब्द का नाम जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार स्पष्ट रूप से इसकी परिभाषा पेश की थी। यह उल्लेखनीय है कि यह परिभाषा अनंत की पहली परिभाषा थी जो प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी (जब तक कि कोई पोंकारे का अनुसरण नहीं करता है और संख्या की धारणा को समुच्चय की धारणा से भी पहले नहीं मानता है)। हालाँकि ऐसी परिभाषा [[बर्नार्ड बोलजानो]] को ज्ञात थी, लेकिन 1819 में [[प्राग में चार्ल्स विश्वविद्यालय]] से उनके राजनीतिक निर्वासन की शर्तों के कारण उन्हें किसी भी लेकिन सबसे अस्पष्ट पत्रिकाओं में अपना काम प्रकाशित करने से रोका गया था। इसके अलावा, बोल्ज़ानो की परिभाषा अधिक सटीक रूप से एक संबंध थी इसे एक अनंत समुच्चय की परिभाषा के बजाय दो अनंत समुच्चयों के बीच रखा जाता है।
इस शब्द का नाम जर्मन गणितज्ञ [[रिचर्ड डेडेकाइंड]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार स्पष्ट रूप से इसकी परिभाषा प्रस्तावित की थी। यह उल्लेखनीय है कि यह परिभाषा अनंत की पहली परिभाषा थी जो [[प्राकृतिक संख्याओं]] की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी (जब तक कि कोई पोंकारे का अनुसरण नहीं करता है और संख्या की धारणा को समुच्चय की धारणा से भी पहले नहीं मानता है)। हालाँकि ऐसी परिभाषा [[बर्नार्ड बोलजानो]] को ज्ञात थी, लेकिन 1819 में [[प्राग में चार्ल्स विश्वविद्यालय|प्राग विश्वविद्यालय]] से उनके राजनीतिक निर्वासन की शर्तों के कारण उन्हें किसी भी लेकिन सबसे अस्पष्ट पत्रिकाओं में अपना काम प्रकाशित करने से रोका गया था। इसके अलावा, बोल्ज़ानो की परिभाषा अधिक सटीक रूप से एक संबंध थी जो दो अनंत समुच्चयों के बीच के बीच होती थी।


लंबे समय तक, कई गणितज्ञों ने इस विचार पर भी विचार नहीं किया कि अनंत समुच्चय और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय की धारणाओं के बीच कोई अंतर हो सकता है। वास्तव में, अंतर वास्तव में तब तक महसूस नहीं किया गया जब तक कि [[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] ने एसी को स्पष्ट रूप से तैयार नहीं किया। अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चयों के अस्तित्व का अध्ययन 1912 में [[बर्ट्रेंड रसेल]] और [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] द्वारा किया गया था; इन समुच्चयों को पहले मध्यस्थ कार्डिनल या डेडेकाइंड कार्डिनल कहा जाता था।
लंबे समय तक, कई गणितज्ञों ने इस विचार पर भी विचार नहीं किया कि अनंत समुच्चय और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय की धारणाओं के बीच कोई अंतर हो सकता है। वास्तव में, यह अंतर वास्तविक रूप से तब समझा गया था जब [[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] ने प्राचीनित रूप से एसी को स्पष्ट रूप से व्यक्त किया। अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चयों के अस्तित्व का अध्ययन 1912 में [[बर्ट्रेंड रसेल]] और [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] द्वारा किया गया था, इन समुच्चयों को पहले मध्यस्थ कार्डिनल या डेडेकाइंड कार्डिनल कहा जाता था।


गणितीय समुदाय के बीच पसंद के सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति के साथ, अनंत और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों से संबंधित ये मुद्दे अधिकांश गणितज्ञों के लिए कम केंद्रीय हो गए हैं। हालाँकि, डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों के अध्ययन ने परिमित और अनंत के बीच की सीमा को स्पष्ट करने के प्रयास में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, और एसी के इतिहास में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।
गणितीय समुदाय के बीच पसंद के सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति के साथ, अनंत और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों से संबंधित ये मुद्दे अधिकांश गणितज्ञों के लिए कम महत्वपूर्ण हो गए हैं। हालाँकि, डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों के अध्ययन ने परिमित और अनंत के बीच की सीमा को स्पष्ट करने के प्रयास में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, और साथ ही एसी के इतिहास में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।


==पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध==
==पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध==
चूंकि प्रत्येक अनंत सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, और चूंकि एसी [[सुव्यवस्थित प्रमेय]] के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय को सुव्यवस्थित किया जा सकता है, स्पष्ट रूप से सामान्य एसी का तात्पर्य है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, दोनों परिभाषाओं की तुल्यता एसी की पूर्ण शक्ति की तुलना में बहुत कमजोर है।
चूंकि प्रत्येक अनंत सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, और चूंकि एसी [[सुव्यवस्थित प्रमेय]] के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय को सुव्यवस्थित किया जा सकता है, स्पष्ट रूप से सामान्य एसी का तात्पर्य है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, दोनों परिभाषाओं की तुल्यता एसी की पूर्ण शक्ति की तुलना में बहुत कमजोर है।


विशेष रूप से, ZF का एक मॉडल उपस्थित है जिसमें एक अनंत समुच्चय उपस्थित है जिसमें कोई गणनीय समुच्चय उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए, इस मॉडल में, एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है। उपरोक्त के अनुसार, इस मॉडल में ऐसे समुच्चय को सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है।
विशेष रूप से, '''जेडएफ''' का एक प्रारूप उपस्थित है जिसमें एक अनंत समुच्चय उपस्थित है जिसमें कोई [[गणनीय अनंत]] उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए, इस प्रारूप में, एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है। उपरोक्त के अनुसार, इस प्रारूप में ऐसे समुच्चय को सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है।


यदि हम अभिगृहीत CC (अर्थात्, AC) मान लें<sub>ω</sub>), तो यह इस प्रकार है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इन दोनों परिभाषाओं की समानता वास्तव में सीसी से भी कमज़ोर है। स्पष्ट रूप से, ZF का एक मॉडल उपस्थित है जिसमें प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, फिर भी CC विफल रहता है (ZF की स्थिरता मानते हुए)।
यदि हम अभिगृहीत सीसी (अर्थात्, एसी<sub>ω)</sub> को मान लें, तो यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इन दोनों परिभाषाओं की समानता वास्तव में सीसी से भी कमज़ोर है। स्पष्ट रूप से, '''जेडएफ''' का एक प्रारूप उपस्थित है जिसमें प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, फिर भी सीसी विफल रहता है ('''जेडएफ''' की स्थिरता मानते हुए)।


==गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत के तुल्यता का प्रमाण==
==गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत के तुल्यता का प्रमाण==
यह कि प्रत्येक डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय अनंत है, इसे ZF में आसानी से सिद्ध किया जा सकता है, प्रत्येक परिमित समुच्चय में परिभाषा के अनुसार कुछ परिमित क्रमसूचक n के साथ एक आक्षेप होता है, और कोई n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध कर सकता है कि यह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है।
यह कि प्रत्येक डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय अनंत है, इसे जेडएफ में आसानी से सिद्ध किया जा सकता है, प्रत्येक परिमित समुच्चय में परिभाषा के अनुसार कुछ परिमित क्रमसूचक n के साथ एक आक्षेप होता है, और कोई n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध कर सकता है कि यह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है।


गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (निरूपण: अभिगृहीत सीसी) का उपयोग करके कोई व्यक्ति इसका विपरीत सिद्ध कर सकता है, अर्थात् प्रत्येक अनंत समुच्चय X, डेडेकाइंड-अनंत है, इस प्रकार:
[[गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध]] (निरूपण, अभिगृहीत सीसी) का उपयोग करके कोई व्यक्ति इसका विपरीत सिद्ध कर सकता है, अर्थात् प्रत्येक अनंत समुच्चय X, डेडेकाइंड-अनंत है, इस प्रकार,


सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याओं पर (अर्थात, परिमित क्रमसूचकों पर) एक फ़ंक्शन को परिभाषित करें {{nowrap|''f'' : '''N''' → Power(Power(''X''))}}, ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, f(n) आकार n के f(n) कभी खाली नहीं होता, अन्यथा X परिमित होता (जैसा कि n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है)।
सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याओं पर (अर्थात, परिमित क्रमसूचकों पर) एक फलन {{nowrap|''f'' : '''N''' → पावर(पावर(''X''))}} को परिभाषित करें, ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, f(n) आकार n ( अर्थात कि परिमित क्रमवाचक n के साथ एक एकैकी आच्छादन है) के X के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय हो। f(n) कभी रिक्त नहीं होता, अन्यथा X परिमित होता (जैसा कि n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है)।


f की [[छवि (गणित)]] गणनीय समुच्चय है {{nowrap|{''f''(''n'') {{!}} ''n'' ∈ '''N'''},}} जिनके सदस्य स्वयं अनंत (और संभवतः बेशुमार) समुच्चय हैं। गणनीय विकल्प के सिद्धांत का उपयोग करके हम इनमें से प्रत्येक समुच्चय से एक सदस्य चुन सकते हैं, और यह सदस्य स्वयं एक्स का एक सीमित उपसमुच्चय है। अधिक सटीक रूप से, गणनीय विकल्प के सिद्धांत के अनुसार, एक (गणनीय) समुच्चय उपस्थित है, {{nowrap|1=''G'' = {''g''(''n'') {{!}} ''n'' ∈ '''N'''},}} ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, g(n) f(n) का सदस्य हो और इसलिए आकार n के X का एक परिमित उपसमुच्चय हो।
f [[छवि (गणित)|प्रतिबिम्ब]] गणनीय समुच्चय {{nowrap|{''f''(''n'') {{!}} ''n'' ∈ '''N'''},}} है, जिनके सदस्य स्वयं अनंत (और संभवतः अगणनीय) समुच्चय हैं। गणनीय विकल्प के सिद्धांत का उपयोग करके हम इनमें से प्रत्येक समुच्चय से एक सदस्य चुन सकते हैं, और यह सदस्य स्वयं X का एक सीमित उपसमुच्चय है। अधिक सटीक रूप से, गणनीय विकल्प के सिद्धांत के अनुसार, एक (गणनीय) समुच्चय {{nowrap|1=''G'' = {''g''(''n'') {{!}} ''n'' ∈ '''N'''},}} उपस्थित है, ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, g(n) f(n) का सदस्य हो और इसलिए आकार n के X का एक परिमित उपसमुच्चय हो।


अब, हम U को G के सदस्यों के संघ के रूप में परिभाषित करते हैं। U, X का एक अनंत गणनीय उपसमुच्चय है, और प्राकृतिक संख्याओं से U पर एक आपत्ति है, {{nowrap|''h'' : '''N''' → ''U''}}, आसानी से परिभाषित किया जा सकता है। अब हम एक एकैकी आच्छादन को परिभाषित कर सकते हैं {{nowrap|''B'' : ''X'' → ''X'' \ ''h''(0)}} जो प्रत्येक सदस्य को यू में नहीं लेता है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एच (एन) लेता है {{nowrap|''h''(''n'' + 1)}}. इसलिए, एक्स डेडेकाइंड-अनंत है, और हमारा काम हो गया।
अब, हम U को G के सदस्यों के सम्मिलन के रूप में परिभाषित करते हैं। U, X का एक अनंत गणनीय उपसमुच्चय है, और प्राकृतिक संख्याओं से U, {{nowrap|''h'' : '''N''' → ''U''}} तक एक एकैकी आच्छादन को आसानी से परिभाषित किया जा सकता है। अब हम एक एकैकी आच्छादन {{nowrap|''B'' : ''X'' → ''X'' \ ''h''(0)}} को परिभाषित कर सकते हैं  जो प्रत्येक सदस्य को U में नहीं लेता है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए h(n) को  {{nowrap|''h''(''n'' + 1)}} में लेता है। इसलिए, X डेडेकाइंड-अनंत है, और हम पूर्ण कर चुके हैं।


==सामान्यीकरण==
==सामान्यीकरण==
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*[[Thomas Jech|Jech, Thomas J.]], ''The Axiom of Choice'', Dover Publications, 2008, {{ISBN|0-486-46624-8}}
*[[Thomas Jech|Jech, Thomas J.]], ''The Axiom of Choice'', Dover Publications, 2008, {{ISBN|0-486-46624-8}}
*Lam, Tsit-Yuen. ''A first course in noncommutative rings''. Volume 131 of [[Graduate Texts in Mathematics]]. 2nd ed. Springer, 2001. {{ISBN|0-387-95183-0}}
*Lam, Tsit-Yuen. ''A first course in noncommutative rings''. Volume 131 of [[Graduate Texts in Mathematics]]. 2nd ed. Springer, 2001. {{ISBN|0-387-95183-0}}
*Herrlich, Horst, ''Axiom of Choice'', Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN print edition 0075–8434, ISSN electronic edition: 1617-9692, in particular Section 4.1.
*Herrlich, Horst, ''Axiom of Choice'', Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN print edition 0075–8434, ISSN electronic edition, 1617-9692, in particular Section 4.1.
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"डेडेकाइंड परिमित" redirects here. For रिंग सिद्धांत से शब्द, see डेडेकाइंड-परिमित रिंग.

गणित में, एक समुच्चय A डेडेकाइंड-अनंत है (जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर) यदि A के कुछ उचित उपसमुच्चय B, A के बराबर है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि A से A के कुछ उचित उपसमुच्चय B पर एक विशेषण फलन उपस्थित है। एक समुच्चय 'डेडेकाइंड-परिमित' है यदि वह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है (अर्थात, ऐसी कोई एकैकी आच्छादन उपस्थित नहीं है)। 1888 में डेडेकाइंड द्वारा प्रस्तावित, डेडेकाइंड-अनंतता "अनंत" की पहली परिभाषा थी जो प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी।[1]

एक साधारण उदाहरण है ,जो प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। गैलीलियो के विरोधाभास से, एक एकैकी आच्छादन उपस्थित है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को उसके वर्ग संख्या n2 में प्रतिचित्रित करता है। चूँकि वर्गों का समुच्चय का एक उचित उपसमुच्चय है, इसलिए डेडेकाइंड-अनंत है।

जब तक गणित के मूलभूत संकट ने समुच्चय सिद्धांत के अधिक सावधानीपूर्वक अभिक्रिया की आवश्यकता नहीं दिखाई, तब तक अधिकांश गणितज्ञों ने यह मान लिया था कि एक समुच्चय अनंत है यदि वह डेडेकाइंड-अनंत है। बीसवीं सदी की शुरुआत में, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत, जो आज स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला रूप है, उसको रसेल के विरोधाभास जैसे विरोधाभासों से मुक्त समुच्चय के सिद्धांत को तैयार करने के लिए एक स्वयंसिद्ध प्रणाली के रूप में प्रस्तावित किया गया था। पसंद के मूल रूप से अत्यधिक विवादास्पद स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि एक समुच्चय डेडेकाइंड-परिमित है यदि यह सामान्य अर्थों में सीमित है। हालाँकि, पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफ) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का एक प्रारूप उपस्थित है जिसमें एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है, जो दर्शाता है कि जेडएफ के स्वयंसिद्ध यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं कि डेडेकाइंड-परिमित प्रत्येक समुच्चय परिमित है। [2][1] डेडेकाइंड द्वारा दी गई परिभाषाओं के अलावा समुच्चयों की परिमितता और अनंतता की परिभाषाएँ भी हैं जो पसंद के सिद्धांत पर निर्भर नहीं करती हैं।

एक अस्पष्ट रूप से संबंधित धारणा डेडेकाइंड-परिमित वलय की है।

अनंत समुच्चय की सामान्य परिभाषा से तुलना

"अनंत समुच्चय" की इस परिभाषा की तुलना सामान्य परिभाषा से की जानी चाहिए, एक समुच्चय A अनंत है जब इसे किसी परिमित क्रमसूचक के साथ एकैकी आच्छादन में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात् कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए रूप {0, 1, 2, ..., n−1} का एक समुच्चय - एक अनंत समुच्चय वह है जो एकैकी आच्छादन के अर्थ में वस्तुत, "परिमित नहीं" है।

19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, अधिकांश गणितज्ञों ने यह मान लिया कि एक समुच्चय अनंत है यदि वह डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इस तुल्यता को पसंद के सिद्धांत (एसी) (आमतौर पर "जेडएफ" के रूप में दर्शाया जाता है) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के सिद्धांतों के साथ सिद्ध नहीं किया जा सकता है। समतुल्यता सिद्ध करने के लिए एसी के पूर्ण सामर्थ्य की आवश्यकता नहीं है, वास्तव में, दो परिभाषाओं की तुल्यता गणनीय विकल्प (सीसी) के सिद्धांत की तुलना में पूर्णतः कमजोर है। (नीचे संदर्भ देखें।)

जेडएफ में डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय

एक समुच्चय A डेडेकाइंड-अनंत है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य (जेडएफ पर) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है,

यह द्वैत रूप से डेडेकाइंड-अनंत है यदि,

  • एक फलन f : A → A है जो आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं है,

यह कमजोर रूप से डेडेकाइंड-अनंत है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य (जेडएफ से अधिक) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है,

  • A से गणनीय अनंत समुच्चय पर एक आच्छादी मानचित्र उपस्थित है,
  • A का घात समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है,

और यह अनंत है यदि,

  • किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, {0, 1, 2, ..., n−1} से A तक कोई एकैकी आच्छादन नहीं है।

फिर, जेडएफ निम्नलिखित निहितार्थ सिद्ध करता है, डेडेकाइंड-अनंत ⇒ द्वैत डेडेकाइंड-अनंत ⇒ कमजोर डेडेकाइंड-अनंत ⇒ अनंत।

अनंत डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय वाले जेडएफ के प्रारूप उपस्थित हैं। मान लीजिए A एक ऐसा समुच्चय है, जो B ए से परिमित अंतःक्षेपण अनुक्रमों का समुच्चय है। चूंकि A अनंत है, तथा B से फलन अंतिम तत्व का बिंदु फलन आच्छादी है लेकिन एकैकी फलन नहीं है, इसलिए B दोहरे रूप से डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, चूंकि A डेडेकाइंड-परिमित है, तो B भी ऐसा ही है (यदि B में एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय है, तो इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि B के तत्व अंतःक्षेपक अनुक्रम हैं, कोई A का एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय प्रदर्शित कर सकता है)।

जब समुच्चय में अतिरिक्त संरचनाएं होती हैं, तो दोनों प्रकार की अनंतता को कभी-कभी जेडएफ के बराबर सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जेडएफ सिद्ध करता है कि एक सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है यदि यह अनंत है।

इतिहास

इस शब्द का नाम जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार स्पष्ट रूप से इसकी परिभाषा प्रस्तावित की थी। यह उल्लेखनीय है कि यह परिभाषा अनंत की पहली परिभाषा थी जो प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी (जब तक कि कोई पोंकारे का अनुसरण नहीं करता है और संख्या की धारणा को समुच्चय की धारणा से भी पहले नहीं मानता है)। हालाँकि ऐसी परिभाषा बर्नार्ड बोलजानो को ज्ञात थी, लेकिन 1819 में प्राग विश्वविद्यालय से उनके राजनीतिक निर्वासन की शर्तों के कारण उन्हें किसी भी लेकिन सबसे अस्पष्ट पत्रिकाओं में अपना काम प्रकाशित करने से रोका गया था। इसके अलावा, बोल्ज़ानो की परिभाषा अधिक सटीक रूप से एक संबंध थी जो दो अनंत समुच्चयों के बीच के बीच होती थी।

लंबे समय तक, कई गणितज्ञों ने इस विचार पर भी विचार नहीं किया कि अनंत समुच्चय और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय की धारणाओं के बीच कोई अंतर हो सकता है। वास्तव में, यह अंतर वास्तविक रूप से तब समझा गया था जब अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने प्राचीनित रूप से एसी को स्पष्ट रूप से व्यक्त किया। अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चयों के अस्तित्व का अध्ययन 1912 में बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड द्वारा किया गया था, इन समुच्चयों को पहले मध्यस्थ कार्डिनल या डेडेकाइंड कार्डिनल कहा जाता था।

गणितीय समुदाय के बीच पसंद के सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति के साथ, अनंत और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों से संबंधित ये मुद्दे अधिकांश गणितज्ञों के लिए कम महत्वपूर्ण हो गए हैं। हालाँकि, डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों के अध्ययन ने परिमित और अनंत के बीच की सीमा को स्पष्ट करने के प्रयास में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, और साथ ही एसी के इतिहास में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध

चूंकि प्रत्येक अनंत सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, और चूंकि एसी सुव्यवस्थित प्रमेय के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय को सुव्यवस्थित किया जा सकता है, स्पष्ट रूप से सामान्य एसी का तात्पर्य है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, दोनों परिभाषाओं की तुल्यता एसी की पूर्ण शक्ति की तुलना में बहुत कमजोर है।

विशेष रूप से, जेडएफ का एक प्रारूप उपस्थित है जिसमें एक अनंत समुच्चय उपस्थित है जिसमें कोई गणनीय अनंत उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए, इस प्रारूप में, एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है। उपरोक्त के अनुसार, इस प्रारूप में ऐसे समुच्चय को सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है।

यदि हम अभिगृहीत सीसी (अर्थात्, एसीω) को मान लें, तो यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इन दोनों परिभाषाओं की समानता वास्तव में सीसी से भी कमज़ोर है। स्पष्ट रूप से, जेडएफ का एक प्रारूप उपस्थित है जिसमें प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, फिर भी सीसी विफल रहता है (जेडएफ की स्थिरता मानते हुए)।

गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत के तुल्यता का प्रमाण

यह कि प्रत्येक डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय अनंत है, इसे जेडएफ में आसानी से सिद्ध किया जा सकता है, प्रत्येक परिमित समुच्चय में परिभाषा के अनुसार कुछ परिमित क्रमसूचक n के साथ एक आक्षेप होता है, और कोई n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध कर सकता है कि यह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है।

गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (निरूपण, अभिगृहीत सीसी) का उपयोग करके कोई व्यक्ति इसका विपरीत सिद्ध कर सकता है, अर्थात् प्रत्येक अनंत समुच्चय X, डेडेकाइंड-अनंत है, इस प्रकार,

सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याओं पर (अर्थात, परिमित क्रमसूचकों पर) एक फलन f : N → पावर(पावर(X)) को परिभाषित करें, ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, f(n) आकार n ( अर्थात कि परिमित क्रमवाचक n के साथ एक एकैकी आच्छादन है) के X के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय हो। f(n) कभी रिक्त नहीं होता, अन्यथा X परिमित होता (जैसा कि n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है)।

f प्रतिबिम्ब गणनीय समुच्चय {f(n) | n ∈ N}, है, जिनके सदस्य स्वयं अनंत (और संभवतः अगणनीय) समुच्चय हैं। गणनीय विकल्प के सिद्धांत का उपयोग करके हम इनमें से प्रत्येक समुच्चय से एक सदस्य चुन सकते हैं, और यह सदस्य स्वयं X का एक सीमित उपसमुच्चय है। अधिक सटीक रूप से, गणनीय विकल्प के सिद्धांत के अनुसार, एक (गणनीय) समुच्चय G = {g(n) | n ∈ N}, उपस्थित है, ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, g(n) f(n) का सदस्य हो और इसलिए आकार n के X का एक परिमित उपसमुच्चय हो।

अब, हम U को G के सदस्यों के सम्मिलन के रूप में परिभाषित करते हैं। U, X का एक अनंत गणनीय उपसमुच्चय है, और प्राकृतिक संख्याओं से U, h : N → U तक एक एकैकी आच्छादन को आसानी से परिभाषित किया जा सकता है। अब हम एक एकैकी आच्छादन B : X → X \ h(0) को परिभाषित कर सकते हैं जो प्रत्येक सदस्य को U में नहीं लेता है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए h(n) को h(n + 1) में लेता है। इसलिए, X डेडेकाइंड-अनंत है, और हम पूर्ण कर चुके हैं।

सामान्यीकरण

यदि समुच्चय की श्रेणी में, प्रत्येक एकरूपता f : A → A एक समरूपता है तो श्रेणी -सैद्धांतिक शब्दों में,व्यक्त एक समुच्चय A डेडेकाइंड-परिमित होगा। एक वॉन न्यूमैन नियमित रिंग R में (बाएं या दाएं) तथा R-मापांक की श्रेणी में समान गुण होता है यदि केवल R में, xy = 1 हो तो इसका अर्थ yx = 1 होगा। अधिक आम तौर पर, डेडेकाइंड-परिमित रिंग कोई भी रिंग होती है जो बाद की स्थिति को संतुष्ट करती है। सावधान रहें कि एक रिंग डेडेकाइंड-परिमित हो सकती है, भले ही उसका अंतर्निहित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत हो, उदाहरण के लिए पूर्णांक।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ 1.0 1.1 Moore, Gregory H. (2013) [unabridged republication of the work originally published in 1982 as Volume 8 in the series "Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences" by Springer-Verlag, New York]. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence. Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.
  2. ↑ Herrlich, Horst (2006). पसंद का सिद्धांत. Lecture Notes in Mathematics 1876. Springer-Verlag. ISBN 978-3540309895.


संदर्भ

  • Faith, Carl Clifton. Mathematical surveys and monographs. Volume 65. American Mathematical Society. 2nd ed. AMS Bookstore, 2004. ISBN 0-8218-3672-2
  • Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice, Springer-Verlag, 1982 (out-of-print), ISBN 0-387-90670-3, in particular pp. 22-30 and tables 1 and 2 on p. 322-323
  • Jech, Thomas J., The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8
  • Lam, Tsit-Yuen. A first course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate Texts in Mathematics. 2nd ed. Springer, 2001. ISBN 0-387-95183-0
  • Herrlich, Horst, Axiom of Choice, Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN print edition 0075–8434, ISSN electronic edition, 1617-9692, in particular Section 4.1.
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