तुलनीयता (समूह सिद्धांत): Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत|'''समूह सिद्धांत''']] में, दो समूह '''तुलनीय''' होते हैं यदि वे एक सटीक अर्थ में केवल एक सीमित मात्रा में भिन्न होते हैं। एक [[उपसमूह]] का अनुरूपक एक अन्य उपसमूह है, जो सामान्यीकरणकर्ता से संबंधित है।
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गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, दो समूह तुलनीय होते हैं यदि वे एक सटीक अर्थ में केवल एक सीमित मात्रा में भिन्न होते हैं। एक [[उपसमूह]] का अनुरूपक एक अन्य उपसमूह है, जो सामान्यीकरणकर्ता से संबंधित है।


==समूह सिद्धांत में अनुरूपता==
==समूह सिद्धांत में अनुरूपता==
दो [[समूह (गणित)]] जी<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> यदि उपसमूह ''एच'' हैं तो इसे (अमूर्त रूप से) तुलनीय कहा जाता है<sub>1</sub> ⊂ जी<sub>1</sub> और वह<sub>2</sub> ⊂ जी<sub>2</sub> [[परिमित सेट]] इंडेक्स (समूह सिद्धांत) का ऐसा एच<sub>1</sub> H के लिए [[समूह समरूपता]] है<sub>2</sub>.<ref>Druțu & Kapovich (2018), Definition 5.13.</ref> उदाहरण के लिए:
दो समूहों G<sub>1</sub> और G<sub>2</sub> को (अमूर्त रूप से) अनुरूप कहा जाता है यदि परिमित सूचकांक के उपसमूह H<sub>1</sub> ⊂ G<sub>1</sub> और H<sub>2</sub> ⊂ G<sub>2</sub> हैं जैसे कि H<sub>1</sub>, H<sub>2</sub> के समरूपी है। <ref>Druțu & Kapovich (2018), Definition 5.13.</ref> उदाहरण के लिए:
*एक समूह तभी सीमित होता है जब वह तुच्छ समूह के अनुरूप हो।
*एक समूह तभी सीमित होता है जब वह तुच्छ समूह के अनुरूप हो।
*कम से कम 2 जेनरेटर पर कोई भी दो अंतिम रूप से उत्पन्न [[मुक्त समूह]] एक दूसरे के साथ तुलनीय हैं।<ref>Druțu & Kapovich (2018), Proposition 7.80.</ref> समूह मॉड्यूलर समूह|SL(2,'Z') भी इन मुक्त समूहों के अनुरूप है।
*कम से कम 2 जनित्र पर कोई भी दो अंतिम रूप से उत्पन्न [[मुक्त समूह]] एक दूसरे के साथ तुलनीय हैं। <ref>Druțu & Kapovich (2018), Proposition 7.80.</ref> समूह मॉड्यूलर समूह SL(2,'Z') भी इन मुक्त समूहों के अनुरूप है।
*[[जीनस (गणित)]] के कोई भी दो [[सतह समूह]] कम से कम 2 एक दूसरे के अनुरूप हैं।
*[[जीनस (गणित)]] के कोई भी दो [[सतह समूह]] कम से कम 2 एक दूसरे के अनुरूप हैं।


किसी दिए गए समूह के उपसमूहों के लिए एक अलग लेकिन संबंधित धारणा का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, दो उपसमूह Γ<sub>1</sub> और Γ<sub>2</sub> यदि [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)]] Γ है, तो समूह G को 'अनुरूपणीय' कहा जाता है<sub>1</sub> ∩ सी<sub>2</sub> दोनों Γ में परिमित सूचकांक है<sub>1</sub> और Γ<sub>2</sub>. स्पष्ट रूप से इसका तात्पर्य यह है कि Γ<sub>1</sub> और Γ<sub>2</sub> अमूर्त रूप से तुलनीय हैं।
किसी दिए गए समूह के उपसमूहों के लिए एक अलग लेकिन संबंधित धारणा का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, समूह G के दो उपसमूह Γ<sub>1</sub> और Γ<sub>2</sub> को तुलनीय कहा जाता है यदि प्रतिच्छेदन Γ<sub>1</sub> ∩ Γ<sub>2</sub> Γ<sub>1</sub> और Γ<sub>2</sub> दोनों में परिमित सूचकांक है। स्पष्ट रूप से इसका तात्पर्य यह है कि Γ<sub>1</sub> और Γ<sub>2</sub> अमूर्त रूप से तुलनीय हैं।


उदाहरण: गैर-शून्य [[वास्तविक संख्या]] ए और बी के लिए, 'आर' का उपसमूह, ए द्वारा समूह का सेट उत्पन्न करना, बी द्वारा उत्पन्न उपसमूह के साथ तुलनीय है यदि और केवल यदि वास्तविक संख्या ए और बी तुलनीयता (गणित) हैं, जिसका अर्थ है कि ए /b परिमेय संख्या 'Q' से संबंधित है।
उदाहरण: गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं A और B के लिए, A द्वारा उत्पन्न आर का उपसमूह B द्वारा उत्पन्न उपसमूह के साथ तुलनीय है यदि और केवल यदि वास्तविक संख्याएं A और B तुलनीय हैं, जिसका अर्थ है कि A/B तर्कसंगत संख्या Q से संबंधित है।


[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, एक [[अंतिम रूप से उत्पन्न समूह]] को मीट्रिक शब्द का उपयोग करके [[मीट्रिक स्थान]] के रूप में देखा जाता है। यदि दो समूह (अमूर्त रूप से) तुलनीय हैं, तो वे अर्ध-आइसोमेट्री|अर्ध-आइसोमेट्रिक हैं।<ref>Druțu & Kapovich (2018), Corollary 8.47.</ref> यह पूछना उपयोगी रहा है कि बातचीत कब होती है।
[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, एक [[अंतिम रूप से उत्पन्न समूह]] को मीट्रिक शब्द का उपयोग करके [[मीट्रिक स्थान]] के रूप में देखा जाता है। यदि दो समूह (अमूर्त रूप से) तुलनीय हैं, तो वे अर्ध-सममितीय हैं। <ref>Druțu & Kapovich (2018), Corollary 8.47.</ref> यह पूछना उपयोगी रहा है कि वार्तालाप कब होती है।


रैखिक बीजगणित में एक समान धारणा है: एक सदिश समष्टि V के दो [[रैखिक उपस्थान]] S और T 'अनुरूपणीय' हैं यदि प्रतिच्छेदन S ∩ T का S और T दोनों में परिमित [[ संहिताकरण ]] है।
रैखिक बीजगणित में एक समान धारणा है: एक सदिश समष्टि V के दो [[रैखिक उपस्थान]] S और T 'अनुरूपणीय' हैं यदि प्रतिच्छेदन S ∩ T का S और T दोनों में परिमित[[ संहिताकरण ]]है।


==टोपोलॉजी में==
==सांस्थिति में==
दो पथ-संबंधित [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] स्थान को कभी-कभी तुलनीय कहा जाता है यदि उनके पास [[होमियोमोर्फिज्म]] परिमित-शीट वाले [[जगह को कवर करना]] हैं। विचाराधीन स्थान के प्रकार के आधार पर, कोई व्यक्ति परिभाषा में होमोमोर्फिज्म के बजाय होमोटॉपी तुल्यता या [[ भिन्नता ]] का उपयोग करना चाह सकता है। कवरिंग रिक्त स्थान और [[मौलिक समूह]] के बीच संबंध के अनुसार, तुलनीय रिक्त स्थान में तुलनीय मौलिक समूह होते हैं।
दो पथ-संबंधित [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] स्थान को कभी-कभी तुलनीय कहा जाता है यदि उनके पास [[होमियोमोर्फिज्म]] परिमित-शीट वाले [[जगह को कवर करना|समुपयोग समष्टि]] हैं। विचाराधीन स्थान के प्रकार के आधार पर, कोई व्यक्ति परिभाषा में होमोमोर्फिज्म के स्थान पर समस्थेयता तुल्यता या [[ भिन्नता |भिन्नता]] का उपयोग करना चाह सकता है। कवरिंग रिक्त स्थान और [[मौलिक समूह]] के बीच संबंध के अनुसार, तुलनीय रिक्त स्थान में तुलनीय मौलिक समूह होते हैं।


उदाहरण: [[गिसेकिंग मैनिफ़ोल्ड]] [[आकृति-आठ गाँठ (गणित)]]|आकृति-आठ गाँठ के पूरक के अनुरूप है; ये दोनों परिमित आयतन के [[ सघन स्थान ]] [[अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड]] हैं। दूसरी ओर, कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के और गैर-कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के परिमित आयतन के भी अनंत रूप से कई अलग-अलग अनुरूपता वर्ग हैं।<ref>Maclachlan & Reid (2003), Corollary 8.4.2.</ref>
उदाहरण: [[गिसेकिंग मैनिफ़ोल्ड]] आकृति-आठ गाँठ के पूरक के अनुरूप है; ये दोनों परिमित आयतन के [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] [[अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड]] हैं। दूसरी ओर, सघन अतिशयोक्तिपूर्ण 3-बहुविध के और गैर-सघन अतिशयोक्तिपूर्ण 3-बहुविध के परिमित आयतन के भी अनंत रूप से कई अलग-अलग अनुरूपता वर्ग हैं। <ref>Maclachlan & Reid (2003), Corollary 8.4.2.</ref>




==अनुमानक==
==अनुमानक==
समूह ''जी'' के उपसमूह Γ का अनुरूपक, कॉम को दर्शाता है<sub>''G''</sub>(Γ), G के तत्वों g का समुच्चय है जो इस प्रकार है कि [[आंतरिक स्वचालितता]] उपसमूह gΓg है<sup>−1</sup> Γ के अनुरूप है।<ref>Druțu & Kapovich (2018), Definition 5.17.</ref> दूसरे शब्दों में,
समूह G के उपसमूह Γ का अनुरूपक, जिसे CommG(Γ) कहा जाता है, G के तत्वों g का समुच्चय है, जिससे कि संयुग्म उपसमूह gΓg−1 Γ के अनुरूप हो। <ref>Druțu & Kapovich (2018), Definition 5.17.</ref> दूसरे शब्दों में,
: <math>\operatorname{Comm}_G(\Gamma)=\{g\in G : g\Gamma g^{-1} \cap \Gamma \text{ has finite index in both } \Gamma \text{ and } g\Gamma g^{-1}\}.</math>
: <math>\operatorname{Comm}_G(\Gamma)=\{g\in G : g\Gamma g^{-1} \cap \Gamma \text{ has finite index in both } \Gamma \text{ and } g\Gamma g^{-1}\}.</math>
यह G का एक उपसमूह है जिसमें नॉर्मलाइज़र N शामिल है<sub>''G''</sub>(Γ) (और इसलिए इसमें Γ शामिल है)।
यह G का एक उपसमूह है जिसमें नॉर्मलाइज़र N<sub>''G''</sub>(Γ) सम्मिलित है (और इसलिए इसमें Γ सम्मिलित है)।


उदाहरण के लिए, SL(n,'R') में [[विशेष रैखिक समूह]] SL(n,'Z') के अनुरूपक में SL(n,'Q') होता है। विशेष रूप से, SL(n,'R') में SL(n,'Z') का अनुरूपक SL(n,'R') में सघन सेट है। अधिक आम तौर पर, [[ग्रिगोरी मार्गुलिस]] ने दिखाया कि एक अर्धसरल लाई समूह G में एक जाली (असतत उपसमूह) का अनुरूपक G में सघन है यदि और केवल यदि Γ G का एक [[अंकगणितीय उपसमूह]] है।<ref>Margulis (1991), Chapter IX, Theorem B.</ref>
उदाहरण के लिए, SL(n,'R') में [[विशेष रैखिक समूह]] SL(n,'Z') के अनुरूपक में SL(n,'Q') होता है। विशेष रूप से, SL(n,'R') में SL(n,'Z') का अनुरूपक SL(n,'R') में सघन सम्मुच्चय है। अधिक सामान्यतः, [[ग्रिगोरी मार्गुलिस]] ने दिखाया कि एक अर्धसरल लाई समूह G में एक जाली (असतत उपसमूह) का अनुरूपक G में सघन है यदि और केवल यदि Γ G का एक [[अंकगणितीय उपसमूह]] है। <ref>Margulis (1991), Chapter IX, Theorem B.</ref>




== अमूर्त अनुरूपक ==
== अमूर्त अनुरूपक ==


किसी समूह का अमूर्त तुल्यकारक <math>G</math>, कॉम दर्शाया गया है<math>(G)</math>, समरूपता के समतुल्य वर्गों का समूह है <math>\phi : H \to K</math>, कहाँ <math>H</math> और <math>K</math> के परिमित सूचकांक उपसमूह हैं <math>G</math>, रचना के अंतर्गत.<ref>Druțu & Kapovich (2018), Section 5.2.</ref> घटक <math>\text{Comm}(G)</math> के अनुरूपक कहलाते हैं <math>G</math>.
समूह G का अमूर्त अनुरूपक, जिसे <math>\text{Comm}(G)</math> कहा जाता है, समरूपता के समतुल्य वर्गों का समूह है, जहां <math>\phi : H \to K</math>, संरचना के अंतर्गत <math>G</math> के परिमित सूचकांक उपसमूह हैं। <math>\text{Comm}</math> के अवयव को G के अनुरूपक कहा जाता है।


अगर <math>G</math> एक जुड़ा हुआ अर्धसरल लाई समूह है लाई समूह समरूपी नहीं है <math>\text{PSL}_2(\mathbb{R})</math>, तुच्छ केंद्र के साथ और कोई कॉम्पैक्ट कारक नहीं, फिर मोस्टो कठोरता प्रमेय द्वारा, किसी भी इरेड्यूसेबल [[जाली (समूह)]] का अमूर्त अनुरूपक <math>\Gamma \leq G</math> रैखिक है. इसके अलावा, यदि <math>\Gamma</math> अंकगणित है, तो कॉम<math>(\Gamma)</math> के घने उपसमूह के लिए वस्तुतः समरूपी है <math>G</math>, अन्यथा कॉम<math>(\Gamma)</math> वस्तुतः समरूपी है <math>\Gamma</math>.
यदि G एक जुड़ा हुआ अर्धसरल झूठ समूह है जो <math>\text{PSL}_2(\mathbb{R})</math> के समरूपी नहीं है, तुच्छ केंद्र और कोई सघन कारकों के साथ, तो मोस्टो कठोरता प्रमेय द्वारा, किसी भी अलघुकरणीय जाली का अमूर्त तुलनित्र <math>\Gamma \leq G</math> रैखिक होता है। इसके अतिरिक्त, यदि <math>\Gamma</math>अंकगणितीय है, तो Comm <math>G</math> वास्तव में G के घने उपसमूह के लिए समरूपी है, अन्यथा Comm <math>G</math> वस्तुतः <math>(\Gamma)</math> के लिए समरूपी है। <ref>Druțu & Kapovich (2018), Section 5.2.</ref>


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
*{{Citation | author1-last=Druțu | author1-first=Cornelia | author1-link=Cornelia Druțu | author2-last=Kapovich | author2-first=Michael | authorlink2=Michael Kapovich | title=Geometric Group Theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2018 | isbn=9781470411046 | mr=3753580}}
*{{Citation | author1-last=ड्रूसु | author1-first=कॉर्नेलिया | author1-link=कॉर्नेलिया ड्रूसु | author2-last=Kapovich | author2-first=माइकल | authorlink2=Michael Kapovich | title=Geometric Group Theory | publisher=[[अमेरिकन गणितीय सोसायटी]] | year=2018 | isbn=9781470411046 | mr=3753580}}
*{{Citation | author1-first=Colin | author1-last=Maclachlan | author2-first=Alan W. | author2-last=Reid | title=The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds | publisher=[[Springer Nature]] | year=2003 | isbn=0-387-98386-4 | mr=1937957}}
*{{Citation | author1-first=Colin | author1-last=Maclachlan | author2-first=Alan W. | author2-last=Reid | title=The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds | publisher=[[Springer Nature]] | year=2003 | isbn=0-387-98386-4 | mr=1937957}}
*{{Citation | author1-first=Grigory | author1-last=Margulis | author1-link=Grigory Margulis | title=Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups | publisher=[[Springer Nature]] | year=1991 | isbn=3-540-12179-X | mr=1090825}}
*{{Citation | author1-first=Grigory | author1-last=Margulis | author1-link=Grigory Margulis | title=Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups | publisher=[[Springer Nature]] | year=1991 | isbn=3-540-12179-X | mr=1090825}}
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Latest revision as of 11:48, 8 November 2023

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, दो समूह तुलनीय होते हैं यदि वे एक सटीक अर्थ में केवल एक सीमित मात्रा में भिन्न होते हैं। एक उपसमूह का अनुरूपक एक अन्य उपसमूह है, जो सामान्यीकरणकर्ता से संबंधित है।

समूह सिद्धांत में अनुरूपता

दो समूहों G1 और G2 को (अमूर्त रूप से) अनुरूप कहा जाता है यदि परिमित सूचकांक के उपसमूह H1 ⊂ G1 और H2 ⊂ G2 हैं जैसे कि H1, H2 के समरूपी है। [1] उदाहरण के लिए:

  • एक समूह तभी सीमित होता है जब वह तुच्छ समूह के अनुरूप हो।
  • कम से कम 2 जनित्र पर कोई भी दो अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त समूह एक दूसरे के साथ तुलनीय हैं। [2] समूह मॉड्यूलर समूह SL(2,'Z') भी इन मुक्त समूहों के अनुरूप है।
  • जीनस (गणित) के कोई भी दो सतह समूह कम से कम 2 एक दूसरे के अनुरूप हैं।

किसी दिए गए समूह के उपसमूहों के लिए एक अलग लेकिन संबंधित धारणा का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, समूह G के दो उपसमूह Γ1 और Γ2 को तुलनीय कहा जाता है यदि प्रतिच्छेदन Γ1 ∩ Γ2 Γ1 और Γ2 दोनों में परिमित सूचकांक है। स्पष्ट रूप से इसका तात्पर्य यह है कि Γ1 और Γ2 अमूर्त रूप से तुलनीय हैं।

उदाहरण: गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं A और B के लिए, A द्वारा उत्पन्न आर का उपसमूह B द्वारा उत्पन्न उपसमूह के साथ तुलनीय है यदि और केवल यदि वास्तविक संख्याएं A और B तुलनीय हैं, जिसका अर्थ है कि A/B तर्कसंगत संख्या Q से संबंधित है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह को मीट्रिक शब्द का उपयोग करके मीट्रिक स्थान के रूप में देखा जाता है। यदि दो समूह (अमूर्त रूप से) तुलनीय हैं, तो वे अर्ध-सममितीय हैं। [3] यह पूछना उपयोगी रहा है कि वार्तालाप कब होती है।

रैखिक बीजगणित में एक समान धारणा है: एक सदिश समष्टि V के दो रैखिक उपस्थान S और T 'अनुरूपणीय' हैं यदि प्रतिच्छेदन S ∩ T का S और T दोनों में परिमितसंहिताकरण है।

सांस्थिति में

दो पथ-संबंधित सांस्थितिक समष्टि स्थान को कभी-कभी तुलनीय कहा जाता है यदि उनके पास होमियोमोर्फिज्म परिमित-शीट वाले समुपयोग समष्टि हैं। विचाराधीन स्थान के प्रकार के आधार पर, कोई व्यक्ति परिभाषा में होमोमोर्फिज्म के स्थान पर समस्थेयता तुल्यता या भिन्नता का उपयोग करना चाह सकता है। कवरिंग रिक्त स्थान और मौलिक समूह के बीच संबंध के अनुसार, तुलनीय रिक्त स्थान में तुलनीय मौलिक समूह होते हैं।

उदाहरण: गिसेकिंग मैनिफ़ोल्ड आकृति-आठ गाँठ के पूरक के अनुरूप है; ये दोनों परिमित आयतन के सघन स्थान अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड हैं। दूसरी ओर, सघन अतिशयोक्तिपूर्ण 3-बहुविध के और गैर-सघन अतिशयोक्तिपूर्ण 3-बहुविध के परिमित आयतन के भी अनंत रूप से कई अलग-अलग अनुरूपता वर्ग हैं। [4]


अनुमानक

समूह G के उपसमूह Γ का अनुरूपक, जिसे CommG(Γ) कहा जाता है, G के तत्वों g का समुच्चय है, जिससे कि संयुग्म उपसमूह gΓg−1 Γ के अनुरूप हो। [5] दूसरे शब्दों में,

यह G का एक उपसमूह है जिसमें नॉर्मलाइज़र NG(Γ) सम्मिलित है (और इसलिए इसमें Γ सम्मिलित है)।

उदाहरण के लिए, SL(n,'R') में विशेष रैखिक समूह SL(n,'Z') के अनुरूपक में SL(n,'Q') होता है। विशेष रूप से, SL(n,'R') में SL(n,'Z') का अनुरूपक SL(n,'R') में सघन सम्मुच्चय है। अधिक सामान्यतः, ग्रिगोरी मार्गुलिस ने दिखाया कि एक अर्धसरल लाई समूह G में एक जाली (असतत उपसमूह) का अनुरूपक G में सघन है यदि और केवल यदि Γ G का एक अंकगणितीय उपसमूह है। [6]


अमूर्त अनुरूपक

समूह G का अमूर्त अनुरूपक, जिसे कहा जाता है, समरूपता के समतुल्य वर्गों का समूह है, जहां , संरचना के अंतर्गत के परिमित सूचकांक उपसमूह हैं। के अवयव को G के अनुरूपक कहा जाता है।

यदि G एक जुड़ा हुआ अर्धसरल झूठ समूह है जो के समरूपी नहीं है, तुच्छ केंद्र और कोई सघन कारकों के साथ, तो मोस्टो कठोरता प्रमेय द्वारा, किसी भी अलघुकरणीय जाली का अमूर्त तुलनित्र रैखिक होता है। इसके अतिरिक्त, यदि अंकगणितीय है, तो Comm वास्तव में G के घने उपसमूह के लिए समरूपी है, अन्यथा Comm वस्तुतः के लिए समरूपी है। [7]

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Druțu & Kapovich (2018), Definition 5.13.
  2. ↑ Druțu & Kapovich (2018), Proposition 7.80.
  3. ↑ Druțu & Kapovich (2018), Corollary 8.47.
  4. ↑ Maclachlan & Reid (2003), Corollary 8.4.2.
  5. ↑ Druțu & Kapovich (2018), Definition 5.17.
  6. ↑ Margulis (1991), Chapter IX, Theorem B.
  7. ↑ Druțu & Kapovich (2018), Section 5.2.


संदर्भ

  • ड्रूसु, कॉर्नेलिया; Kapovich, माइकल (2018), Geometric Group Theory, अमेरिकन गणितीय सोसायटी, ISBN 9781470411046, MR 3753580
  • Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Springer Nature, ISBN 0-387-98386-4, MR 1937957
  • Margulis, Grigory (1991), Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Springer Nature, ISBN 3-540-12179-X, MR 1090825
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