कॉची समाकलन प्रमेय

Not to be confused with Cauchy's integral formula or Cauchy formula for repeated integration.

गणित में, मिश्रित विश्लेषण में कॉची समाकलन प्रमेय (जिसे कॉची-गॉरसैट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), जिसका नाम ऑगस्टिन-लुई कॉची (और एडौर्ड गौरसैट) के नाम पर रखा गया है, मिश्रित संख्या में होलोमोर्फिक फलन के लिए रेखीय समाकलन के बारे में एक महत्वपूर्ण कथन है। मूलतः यह कथन है कि यदि $f(z)$ किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन(क्षेत्र) Ω में होलोमोर्फिक है, फिर किसी भी सरल रूप से अवरूद्ध परिरेखा के लिए Ω में $C$ , परिरेखा समाकलन शून्य है।

$$\int _{C}f(z)\,dz=0.$$

कथन

मिश्रित रेखा समाकलनों के लिए मौलिक प्रमेय

यदि f(z) एक अनावृत डोमेन U पर होलोमोर्फिक फलन है, और U में $z_{0}$ से$z_{1}$ $\gamma$ एक वक्र है तब,

$$\int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0}).$$

इसके अतिरिक्त , जब f(z) एक अनावृत डोमेन U में एकल-मूल्यवान प्रतिअवकलन है , फिर पथ समाकलन ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$ सभी पथों U के लिए पथ स्वतंत्र पथ है।

सरलता से जुड़े डोमेनों पर सूत्रीकरण

माना की $U\subseteq \mathbb {C}$ एक सरल रूप से संयोजित अनावृत समुच्चय हो, और माना की $f:U\to \mathbb {C}$ एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की $\gamma :[a,b]\to U$ एक स्निग्ध अवरूद्ध वक्र हैं। तब

$$\int _{\gamma }f(z)\,dz=0.$$

(अनुबंध यह है कि $U$ संयोजित रहने का तात्पर्य है $U$ में कोई रिक्त स्थान नहीं है, या दूसरे शब्दों में, तो $U$ का यह मूल समूह नगण्य है)

सामान्य सूत्रीकरण

माना की $U\subseteq \mathbb {C}$ एक अनावृत समुच्चय है, और माना की $f:U\to \mathbb {C}$ एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की $\gamma :[a,b]\to U$ एक स्निग्ध अवरूद्ध वक्र हैं। यदि $\gamma$ एक स्थिर वक्र की समरूपता है, तो,

$$\int _{\gamma }f(z)\,dz=0.$$

(याद रखें कि वक्र स्थिर वक्र का समरूप है यदि उसके अंदर एक स्निग्ध समरूपता ( अंदर U में) वक्र से स्थिर वक्र तक उपस्थित है। सहज रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि कोई व्यक्ति अंतरिक्ष से बाहर निकले बिना वक्र को एक बिंदु में सिमटा सकता है।) पहला संस्करण इसका एक विशेष स्थिति है क्योंकि सरल रूप से जुड़े स्थान समुच्चय पर, प्रत्येक अवरूद्ध वक्र एक स्थिर वक्र का समरूप है।

मुख्य उदाहरण

दोनों ही स्थितियों में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वक्र $\gamma$ डोमेन में कोई रिक्त स्थान नहीं वलयता है, अन्यथा प्रमेय लागू नहीं होता है। एक प्रसिद्ध उदाहरण निम्नलिखित वक्र है

$$\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],$$

जो इकाई वृत्त का पता लगाता है। यहाँ निम्नलिखित समाकलन है:

$$\int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,$$

शून्येतर है. कॉची समाकलन प्रमेय यहां लागू नहीं होता है $f(z)=1/z$ पर परिभाषित नहीं है $z=0$. सहजता से, $\gamma$ के डोमेन में रिक्त स्थान $f$ को वलय लेता है , इसलिए $\gamma$ स्थान से बाहर निकले बिना किसी बिंदु तक सिमट नहीं जा सकता। इस प्रकार, प्रमेय लागू नहीं होता है।

चर्चा

जैसा कि एडौर्ड गौरसैट ने दिखाया, कॉची के समाकलन प्रमेय को केवल यह मानते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि मिश्रित व्युत्पन्न $f'(z)$ में प्रत्येक जगह $U$ उपस्थित है . यह महत्वपूर्ण है क्योंकि तब कोई इन कार्यों के लिए कॉची के समाकलन सूत्र को सिद्ध कर सकता है, और उससे यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि ये कार्य असीम रूप से अवकल हैं।

अनुबंध यह है कि $U$ बस जुड़े रहने का तात्पर्य है की $U$ में कोई रिक्त स्थान नहीं है या, समरूप शब्दों में, इसका मूल समूह $U$ नगण्य है; उदाहरण के लिए, प्रत्येक स्पष्ट डिस्क $U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}$, के लिए $z_{0}\in \mathbb {C}$, अर्हता प्राप्त करता है। स्थिति महत्वपूर्ण विचार करना

$$\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]$$

जो इकाई वृत्त और फिर पथ समाकलन का पता लगाता है

$$\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i$$

शून्येतर है; कॉची समाकलन प्रमेय यहां लागू नहीं होता है जब तक की $f(z)=1/z$,$z=0$ पर परिभाषित नहीं है (और निश्चित रूप से होलोमोर्फिक नहीं है)। प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि बस संयोजित करना डोमेन पर होलोमोर्फिक कार्यों के पथ समाकल की गणना कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से परिचित प्रयोग से की जा सकती है, माना कि $U$ का एक सरल रूप से संयोजित अनावृत उपसमुच्चय $\mathbb {C}$ है , माना की $f:U\to \mathbb {C}$ एक होलोमोर्फिक फलन है, और माना कि $\gamma$ प्रारंभ बिंदु $a$ और अंत बिंदु $b$,$U$ के साथ एकअंश में लगातार अलग-अलग पथ है, . यदि $F$ का एक मिश्रित प्रतिव्युत्पन्न $f$ है , तब

$$\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).$$

कॉची समाकलन प्रमेय ऊपर दी गई परिकल्पना से कमजोर परिकल्पना के साथ मान्य है, उदाहरण के लिए दिया गया $U$, एक सरल रूप से जुड़ा $\mathbb {C}$ का अनावृत उपसमुच्चय , हम धारणाओं को $f$ $U$ पर होलोमोर्फिक होना और निरंतर ${\textstyle {\overline {U}}}$ पर अवरूद्ध कमजोर कर सकते हैं, और $\gamma$ ${\textstyle {\overline {U}}}$ में एक सुधार योग्य सरल लूप है।

कॉची समाकलन प्रमेय कॉची के समाकलन सूत्र और रेसिडुए(परिशिष्ट) प्रमेय की ओर ले जाता है।

प्रमाण

यदि कोई मानता है कि होलोमोर्फिक फलन के आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं, तो कॉची समाकलन प्रमेय को ग्रीन के प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में सिद्ध किया जा सकता है और यह तथ्य कि वास्तविक और काल्पनिक भाग $f=u+iv$ से घिरे डोमेन $\gamma$ में और इसके अलावा इस क्षेत्र के अनावृत आसपास U में कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करना होगा। कॉची ने यह प्रमाण प्रदान किया, लेकिन बाद में इसे वेक्टर कैलकुलस, या आंशिक व्युत्पन्न (शब्द) की निरंतरता की तकनीकों की आवश्यकता के बिना गौरसैट द्वारा सिद्ध किया गया।

हम एकीकृत $f$ को साथ ही अवकल $dz$ को भी उनके वास्तविक और काल्पनिक घटकों में रोक सकते हैं

$$f=u+iv$$

$$dz=dx+i\,dy$$

इस सन्दर्भ में हमारे पास है

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)$$

ग्रीन के प्रमेय के अनुसार, हम अवरूद्ध परिरेखा के चारों ओर समाकलनों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं $\gamma$ पूरे डोमेन में एक समाकलन डोमेन के साथ $D$ जो कि $\gamma$ संलग्न है निम्नलिखितनुसार:

$$\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$$

$$\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$$

लेकिन डोमेन में फलन होलोमोर्फिक के वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में $D$, $u$ और $v$ कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते है यहाँ

$${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$$

$${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$$

इसलिए हम पाते हैं कि दोनों समाकलन (और इसलिए उनके समाकलन) शून्य हैं

$$\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0$$

$$\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0$$

इससे अभीष्ट परिणाम मिलता है

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$$

यह भी देखें

• मोरेरा का प्रमेय
• परिरेखा एकीकरण के प्रयोग
• स्टार डोमेन

संदर्भ

• Kodaira, Kunihiko (2007), Complex Analysis, Cambridge Stud. Adv. Math., 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5
• Ahlfors, Lars (2000), Complex Analysis, McGraw-Hill series in Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-000657-1
• Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
• Rudin, Walter (2000), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in mathematics, McGraw-Hill

बाहरी संबंध

• "Cauchy integral theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cauchy Integral Theorem". MathWorld.
• Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.