केंद्रीय द्विपद गुणांक: Difference between revisions

Latest revision as of 06:49, 1 August 2023

पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7. केंद्रीय स्तंभ में संख्याएँ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं।

गणित में nवां 'केंद्रीय द्विपद गुणांक'

{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {n+k}{k}}{\text{ for all }}n\geq 0

विशेष द्विपद गुणांक है।

वे पास्कल के त्रिभुज में सम-संख्या वाली पंक्तियों के ठीक बीच में दिखाई देते हैं इसीलिए इन्हे केंद्रीय कहा जाता है। n = 0 से प्रारम्भ होने वाले पहले कुछ केंद्रीय द्विपद गुणांक

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ...; (sequence A000984 in the OEIS) हैं।

संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण

केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब $n=2$ , द्विपद गुणांक ${\binom {2\cdot 2}{2}}$ 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA हैं।

वही केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ A और B से बनी लंबाई 2n के शब्दों की संख्या भी है जहां किसी भी बिंदु पर बाएं से दाएं पढ़ने पर A से अधिक B कभी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जब $n=2$ , लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम A की B जितनी प्रतियां AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB हैं।

2 के गुणनखंडों की संख्या ${\binom {2n}{n}}$ n के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है।^[1] परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।

फलन उत्पन्न करना

केंद्रीय द्विपद गुणांक के लिए सामान्य उत्पाद फलन

{\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .

है। इसे द्विपद श्रृंखला और संबंध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है

{\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}}

का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है,

जहाँ $\textstyle {\binom {-1/2}{n}}$ एक सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है।

केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय उत्पाद फलन होता है^[2]

\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),

जहां I₀ पहली तरह का एक संशोधित बेसेल फलन है।^[3]

केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का उत्पाद फलन पहले प्रकार के पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन

$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}x^{n}={\frac {4}{\pi (1+{\sqrt {1-16x}})}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-16x}}}{1+{\sqrt {1-16x}}}}\right)$

के संदर्भ में लिखा जा सकता है।^{[citation needed]}

स्पर्शोन्मुख वृद्धि

सरल सीमाएँ जो तत्काल $4^{n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}$ अनुसरण करती है,

{\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n}{\text{ for all }}n\geq 0

है।

स्पर्शोन्मुख व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से

{2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.

वर्णित किया जा सकता है। इसे वालिस उत्पाद में हेरफेर करके या स्टर्लिंग के सूत्र के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।^{[citation needed]}

अन्य जानकारी

केंद्रीय द्विपद गुणांक का आधा $\textstyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}$ (के लिए $n>0$ ) (sequence A001700 in the OEIS) वोल्स्टेनहोल्म के प्रमेय में देखा जाता है।

एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में प्रमाणित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक वर्गमुक्त नहीं है।

$\textstyle {\binom {2n}{n}}$ पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग^[3]

{2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}

है।

उदाहरण के लिए, ${\tbinom {6}{3}}=20=1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}$ .

एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े स्तर पर पर उपयोग किया है।

एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की घात $(n+1)\dots (2n)$ पूर्णतया $n$ है।

यह भी देखें

केंद्रीय त्रिपद गुणांक

संदर्भ

↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000120". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Stanley, Richard P. (2012), Enumerative Combinatorics, vol. 1 (2 ed.), Cambridge University Press, Example 1.1.15, ISBN 978-1-107-60262-5
↑ ^3.0 ^3.1 Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000984 (Central binomial coefficients)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

Koshy, Thomas (2008), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, ISBN 978-0-19533-454-8.

बाहरी संबंध

Central binomial coefficient at PlanetMath.

[1] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000120". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[2] Stanley, Richard P. (2012), Enumerative Combinatorics, vol. 1 (2 ed.), Cambridge University Press, Example 1.1.15, ISBN 978-1-107-60262-5

[Sloanes-3] 3.0 ^3.1 Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000984 (Central binomial coefficients)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Use American English|date = March 2019}}
 {{Short description|Sequence of numbers ((2n) choose (n))}}
-[[File:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7. केंद्रीय स्तंभ में संख्याएँ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं।]]गणित में nवां 'केंद्रीय [[द्विपद गुणांक]]' विशेष द्विपद गुणांक है
+[[File:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7. केंद्रीय स्तंभ में संख्याएँ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं।]]गणित में nवां ''''केंद्रीय [[द्विपद गुणांक|द्विपद गुणांक'<nowiki/>]]'''
-: <math>{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{n+k}{k} \text{ for all }n \geq 0.</math>
+: <math>{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{n+k}{k} \text{ for all }n \geq 0</math> विशेष द्विपद गुणांक है।
-उन्हें केंद्रीय कहा जाता है क्योंकि वे पास्कल के त्रिभुज में सम-संख्या वाली पंक्तियों के ठीक बीच में दिखाई देते हैं। n = 0 से शुरू होने वाले पहले कुछ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं:
+वे पास्कल के त्रिभुज में सम-संख्या वाली पंक्तियों के ठीक बीच में दिखाई देते हैं इसीलिए इन्हे केंद्रीय कहा जाता है। n = 0 से प्रारम्भ होने वाले पहले कुछ केंद्रीय द्विपद गुणांक
-:{{num|1}}, {{num|2}}, {{num|6}}, {{num|20}}, {{num|70}}, {{num|252}}, 924, 3432, 12870, 48620, ...; {{OEIS|id=A000984}}
+:{{num|1}}, {{num|2}}, {{num|6}}, {{num|20}}, {{num|70}}, {{num|252}}, 924, 3432, 12870, 48620, ...; {{OEIS|id=A000984}} हैं।
 ==संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण==
-केंद्रीय द्विपद गुणांक <math>\binom{2n}{n}</math> व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>n=2</math>, द्विपद गुणांक <math>\binom{2 \cdot 2}{2}</math> 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ हैं: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA।
+केंद्रीय द्विपद गुणांक <math>\binom{2n}{n}</math> व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>n=2</math>, द्विपद गुणांक <math>\binom{2 \cdot 2}{2}</math> 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ  AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA हैं।
-वही केंद्रीय द्विपद गुणांक <math>\binom{2n}{n}</math> A और B से बनी लंबाई 2n के शब्दों की संख्या भी है जहां किसी भी बिंदु पर बाएं से दाएं पढ़ने पर A से अधिक B कभी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>n=2</math>, लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम में कम से कम A की B जितनी प्रतियां हैं: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB।
+वही केंद्रीय द्विपद गुणांक <math>\binom{2n}{n}</math> A और B से बनी लंबाई 2n के शब्दों की संख्या भी है जहां किसी भी बिंदु पर बाएं से दाएं पढ़ने पर A से अधिक B कभी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>n=2</math>, लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम  A की B जितनी प्रतियां  AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB हैं।
-इंच के गुणनखंडों की संख्या <math>\binom{2n}{n}</math> n के द्विआधारी  प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है।<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A000120}}</ref> परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।
+के गुणनखंडों की संख्या <math>\binom{2n}{n}</math> n के द्विआधारी  प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है।<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A000120}}</ref> परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।
-==कार्य उत्पन्न करना==
+==फलन उत्पन्न करना==
-केंद्रीय द्विपद गुणांक के लिए सामान्य जनक फलन है
+केंद्रीय द्विपद गुणांक के लिए सामान्य उत्पाद फलन
-<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.</math>
+<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.</math>है।
 इसे [[द्विपद श्रृंखला]] और संबंध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है
-<math display="block">\binom{2n}{n} = (-1)^n 4^n \binom{-1/2}{n}, </math>जहाँ <math>\textstyle\binom{-1/2}{n}</math>एक सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है।
+<math display="block">\binom{2n}{n} = (-1)^n 4^n \binom{-1/2}{n} </math>का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है,
-केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय जनक कार्य होता है<ref>{{citation | last = Stanley | first = Richard P. | authorlink = Richard P. Stanley | title = Enumerative Combinatorics | volume = 1 | edition = 2 | at = Example 1.1.15 | publisher = Cambridge University Press | year = 2012 | isbn = 978-1-107-60262-5}}</ref><math display="block"> \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\frac{x^n}{n!} = e^{2x} I_0(2x), </math>जहां I<sub>0</sub> पहली तरह का एक संशोधित बेसेल फलन है।<ref name="Sloanes">{{Cite OEIS|sequencenumber=A000984|name=Central binomial coefficients}}</ref>
+जहाँ <math>\textstyle\binom{-1/2}{n}</math>एक सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है।
+केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय उत्पाद फलन होता है<ref>{{citation | last = Stanley | first = Richard P. | authorlink = Richard P. Stanley | title = Enumerative Combinatorics | volume = 1 | edition = 2 | at = Example 1.1.15 | publisher = Cambridge University Press | year = 2012 | isbn = 978-1-107-60262-5}}</ref><math display="block"> \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\frac{x^n}{n!} = e^{2x} I_0(2x), </math>जहां I<sub>0</sub> पहली तरह का एक संशोधित बेसेल फलन है।<ref name="Sloanes">{{Cite OEIS|sequencenumber=A000984|name=Central binomial coefficients}}</ref>
-केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का जनक फलन पहले प्रकार के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है:{{cn|date=December 2021}}
+केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का उत्पाद फलन पहले प्रकार के पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन
-:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}^2 x^{n} = \frac{4}{\pi(1 + \sqrt{1 - 16x})} K\left(\frac{1 - \sqrt{1 - 16x}}{1 + \sqrt{1 - 16x}}\right).</math>
+<math>\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}^2 x^{n} = \frac{4}{\pi(1 + \sqrt{1 - 16x})} K\left(\frac{1 - \sqrt{1 - 16x}}{1 + \sqrt{1 - 16x}}\right)</math>
+के संदर्भ में लिखा जा सकता है।{{cn|date=December 2021}}
+:
 ==स्पर्शोन्मुख वृद्धि==
-सरल सीमाएँ जो तुरंत अनुसरण करती हैं <math>4^n=(1+1)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}</math>
+सरल सीमाएँ जो तत्काल <math>4^n=(1+1)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}</math>अनुसरण करती है,
 <math display="block">\frac{4^n}{2n+1} \leq {2n \choose n} \leq 4^n\text{ for all }n \geq 0 </math> है।
-[[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण|स्पर्शोन्मुख]] व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:
+[[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण|स्पर्शोन्मुख]] व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से
-<math display="block"> {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.</math>
+<math display="block"> {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.</math>वर्णित किया जा सकता है।
 इसे [[वालिस उत्पाद]] में हेरफेर करके या स्टर्लिंग के सूत्र के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।{{cn|date=April 2023}}
 ==संबंधित क्रम==
-निकट से संबंधित [[कैटलन संख्या]] C<sub>''n''</sub> द्वारा दी गई है:
+निकट से संबंधित [[कैटलन संख्या]] C<sub>''n''</sub> द्वारा
 :<math>C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} -
-         {2n \choose n+1}\text{ for all }n \geq 0.</math>
+         {2n \choose n+1}\text{ for all }n \geq 0</math> दी गई है।
-केंद्रीय द्विपद गुणांकों का एक छोटा सा सामान्यीकरण उन्हें <math> \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n \Beta(n+1,n)}</math> के रूप में लेना है उपयुक्त वास्तविक संख्या n के साथ, जहाँ <math>\Gamma(x)</math> [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] है और <math>\Beta(x,y)</math> [[बीटा फ़ंक्शन|बीटा फलन]] है.
+केंद्रीय द्विपद गुणांकों का एक छोटा सा सामान्यीकरण उन्हें <math> \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n \Beta(n+1,n)}</math> के रूप में लेना है, उपयुक्त वास्तविक संख्या n के साथ, जहाँ <math>\Gamma(x)</math> [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] है और <math>\Beta(x,y)</math> [[बीटा फ़ंक्शन|बीटा फलन]] है।
-केंद्रीय द्विपद गुणांक को विभाजित करने वाले [[दो की शक्ति]] गोल्ड के अनुक्रम द्वारा दी गई है, जिसका nवां तत्व पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति n में विषम पूर्णांकों की संख्या है।
+केंद्रीय द्विपद गुणांक को विभाजित करने वाले [[दो की शक्ति|दो की घात]] गोल्ड के अनुक्रम द्वारा दी गई है, जिसका nवां तत्व पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति n में विषम पूर्णांकों की संख्या है।
-उत्पन्न  फलन का वर्ग करने से प्राप्त होता है
+उत्पन्न फलन का वर्ग करने से प्राप्त होता है
 :<math>\frac{1}{1-4x} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n</math>
@@ Line 58: / Line 63: @@
 केंद्रीय द्विपद गुणांक का आधा <math>\textstyle\frac12{2n \choose n} = {2n-1 \choose n-1}</math> (के लिए <math>n>0</math>) {{OEIS|id=A001700}} वोल्स्टेनहोल्म के प्रमेय में देखा जाता है।
-एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में साबित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक [[वर्गमुक्त पूर्णांक|वर्गमुक्त]] नहीं है।
+एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में प्रमाणित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक [[वर्गमुक्त पूर्णांक|वर्गमुक्त]] नहीं है।
-<math>\textstyle \binom{2n}{n}</math> पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग है:<ref name=Sloanes/>
+<math>\textstyle \binom{2n}{n}</math> पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग<ref name=Sloanes/>
-:<math>{2n \choose n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2</math>
+:<math>{2n \choose n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2</math>है।
 उदाहरण के लिए, <math>\tbinom{6}{3}=20=1^2+3^2+3^2+1^2</math>.
 एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े स्तर पर पर उपयोग किया है।
-एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की शक्ति <math>(n+1)\dots(2n)</math> बिलकुल {{mvar|n}} है।
+एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की घात<math>(n+1)\dots(2n)</math> पूर्णतया {{mvar|n}} है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 86: / Line 91: @@
 ==बाहरी संबंध==
 * {{planetmath|urlname=centralbinomialcoefficient|title=Central binomial coefficient}}
-[[Category: भाज्य और द्विपद विषय]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All Wikipedia articles written in American English]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from April 2023]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from December 2021]]
 [[Category:Created On 09/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Use American English from March 2019]]
+[[Category:भाज्य और द्विपद विषय]]

Anonymous

Search

केंद्रीय द्विपद गुणांक: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 06:49, 1 August 2023

Contents

संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण

फलन उत्पन्न करना

स्पर्शोन्मुख वृद्धि

संबंधित क्रम

अन्य जानकारी

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

केंद्रीय द्विपद गुणांक: Difference between revisions

Latest revision as of 06:49, 1 August 2023

संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण

फलन उत्पन्न करना

स्पर्शोन्मुख वृद्धि

संबंधित क्रम

अन्य जानकारी

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories