विहित रूपान्तरण संबंध

क्वांटम यांत्रिकी में, विहित रूपान्तरण संबंध विहित संयुग्म मात्राओं (मात्राएं जो परिभाषा से संबंधित होती हैं जैसे कि दूसरे का फूरियर रूपांतरण है) के मध्य मौलिक संबंध है। उदाहरण के लिए,

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I}$$

स्थिति संचालक में बिंदु कण की x दिशा में स्थिति x एवं संवेग p_x संचालक के मध्य जहां आयाम में बिंदु कण की दिशा, जहां [x , p_x] = x p_x − p_x x एवं p_x का कम्यूटेटर है, i काल्पनिक इकाई है, एवं ℏ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है h/2π, एवं $\mathbb {I}$ इकाई संचालक है. सामान्यतः, स्थिति एवं गति संचालको के वैक्टर हैं एवं स्थिति एवं गति के विभिन्न घटकों के मध्य उनके रूपान्तरण संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},$$

जहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

इस संबंध का श्रेय वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बोर्न एवं पास्कल जॉर्डन (1925) को दिया जाता है। जिन्होंने इसे सिद्धांत के अभिधारणा के रूप में कार्य करने वाली क्वांटम स्थिति कहा; इसे अर्ले हेस्से केनार्ड|ई द्वारा नोट किया गया था। केनार्ड (1927) वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत को प्रारम्भ करने के लिए स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय विहित कम्यूटेशन संबंध को संतुष्ट करने वाले संचालको के लिए एक विशिष्टता परिणाम देता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी से संबंध

इसके विपरीत, शास्त्रीय भौतिकी में, सभी अवलोकन योग्य वस्तुएँ आवागमन करती हैं एवं दिक्परिवर्तक शून्य होगा। चूंकि, अनुरूप संबंध उपस्थित है, जो कम्यूटेटर को पॉइसन ब्रैकेट से गुणा करके प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है iℏ,

$$\{x,p\}=1\,.$$

इस अवलोकन ने पॉल डिराक को क्वांटम समकक्षों का प्रस्ताव देने के लिए प्रेरित किया ${\hat {f}}$, ĝ शास्त्रीय अवलोकनों योग्य f, g संतुष्ट करते हैं

$$[{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.$$

1946 में, हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड ने प्रदर्शित किया, कि क्वांटम कम्यूटेटर एवं पॉइसन ब्रैकेट के मध्य सामान्य व्यवस्थित पत्राचार निरंतर स्थित नहीं रह सकता है। चूंकि, उन्होंने आगे सराहना की कि इस प्रकार का व्यवस्थित पत्राचार, वास्तव में, क्वांटम कम्यूटेटर एवं पॉइसन ब्रैकेट के विरूपण सिद्धांत के मध्य उपस्थित है, जिसे आज मोयल ब्रैकेट कहा जाता है, एवं सामान्यतः, क्वांटम संचालको एवं शास्त्रीय वेधशालाओं एवं चरण स्थान में वितरण के मध्य उपस्थित है। इस प्रकार उन्होंने अंततः सुसंगत पत्राचार तंत्र, विग्नर-वेइल ट्रांसफॉर्म को स्पष्ट किया, जो चरण-स्थान फॉर्मूलेशन के रूप में ज्ञात क्वांटम यांत्रिकी के वैकल्पिक समकक्ष गणितीय प्रतिनिधित्व को रेखांकित करता है।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी से व्युत्पत्ति

पत्राचार सिद्धांत के अनुसार, कुछ सीमाओं में राज्यों के क्वांटम समीकरणों को पॉइसन ब्रैकेट हैमिल्टन की गति के समीकरणों के निकट आना चाहिए। उत्तरार्द्ध सामान्यीकृत समन्वय q (जैसे स्थिति) एवं सामान्यीकृत गति p के मध्य निम्नलिखित संबंध बताता है:

$${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}$$

क्वांटम यांत्रिकी में हैमिल्टनियन ${\hat {H}}$, (सामान्यीकृत) समन्वय ${\hat {Q}}$ एवं (सामान्यीकृत) गति ${\hat {P}}$ सभी रैखिक संचालक हैं।

क्वांटम अवस्था का समय व्युत्पन्न है - $i{\hat {H}}/\hbar$ (श्रोडिंगर समीकरण द्वारा)। समान रूप से, चूंकि संचालक स्पष्ट रूप से समय-निर्भर नहीं हैं, इसलिए उन्हें हैमिल्टनियन के साथ उनके कम्यूटेशन संबंध के अनुसार समय में विकसित होते देखा जा सकता है (हाइजेनबर्ग चित्र देखें):

$${\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$$

$${\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.$$

हैमिल्टन की गति के समीकरणों के साथ शास्त्रीय सीमा में सामंजस्य स्थापित करने के लिए, $[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$ की उपस्थिति पर पूर्ण रूप से निर्भर होनी चाहिए, ${\hat {P}}$ हैमिल्टनियन में एवं $[{\hat {H}},{\hat {P}}]$ की उपस्थिति पर पूर्ण रूप से निर्भर होनी चाहिए, ${\hat {Q}}$ हैमिल्टनियन में, इसके अतिरिक्त चूंकि हैमिल्टनियन संचालक (सामान्यीकृत) समन्वय एवं गति संचालको पर निर्भर करता है, इसे कार्यात्मक के रूप में देखा जा सकता है, एवं हम लिख सकते हैं (कार्यात्मक व्युत्पन्न का उपयोग करके):

$$[{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]$$

$$[{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,\,.$$

शास्त्रीय सीमा प्राप्त करने के लिए हमारे पास यह होना चाहिए

$$[{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .$$

वेइल संबंध

झूठ समूह $H_{3}(\mathbb {R} )$ रूपान्तरण संबंध द्वारा निर्धारित 3-आयामी झूठ बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) द्वारा उत्पन्न $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ हाइजेनबर्ग समूह कहा जाता है। इस समूह को समूह के रूप में ज्ञात किया जा सकता है $3\times 3$ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह जिनके विकर्ण पर हों।। क्वांटम यांत्रिकी के मानक गणितीय सूत्रीकरण के अनुसार, क्वांटम वेधशालाएँ जैसे ${\hat {x}}$ एवं ${\hat {p}}$ को कुछ हिल्बर्ट स्थान पर स्व-सहायक संचालको के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए। यह देखना अपेक्षाकृत सरल है कि उपरोक्त विहित कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाले दो संचालक (गणित) दोनों परिबद्ध संचालक नहीं हो सकते हैं। निश्चित रूप से, यदि ${\hat {x}}$ एवं ${\hat {p}}$ ट्रेस क्लास संचालक थे, संबंध $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ दाईं ओर शून्येतर संख्या एवं बाईं ओर शून्य देता है।

वैकल्पिक रूप से, यदि ${\hat {x}}$ एवं ${\hat {p}}$ बाउंडेड संचालक थे, ध्यान दें $[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}$, इसलिए संचालक मानदंड संतुष्ट होंगे

$$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,$$

जिससे, किसी भी n के लिए,

$$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar$$

चूंकि, n मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है, इसलिए कम से कम संचालक को सीमित नहीं किया जा सकता है, एवं अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान का आयाम सीमित नहीं हो सकता है। यदि संचालक वेइल संबंधों (नीचे वर्णित विहित रूपान्तरण संबंधों का घातांकित संस्करण) को संतुष्ट करते हैं, तो स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय के परिणामस्वरूप, दोनों संचालको को असीमित होना चाहिए।

तत्पश्चात, इन विहित रूपान्तरण संबंधों को (परिबद्ध) एकात्मक संचालको के संदर्भ में लिखकर कुछ सीमा तक नियंत्रित किया जा सकता है $\exp(it{\hat {x}})$ एवं $\exp(is{\hat {p}})$ इन संचालको के लिए परिणामी ब्रेडिंग संबंध तथाकथित स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय हैं

$$\exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).$$

इन संबंधों को विहित रूपान्तरण संबंधों के घातांकित संस्करण के रूप में विचारित किया जा सकता है; वे दर्शाते हैं कि स्थिति में अनुवाद एवं गति में अनुवाद परिवर्तन नहीं करते हैं। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय द हाइजेनबर्ग समूह के संदर्भ में वेइल संबंधों को सरलता से दोबारा प्रस्तुत किया जा सकता है।

वेइल संबंधों के रूप में विहित रूपान्तरण संबंधों की विशिष्टता का आश्वास स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय द्वारा दिया जाता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि प्रौद्योगिकी कारणों से, वेइल संबंध सख्ती से विहित रूपान्तरण संबंध के समान नहीं हैं $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$. यदि ${\hat {x}}$ एवं ${\hat {p}}$ बंधे हुए संचालक थे, तो बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला का विशेष विषय किसी को वेइल संबंधों के विहित कम्यूटेशन संबंधों को घातांकित करने की अनुमति देगा। चूंकि, जैसा कि हमने नोट किया है, विहित कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाले किसी भी संचालक को असीमित होना चाहिए, बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला अतिरिक्त डोमेन मान्यताओं के बिना प्रारम्भ नहीं होता है। वास्तव में, प्रति उदाहरण विहित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करने वाले उपस्थित हैं, किन्तु वेइल संबंधों को नहीं। (ये वही संचालक अनिश्चितता सिद्धांत देते हैं, अनिश्चितता सिद्धांत के अनुभवहीन रूप का प्रति उदाहरण।) ये प्रौद्योगिकी विषय ही कारण हैं, कि स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय को वेइल संबंधों के संदर्भ में प्रस्तुत किया गया है।

वेइल संबंधों का भिन्न संस्करण, जिसमें पैरामीटर s एवं t की सीमा होती है, $\mathbb {Z} /n$, घड़ी और शिफ्ट मैट्रिक्स के सामान्यीकरण के माध्यम से परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर ज्ञात किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

सरल सूत्र

$$[x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,$$

सरलतम शास्त्रीय प्रणाली के विहित परिमाणीकरण के लिए मान्य, मनमाना लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) के विषय में ${\mathcal {L}}$ सामान्यीकृत किया जा सकता है। हम विहित निर्देशांक की पहचान करते हैं (जैसे कि ऊपर के उदाहरण में x या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के विषय में एक क्षेत्र Φ(x)) एवं विहित संवेग π_x (उपरोक्त उदाहरण में यह p है, अधिक सामान्यतः, समय के संबंध में विहित निर्देशांक के व्युत्पन्न से जुड़े कुछ कार्य):

$$\pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.$$

विहित गति की यह परिभाषा सुनिश्चित करती है कि यूलर-लैग्रेंज समीकरणों में से एक का रूप है

$${\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.$$

तब विहित रूपान्तरण संबंधों की मात्रा होती है

$$[x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,,$$

जहाँ δ_ij क्रोनकर डेल्टा है।

इसके अतिरिक्त यह सरलता से दिखाया जा सकता है

$$[F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.$$

का उपयोग करते हुए $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$, इसे गणितीय प्रेरण द्वारा सरलता से दिखाया जा सकता है

$$\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},$$

सामान्यतः मैक कॉय के फार्मूले के रूप में जाना जाता है।

गेज अपरिवर्तन

कैनोनिकल परिमाणीकरण, परिभाषा के अनुसार, कैनोनिकल निर्देशांक पर प्रारम्भ किया जाता है। चूंकि, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उपस्थिति में, विहित गति p गेज अपरिवर्तनीय नहीं है, सही गेज-अपरिवर्तनीय गति (या गतिज गति) है

$p_{\text{kin}}=p-qA\,\!$ (एस.आई. युवा)      $p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!$ (गाऊसी इकाइयाँ),

जहाँ q कण का विद्युत आवेश है, A चुंबकीय सदिश क्षमता है, एवं c प्रकाश की गति है।, यद्यपि p_kin की मात्रा भौतिक गति है, इसमें प्रयोगशाला प्रयोगों में गति के साथ पहचानी जाने वाली मात्रा है, यह विहित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट नहीं करती है; केवल विहित गति ही ऐसा करती है। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।

शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में द्रव्यमान m के परिमाणित आवेशित कण के लिए गैर-सापेक्षवादी हैमिल्टनियन (सीजीएस इकाइयों में) है।

$$H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi$$

जहाँ A तीन-सदिश क्षमता है एवं φ अदिश क्षमता है. हैमिल्टनियन का यह रूप, साथ ही श्रोडिंगर समीकरण भी Hψ = iħ∂ψ/∂t, मैक्सवेल समीकरण एवं लोरेंत्ज़ बल कानून गेज परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं

$$A\to A'=A+\nabla \Lambda$$

$$\phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}$$

$$\psi \to \psi '=U\psi$$

$$H\to H'=UHU^{\dagger },$$

जहाँ

$$U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)$$

एवं Λ = Λ(x,t) गेज फलन है.

कोणीय संवेग संचालक है

$$L=r\times p\,\!$$

एवं विहित परिमाणीकरण संबंधों का पालन करता है

$$[L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}$$

so(3) के लिए झूठ बीजगणित को परिभाषित करना, जहां $\epsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक है। गेज परिवर्तन के अनुसार, कोणीय गति इस प्रकार परिवर्तित हो जाती है

$$\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.$$

गेज-अपरिवर्तनीय कोणीय गति (या गतिज कोणीय गति) द्वारा दिया जाता है

$$K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),$$

जिसमें रूपान्तरण संबंध हैं

$$[K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)$$

जहाँ

$$B=\nabla \times A$$

चुंबकीय क्षेत्र है, इन दो योगों की असमानता ज़ीमन प्रभाव एवं अहरोनोव-बोहम प्रभाव में दिखाई देती है।

अनिश्चितता संबंध एवं कम्यूटेटर

संचालको के जोड़े के लिए ऐसे सभी गैर-तुच्छ कम्यूटेशन संबंध संबंधित अनिश्चितता सिद्धांत की ओर ले जाते हैं, उनके संबंधित कम्यूटेटर एवं एंटीकम्यूटेटर द्वारा सकारात्मक अर्ध-निश्चित अपेक्षा योगदान सम्मिलित है। सामान्यतः, दो स्व-सहायक संचालक के लिए A एवं B, राज्य में ψ प्रणाली में अपेक्षा मूल्यों पर विचार करें संगत अपेक्षा मूल्यों के आसपास भिन्नताएं (ΔA)² ≡ ⟨(A − ⟨A⟩)²⟩, आदि हैं।

तब

$$\Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},$$

जहाँ [A, B] ≡ A B − B A A एवं B का कम्यूटेटर रिंग सिद्धांत है, एवं {A, B} ≡ A B + B A एंटीकम्यूटेटर है।

यह कॉची-श्वार्ज़ असमानता के उपयोग के पश्चात से होता है |⟨A²⟩| |⟨B²⟩| ≥ |⟨A B⟩|², एवं A B = ([A, B] + {A, B})/2 ; एवं इसी प्रकार स्थानांतरित संचालको के लिए भी A − ⟨A⟩ एवं B − ⟨B⟩. (cf अनिश्चितता सिद्धांत व्युत्पत्तियाँ।)

A एवं B के लिए स्थानापन्न (एवं विश्लेषण का ध्यान रखते हुए) सदैव के जैसे x एवं p, के लिए हेइज़ेनबर्ग के परिचित अनिश्चितता संबंध प्राप्त होता है।

कोणीय संवेग परिचालकों के लिए अनिश्चितता संबंध

कोणीय संवेग परिचालकों के लिए L_x = y p_z − z p_y, आदि, किसी के पास वह है

$$[{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},$$

जहाँ $\epsilon _{xyz}$ लेवी-सिविटा प्रतीक है एवं सूचकांकों के जोड़ीवार आदान-प्रदान के अनुसार उत्तर के संकेत को उलट देता है। स्पिन (भौतिकी) संचालको के लिए समान संबंध है।

यहाँ L_x एवं L_y ,कोणीय गति गुणकों में ψ = |ℓ,m⟩, किसी के पास कासिमिर अपरिवर्तनीय L_x² + L_y²+ L_z² के अनुप्रस्थ घटकों के लिए z -सममितीय संबंध है।

⟨L_x²⟩ = ⟨L_y²⟩ = (ℓ (ℓ + 1) − m²) ℏ²/2 ,

साथ ही ⟨L_x⟩ = ⟨L_y⟩ = 0 .

परिणाम स्वरुप, इस रूपान्तरण संबंध पर प्रारम्भ उपरोक्त असमानता निर्दिष्ट करती है

$$\Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,$$

इस प्रकार

$${\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}m$$

एवं इसलिए

$$\ell (\ell +1)-m^{2}\geq m~,$$

तो, यह उपयोगी बाधाएँ उत्पन्न करता है जैसे कि कासिमिर इनवेरिएंट पर निचली सीमा:: ℓ (ℓ + 1) ≥ m (m + 1), एवं इसलिए ℓ ≥ m, दूसरों के मध्य में।

यह भी देखें

• विहित परिमाणीकरण
• सीसीआर एवं सीएआर बीजगणित
• संरूपस्थिक स्पेसटाइम
• झूठ व्युत्पन्न
• मोयल ब्रैकेट
• स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations, An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer.