ली दूरी: Difference between revisions

Latest revision as of 12:41, 1 August 2023

कोडिंग सिद्धांत में, ली दूरी $q \geq 2$ के q-ary वर्ण-क्रम ${0, 1, \dots, q - 1$ } पर समान लंबाई n की दो स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) $x_{1}x_{2}\dots x_{n}$ और $y_{1}y_{2}\dots y_{n}$ के बीच की दूरी है। यह एक मीट्रिक ^[1] है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\sum _{i=1}^{n}\min(|x_{i}-y_{i}|,\,q-|x_{i}-y_{i}|).

यदि q = 2 या q = 3 ली दूरी हैमिंग दूरी के साथ मेल खाती है, क्योंकि दोनों दूरियाँ दो एकल समान प्रतीकों के लिए 0 हैं और दो एकल गैर-समान प्रतीकों के लिए 1 हैं।

q > 3

के लिए अब यह स्थिति नहीं है; एकल अक्षरों के बीच ली की दूरी 1 से बड़ी हो सकती है। चूँकि, ली वजन के साथ

\mathbb {Z} _{4}

और हैमिंग वजन के साथ

\mathbb {Z} _{2}^{2}

के बीच एक ग्रे आइसोमेट्री (वजन-संरक्षण आक्षेप) उपस्थित है।^[2]

वर्ण-क्रम को योगात्मक समूह Z_q के रूप में मानते हुए, दो एकल अक्षरों $x$ और $y$ के बीच की दूरी केली ग्राफ में सबसे छोटे पथ की लंबाई है (जो कि समूह चक्रीय होने के कारण वृत्ताकार है)।^[3] अधिक सामान्यतः $n$ लंबाई के दो तारों के बीच की ली दूरी, केली ग्राफ़ में उनके बीच के सबसे छोटे पथ की लंबाई है। इसे मैनहट्टन दूरी मॉड्यूलो जालक $\mathbf {Z} _{q}^{n}$ के साथ $Z n$ को कम करने के परिणामस्वरूप प्राप्त भागफल मीट्रिक के रूप में भी सोचा जा सकता है। $Z n$ मॉड्यूलो के भागफल पर अनुरूप भागफल मीट्रिक एक इच्छानुसार जालक को मैनहेम मीट्रिक या मैनहेम दूरी के रूप में जाना जाता है।^[4]^[5]

ली दूरी से प्रेरित मीट्रिक समिष्ट एलिप्टिक ज्यामिति का अलग एनालॉग है।^[1]

उदाहरण

यदि $q = 6$ है, तो 3140 और 2543 के बीच ली दूरी $1 + 2 + 0 + 3 = 6$ है।

इतिहास और अनुप्रयोग

ली दूरी का नाम चेस्टर ची युआन ली (李始元) के नाम पर रखा गया है। इसे चरण मॉडुलन के लिए प्रयुक्त किया जाता है जबकि हैमिंग दूरी का उपयोग ऑर्थोगोनल मॉड्यूलेशन के स्थिति में किया जाता है।

बर्लेकैंप कोड ली मेट्रिक में कोड का एक उदाहरण है।^[6] अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण प्रीपेराटा कोड और केरडॉक कोड हैं; जब किसी क्षेत्र पर विचार किया जाता है तो ये कोड गैर-रैखिक होते हैं, किन्तु वलय के ऊपर रैखिक होते हैं।^[2]

संदर्भ

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↑
Strang, Thomas; Dammann, Armin; Röckl, Matthias; Plass, Simon (October 2009). स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना (PDF). 6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste (in English and Deutsch). Oberpfaffenhofen, Germany: Institute of Communications and Navigation, German Aerospace Center (DLR). CiteSeerX 10.1.1.398.9164. Archived (PDF) from the original on 2015-05-01. Retrieved 2020-12-16. (5/8 पृष्ठ) [3]
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[Strang-Dammann-Roeckl-Plass_2009-5] Strang, Thomas; Dammann, Armin; Röckl, Matthias; Plass, Simon (October 2009). स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना (PDF). 6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste (in English and Deutsch). Oberpfaffenhofen, Germany: Institute of Communications and Navigation, German Aerospace Center (DLR). CiteSeerX 10.1.1.398.9164. Archived (PDF) from the original on 2015-05-01. Retrieved 2020-12-16. (5/8 पृष्ठ) [3]
Thomas Strang; et al. (October 2009). "स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना". ResearchGate (Abstract).

[6] Thomas Strang; et al. (October 2009). "स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना". ResearchGate (Abstract).

[Roth2006-6] Roth, Ron (2006). कोडिंग सिद्धांत का परिचय. Cambridge University Press. p. 314. ISBN 978-0-521-84504-5.

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+[[कोडिंग सिद्धांत]] में, '''ली दूरी''' {{math|''q'' ≥ 2}} के q-ary वर्ण-क्रम {{math|{0, 1, …, ''q'' &minus; 1}}} पर समान लंबाई n की दो [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] <math>x_1 x_2 \dots x_n</math> और <math>y_1 y_2 \dots y_n</math> के बीच की दूरी है। यह एक मीट्रिक <ref name="Deza" /> है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है                                                                                                                                                                                                                                                                              <math display="block">\sum_{i=1}^n \min(|x_i - y_i|,\, q - |x_i - y_i|).</math>यदि q = 2 या q = 3 ली दूरी [[हैमिंग दूरी]] के साथ मेल खाती है, क्योंकि दोनों दूरियाँ दो एकल समान प्रतीकों के लिए 0 हैं और दो एकल गैर-समान प्रतीकों के लिए 1 हैं। {{math|''q'' > 3}} के लिए अब यह स्थिति नहीं है; एकल अक्षरों के बीच ली की दूरी 1 से बड़ी हो सकती है। चूँकि, ली वजन के साथ <math>\mathbb{Z}_4</math> और हैमिंग वजन के साथ <math>\mathbb{Z}_2^2</math> के बीच एक [[ग्रे आइसोमेट्री]] (वजन-संरक्षण आक्षेप) उपस्थित है।<ref name="Greferath2009">{{cite book |editor-last1=Sala |editor-first1=Massimiliano |editor-last2=Mora |editor-first2=Teo |editor-last3=Perret |editor-first3=Ludovic |editor-last4=Sakata |editor-first4=Shojiro |editor-last5=Traverso |editor-first5=Carlo |title=Gröbner Bases, Coding, and Cryptography |url=https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala |url-access=limited |year=2009 |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |isbn=978-3-540-93806-4 |chapter=An Introduction to Ring-Linear Coding Theory |author-first=Marcus |author-last=Greferath |page=[https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala/page/n226 220]}}</ref>
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-[[कोडिंग सिद्धांत]] में, '''ली दूरी''' {{math|''q'' ≥ 2}} के q-ary वर्ण-क्रम {{math|{0, 1, …, ''q'' &minus; 1}}} पर समान लंबाई n की दो [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] <math>x_1 x_2 \dots x_n</math> और <math>y_1 y_2 \dots y_n</math> के बीच की दूरी है। यह एक मीट्रिक <ref name="Deza" /> है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है<math display="block">\sum_{i=1}^n \min(|x_i - y_i|,\, q - |x_i - y_i|).</math>यदि q = 2 या q = 3 ली दूरी [[हैमिंग दूरी]] के साथ मेल खाती है, क्योंकि दोनों दूरियाँ दो एकल समान प्रतीकों के लिए 0 हैं और दो एकल गैर-समान प्रतीकों के लिए 1 हैं। {{math|''q'' > 3}} के लिए अब यह स्थिति नहीं है; एकल अक्षरों के बीच ली की दूरी 1 से बड़ी हो सकती है। चूँकि, ली वजन के साथ <math>\mathbb{Z}_4</math> और हैमिंग वजन के साथ <math>\mathbb{Z}_2^2</math> के बीच एक [[ग्रे आइसोमेट्री]] (वजन-संरक्षण आक्षेप) उपस्थित है।<ref name="Greferath2009">{{cite book |editor-last1=Sala |editor-first1=Massimiliano |editor-last2=Mora |editor-first2=Teo |editor-last3=Perret |editor-first3=Ludovic |editor-last4=Sakata |editor-first4=Shojiro |editor-last5=Traverso |editor-first5=Carlo |title=Gröbner Bases, Coding, and Cryptography |url=https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala |url-access=limited |year=2009 |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |isbn=978-3-540-93806-4 |chapter=An Introduction to Ring-Linear Coding Theory |author-first=Marcus |author-last=Greferath |page=[https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala/page/n226 220]}}</ref>
-वर्ण-क्रम को योगात्मक समूह Z<sub>''q''</sub> के रूप में मानते हुए, दो एकल अक्षरों <math>x</math> और <math>y</math> के बीच की दूरी [[केली ग्राफ]] में सबसे छोटे पथ की लंबाई है (जो कि समूह चक्रीय होने के कारण वृत्ताकार है)।<ref name="Blahut2008">{{cite book |first=Richard E. |last=Blahut |title=Algebraic Codes on Lines, Planes, and Curves: An Engineering Approach |url=https://archive.org/details/algebraiccodeson00blah_516 |url-access=limited |year=2008 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-46946-3 |page=[https://archive.org/details/algebraiccodeson00blah_516/page/n131 108] }}</ref> अधिक सामान्यतः, {{mvar|n}} लंबाई के दो तारों के बीच की ली दूरी, केली ग्राफ़ में उनके बीच के सबसे छोटे पथ की लंबाई है। इसे मैनहट्टन दूरी मॉड्यूलो जालक <math>\mathbf{Z}_q^n</math> के साथ {{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}} को कम करने के परिणामस्वरूप प्राप्त भागफल मीट्रिक के रूप में भी सोचा जा सकता है। {{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}} मॉड्यूलो के भागफल पर अनुरूप भागफल मीट्रिक एक इच्छानुसार जालक को मैनहेम मीट्रिक या मैनहेम दूरी के रूप में जाना जाता है।<ref name="Huber_1994">{{cite journal |author-first=Klaus |author-last=Huber |title=गाऊसी पूर्णांकों पर कोड|journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]] |volume=40 |number=1 |pages=207–216 |date=January<!-- February --> 1994 |orig-date=1993-01-17, 1992-05-21 |doi=10.1109/18.272484 |id=IEEE Log ID 9215213. |s2cid=195866926 |issn=0018-9448 |eissn=1557-9654 |url=https://www.researchgate.net/publication/220036065 |access-date=2020-12-17 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20201217002024/https://www.researchgate.net/profile/Klaus_Huber/publication/220036065_Codes_over_Gaussian_Integers/links/0d1c84f564dae5d496000000/Codes-over-Gaussian-Integers.pdf |archive-date=2020-12-17}} [https://www.researchgate.net/publication/220036065_Codes_over_Gaussian_Integers][https://dl.acm.org/doi/10.1109/18.272484] (1+10 पृष्ठ) (NB। यह कार्य आंशिक रूप से CDS में प्रस्तुत किया गया था- 92 सम्मेलन, कलिनिनग्राद, रूस, 1992-09-07 को और सूचना सिद्धांत पर आईईईई संगोष्ठी, सैन एंटोनियो, टीएक्स, यूएसए।)</ref><ref name="Strang-Dammann-Roeckl-Plass_2009">{{cite conference |title=स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना|author-first1=Thomas |author-last1=Strang |author-first2=Armin |author-last2=Dammann |author-first3=Matthias |author-last3=Röckl<!-- also written as: Roeckl --> |author-first4=Simon |author-last4=Plass |work=6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste |language=en, de |date=October 2009 |publisher=Institute of Communications and Navigation<!-- Institut für Kommunikation und Navigation -->, [[German Aerospace Center]]<!-- Deutsches Zentrum für Luft‐ und Raumfahrt e.V. --> (DLR) |publication-place=Oberpfaffenhofen, Germany |citeseerx=10.1.1.398.9164<!-- https://web.archive.org/web/20201216232905/https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.398.9164&rep=rep1&type=pdf --> |url=http://elib.dlr.de/60489/3/paper.pdf |access-date=2020-12-16 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150501063457/http://elib.dlr.de/60489/3/paper.pdf |archive-date=2015-05-01}} (5/8 पृष्ठ) [https://web.archive.org/web/20201216231728/https://elib.dlr.de/60489/2/Strang_Thomas.pdf]
 *{{cite web |author=Thomas Strang |display-authors=etal |date=October 2009 |title=स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना|type=Abstract |website=ResearchGate |url=https://www.researchgate.net/publication/225003251}}</ref>
-ली दूरी से प्रेरित [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समिष्ट]] एलिप्टिक ज्यामिति का अलग एनालॉग है।<ref>{{Citation |last1=Deza |first1=Elena |author1-link=Elena Deza|first2=Michel |last2=Deza |author2-link=Michel Deza |title=Dictionary of Distances |year=2014 |edition=3rd |publisher=Elsevier |isbn=9783662443422 |page=52 }}</ref>
+ली दूरी से प्रेरित [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समिष्ट]] एलिप्टिक ज्यामिति का अलग एनालॉग है।<ref name="Deza">{{Citation |last1=Deza |first1=Elena |author1-link=Elena Deza|first2=Michel |last2=Deza |author2-link=Michel Deza |title=Dictionary of Distances |year=2014 |edition=3rd |publisher=Elsevier |isbn=9783662443422 |page=52 }}</ref>
-==उदाहरण                                                                                                                                                                                                                             ==
+==उदाहरण                                                                              ==
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 ली दूरी का नाम चेस्टर ची युआन ली ({{lang|zh-CN|李始元}}) के नाम पर रखा गया है। इसे चरण [[ मॉडुलन |मॉडुलन]] के लिए प्रयुक्त किया जाता है जबकि हैमिंग दूरी का उपयोग ऑर्थोगोनल मॉड्यूलेशन के स्थिति में किया जाता है।
-[[बर्लेकैंप कोड]] ली मेट्रिक में कोड का एक उदाहरण है।<ref name="Roth2006">{{cite book |first=Ron |last=Roth |title=कोडिंग सिद्धांत का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028 |url-access=limited |date=2006 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-84504-5 |page=[https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028/page/n325 314]}}</ref> अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण [[कतारें तैयार की गईं|प्रीपेराटा कोड]] और [[केरडॉक कोड]] हैं; जब किसी क्षेत्र पर विचार किया जाता है तो ये कोड गैर-रैखिक होते हैं, किन्तु रिंग के ऊपर रैखिक होते हैं।<ref name="Greferath2009" />
+[[बर्लेकैंप कोड]] ली मेट्रिक में कोड का एक उदाहरण है।<ref name="Roth2006">{{cite book |first=Ron |last=Roth |title=कोडिंग सिद्धांत का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028 |url-access=limited |date=2006 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-84504-5 |page=[https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028/page/n325 314]}}</ref> अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण [[कतारें तैयार की गईं|प्रीपेराटा कोड]] और [[केरडॉक कोड]] हैं; जब किसी क्षेत्र पर विचार किया जाता है तो ये कोड गैर-रैखिक होते हैं, किन्तु वलय के ऊपर रैखिक होते हैं।<ref name="Greferath2009" />
-==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                               ==
+==संदर्भ                             ==
 {{Reflist}}
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 * {{Citation |first=Elwyn R. |last=Berlekamp |author-link=Elwyn Berlekamp |title=Algebraic Coding Theory |publisher=McGraw-Hill |year=1968}}
 * {{cite book |editor=Vardy, Alexander |editor-link=Alexander Vardy |title=Codes, Curves, and Signals: Common Threads in Communications |year=1998 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4615-5121-8 |chapter=Lee Weights of Codes from Elliptic Curves |first=Jose Felipe |last=Voloch |first2=Judy L. |last2=Walker }}
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