अवकल रैखिकता: Difference between revisions

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{{Short description|Calculus property}}
{{Short description|Calculus property}}
[[ गणना |गणना]] में, [[फ़ंक्शन (गणित)]] के किसी भी [[रैखिक संयोजन]] का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के [[ यौगिक |यौगिक]] के समान रैखिक संयोजन के बराबर होता है;<ref>{{citation|title=Calculus: Single Variable, Volume 1|first1=Brian E.|last1=Blank|first2=Steven George|last2=Krantz|publisher=Springer|year=2006|isbn=9781931914598|page=177|url=https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C&pg=PA177}}.</ref> इस गुण को विभेदन की रैखिकता, रैखिकता के नियम के रूप में जाना जाता है,<ref>{{citation|title=Calculus, Volume 1|first=Gilbert|last=Strang|publisher=SIAM|year=1991|isbn=9780961408824|pages=71–72|url=https://books.google.com/books?id=OisInC1zvEMC&pg=PA71}}.</ref> या विभेदन के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत।<ref>{{citation|title=Calculus Using Mathematica|first=K. D.|last=Stroyan|publisher=Academic Press|year=2014|isbn=9781483267975|page=89|url=https://books.google.com/books?id=C8DiBQAAQBAJ&pg=PA89}}.</ref> यह व्युत्पन्न का मौलिक गुण है जो विभेदीकरण के दो सरल नियमों को ही नियम में समाविष्ट करता है, [[विभेदन में योग नियम]] (दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्नों का योग है) और [[विभेदन में स्थिर कारक नियम]] (द) किसी फलन के अचर गुणज का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न का ही अचर गुणज होता है)।<ref>{{citation|title=Practical Analysis in One Variable|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=Donald|last=Estep|publisher=Springer|year=2002|isbn=9780387954844|pages=259–260|url=https://books.google.com/books?id=trC-jTRffesC&pg=PA259|contribution=20.1 Linear Combinations of Functions}}.</ref><ref>{{citation|title=Understanding Real Analysis|first=Paul|last=Zorn|publisher=CRC Press|year=2010|isbn=9781439894323|page=184|url=https://books.google.com/books?id=1WLNBQAAQBAJ&pg=PA184}}.</ref> इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि विभेदन रैखिक मानचित्र है, या विभेदक संचालिका [[रेखीय मानचित्र]] संचालिका है।<ref>{{citation|title=Finite-Dimensional Linear Algebra|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Mark S.|last=Gockenbach|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781439815649|page=103|url=https://books.google.com/books?id=xP0RFUHWQI0C&pg=PA103}}.</ref>
[[ गणना |कैलकुलस]] में, किसी भी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] के [[रैखिक संयोजन]] का व्युत्पन्न फलन के [[ यौगिक |यौगिक]] के समान रैखिक संयोजन के सामान्तर होता है;<ref>{{citation|title=Calculus: Single Variable, Volume 1|first1=Brian E.|last1=Blank|first2=Steven George|last2=Krantz|publisher=Springer|year=2006|isbn=9781931914598|page=177|url=https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C&pg=PA177}}.</ref> इस गुण को '''अवकल रैखिकता''' के नियम के रूप में जाना जाता है,<ref>{{citation|title=Calculus, Volume 1|first=Gilbert|last=Strang|publisher=SIAM|year=1991|isbn=9780961408824|pages=71–72|url=https://books.google.com/books?id=OisInC1zvEMC&pg=PA71}}.</ref> या विभिन्निता के लिए सुपरपोजीशन नियम के नाम से जाना जाता है।<ref>{{citation|title=Calculus Using Mathematica|first=K. D.|last=Stroyan|publisher=Academic Press|year=2014|isbn=9781483267975|page=89|url=https://books.google.com/books?id=C8DiBQAAQBAJ&pg=PA89}}.</ref> यह मूलभूत गुणसूत्र है जो अवकलकरण के तत्वों को ही नियम में सम्मिलित करता है, अवकल में योग नियम (दो फलन के योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्नों का योग है) और अवकल में स्थिर कारक नियम किसी फलन के अचर गुणज का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न का ही अचर गुणज होता है)।<ref>{{citation|title=Practical Analysis in One Variable|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=Donald|last=Estep|publisher=Springer|year=2002|isbn=9780387954844|pages=259–260|url=https://books.google.com/books?id=trC-jTRffesC&pg=PA259|contribution=20.1 Linear Combinations of Functions}}.</ref><ref>{{citation|title=Understanding Real Analysis|first=Paul|last=Zorn|publisher=CRC Press|year=2010|isbn=9781439894323|page=184|url=https://books.google.com/books?id=1WLNBQAAQBAJ&pg=PA184}}.</ref> इसलिए इसका कहना है कि अवकल रैखिक मानचित्र है, या विभेदक संचालिका [[रेखीय मानचित्र]] संचालिका है।<ref>{{citation|title=Finite-Dimensional Linear Algebra|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Mark S.|last=Gockenbach|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781439815649|page=103|url=https://books.google.com/books?id=xP0RFUHWQI0C&pg=PA103}}.</ref>


== कथन और व्युत्पत्ति ==
== कथन और व्युत्पत्ति ==
होने देना {{math|''f''}} और {{math|''g''}} फ़ंक्शंस बनें, साथ {{math|''α''}} और {{math|''β''}} स्थिरांक. अब विचार करें
माना कि {{math|''f''}} और {{math|''g''}} फलन है, साथ {{math|''α''}} और {{math|''β''}} स्थिरांक अब विचार करें


:<math>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x) ).</math>
:<math>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x) ).</math>
विभेदन में योग नियम के अनुसार, यह है
अवकल में योग नियम के अनुसार, यह है


:<math>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) ) + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} (\beta \cdot g(x)),</math>
:<math>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) ) + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} (\beta \cdot g(x)),</math>
और विभेदन में स्थिर कारक नियम से, यह कम हो जाता है
और अवकल में स्थिर कारक नियम से, यह कम हो जाता है


:<math>\alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x).</math>
:<math>\alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x).</math>
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:<math>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x}(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x).</math>
:<math>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x}(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x).</math>
ब्रैकेट (गणित)#Functionss को हटाकर, इसे अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है:
कोष्ठक को हटाकर, इसे अधिकांशतः इस प्रकार लिखा जाता है:


:<math>(\alpha \cdot f + \beta \cdot g)' = \alpha \cdot f'+ \beta \cdot g'.</math>
:<math>(\alpha \cdot f + \beta \cdot g)' = \alpha \cdot f'+ \beta \cdot g'.</math>


== परिभाषा से विस्तृत प्रमाण/व्युत्पन्न ==
== परिभाषा से विस्तृत प्रमाण/व्युत्पन्न ==
हम संपूर्ण रैखिकता सिद्धांत को ही बार में सिद्ध कर सकते हैं, या, हम व्यक्तिगत चरणों (स्थिर कारक और जोड़ने के) को व्यक्तिगत रूप से सिद्ध कर सकते हैं। यहां दोनों को दिखाया जाएगा.
हम संपूर्ण रैखिकता सिद्धांत को एक ही बार में सिद्ध कर सकते हैं, या हम व्यक्तिगत चरणों (स्थिर कारक और जोड़ने के) को व्यक्तिगत रूप से सिद्ध कर सकते हैं। यहां, दोनों विधि दिखाए जाएंगे।


रैखिकता को सीधे सिद्ध करना स्थिर कारक नियम, योग नियम और अंतर नियम को विशेष मामलों के रूप में भी सिद्ध करता है। दोनों स्थिर गुणांकों को निर्धारित करके योग नियम प्राप्त किया जाता है <math>1</math>. अंतर नियम पहला स्थिरांक गुणांक निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है <math>1</math> और दूसरा स्थिरांक गुणांक <math>-1</math>. स्थिर कारक नियम या तो दूसरे स्थिर गुणांक या दूसरे फ़ंक्शन को सेट करके प्राप्त किया जाता है <math>0</math>. (तकनीकी दृष्टिकोण से, दूसरे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन पर भी विचार किया जाना चाहिए - समस्याओं से बचने का तरीका दूसरे फ़ंक्शन को पहले फ़ंक्शन के बराबर और दूसरे निरंतर गुणांक को बराबर सेट करना है <math>0</math>. कोई दूसरे स्थिरांक गुणांक और दूसरे फ़ंक्शन दोनों को 0 के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां दूसरे फ़ंक्शन का डोमेन अन्य संभावनाओं के बीच पहले फ़ंक्शन का सुपरसेट है।)
रैखिकता को सीधे सिद्ध करना स्थिर कोण नियम, योग नियम और अंतर नियम को विशेष स्थितियों के रूप में भी सिद्ध करता है। दोनों स्थिर गुणांकों को निर्धारित करके योग नियम <math>1</math> के द्वारा प्राप्त किया जाता है अंतर नियम पहला स्थिरांक गुणांक निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है, <math>1</math> और दूसरा स्थिरांक गुणांक <math>-1</math> है। स्थिर कारक नियम या तो दूसरे स्थिर गुणांक या दूसरे फलन को समुच्चय करके <math>0</math> प्राप्त किया जाता है (तकनीकी दृष्टिकोण से, दूसरे फलन के फलन के डोमेन पर भी विचार किया जाना चाहिए - समस्याओं से बचने का विधि दूसरे फलन को पहले फलन के सामान्तर और दूसरे निरंतर गुणांक को सामान्तर समुच्चय करना है <math>0</math>, कोई दूसरे स्थिरांक गुणांक और दूसरे फलन दोनों को 0 के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां दूसरे फलन का डोमेन अन्य संभावनाओं के बीच पहले फलन का उपसमूह है।)


इसके विपरीत, यदि हम पहले स्थिर कारक नियम और योग नियम को सिद्ध करते हैं, तो हम रैखिकता और अंतर नियम को सिद्ध कर सकते हैं। रैखिकता को सिद्ध करना पहले और दूसरे कार्यों को दो अन्य कार्यों के रूप में परिभाषित करके निरंतर गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है। फिर, जैसा कि पिछले अनुभाग से व्युत्पत्ति में दिखाया गया है, हम विभेदन करते समय पहले योग कानून का उपयोग कर सकते हैं, और फिर निरंतर कारक नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो रैखिकता के लिए हमारे निष्कर्ष तक पहुंचेगा। अंतर नियम को सिद्ध करने के लिए, दूसरे फ़ंक्शन को स्थिर गुणांक द्वारा गुणा किए गए किसी अन्य फ़ंक्शन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है <math>-1</math>. इसे सरल बनाने पर, हमें विभेदन के लिए अंतर नियम मिलेगा।
विपरीत रूप से, यदि हम पहले निरंतर कोण नियम और योग नियम को सिद्ध करते हैं, तो हम रैखिकता और अंतर नियम को सिद्ध कर सकते हैं। रैखिकता को सिद्ध करना पहले और दूसरे फलन को दो अन्य फलन के रूप में परिभाषित करके निरंतर गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है। फिर, जैसा कि पिछले अनुभाग से व्युत्पत्ति में दिखाया गया है, हम अवकल करते समय पहले योग विधि का उपयोग कर सकते हैं, और फिर निरंतर कारक नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो रैखिकता के लिए हमारे निष्कर्ष तक पहुंचेगा। अंतर नियम को सिद्ध करने के लिए, दूसरे फलन को स्थिर गुणांक द्वारा गुणा किए गए किसी अन्य फलन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है <math>-1</math>, इससे, सरलीकरण करने पर हमें तत्वनिर्धारण के लिए अंतर नियम प्राप्त होता है।


नीचे दिए गए प्रमाण/व्युत्पन्न में,<ref>{{cite web |title=विभेदन नियम|url=https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/47/6 |website=CEMC's Open Courseware |access-date=3 May 2022}}</ref><ref>{{cite web |last1=Dawkins |first1=Paul |title=विभिन्न व्युत्पन्न गुणों का प्रमाण|url=https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeProofs.aspx |website=Paul's Online Notes |access-date=3 May 2022}}</ref> गुणांक <math>a, b</math> उपयोग किया जाता है; वे गुणांकों के अनुरूप हैं <math>\alpha, \beta</math> ऊपर।
निम्नलिखित सिद्धांतों या विवरणों में,<ref>{{cite web |title=विभेदन नियम|url=https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/47/6 |website=CEMC's Open Courseware |access-date=3 May 2022}}</ref><ref>{{cite web |last1=Dawkins |first1=Paul |title=विभिन्न व्युत्पन्न गुणों का प्रमाण|url=https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeProofs.aspx |website=Paul's Online Notes |access-date=3 May 2022}}</ref> <math>a, b</math> के प्रयोग किया है; यह ऊपर दिए गए <math>\alpha, \beta</math> के प्रतिनिधित्व करते हैं।


===रैखिकता (सीधे)===
===रैखिकता (सीधे)===
होने देना <math>a, b \in \mathbb{R}</math>. होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> समारोह हो, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं. (दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है <math>f</math> और <math>g</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = af(x) + bg(x)</math>.
माना कि <math>a, b \in \mathbb{R}</math>। माना कि <math>f, g</math> फलन  हैं। <math>j</math> फलन  हैं।, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, <math>j</math> का डोमेन <math>f</math> और <math>g</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) <math>x</math>, <math>j</math> के डोमेन में है। <math>j</math> को <math>j(x) = af(x) + bg(x)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है।


हम यह साबित करना चाहते हैं <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)</math>.
हम <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)</math> सिद्ध करना चाहते हैं ।


परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं
परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं
Line 45: Line 45:
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left( a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} + b\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left( a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} + b\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
सीमाओं के योग के लिए सीमा कानून का उपयोग करने के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है <math display="inline">\lim_{h \to 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \to 0} b\frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों व्यक्तिगत रूप से मौजूद हैं। इन छोटी सीमाओं के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> सीमा के लिए गुणांक कानून का उपयोग करने के लिए दोनों व्यक्तिगत रूप से मौजूद हैं। परिभाषा से, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">g^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math>. तो, अगर हम यह जानते हैं <math>f^{\prime}(x)</math> और <math>g^{\prime}(x)</math> दोनों अस्तित्व में हैं, यह हम जान लेंगे <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों व्यक्तिगत रूप से मौजूद हैं। यह हमें लिखने की सीमा के लिए गुणांक कानून का उपयोग करने की अनुमति देता है
सीमाओं के योग के लिए सीमा विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है कि <math display="inline">\lim_{h \to 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \to 0} b\frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। इन छोटी सीमाओं के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है कि <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> सीमा के लिए गुणांक विधि का उपयोग करने के लिए दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">g^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math>। इसलिए, यदि हम जानते हैं कि <math>f^{\prime}(x)</math> और <math>g^{\prime}(x)</math> दोनों उपस्थित हैं, तो हम जानेंगे कि <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों अलग-अलग उपस्थित होते हैं। यह हमें लिखने की सीमा के लिए गुणांक विधि का उपयोग करने की अनुमति देता है


<math display="block">
<math display="block">
Line 57: Line 57:
= b\lim_{h \to 0}\frac{g(x + h) - g(x)}{h}.
= b\lim_{h \to 0}\frac{g(x + h) - g(x)}{h}.
</math>
</math>
इसके साथ, हम सीमाओं के योग के लिए सीमा कानून को लागू करने के लिए वापस जा सकते हैं, क्योंकि हम यह जानते हैं <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} b\frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों व्यक्तिगत रूप से मौजूद हैं। यहां से, हम सीधे उस व्युत्पन्न पर वापस जा सकते हैं जिस पर हम काम कर रहे थे।<math display="block">\begin{align}
इसके साथ, हम सीमाओं के योग के लिए सीमा विधि को लागू करने के लिए वापस जा सकते हैं, क्योंकि हम यह जानते हैं <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} b\frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। यहां से, हम सीधे उस व्युत्पन्न पर वापस जा सकते हैं जिस पर हम काम कर रहे थे।<math display="block">\begin{align}
j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\
j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\
&\;\;\vdots \\
&\;\;\vdots \\
Line 64: Line 64:
&= a\lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\right) + b\lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
&= a\lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\right) + b\lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
&= af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)
&= af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)
\end{align}</math>अंततः, हमने वही दिखाया जो हमने शुरुआत में दावा किया था: <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)</math>.
\end{align}</math>अंततः, हमने वही दिखाया जो हमने प्रारंभ में प्रामाणित किया था: <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)</math>।


===योग===
===योग===
होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> समारोह हो, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं.
<math>f, g</math> फलन है। <math>j</math> फलन है, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, <math>j</math> का डोमेन <math>f</math> और <math>g</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) <math>x</math>, <math>j</math> के डोमेन में है। <math>j</math> को <math>j(x) = f(x) + g(x)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है।
(दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है <math>f</math> और <math>g</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = f(x) + g(x)</math>.


हम यह साबित करना चाहते हैं <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)</math>.
हम <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)</math> सिद्ध करना चाहते हैं ।


परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं
परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं
Line 81: Line 80:
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(f(x + h) - f(x)) + (g(x + h) - g(x))}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(f(x + h) - f(x)) + (g(x + h) - g(x))}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
\end{align}</math>यहां सीमाओं के योग के लिए कानून का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों मौजूद हैं. परिभाषा से, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>और <math display="inline">g^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math>, इसलिए जब भी डेरिवेटिव होते हैं तो सीमाएं मौजूद होती हैं <math>f^{\prime}(x)</math> और <math>g^{\prime}(x)</math> अस्तित्व। इसलिए, यह मानते हुए कि व्युत्पन्न मौजूद हैं, हम उपरोक्त व्युत्पत्ति को जारी रख सकते हैं
\end{align}</math>यहां सीमाओं के योग के लिए विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>और <math display="inline">g^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math>, इसलिए अगर<math>f^{\prime}(x)</math> और <math>g^{\prime}(x)</math> उपस्थित हैं तो ये सीमाएं उपस्थित होंगी। इसलिए, हम ऊपर दिए गए प्रस्तावना को आगे बढ़ा सकते हैं:


<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
Line 90: Line 89:
&= f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)
&= f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इस प्रकार, हमने वह दिखा दिया जो हम दिखाना चाहते थे, कि: <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)</math>.
इसलिए, हमने दिखाया कि जो हम दिखाना चाहते थे, वह है: <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)</math>।


===अंतर===
===अंतर===
होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> समारोह हो, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं. (दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है <math>f</math> और <math>g</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = f(x) - g(x)</math>.
<math>f, g</math> फलन है। <math>j</math> फलन है, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, <math>j</math> का डोमेन <math>f</math> और <math>g</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) <math>x</math>, <math>j</math> के डोमेन में है। <math>j</math> को  <math>j(x) = f(x) - g(x)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है।


हम यह साबित करना चाहते हैं <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)</math>.
हम <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)</math> सिद्ध करना चाहते हैं।


परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:
परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:
Line 107: Line 106:
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
यहां सीमाओं के अंतर के लिए कानून का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों मौजूद हैं. परिभाषा से, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> ओर वो <math display="inline">g^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math>, इसलिए जब भी डेरिवेटिव होते हैं तो ये सीमाएँ मौजूद होती हैं <math>f^{\prime}(x)</math> और <math>g^{\prime}(x)</math> अस्तित्व। इसलिए, यह मानते हुए कि व्युत्पन्न मौजूद हैं, हम उपरोक्त व्युत्पत्ति को जारी रख सकते हैं
यहां सीमाओं के अंतर के लिए विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math> दोनों उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> और <math display="inline">g^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}</math>, इसलिए ये सीमाएं उपस्थित होती हैं जबकि विभेदक<math>f^{\prime}(x)</math> और <math>g^{\prime}(x)</math> उपस्थित होते है। इसलिए, यदि हम मान लें कि विभेदक उपस्थित हैं, तो हम ऊपर दिए गए विवरण को जारी रख सकते हैं।


<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
Line 116: Line 115:
&= f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)
&= f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इस प्रकार, हमने वह दिखा दिया जो हम दिखाना चाहते थे, कि: <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)</math>.
इसलिए, हमने दिखाया है कि जब <math>j(x) = f(x) - g(x)</math> होता है, तो <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)</math> होता है।।


===स्थिर गुणांक===
===स्थिर गुणांक===
होने देना <math>f</math> समारोह हो. होने देना <math>a \in \mathbb{R}</math>; <math>a</math> स्थिर गुणांक होगा. होने देना <math>j</math> फ़ंक्शन बनें, जहां j को केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> परिभाषित किया गया। (दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन के बराबर है <math>f</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = af(x)</math>.
माना कि <math>f</math> फलन हैं। <math>a \in \mathbb{R}</math>; जहाँ  <math>a</math> स्थिर गुणांक होगा। <math>j</math> फलन हैं, जहां j को केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> परिभाषित किया गया। (दूसरे शब्दों में, <math>j</math> का डोमेन के <math>f</math> डोमेन के सामान्तर है)। <math>x</math>, <math>j</math> के डोमेन में है, <math>j</math> को  <math>j(x) = af(x)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है।।


हम यह साबित करना चाहते हैं <math> j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)</math>.
हम <math> j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)</math> सिद्ध करना चाहते हैं।


परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:
परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:
Line 131: Line 130:
&= \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
अब, यह दिखाने के लिए स्थिर गुणांकों के लिए सीमा कानून का उपयोग करें
अब, स्थायी गुणकों के लिए सीमा नियम का उपयोग करने के लिए दिखाना होगा कि


<math display="block">
<math display="block">
\lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}  
\lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}  
</math> हमें वह दिखाने की जरूरत है <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> मौजूद।
</math> हमें दिखाना होगा कि <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> उपस्थित है।
हालाँकि, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>, व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। तो यदि <math>f^{\prime}(x)</math> तो मौजूद है <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> मौजूद।
चूँकि, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>, यह विभेदी की परिभाषा द्वारा है। इसलिए, यदि <math>f^{\prime}(x)</math> उपस्थित है,तो हम दिखा सकते हैं कि  <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> भी उपस्थित होता है।


इस प्रकार, यदि हम ऐसा मान लें <math>f^{\prime}(x)</math> मौजूद है, हम सीमा कानून का उपयोग कर सकते हैं और अपना प्रमाण जारी रख सकते हैं।
इसलिए, यदि हम मान लें कि<math>f^{\prime}(x)</math> उपस्थित है, हम सीमा विधि का उपयोग कर सकते हैं और अपना प्रमाण जारी रख सकते हैं।


<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
Line 147: Line 146:
&= af^{\prime}(x) \\
&= af^{\prime}(x) \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इस प्रकार, हमने यह सिद्ध कर दिया है कि कब <math>j(x) = af(x)</math>, अपने पास <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)</math>.
इसलिए, हमने सिद्ध किया है कि जब <math>j(x) = af(x)</math>,होता है, तो <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)</math>होता है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==


* {{annotated link|Differentiation of integrals}}
* {{annotated link|अभिन्नों का विभेदन}}
* {{annotated link|Differentiation of trigonometric functions}}
*
* {{annotated link|Differentiation rules}}
*
* {{annotated link|Distribution (mathematics)}}
*
* {{annotated link|General Leibniz rule}}
* {{annotated link|जनरल लीबनिज शासन}}
* {{annotated link|Integration by parts}}
*
* {{annotated link|Inverse functions and differentiation}}
* {{annotated link|व्युत्क्रम फलन और विभेदन}}
* {{annotated link|Product rule}}
* {{annotated link|उत्पाद नियम}}
* {{annotated link|Quotient rule}}
*
* {{annotated link|Table of derivatives}}
* {{annotated link|डेरिवेटिव की तालिका}}
* {{annotated link|Vector calculus identities}}
*


==संदर्भ==
==संदर्भ==
{{reflist}}
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Latest revision as of 15:43, 19 October 2023

कैलकुलस में, किसी भी फलन (गणित) के रैखिक संयोजन का व्युत्पन्न फलन के यौगिक के समान रैखिक संयोजन के सामान्तर होता है;[1] इस गुण को अवकल रैखिकता के नियम के रूप में जाना जाता है,[2] या विभिन्निता के लिए सुपरपोजीशन नियम के नाम से जाना जाता है।[3] यह मूलभूत गुणसूत्र है जो अवकलकरण के तत्वों को ही नियम में सम्मिलित करता है, अवकल में योग नियम (दो फलन के योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्नों का योग है) और अवकल में स्थिर कारक नियम किसी फलन के अचर गुणज का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न का ही अचर गुणज होता है)।[4][5] इसलिए इसका कहना है कि अवकल रैखिक मानचित्र है, या विभेदक संचालिका रेखीय मानचित्र संचालिका है।[6]

कथन और व्युत्पत्ति

माना कि f और g फलन है, साथ α और β स्थिरांक अब विचार करें

अवकल में योग नियम के अनुसार, यह है

और अवकल में स्थिर कारक नियम से, यह कम हो जाता है

इसलिए,

कोष्ठक को हटाकर, इसे अधिकांशतः इस प्रकार लिखा जाता है:

परिभाषा से विस्तृत प्रमाण/व्युत्पन्न

हम संपूर्ण रैखिकता सिद्धांत को एक ही बार में सिद्ध कर सकते हैं, या हम व्यक्तिगत चरणों (स्थिर कारक और जोड़ने के) को व्यक्तिगत रूप से सिद्ध कर सकते हैं। यहां, दोनों विधि दिखाए जाएंगे।

रैखिकता को सीधे सिद्ध करना स्थिर कोण नियम, योग नियम और अंतर नियम को विशेष स्थितियों के रूप में भी सिद्ध करता है। दोनों स्थिर गुणांकों को निर्धारित करके योग नियम के द्वारा प्राप्त किया जाता है अंतर नियम पहला स्थिरांक गुणांक निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है, और दूसरा स्थिरांक गुणांक है। स्थिर कारक नियम या तो दूसरे स्थिर गुणांक या दूसरे फलन को समुच्चय करके प्राप्त किया जाता है (तकनीकी दृष्टिकोण से, दूसरे फलन के फलन के डोमेन पर भी विचार किया जाना चाहिए - समस्याओं से बचने का विधि दूसरे फलन को पहले फलन के सामान्तर और दूसरे निरंतर गुणांक को सामान्तर समुच्चय करना है , कोई दूसरे स्थिरांक गुणांक और दूसरे फलन दोनों को 0 के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां दूसरे फलन का डोमेन अन्य संभावनाओं के बीच पहले फलन का उपसमूह है।)

विपरीत रूप से, यदि हम पहले निरंतर कोण नियम और योग नियम को सिद्ध करते हैं, तो हम रैखिकता और अंतर नियम को सिद्ध कर सकते हैं। रैखिकता को सिद्ध करना पहले और दूसरे फलन को दो अन्य फलन के रूप में परिभाषित करके निरंतर गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है। फिर, जैसा कि पिछले अनुभाग से व्युत्पत्ति में दिखाया गया है, हम अवकल करते समय पहले योग विधि का उपयोग कर सकते हैं, और फिर निरंतर कारक नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो रैखिकता के लिए हमारे निष्कर्ष तक पहुंचेगा। अंतर नियम को सिद्ध करने के लिए, दूसरे फलन को स्थिर गुणांक द्वारा गुणा किए गए किसी अन्य फलन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है , इससे, सरलीकरण करने पर हमें तत्वनिर्धारण के लिए अंतर नियम प्राप्त होता है।

निम्नलिखित सिद्धांतों या विवरणों में,[7][8] के प्रयोग किया है; यह ऊपर दिए गए के प्रतिनिधित्व करते हैं।

रैखिकता (सीधे)

माना कि । माना कि फलन हैं। फलन हैं।, जहां केवल वहीं परिभाषित किया गया है और दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, का डोमेन और के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) , के डोमेन में है। को के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम सिद्ध करना चाहते हैं ।

परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं

सीमाओं के योग के लिए सीमा विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है कि और दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। इन छोटी सीमाओं के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है कि और सीमा के लिए गुणांक विधि का उपयोग करने के लिए दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, और । इसलिए, यदि हम जानते हैं कि और दोनों उपस्थित हैं, तो हम जानेंगे कि और दोनों अलग-अलग उपस्थित होते हैं। यह हमें लिखने की सीमा के लिए गुणांक विधि का उपयोग करने की अनुमति देता है

और

इसके साथ, हम सीमाओं के योग के लिए सीमा विधि को लागू करने के लिए वापस जा सकते हैं, क्योंकि हम यह जानते हैं और दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। यहां से, हम सीधे उस व्युत्पन्न पर वापस जा सकते हैं जिस पर हम काम कर रहे थे।
अंततः, हमने वही दिखाया जो हमने प्रारंभ में प्रामाणित किया था: ।

योग

फलन है। फलन है, जहां केवल वहीं परिभाषित किया गया है और दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, का डोमेन और के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) , के डोमेन में है। को के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम सिद्ध करना चाहते हैं ।

परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं

यहां सीमाओं के योग के लिए विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, और दोनों उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, और , इसलिए अगर और उपस्थित हैं तो ये सीमाएं उपस्थित होंगी। इसलिए, हम ऊपर दिए गए प्रस्तावना को आगे बढ़ा सकते हैं:

इसलिए, हमने दिखाया कि जो हम दिखाना चाहते थे, वह है: ।

अंतर

फलन है। फलन है, जहां केवल वहीं परिभाषित किया गया है और दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, का डोमेन और के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) , के डोमेन में है। को के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम सिद्ध करना चाहते हैं।

परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:

यहां सीमाओं के अंतर के लिए विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, और दोनों उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, और , इसलिए ये सीमाएं उपस्थित होती हैं जबकि विभेदक और उपस्थित होते है। इसलिए, यदि हम मान लें कि विभेदक उपस्थित हैं, तो हम ऊपर दिए गए विवरण को जारी रख सकते हैं।

इसलिए, हमने दिखाया है कि जब होता है, तो होता है।।

स्थिर गुणांक

माना कि फलन हैं। ; जहाँ स्थिर गुणांक होगा। फलन हैं, जहां j को केवल वहीं परिभाषित किया गया है परिभाषित किया गया। (दूसरे शब्दों में, का डोमेन के डोमेन के सामान्तर है)। , के डोमेन में है, को के रूप में परिभाषित किया गया है।।

हम सिद्ध करना चाहते हैं।

परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:

अब, स्थायी गुणकों के लिए सीमा नियम का उपयोग करने के लिए दिखाना होगा कि

हमें दिखाना होगा कि उपस्थित है। चूँकि, , यह विभेदी की परिभाषा द्वारा है। इसलिए, यदि उपस्थित है,तो हम दिखा सकते हैं कि भी उपस्थित होता है।

इसलिए, यदि हम मान लें कि उपस्थित है, हम सीमा विधि का उपयोग कर सकते हैं और अपना प्रमाण जारी रख सकते हैं।

इसलिए, हमने सिद्ध किया है कि जब ,होता है, तो होता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (2006), Calculus: Single Variable, Volume 1, Springer, p. 177, ISBN 9781931914598.
  2. ↑ Strang, Gilbert (1991), Calculus, Volume 1, SIAM, pp. 71–72, ISBN 9780961408824.
  3. ↑ Stroyan, K. D. (2014), Calculus Using Mathematica, Academic Press, p. 89, ISBN 9781483267975.
  4. ↑ Estep, Donald (2002), "20.1 Linear Combinations of Functions", Practical Analysis in One Variable, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, pp. 259–260, ISBN 9780387954844.
  5. ↑ Zorn, Paul (2010), Understanding Real Analysis, CRC Press, p. 184, ISBN 9781439894323.
  6. ↑ Gockenbach, Mark S. (2011), Finite-Dimensional Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, p. 103, ISBN 9781439815649.
  7. ↑ "विभेदन नियम". CEMC's Open Courseware. Retrieved 3 May 2022.
  8. ↑ Dawkins, Paul. "विभिन्न व्युत्पन्न गुणों का प्रमाण". Paul's Online Notes. Retrieved 3 May 2022.
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