एक बहुपद की घात: Difference between revisions

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गणित में, एक बहुपद की घात, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल(अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम घात होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है। एक बहुपद के लिए, बहुपद की घात केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।^[1]^[2] शब्द क्रम का प्रयोग घात के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में(बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जो भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है(घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की घात 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम घात है।

एक बहुपद की घात निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$ , कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ की घात 1 है, चूंकि प्रत्येक शिखर की घात 2 है। चूंकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की घात कारकों की घात का योग है।

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

बहुपदों को उनकी घात के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:^[3]^[4]^[5]^[2]

विशेष स्थिति - शून्य बहुपद(नीचे शून्य बहुपद की घात देखें)
घात 0 - गैर-शून्य निरंतर ^[6]
घात 1 - रैखिक
घात 2 - द्विघात
घात 3 - घन
घात 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी घात, द्विद्विघात है)
घात 5 - क्विंटिक
घात 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
घात 7 - सेप्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)

उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,^[7] लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किया जाता है:

घात 8 - ओक्टिक
घात 9 - नॉनिक
घात 10 - डेसिक

तीन से ऊपर की घात के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, एरिटी, जो लैटिन में वितरण संख्या पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक घात दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद $x^{2}+xy+y^{2}$ , को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात घात दो के कारण होता है।^{[lower-alpha 1]} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, द्विपद और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही घात के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$ , उच्चतम घातांक 3 के साथ।

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$ , सर्वोच्च घातांक 5 के साथ।

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

योग की घात, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की घात से दृढ़ता से संबंधित है।^[8]

जोड़

दो बहुपदों के योग (या अंतर) की घात उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,

\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

तथा

\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

.

उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।

बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।

गुणन

एक गैर शून्य अदिश (गणित) द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की घात बहुपद की घात के बराबर है;अर्थात्,

\deg(cP)=\deg(P)

उदाहरण के लिए, की घात $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ 2 है, जो की घात के बराबर है $x^{2}+3x-2$ .

इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी घात दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की घात एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी घात का योग होता है:

\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)

.

उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ 5 = 3 + 2 है।

बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, वलय में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ पूर्णांक मॉडुलो 4, एक है कि $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$ , लेकिन $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$ , जो कारकों की घात के योग के बराबर नहीं है।

रचना

दो गैर निरंतर बहुपदों $P$ और $Q$ एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की घात उनकी घात का उत्पाद है:

\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)

.

उदाहरण के लिए:

यदि $P=(x^{3}+x)$ , $Q=(x^{2}+1)$ , फिर $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$ , जिसकी घात 6 है।

यह जरूरी नहीं है कि बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर यह सही नहीं है। उदाहरण के लिए, में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ , $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$ , लेकिन $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ .

शून्य बहुपद की घात

शून्य बहुपद की घात या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या $-\infty$ )^[9]

किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई घात भी नहीं है। जैसे, इसकी घात आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।^[10]

तथापि, यह शून्य बहुपद की घात को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, $-\infty ,$ और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।^[11]

\max(a,-\infty )=a,

तथा

a+(-\infty )=-\infty .

इन उदाहरणों से स्पष्ट किया गया है कि यह विस्तार उपर्युक्त व्यवहार नियमों को कैसे संतुष्ट करता है:

योग की घात $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $3\leq \max(3,-\infty )$ .
अंतर की घात $(x)-(x)=0$ है $-\infty$ . यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty \leq \max(1,1)$ .
उत्पाद की घात $(0)(x^{2}+1)=0$ है $-\infty$ . यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty =-\infty +2$ .

फलन मान से गणना

कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की घात का मूल्यांकन करेगा। जो की स्पर्शोन्मुख विश्लेषण पर आधारित है

\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}

;

यह लॉग-लॉग प्लॉट के ढलान के अनुमान की विधि का सटीक प्रतिरूप है।

यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में घात की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:

गुणात्मक प्रतिलोम की घात, $\ 1/x$ , -1 है।
वर्गमूल की घात, ${\sqrt {x}}$ , 1/2 है।
लघुगणक की घात, $\ \log x$ , 0 है।
घातीय फलन की घात, $\exp x$ , है $\infty .$

सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की घात ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ है $-1/2$ .

f के उसके मूल्यों से घात की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।

\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}

;

यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि घात D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है $dx^{d-1}$ का $x^{d}$ .

एक फलन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक घात से) विवरण बिग ओ नोटेशन का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है $x$ तथा $x\log x$ , जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही घात होने के रूप में बाहर आ जाएगा।

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की घात इस पद में चर के घातांकों का योग है; घात जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल घात कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम घात होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद x²y² + 3x³ + 4y घात 4, शब्द के रूप में एक ही घात है x²y² .

चूंकि, चर में एक बहुपद x और y, x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद $x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})$ की घात 3 में एक्स और घात 2 में y है।

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

एक वलय (गणित) R, बहुपद वलय R[x], x में सभी बहुपदों का सेट है जो कि आर में गुणांक है विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र बहुपद वलय है, R[x] एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और अधिक महत्वपूर्ण बात यहाँ यूक्लिडियन डोमेन हमारी चर्चा के लिए है।

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की घात यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की घात f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों घात से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:

\deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))

एक उदाहरण के लिए कि क्यों घात फलन एक वलय पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का वलय मॉड्यूलर अंकगणित 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, मान लीजिए f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1. इस प्रकार deg(f⋅g) = 0 जो f और g की घात से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की घात 1 थी)।

चूंकि मानक फलन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की घात को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।

यह भी देखें

हाबिल-रफिनी प्रमेय
बीजगणित की मौलिक प्रमेय

↑ Weisstein, Eric W. "Polynomial Degree". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-31.
↑ ^2.0 ^2.1 "Degree (of an Expression)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-31.
↑ "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.
↑ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
↑ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
↑ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)
↑ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)
↑ Lang, Serge (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.
↑ Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ $\mathbb {Z}$ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)
↑ Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.
↑ Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

संदर्भ

Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

बाहरी संबंध

Polynomial Order; Wolfram MathWorld

[8] For simplicity, this is a homogeneous polynomial, with equal degree in both variables separately.

[1] Weisstein, Eric W. "Polynomial Degree". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-31.

[:0-2] 2.0 ^2.1 "Degree (of an Expression)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-31.

[3] "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.

[4] Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)

[5] King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".

[6] Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)

[7] James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

[9] Lang, Serge (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.

[10] Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ $\mathbb {Z}$ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)

[11] Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.

[12] Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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[lower-alpha 1]

[8]

[9]

[10]

[11]

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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Contents

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

उदाहरण

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

जोड़

गुणन

रचना

शून्य बहुपद की घात

फलन मान से गणना

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

यह भी देखें

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बाहरी संबंध

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 {{short description|Mathematical concept}}
-गणित में, एक [[ बहुपद |बहुपद]] की डिग्री, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम डिग्री होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले [[ चर (गणित) |चर (गणित)]] के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक [[ पूर्णांक | पूर्णांक]] है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Degree|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html|access-date=2020-08-31|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Degree (of an Expression)|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html|access-date=2020-08-31|website=www.mathsisfun.com}}</ref> शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)
+गणित में, एक [[ बहुपद |बहुपद]] की घात, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल(अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम घात होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले [[ चर (गणित) |चर (गणित)]] के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक [[ पूर्णांक | पूर्णांक]] है। एक बहुपद के लिए, बहुपद की  घात केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Degree|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html|access-date=2020-08-31|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Degree (of an Expression)|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html|access-date=2020-08-31|website=www.mathsisfun.com}}</ref> शब्द क्रम का प्रयोग घात के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में(बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)
-उदाहरण के लिए, बहुपद  <math>7x^2y^3 + 4x - 9,</math> जो भी लिखा जा सकता है <math>7x^2y^3 + 4x^1y^0 - 9x^0y^0,</math> तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है ([[ घातांक ]] 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम डिग्री है।
+उदाहरण के लिए, बहुपद  <math>7x^2y^3 + 4x - 9,</math> जो भी लिखा जा सकता है <math>7x^2y^3 + 4x^1y^0 - 9x^0y^0,</math> तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है([[ घातांक ]] 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की  घात 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम घात है।
-एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि <math>(x+1)^2 - (x-1)^2</math>, कोई भी इसे उत्पादों ([[ वितरण |वितरण]] द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, <math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x</math> की डिग्री 1 है, हालांकि प्रत्येक शिखर की डिग्री 2 है। हालांकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।
+एक बहुपद की  घात निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि <math>(x+1)^2 - (x-1)^2</math>, कोई भी इसे उत्पादों ([[ वितरण |वितरण]] द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, <math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x</math> की  घात 1 है, चूंकि प्रत्येक शिखर की  घात 2 है। चूंकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की  घात कारकों की  घात का योग है।
 == घात के अनुसार बहुपदों के नाम==
 {{wiktionary|परिशिष्ट: अंग्रेजी बहुपद डिग्री}}
-बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:<ref>{{cite web| url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html | title=Names of Polynomials | date=November 25, 1997| access-date=5 February 2012}}</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref><ref name=":0" />
+बहुपदों को उनकी  घात के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:<ref>{{cite web| url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html | title=Names of Polynomials | date=November 25, 1997| access-date=5 February 2012}}</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref><ref name=":0" />
-*विशेष स्थिति - [[ शून्य बहुपद |शून्य बहुपद]](नीचे शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
+*विशेष स्थिति - [[ शून्य बहुपद |शून्य बहुपद]](नीचे शून्य बहुपद की  घात देखें)
-*डिग्री 0 - गैर-शून्य [[ निरंतर कार्य | निरंतर]] <ref>Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, <math>f(x)=a_0</math>: "Such a polynomial is called a ''constant'' because if we substitute different values of ''x'' in it, we always obtain the same value <math>a_0</math>." (p. 23)</ref>
+*घात 0 - गैर-शून्य [[ निरंतर कार्य | निरंतर]] <ref>Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, <math>f(x)=a_0</math>: "Such a polynomial is called a ''constant'' because if we substitute different values of ''x'' in it, we always obtain the same value <math>a_0</math>." (p. 23)</ref>
-*डिग्री 1 -  रैखिक
+*घात 1 -  रैखिक
-*डिग्री 2 - [[ द्विघात बहुपद | द्विघात]]
+*घात 2 - [[ द्विघात बहुपद | द्विघात]]
-*डिग्री 3 - [[ घन समारोह | घन]]
+*घात 3 - [[ घन समारोह | घन]]
-*डिग्री 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी डिग्री,[[ द्विघात फलन | द्विद्विघात]] है)
+*घात 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी  घात,[[ द्विघात फलन | द्विद्विघात]] है)
-*डिग्री 5 - [[ क्विंटिक समीकरण | क्विंटिक]]
+*घात 5 - [[ क्विंटिक समीकरण | क्विंटिक]]
-*डिग्री 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
+*घात 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
-*डिग्री 7 - [[ सेप्टिक समीकरण | सेप्टिक]] (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)
+*घात 7 - [[ सेप्टिक समीकरण | सेप्टिक]] (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)
-उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,<ref>[[James Cockle]] proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171])</ref> लेकिन वे शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है:
+उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,<ref>[[James Cockle]] proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171])</ref> लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किया जाता है:
-*डिग्री 8 - ओक्टिक
+*घात 8 - ओक्टिक
-*डिग्री 9 - नॉनिक
+*घात 9 - नॉनिक
-*डिग्री 10 - डेसिक
+*घात 10 - डेसिक
-तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, [[ एरिटी |एरिटी]], जो लैटिन में [[ वितरण संख्या |वितरण संख्या]] पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद <math>x^2 + xy + y^2</math>,को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात डिग्री दो के कारण होता है।{{efn|For simplicity, this is a [[homogeneous polynomial]], with equal degree in both variables separately.}} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, [[ द्विपद (बहुपद) |द्विपद]] और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार <math>x^2 + y^2</math> एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।
+तीन से ऊपर की  घात के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, [[ एरिटी |एरिटी]], जो लैटिन में [[ वितरण संख्या |वितरण संख्या]] पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक  घात दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद <math>x^2 + xy + y^2</math>, को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात घात दो के कारण होता है।{{efn|For simplicity, this is a [[homogeneous polynomial]], with equal degree in both variables separately.}} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, [[ द्विपद (बहुपद) |द्विपद]] और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार <math>x^2 + y^2</math> एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।
 ==उदाहरण==
-बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही डिग्री के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है <math>- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378</math>, उच्चतम घातांक 3 के साथ।
+बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही  घात के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है <math>- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378</math>, उच्चतम घातांक 3 के साथ।
 बहुपद <math>(3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)</math> एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर <math>z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6</math>, सर्वोच्च घातांक 5 के साथ।
 ==बहुपद संचालन के तहत व्यवहार==
-योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की डिग्री से दृढ़ता से संबंधित है।<ref>{{cite book|last1=Lang|first1=Serge|title=Algebra|date=2005|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|pages=100|edition=3rd|ref=lang}}</ref>
+योग की  घात, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की  घात से दृढ़ता से संबंधित है।<ref>{{cite book|last1=Lang|first1=Serge|title=Algebra|date=2005|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|pages=100|edition=3rd|ref=lang}}</ref>
 ===जोड़===
-दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,
+दो बहुपदों के योग (या अंतर) की  घात उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,
 :<math>\deg(P + Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math> तथा <math>\deg(P - Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math>.
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।
-बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।
+बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।
 ===गुणन===
-एक गैर शून्य [[ अदिश (गणित) |अदिश (गणित)]] द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की डिग्री बहुपद की डिग्री के बराबर है;अर्थात्,
+एक गैर शून्य [[ अदिश (गणित) |अदिश (गणित)]] द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की  घात बहुपद की  घात के बराबर है;अर्थात्,
 :<math>\deg(cP)=\deg(P)</math>
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की डिग्री के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>.
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की  घात के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>.
-इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी डिग्री दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की डिग्री एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी डिग्री का योग होता है:
+इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी  घात दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की  घात एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी  घात का योग होता है:
 :<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)</math>.
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है।
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है।
-बहुपदों के लिए एक मनमाने अंगूठी पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, रिंग में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> पूर्णांक modulo 4, एक है कि  <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>,  लेकिन <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, जो कारकों की डिग्री के योग के बराबर नहीं है।
+बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, वलय में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> पूर्णांक मॉडुलो 4, एक है कि  <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>,  लेकिन <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, जो कारकों की  घात के योग के बराबर नहीं है।
 ===रचना===
-दो गैर निरंतर बहुपदों <math>P</math> और <math>Q</math> एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की डिग्री उनकी डिग्री का उत्पाद है:
+दो गैर निरंतर बहुपदों <math>P</math> और <math>Q</math> एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की  घात उनकी  घात का उत्पाद है:
 :<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)</math>.
 उदाहरण के लिए:
-* यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी डिग्री 6 है।
+* यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी  घात 6 है।
 यह जरूरी नहीं है कि बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर यह सही नहीं है। उदाहरण के लिए, में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1</math>, लेकिन <math>\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0</math>.
-==शून्य बहुपद की डिग्री==
+==शून्य बहुपद की  घात==
-शून्य बहुपद की डिग्री या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या <math>-\infty</math>)<ref>
+शून्य बहुपद की  घात या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या <math>-\infty</math>)<ref>
 Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)<br />
 Childs (1995) uses −1. (p. 233)<br />
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 </ref>
-किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई डिग्री भी नहीं है। जैसे, इसकी डिग्री आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>
+किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई  घात भी नहीं है। जैसे, इसकी  घात आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>
-तथापि, यह शून्य बहुपद की डिग्री को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, <math>-\infty,</math> और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।<ref>Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>
+तथापि, यह शून्य बहुपद की  घात को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, <math>-\infty,</math> और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।<ref>Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>
 :<math>\max(a,-\infty) = a,</math>
 तथा
 :<math>a + (-\infty) = -\infty.</math>
 इन उदाहरणों से स्पष्ट किया गया है कि यह विस्तार उपर्युक्त व्यवहार नियमों को कैसे संतुष्ट करता है:
-*योग की डिग्री <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है  <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.
+*योग की  घात <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है  <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.
-*अंतर की डिग्री <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.
+*अंतर की  घात <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.
-*उत्पाद की डिग्री <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty = -\infty + 2</math>.
+*उत्पाद की  घात <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty = -\infty + 2</math>.
-==फ़ंक्शन मान से गणना==
+==फलन मान से गणना==
-कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की डिग्री का मूल्यांकन करेगा। जो एक[[ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण | स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] पर आधारित है
+कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की  घात का मूल्यांकन करेगा। जो की [[ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण |स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] पर आधारित है
 :<math>\deg f = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |f(x)|}{\log x}</math>;
 यह लॉग-लॉग प्लॉट के ढलान के अनुमान की विधि का सटीक प्रतिरूप है।
-यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में डिग्री की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:
+यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में  घात की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:
-*[[ गुणात्मक प्रतिलोम | गुणात्मक प्रतिलोम]]  की डिग्री, <math>\ 1/x</math>, -1 है।
+*[[ गुणात्मक प्रतिलोम | गुणात्मक प्रतिलोम]]  की  घात, <math>\ 1/x</math>, -1 है।
-*[[ वर्गमूल | वर्गमूल]]  की डिग्री, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है।
+*[[ वर्गमूल | वर्गमूल]]  की  घात, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है।
-*लघुगणक की डिग्री, <math>\ \log x</math>, 0 है।
+*लघुगणक की  घात, <math>\ \log x</math>, 0 है।
-*घातीय फ़ंक्शन की डिग्री, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math>
+*घातीय फलन की  घात, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math>
-सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की डिग्री <math>\frac{1 + \sqrt{x}}{x}</math> है <math>-1/2</math>.
+सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की  घात <math>\frac{1 + \sqrt{x}}{x}</math> है <math>-1/2</math>.
-f  के उसके मूल्यों से डिग्री की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।
+f  के उसके मूल्यों से  घात की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।
 :<math>\deg f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}</math>;
-यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि डिग्री D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है <math>d x^{d-1}</math> का <math>x^d</math>.
+यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि  घात D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है <math>d x^{d-1}</math> का <math>x^d</math>.
-एक फ़ंक्शन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक डिग्री से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन | बिग ओ नोटेशन]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है  <math> x </math> तथा <math> x \log x </math>, जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही डिग्री होने के रूप में बाहर आ जाएगा।
+एक फलन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक  घात से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन | बिग ओ नोटेशन]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है  <math> x </math> तथा <math> x \log x </math>, जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही  घात होने के रूप में बाहर आ जाएगा।
 ==दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार ==
-दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की डिग्री इस पद में चर के घातांकों का योग है; डिग्री जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल डिग्री कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम डिग्री होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद  ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y डिग्री 4, शब्द के रूप में एक ही डिग्री है  x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> .''
+दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की  घात इस पद में चर के घातांकों का योग है;  घात जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल  घात कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम  घात होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद  ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y  घात 4, शब्द के रूप में एक ही  घात है  x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> .''
-हालांकि, चर में एक बहुपद  x और y,  x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद <math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math> की डिग्री 3 में एक्स और डिग्री 2 में y है।
+चूंकि, चर में एक बहुपद  x और y,  x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद <math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math> की  घात 3 में एक्स और  घात 2 में y है।
-==अमूर्त बीजगणित में डिग्री फ़ंक्शन==
+==अमूर्त बीजगणित में  घात फलन==
 एक वलय (गणित) R, [[ बहुपद वलय |बहुपद वलय]] R[x], x में सभी बहुपदों का सेट है जो कि आर में गुणांक है विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र बहुपद वलय है, R[x] एक [[ प्रमुख आदर्श डोमेन | प्रमुख आदर्श डोमेन]] है और अधिक महत्वपूर्ण बात यहाँ [[ यूक्लिडियन डोमेन |यूक्लिडियन डोमेन]] हमारी चर्चा के लिए है।
-यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की डिग्री यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की डिग्री f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों डिग्री से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:
+यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की  घात यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की  घात f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों  घात से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:
 :<math>\deg(f(x)g(x)) = \deg(f(x)) + \deg(g(x))</math>
-एक उदाहरण के लिए कि क्यों डिग्री फ़ंक्शन एक वलय  पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>  पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]] 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, माना f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार  deg(f⋅g) = 0 जो f और g की डिग्री से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की डिग्री 1 थी)।
+एक उदाहरण के लिए कि क्यों  घात फलन एक वलय  पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>  पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]] 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, मान लीजिए  f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार  deg(f⋅g) = 0 जो f और g की  घात से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की  घात 1 थी)।
-चूंकि मानक फ़ंक्शन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की डिग्री को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।
+चूंकि मानक फलन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की  घात को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।
 ==यह भी देखें==
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 *{{Citation |last=Shafarevich |first=Igor R. |author-link=Igor Shafarevich |year=2003 |title=Discourses on Algebra |publisher=Springer Science & Business Media |url=https://books.google.com/books?id=hpkkJgU8rwcC&q=%22the+degree+of+the+polynomial+is+undefined%22&pg=PA27 }}
-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची==
-*रैखिक फिल्टर
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-*करणीय
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-*टुकड़े-टुकड़े चिकना
-*द्विभाजित
-*आंशिक व्युत्पन्न
-*आयतन तत्व
-*समारोह (गणित)
-*रेखा समाकलन का मौलिक प्रमेय
-*खंड अनुसार
-*सौम्य सतह
-*फ़ानो विमान
-*प्रक्षेप्य स्थान
-*प्रक्षेप्य ज्यामिति
-*चार आयामी अंतरिक्ष
-*विद्युत प्रवाह
-*उच्च लाभ एंटीना
-*सर्वदिशात्मक एंटीना
-*गामा किरणें
-*विद्युत संकेत
-*वाहक लहर
-*आयाम अधिमिश्रण
-*चैनल क्षमता
-*आर्थिक अच्छा
-*आधार - सामग्री संकोचन
-*शोर उन्मुक्ति
-*कॉल चिह्न
-*शिशु की देखरेख करने वाला
-*आईएसएम बैंड
-*लंबी लहर
-*एफएम प्रसारण
-*सत्य के प्रति निष्ठा
-*जमीनी लहर
-*कम आवृत्ति
-*श्रव्य विकृति
-*वह-एएसी
-*एमपीईजी-4
-*संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन
-*भू-स्थिर
-*प्रत्यक्ष प्रसारण उपग्रह टेलीविजन
-*माध्यमिक आवृत्ति
-*परमाणु घड़ी
-*बीपीसी (समय संकेत)
-*फुल डुप्लेक्स
-*बिट प्रति सेकंड
-*पहला प्रतिसादकर्ता
-*हवाई गलियारा
-*नागरिक बंद
-*विविधता स्वागत
-*शून्य (रेडियो)
-*बिजली का मीटर
-*जमीन (बिजली)
-*हवाई अड्डे की निगरानी रडार
-*altimeter
-*समुद्री रडार
-*देशान्तर
-*तोपखाने का खोल
-*बचाव बीकन का संकेत देने वाली आपातकालीन स्थिति
-*अंतर्राष्ट्रीय कॉस्पास-सरसैट कार्यक्रम
-*संरक्षण जीवविज्ञान
-*हवाई आलोक चित्र विद्या
-*गैराज का दरवाज़ा
-*मुख्य जेब
-*अंतरिक्ष-विज्ञान
-*ध्वनि-विज्ञान
-*निरंतर संकेत
-*मिड-रेंज स्पीकर
-*फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
-*उष्ण ऊर्जा
-*विद्युतीय प्रतिरोध
-*लंबी लाइन (दूरसंचार)
-*इलास्टेंस
-*गूंज
-*ध्वनिक प्रतिध्वनि
-*प्रत्यावर्ती धारा
-*आवृत्ति विभाजन बहुसंकेतन
-*छवि फ़िल्टर
-*वाहक लहर
-*ऊष्मा समीकरण
-*प्रतिक दर
-*विद्युत चालकता
-*आवृति का उतार - चढ़ाव
-*निरंतर कश्मीर फिल्टर
-*जटिल विमान
-*फासर (साइन वेव्स)
-*पोर्ट (सर्किट सिद्धांत)
-*लग्रांगियन यांत्रिकी
-*जाल विश्लेषण
-*पॉइसन इंटीग्रल
-*affine परिवर्तन
-*तर्कसंगत कार्य
-*शोर अनुपात का संकेत
-*मिलान फ़िल्टर
-*रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण
-*राज्य स्थान (नियंत्रण)
-*ऑपरेशनल एंप्लीफायर
-*एलटीआई प्रणाली सिद्धांत
-*विशिष्ट एकीकृत परिपथ आवेदन
-*सतत समय
-*एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर
-*भाजक
-*निश्चित बिंदु अंकगणित
-*फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित
-*डिजिटल बाइकैड फ़िल्टर
-*अनुकूली फिल्टर
-*अध्यारोपण सिद्धांत
-*कदम की प्रतिक्रिया
-*राज्य स्थान (नियंत्रण)
-*नियंत्रण प्रणाली
-*वोल्टेज नियंत्रित थरथरानवाला
-*कंपंडोर
-*नमूना और पकड़
-*संगणक
-*अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
-*प्रायिकता वितरण
-*वर्तमान परिपथ
-*गूंज रद्दीकरण
-*सुविधा निकासी
-*छवि उन्नीतकरण
-*एक प्रकार की प्रोग्रामिंग की पर्त
-* ओ एस आई मॉडल
-*समानता (संचार)
-*आंकड़ा अधिग्रहण
-*रूपांतरण सिद्धांत
-*लीनियर अलजेब्रा
-*स्टचास्तिक प्रोसेसेज़
-*संभावना
-*गैर-स्थानीय साधन
-*घटना (सिंक्रनाइज़ेशन आदिम)
-*एंटीलोक ब्रेक
-*उद्यम प्रणाली
-*सुरक्षा-महत्वपूर्ण प्रणाली
-*डेटा सामान्य
-*आर टी -11
-*डंब टर्मिनल
-*समय बताना
-*सेब II
-*जल्द से जल्द समय सीमा पहले शेड्यूलिंग
-*अनुकूली विभाजन अनुसूचक
-*वीडियो गेम कंसोल की चौथी पीढ़ी
-*वीडियो गेम कंसोल की तीसरी पीढ़ी
-*नमूनाकरण दर
-*अंकगणित औसत
-*उच्च प्रदर्शन कंप्यूटिंग
-*भयावह विफलता
-*हुड विधि
-*प्रणाली विश्लेषण
-*समय अपरिवर्तनीय
-*औद्योगिक नियंत्रण प्रणाली
-*निर्देशयोग्य तर्क नियंत्रक
-*प्रक्रिया अभियंता)
-*नियंत्रण पाश
-*संयंत्र (नियंत्रण सिद्धांत)
-*क्रूज नियंत्रण
-*अनुक्रमिक कार्य चार्ट
-*नकारात्मक प्रतिपुष्टि
-*अन्देंप्त
-*नियंत्रण वॉल्व
-*पीआईडी नियंत्रक
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-*फिल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
-*वितरित कोटा पद्धति
-*महाकाव्यों
-*डूप गति नियंत्रण
-*हवाई जहाज
-*संक्षिप्त और प्रारंभिकवाद
-*मोटर गाड़ी
-*संयुक्त राज्य नौसेना
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-*अवरक्त किरणे
-*प्रेसिजन-निर्देशित युद्धपोत
-*विमान भेदी युद्ध
-*शाही रूसी नौसेना
-*हस्तक्षेप हरा
-*सेंट पीटर्सबर्ग
-*योण क्षेत्र
-*आकाशीय बिजली
-*द्वितीय विश्वयुद्ध
-*संयुक्त राज्य सेना
-*डेथ रे
-*पर्ल हार्बर पर हमला
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-*भूविज्ञानी
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-*खालीपन
-*भूसा (प्रतिमाप)
-*पारद्युतिक स्थिरांक
-*विद्युत चुम्बकीय विकिरण
-*विद्युतीय प्रतिरोध
-*प्रतिचुम्बकत्व
-*बहुपथ प्रसार
-*तरंग दैर्ध्य
-*अर्ध-सक्रिय रडार होमिंग
-*Nyquist आवृत्ति
-*ध्रुवीकरण (लहरें)
-*अपवर्तक सूचकांक
-*नाड़ी पुनरावृत्ति आवृत्ति
-*शोर मचाने वाला फ़र्श
-*प्रकाश गूंज
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-*स्वत: नियंत्रण प्राप्त करें
-*जय स्पाइक
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-*आयनमंडलीय परावर्तन
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-*व्युत्क्रम वर्ग नियम
-*इलेक्ट्रानिक युद्ध
-*उड़ान का समय
-*प्रकाश कि गति
-*पूर्व चेतावनी रडार
-*रफ़्तार
-*निरंतर-लहर रडार
-*स्पेकट्रूम विशेष्यग्य
-*रेंज अस्पष्टता संकल्प
-*मिलान फ़िल्टर
-*रोटेशन
-*चरणबद्ध व्यूह रचना
-*मैमथ राडार
-*निगरानी करना
-*स्क्रीन
-*पतला सरणी अभिशाप
-*हवाई रडार प्रणाली
-*परिमाणक्रम
-*इंस्टीट्यूट ऑफ़ इलेक्ट्रिकल एंड इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स
-*क्षितिज राडार के ऊपर
-*पल्स बनाने वाला नेटवर्क
-*अमेरिका में प्रदूषण की रोकथाम
-*आईटी रेडियो विनियम
-*रडार संकेत विशेषताएं
-*हैस (रडार)
-*एवियोनिक्स में एक्रोनिम्स और संक्षिप्ताक्षर
-*समय की इकाई
-*गुणात्मक प्रतिलोम
-*रोशनी
-*दिल की आवाज
-*हिलाना
-*सरल आवर्त गति
-*नहीं (पत्र)
-*एसआई व्युत्पन्न इकाई
-*इंटरनेशनल इलेक्ट्रोटेक्नीकल कमीशन
-*प्रति मिनट धूर्णन
-*हवा की लहर
-*एक समारोह का तर्क
-*चरण (लहरें)
-*आयामहीन मात्रा
-*असतत समय संकेत
-*विशेष मामला
-*मध्यम (प्रकाशिकी)
-*कोई भी त्रुटि
-*ध्वनि की तरंग
-*दृश्यमान प्रतिबिम्ब
-*लय
-*सुनवाई की दहलीज
-*प्रजातियाँ
-*मुख्य विधुत
-*नाबालिग तीसरा
-*माप की इकाइयां
-*आवधिकता (बहुविकल्पी)
-*परिमाण के आदेश (आवृत्ति)
-*वर्णक्रमीय घटक
-*रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली
-*असतत समय फिल्टर
-*ऑटोरेग्रेसिव मॉडल
-*डिजिटल डाटा
-*डिजिटल देरी लाइन
-*बीआईबीओ स्थिरता
-*फोरियर श्रेणी
-*दोषी
-*दशमलव (सिग्नल प्रोसेसिंग)
-*असतत फूरियर रूपांतरण
-*एफआईआर ट्रांसफर फंक्शन
-*3डी परीक्षण मॉडल
-*ब्लेंडर (सॉफ्टवेयर)
-*वैज्ञानिक दृश्य
-*प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
-*विज्ञापन देना
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-*अनुभूति
-*निहित सतह
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-*भूतपूर्व छात्र
-*छिपी सतह निर्धारण
-*अंतरिक्ष आक्रमणकारी
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-*एनएमओएस तर्क
-*उच्च संकल्प
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-*कम आवृत्ति दोलन
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एक बहुपद की घात: Difference between revisions

Latest revision as of 09:06, 15 November 2022

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

उदाहरण

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

जोड़

गुणन

रचना

शून्य बहुपद की घात

फलन मान से गणना

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

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