अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

गणित में फलन $n$ का अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण एक आंशिक अवकल समीकरण है, जो सामान्यतः व्युत्पन्न $n-1$ के लिए प्रस्तुत 'प्रारंभिक मान समस्या' है। सामान्य रूप से कॉची-समस्या को किसी भी गैर-विशिष्ट सतह के साथ अपेक्षाकृत रूप से प्रारंभिक आंकड़ा के लिए स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। यांत्रिकी के कई समीकरण अतिपरवलयिक हैं। इसलिए अतिपरवलयिक समीकरणों का अध्ययन आधुनिक रुचि का विषय है। अतिपरवलयिक समीकरण मॉडल तरंग समीकरण है। इनका स्थानिक आयाम निम्न है:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$

आंशिक अवकल समीकरणों में ये गुण होते है कि यदि u और इसके व्युत्पन्न t = 0 (पर्याप्त समतल गुणों के साथ) पर अपेक्षाकृत रूप से प्रारंभिक आंकड़ा निर्दिष्ट किया जाता है, तो समय t के लिए एक हल सम्मिलित होता है। अतिपरवलयिक समीकरणों के हल तरंग रूपी होते हैं यदि अतिपरवलयिक अवकल समीकरण के प्रारंभिक आंकड़ा में अस्पष्टता की जाती है, तो समष्टि के प्रत्येक बिंदु पर एक बार में बाधा उत्पन्न नहीं होती है। एक निश्चित समय के सापेक्ष बाधा की एक सीमित प्रसार गति होती है। जिसको समीकरण की विशेषताओं के साथ हल किया जाता है। यह विशेषता गुणात्मक रूप से अतिपरवलयिक समीकरणों को दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरणों और परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों से अलग करती है। किसी दीर्घवृत्तीय या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक आंकड़ों की समस्या अनिवार्य रूप से डोमेन के सभी बिंदुओं द्वारा एक बार में अनुभव की जा सकती है।

यदि अतिपरवलयिक समीकरणों की परिभाषा मौलिक रूप से गुणात्मक है तो कुछ ऐसे मानदंड होते हैं जो विशेष प्रकार के अवकल समीकरण पर निर्भर करते हैं। माइक्रोलोकल विश्लेषण के संदर्भ में लार्स गार्डिंग के कारण, रैखिक अवकल संक्रियकों के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। गैर-रेखीय अवकल समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनके व्लासोव समीकरण रैखिकीकरण गार्डिंग के अर्थ में अतिपरवलयिक होते है। संरक्षण नियम (भौतिकी) की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों की प्रथम प्रणालियों के लिए कुछ अलग सिद्धांत होते है।

परिभाषा

आंशिक अवकल समीकरण एक बिंदु $P$ पर अतिपरवलयिक होते है यदि कॉची-समस्या $P$ से गुजरने वाले गैर-रैखिक सतह पर दिए गए किसी भी प्रारंभिक आंकड़ा के लिए $P$ के निकट में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य है। जहां निर्धारित प्रारंभिक आंकड़ा में अवकल समीकरण के क्रम से एक सतह पर फलन के सभी व्युत्पन्न सम्मिलित हैं।

उदाहरण

चर (गणित) के रैखिक परिवर्तन द्वारा किसी भी समीकरण का रूप है:

$$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0$$

यदि,

$$B^{2}-AC>0$$

जो समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक हैं उनको निचले क्रम के शब्दों के अतिरिक्त तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। यह परिभाषा एक समतल अतिपरवलयिक समीकरण की परिभाषा के अनुरूप है। जहां एक आयामी तरंग समीकरण है:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$$

अतिपरवलयिक समीकरण के द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के दूसरे क्रम के अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण को पहले क्रम के अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है।

आंशिक अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली

निम्नलिखित $s$ अज्ञात फलन ${\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})$, ${\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)$, के लिए $s$ प्रथम क्रम आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}$ है।

यदि,

$${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,$$

(∗)

जहां ${\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d$ सामान्य रूप से नियमित अलग-अलग अवकल फलन गैर-रेखीय होते हैं। प्रत्येक फलन ${\vec {f}}^{j}$ के लिए $s\times s$ जैकोबियन आव्यूह को परिभाषित किया जा सकता है:

$$A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.$$

फलन (∗) अतिपरवलयिक है यदि $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}$ आव्यूह $A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}$ में वास्तविक संख्या ​​​​या विकर्णीय आव्यूह हैं।

यदि आव्यूह $A$ में s विशिष्ट वास्तविक आइगेन मान ​​​​हैं, तो यह इस प्रकार विकर्ण योग्य है। इस स्थिति में फलन (∗) को अतिपरवलयिक कहा जाता है।

यदि आव्यूह $A$ सममित है, तो यह इस प्रकार विकर्णीय है और आइगेन मान मान वास्तविक हैं। इस स्थिति में फलन (∗) को सममित अतिपरवलयिक कहा जाता है।

अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम

अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम के बीच एक संबंध है। जब अज्ञात फलन $u=u({\vec {x}},t)$ के लिए आंशिक अवकल समीकरण की अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार किया जाता है तब फलन (∗) का रूप है:

$${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.$$

(∗∗)

जहां $u$ की व्याख्या एक ऐसे फलन के रूप में की जा सकती है जो ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$ द्वारा दिए गए फ्लक्स के अनुसार व्युत्पन्न है। यह देखने के लिए कि फलन $u$ संरक्षित है। समाकलन ∗∗ को एक डोमेन $\Omega$ पर एकीकृत किया जा सकता है:

$$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.$$

यदि $u$ और ${\vec {f}}$ पर्याप्त रूप से सममित फलन हैं तो हम विचलन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और सामान्यतः फलन $u$ के संरक्षण नियम को प्राप्त करने के लिए समाकलन $\partial /\partial t$ के क्रम को परिवर्तित कर सकते हैं:

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,$$

जिसका अर्थ है कि डोमेन $\Omega$ में $u$ के परिवर्तन की समय दर इसकी सीमा $\partial \Omega$ के माध्यम से $u$ के बराबर है, चूँकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $u$, $\Omega$ मे संरक्षित है।

यह भी देखें

• दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण
• हाइपोएलिप्टिक संक्रियक
• परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

अग्रिम पठन

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

बाहरी संबंध

• "Hyperbolic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.