सम्मिश्र-अभिविन्यस्त सह समरूपता सिद्धांत: Difference between revisions

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[[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में, '''जटिल-उन्मुख सह-समरूपता सिद्धांत''' गुणात्मक सह-समरूपता सिद्धांत ''E'' है जैसे कि प्रतिबंध मानचित्र <math>E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) \to E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)</math> विशेषण है। तत्व <math>E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty)</math> को कम किए गए सिद्धांत के विहित जनरेटर तक सीमित है <math>\widetilde{E}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)</math> को जटिल अभिविन्यास कहा जाता है। यह धारणा [[औपचारिक समूह कानून|औपचारिक समूह नियमों]] के सह-समरूपता से संबंधित क्विलेन के कार्य के केंद्र में है।
[[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में, '''सम्मिश्र-अभिविन्यस्त सह-समरूपता सिद्धांत''' गुणात्मक सह-समरूपता सिद्धांत ''E'' है जैसे कि प्रतिबंध मानचित्र <math>E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) \to E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)</math> विशेषण है। तत्व <math>E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty)</math> को कम किए गए सिद्धांत के विहित जनरेटर तक सीमित है <math>\widetilde{E}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)</math> को सम्मिश्र अभिविन्यास कहा जाता है। यह धारणा औपचारिक समूह नियमों के सह-समरूपता से संबंधित क्विलेन के कार्य के केंद्र में है।


यदि E सम-वर्गीकृत सिद्धांत का अर्थ है <math>\pi_3 E = \pi_5 E = \cdots</math>, तो E जटिल-उन्मुख है। यह अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम से अनुसरण करता है।
यदि E सम-वर्गीकृत सिद्धांत का अर्थ है <math>\pi_3 E = \pi_5 E = \cdots</math>, तो E सम्मिश्र-अभिविन्यस्त है। यह अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम से अनुसरण करता है।


उदाहरण:
उदाहरण:
*किसी भी गुणांक वलय R के साथ सामान्य सह-समरूपता जटिल उन्मुख है, जैसे <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty; R) \simeq \operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1;R)</math>
*किसी भी गुणांक वलय R के साथ सामान्य सह-समरूपता सम्मिश्र अभिविन्यस्त है, जैसे <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty; R) \simeq \operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1;R)</math>
*जटिल के-सिद्धांत, जिसे केयू कहा जाता है, जटिल-उन्मुख है, क्योंकि यह सम-वर्गीकृत है। ([[बॉट आवधिकता प्रमेय]])
*सम्मिश्र के-सिद्धांत, जिसे केयू कहा जाता है, सम्मिश्र-अभिविन्यस्त है, क्योंकि यह सम-वर्गीकृत है। ([[बॉट आवधिकता प्रमेय]])
*[[जटिल सह-बॉर्डिज्म]], जिसका स्पेक्ट्रम एमयू द्वारा दर्शाया गया है, जटिल-उन्मुख है।
*सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म, जिसका स्पेक्ट्रम एमयू द्वारा दर्शाया गया है, सम्मिश्र-अभिविन्यस्त है।


जटिल अभिविन्यास, इसे t कहा जाता है, औपचारिक समूह नियम को इस प्रकार उत्पन्न करता है: कि मान लीजिए m गुणन है:
सम्मिश्र अभिविन्यास, इसे t कहा जाता है, औपचारिक समूह नियम को इस प्रकार उत्पन्न करता है: कि मान लीजिए m गुणन है:
:<math>\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \to \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty, ([x], [y]) \mapsto [xy]</math>
:<math>\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \to \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty, ([x], [y]) \mapsto [xy]</math>
जहाँ <math>[x]</math> अंतर्निहित सदिश स्थान में x से निकलने वाली रेखा को <math>\mathbb{C}[t]</math> का <math>\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty</math> दर्शाता है, यह यूनिवर्सल लाइन बंडल ओवर के टेंसर उत्पाद को वर्गीकृत करने वाला मानचित्र <math> \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty </math> है:
जहाँ <math>[x]</math> अंतर्निहित सदिश स्थान में x से निकलने वाली रेखा को <math>\mathbb{C}[t]</math> का <math>\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty</math> दर्शाता है, यह यूनिवर्सल लाइन बंडल ओवर के टेंसर उत्पाद को वर्गीकृत करने वाला मानचित्र <math> \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty </math> है:
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मान लीजिये <math>f = m^*(t)</math> m के अनुदिश t का पुलबैक में रहता है:
मान लीजिये <math>f = m^*(t)</math> m के अनुदिश t का पुलबैक में रहता है:
:<math>E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n \times \mathbb{C}\mathbf{P}^m) = \varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1}) = R[\![x, y]\!]</math>
:<math>E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n \times \mathbb{C}\mathbf{P}^m) = \varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1}) = R[\![x, y]\!]</math>
लाइन बंडलों E के टेंसर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, यह औपचारिक समूह नियम है (उदाहरण के लिए, साहचर्य को संतुष्ट करता है)।
लाइन बंडलों E के टेंसर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, यह औपचारिक समूह नियम है (उदाहरण के लिए, साहचर्य को संतुष्ट करता है)।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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*M. Hopkins, [https://web.archive.org/web/20150430203224/http://people.virginia.edu/~mah7cd/Foundations/coctalos.pdf Complex oriented cohomology theory and the language of stacks]
*M. Hopkins, [https://web.archive.org/web/20150430203224/http://people.virginia.edu/~mah7cd/Foundations/coctalos.pdf Complex oriented cohomology theory and the language of stacks]
*J. Lurie, [http://www.math.harvard.edu/~lurie/252x.html Chromatic Homotopy Theory (252x)]
*J. Lurie, [http://www.math.harvard.edu/~lurie/252x.html Chromatic Homotopy Theory (252x)]
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Latest revision as of 11:56, 1 November 2023

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, सम्मिश्र-अभिविन्यस्त सह-समरूपता सिद्धांत गुणात्मक सह-समरूपता सिद्धांत E है जैसे कि प्रतिबंध मानचित्र विशेषण है। तत्व को कम किए गए सिद्धांत के विहित जनरेटर तक सीमित है को सम्मिश्र अभिविन्यास कहा जाता है। यह धारणा औपचारिक समूह नियमों के सह-समरूपता से संबंधित क्विलेन के कार्य के केंद्र में है।

यदि E सम-वर्गीकृत सिद्धांत का अर्थ है , तो E सम्मिश्र-अभिविन्यस्त है। यह अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम से अनुसरण करता है।

उदाहरण:

  • किसी भी गुणांक वलय R के साथ सामान्य सह-समरूपता सम्मिश्र अभिविन्यस्त है, जैसे
  • सम्मिश्र के-सिद्धांत, जिसे केयू कहा जाता है, सम्मिश्र-अभिविन्यस्त है, क्योंकि यह सम-वर्गीकृत है। (बॉट आवधिकता प्रमेय)
  • सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म, जिसका स्पेक्ट्रम एमयू द्वारा दर्शाया गया है, सम्मिश्र-अभिविन्यस्त है।

सम्मिश्र अभिविन्यास, इसे t कहा जाता है, औपचारिक समूह नियम को इस प्रकार उत्पन्न करता है: कि मान लीजिए m गुणन है:

जहाँ अंतर्निहित सदिश स्थान में x से निकलने वाली रेखा को का दर्शाता है, यह यूनिवर्सल लाइन बंडल ओवर के टेंसर उत्पाद को वर्गीकृत करने वाला मानचित्र है:

,

मान लीजिये m के अनुदिश t का पुलबैक में रहता है:

लाइन बंडलों E के टेंसर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, यह औपचारिक समूह नियम है (उदाहरण के लिए, साहचर्य को संतुष्ट करता है)।

यह भी देखें

  • क्रोमैटिक होमोटॉपी सिद्धांत

संदर्भ