वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र: Difference between revisions
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Latest revision as of 15:26, 2 August 2023
ज्यामिति में, वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र विशेष प्रकार का समतल बीजगणितीय वक्र होता है जो समीकरण F(x, y) = 0 द्वारा निर्धारित होता है, जहां F वास्तविक के साथ बहुपद है और F के उच्चतम-क्रम वाले पद x2 + y2 से विभाज्य बहुपद बनाते हैं, अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि F = Fn + Fn−1 + ... + F1 + F0, जहां प्रत्येक Fi डिग्री i का सजातीय फलन है, तो वक्र F(x,y)=0 वृत्ताकार है यदि केवल Fn से x2+y2 विभाज्य है।
समान रूप से, यदि वक्र सजातीय निर्देशांक में G(x, y, z) = 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां G सजातीय बहुपद है, तो वक्र वृत्ताकार है यदि केवल G(1, i, 0)=G(1) , −i, 0) = 0 दूसरे शब्दों में, वक्र वृत्ताकार होता है यदि इसमें अनंत पर वृत्ताकार बिंदु होते हैं, (1, i, 0) और (1, −i, 0), जब जटिल प्रक्षेप्य तल में इसे वक्र के रूप में माना जाता है।
बहुवृत्ताकार बीजगणितीय वक्र
बीजगणितीय वक्र को p-परिपत्र कहा जाता है यदि इसमें बिंदु (1, i, 0) और (1,−i, 0) सम्मिलित हैं, जब इसे जटिल प्रक्षेप्य तल में वक्र माना जाता है समतल, और ये बिंदु कम से कम p क्रम की विलक्षणताएं हैं। द्विवृत्ताकार, त्रिवृत्ताकार आदि शब्द तब प्रारंभ होते हैं जब p = 2,3, आदि। ऊपर दिए गए बहुपद F के संदर्भ में, वक्र F(x, y) = 0 p-वृत्ताकार है यदि Fn−i से (x2 + y2)p−i विभाज्य है जब i<p जब p = 1 यह वृत्ताकार वक्र की परिभाषा में परिवर्तित हो जाता है। यूक्लिडियन समूह के अंतर्गत p-वृत्ताकार वक्रों का समुच्चय अपरिवर्तनीय है। ध्यान दें कि p-वृत्ताकार वक्र की डिग्री कम से कम 2p होनी चाहिए।
डिग्री p + k के p-वृत्ताकार वक्रों का समुच्चय, जहां p भिन्न हो सकता है किन्तु k निश्चित सकारात्मक पूर्णांक है, व्युत्क्रम के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।[citation needed] जब k 1 होता है तो यह कहता है कि रेखाओं का समुच्चय (डिग्री 1 के 0-वृत्ताकार वक्र) वृत्तों के समुच्चय (डिग्री 2 के 1-वृत्ताकार वक्र) के साथ मिलकर समुच्चय बनाते हैं जो व्युत्क्रम के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होता है।
उदाहरण
- वृत्त ही मात्र वृत्ताकार शंकु है।
- डी स्लुज़ के कोनकॉइड (जिसमें कई प्रसिद्ध घन वक्र सम्मिलित हैं) वृत्ताकार घन हैं।
- कैसिनी ओवल (बर्नौली के लेम्निस्केट सहित), टोरिक अनुभाग और लिमाकॉन (कारडायोड सहित) द्विवृत्ताकार चतुर्थक हैं।
- वाट का वक्र द्विवृत्ताकार चतुर्थक हैं।
