हैमिंग स्पेस: Difference between revisions

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[[File:Hamming distance 3 bit binary.svg|thumb|लंबाई 3 की बाइनरी स्ट्रिंग्स का हैमिंग स्पेस। [[ घन ग्राफ |घन ग्राफ]] में शीर्षों के मध्य की दूरी स्ट्रिंग्स के मध्य [[हैमिंग दूरी]] के समान होती है।]]सांख्यिकी और [[कोडिंग सिद्धांत]] में, '''हैमिंग स्पेस''' (अमेरिकी गणितज्ञ [[रिचर्ड हैमिंग]] के नाम पर) सामान्यतः सभी का समुच्चय होता है <math>2^N</math>लंबाई N की [[बाइनरी स्ट्रिंग|बाइनरी स्ट्रिंग्स]]<ref>{{citation|title=Error Correcting Codes: A Mathematical Introduction|volume=15|series=Chapman Hall/CRC Mathematics Series|first=D. J.|last=Baylis|publisher=CRC Press|year=1997|isbn=9780412786907|page=62|url=https://books.google.com/books?id=ZAdDuZoJdn8C&pg=PA62}}</ref><ref>{{citation|title=Covering Codes|volume=54|series=North-Holland Mathematical Library|first1=G.|last1=Cohen|first2=I.|last2=Honkala|first3=S.|last3=Litsyn|first4=A.|last4=Lobstein|publisher=Elsevier|year=1997|isbn=9780080530079|page=1|url=https://books.google.com/books?id=7KBYOt44sugC&pg=PA1}}</ref> इसका उपयोग कोडिंग सिग्नल और ट्रांसमिशन के सिद्धांत में किया जाता है।


अधिक सामान्यतः, हैमिंग स्पेस को किसी भी [[वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान)]] (सेट) Q पर Q के अक्षरों के साथ एक निश्चित लंबाई N के [[शब्द (औपचारिक भाषा सिद्धांत)]] के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<ref name="Robinson2003"/><ref name="cc15">Cohen et al., ''Covering Codes'', p.&nbsp;15</ref> यदि Q एक [[परिमित क्षेत्र]] है, तो Q के ऊपर एक हैमिंग स्पेस, Q के ऊपर एक N-आयामी [[ सदिश स्थल ]] है। विशिष्ट, बाइनरी मामले में, फ़ील्ड इस प्रकार [[GF(2)]] है (जिसे 'Z' द्वारा भी दर्शाया जाता है)<sub>2</sub>).<ref name="Robinson2003">{{cite book|author=Derek J.S. Robinson|title=सार बीजगणित का परिचय|year=2003|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-019816-4|pages=254–255}}</ref>
अधिक सामान्यतः, हैमिंग स्पेस को किसी भी [[वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान)]] (समुच्चय) Q पर Q के अक्षरों के साथ निश्चित लंबाई N के [[शब्द (औपचारिक भाषा सिद्धांत)]] के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<ref name="Robinson2003"/><ref name="cc15">Cohen et al., ''Covering Codes'', p.&nbsp;15</ref> यदि Q [[परिमित क्षेत्र]] है, तो Q के ऊपर हैमिंग स्पेस, Q के ऊपर N-आयामी [[ सदिश स्थल |सदिश समिष्ट]] है। विशिष्ट, बाइनरी स्तिथि में, क्षेत्र इस प्रकार [[GF(2)]] है (जिसे 'Z<sub>2</sub>' द्वारा भी दर्शाया जाता है))।<ref name="Robinson2003">{{cite book|author=Derek J.S. Robinson|title=सार बीजगणित का परिचय|year=2003|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-019816-4|pages=254–255}}</ref>
[[कोड]]िंग सिद्धांत में, यदि Q में q तत्व हैं, तो Q के ऊपर N-आयामी हैमिंग स्पेस के किसी भी उपसमुच्चय C (आमतौर पर कम से कम दो [[प्रमुखता]] का अनुमान लगाया जाता है) को 'लंबाई N का q-ary कोड' कहा जाता है; C के तत्वों को '[[कोडवर्ड]]' कहा जाता है।<ref name="Robinson2003"/><ref name="cc15"/>ऐसे मामले में जहां C अपने हैमिंग स्पेस का एक रैखिक उप-स्थान है, इसे एक [[रैखिक कोड]] कहा जाता है।<ref name="Robinson2003"/>रैखिक कोड का एक विशिष्ट उदाहरण [[हैमिंग कोड]] है। हैमिंग स्पेस के माध्यम से परिभाषित कोड में प्रत्येक कोडवर्ड के लिए आवश्यक रूप से समान लंबाई होती है, इसलिए उन्हें [[ब्लॉक कोड]] कहा जाता है, जब उन्हें [[चर-लंबाई कोड]] से अलग करना आवश्यक होता है जो एक मोनॉइड पर अद्वितीय कारक द्वारा परिभाषित होते हैं।


हैमिंग दूरी एक हैमिंग स्पेस को एक [[मीट्रिक (गणित)]] प्रदान करती है, जो त्रुटि का पता लगाने और सुधार जैसे कोडिंग सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।<ref name="Robinson2003"/>
[[कोड|कोडिंग]] सिद्धांत में, यदि Q में q तत्व हैं, तो Q के ऊपर N-आयामी हैमिंग स्पेस के किसी भी उपसमुच्चय C (सामान्यतः कम से कम दो [[प्रमुखता]] का अनुमान लगाया जाता है) को 'लंबाई N का q-ary कोड' कहा जाता है; C के तत्वों को '[[कोडवर्ड]]' कहा जाता है।<ref name="Robinson2003" /><ref name="cc15" />ऐसे स्तिथि में जहां C अपने हैमिंग स्पेस का रैखिक उप-समिष्ट है, इसे [[रैखिक कोड]] कहा जाता है।<ref name="Robinson2003" />रैखिक कोड का  विशिष्ट उदाहरण [[हैमिंग कोड]] है। हैमिंग स्पेस के माध्यम से परिभाषित कोड में प्रत्येक कोडवर्ड के लिए आवश्यक रूप से समान लंबाई होती है, इसलिए उन्हें [[ब्लॉक कोड]] कहा जाता है, जब उन्हें [[चर-लंबाई कोड]] से भिन्न करना आवश्यक होता है जो मोनॉइड पर अद्वितीय कारक द्वारा परिभाषित होते हैं।


गैर-क्षेत्रीय अक्षरों पर हैमिंग रिक्त स्थान पर भी विचार किया गया है, विशेष रूप से परिमित रिंगों पर (विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित पर|Z<sub>4</sub>) वेक्टर स्पेस के बजाय [[मॉड्यूल (गणित)]] और रैखिक कोड के बजाय [[रिंग-लीनियर कोड]] ([[सबमॉड्यूल]] के साथ पहचाने गए) को जन्म दे रहा है। इस मामले में उपयोग की जाने वाली विशिष्ट मीट्रिक [[ली दूरी]] है। इनके बीच एक [[ग्रे आइसोमेट्री]] मौजूद है <math>\mathbb{Z}_2^{2m}</math> (यानी जीएफ(2<sup>2 मी</sup>)) हैमिंग दूरी के साथ और <math>\mathbb{Z}_4^m</math> (ली दूरी के साथ इसे GR(4,m) के रूप में भी दर्शाया गया है)।<ref name="Greferath2009">{{cite book|editor1=Massimiliano Sala |editor2=Teo Mora |editor3=Ludovic Perret |editor4=Shojiro Sakata |editor5=Carlo Traverso|title=Gröbner Bases, Coding, and Cryptography|year=2009|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-93806-4|chapter=An Introduction to Ring-Linear Coding Theory|author=Marcus Greferath}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes|title = Kerdock and Preparata codes - Encyclopedia of Mathematics}}</ref><ref name="Lint1999">{{cite book|author=J.H. van Lint|title=कोडिंग सिद्धांत का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoco0000lint_a3b9|url-access=registration|year=1999|publisher=Springer|isbn=978-3-540-64133-9|edition=3rd|at=Chapter 8: Codes over ℤ<sub>4</sub>}}</ref>
हैमिंग दूरी हैमिंग स्पेस को [[मीट्रिक (गणित)]] प्रदान करती है, जो त्रुटि को ज्ञात करने और सुधार जैसे कोडिंग सिद्धांत की मूलभूत अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।<ref name="Robinson2003" />


गैर-क्षेत्रीय अक्षरों पर हैमिंग रिक्त समिष्ट पर भी विचार किया गया है, विशेष रूप से परिमित वलयों पर (विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित पर|Z<sub>4</sub>) सदिश समिष्ट के अतिरिक्त [[मॉड्यूल (गणित)]] और रैखिक कोड के अतिरिक्त [[रिंग-लीनियर कोड|वलय-लीनियर कोड]] ([[सबमॉड्यूल]] के साथ पहचाने गए) को उत्पन्न कर रहा है। इस स्तिथि में उपयोग की जाने वाली विशिष्ट मीट्रिक [[ली दूरी]] है। इनके मध्य [[ग्रे आइसोमेट्री]] <math>\mathbb{Z}_2^{2m}</math> उपस्थित है (अर्थात GF(2<sup>2m</sup>)) हैमिंग दूरी के साथ और <math>\mathbb{Z}_4^m</math> (ली दूरी के साथ इसे GR(4,m) के रूप में भी दर्शाया गया है) है।<ref name="Greferath2009">{{cite book|editor1=Massimiliano Sala |editor2=Teo Mora |editor3=Ludovic Perret |editor4=Shojiro Sakata |editor5=Carlo Traverso|title=Gröbner Bases, Coding, and Cryptography|year=2009|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-93806-4|chapter=An Introduction to Ring-Linear Coding Theory|author=Marcus Greferath}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes|title = Kerdock and Preparata codes - Encyclopedia of Mathematics}}</ref><ref name="Lint1999">{{cite book|author=J.H. van Lint|title=कोडिंग सिद्धांत का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoco0000lint_a3b9|url-access=registration|year=1999|publisher=Springer|isbn=978-3-540-64133-9|edition=3rd|at=Chapter 8: Codes over ℤ<sub>4</sub>}}</ref>


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Latest revision as of 15:55, 2 August 2023

लंबाई 3 की बाइनरी स्ट्रिंग्स का हैमिंग स्पेस। घन ग्राफ में शीर्षों के मध्य की दूरी स्ट्रिंग्स के मध्य हैमिंग दूरी के समान होती है।

सांख्यिकी और कोडिंग सिद्धांत में, हैमिंग स्पेस (अमेरिकी गणितज्ञ रिचर्ड हैमिंग के नाम पर) सामान्यतः सभी का समुच्चय होता है लंबाई N की बाइनरी स्ट्रिंग्स[1][2] इसका उपयोग कोडिंग सिग्नल और ट्रांसमिशन के सिद्धांत में किया जाता है।

अधिक सामान्यतः, हैमिंग स्पेस को किसी भी वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) (समुच्चय) Q पर Q के अक्षरों के साथ निश्चित लंबाई N के शब्द (औपचारिक भाषा सिद्धांत) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।[3][4] यदि Q परिमित क्षेत्र है, तो Q के ऊपर हैमिंग स्पेस, Q के ऊपर N-आयामी सदिश समिष्ट है। विशिष्ट, बाइनरी स्तिथि में, क्षेत्र इस प्रकार GF(2) है (जिसे 'Z2' द्वारा भी दर्शाया जाता है))।[3]

कोडिंग सिद्धांत में, यदि Q में q तत्व हैं, तो Q के ऊपर N-आयामी हैमिंग स्पेस के किसी भी उपसमुच्चय C (सामान्यतः कम से कम दो प्रमुखता का अनुमान लगाया जाता है) को 'लंबाई N का q-ary कोड' कहा जाता है; C के तत्वों को 'कोडवर्ड' कहा जाता है।[3][4]ऐसे स्तिथि में जहां C अपने हैमिंग स्पेस का रैखिक उप-समिष्ट है, इसे रैखिक कोड कहा जाता है।[3]रैखिक कोड का विशिष्ट उदाहरण हैमिंग कोड है। हैमिंग स्पेस के माध्यम से परिभाषित कोड में प्रत्येक कोडवर्ड के लिए आवश्यक रूप से समान लंबाई होती है, इसलिए उन्हें ब्लॉक कोड कहा जाता है, जब उन्हें चर-लंबाई कोड से भिन्न करना आवश्यक होता है जो मोनॉइड पर अद्वितीय कारक द्वारा परिभाषित होते हैं।

हैमिंग दूरी हैमिंग स्पेस को मीट्रिक (गणित) प्रदान करती है, जो त्रुटि को ज्ञात करने और सुधार जैसे कोडिंग सिद्धांत की मूलभूत अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।[3]

गैर-क्षेत्रीय अक्षरों पर हैमिंग रिक्त समिष्ट पर भी विचार किया गया है, विशेष रूप से परिमित वलयों पर (विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित पर|Z4) सदिश समिष्ट के अतिरिक्त मॉड्यूल (गणित) और रैखिक कोड के अतिरिक्त वलय-लीनियर कोड (सबमॉड्यूल के साथ पहचाने गए) को उत्पन्न कर रहा है। इस स्तिथि में उपयोग की जाने वाली विशिष्ट मीट्रिक ली दूरी है। इनके मध्य ग्रे आइसोमेट्री उपस्थित है (अर्थात GF(22m)) हैमिंग दूरी के साथ और (ली दूरी के साथ इसे GR(4,m) के रूप में भी दर्शाया गया है) है।[5][6][7]

संदर्भ

  1. ↑ Baylis, D. J. (1997), Error Correcting Codes: A Mathematical Introduction, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, vol. 15, CRC Press, p. 62, ISBN 9780412786907
  2. ↑ Cohen, G.; Honkala, I.; Litsyn, S.; Lobstein, A. (1997), Covering Codes, North-Holland Mathematical Library, vol. 54, Elsevier, p. 1, ISBN 9780080530079
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Derek J.S. Robinson (2003). सार बीजगणित का परिचय. Walter de Gruyter. pp. 254–255. ISBN 978-3-11-019816-4.
  4. ↑ 4.0 4.1 Cohen et al., Covering Codes, p. 15
  5. ↑ Marcus Greferath (2009). "An Introduction to Ring-Linear Coding Theory". In Massimiliano Sala; Teo Mora; Ludovic Perret; Shojiro Sakata; Carlo Traverso (eds.). Gröbner Bases, Coding, and Cryptography. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4.
  6. ↑ "Kerdock and Preparata codes - Encyclopedia of Mathematics".
  7. ↑ J.H. van Lint (1999). कोडिंग सिद्धांत का परिचय (3rd ed.). Springer. Chapter 8: Codes over ℤ4. ISBN 978-3-540-64133-9.


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