अर्ध-सीमित क्षेत्र: Difference between revisions

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गणित में, एक अर्ध-सीमित क्षेत्र<ref>{{harv|Artin|Tate|2009|loc=§XI.3}} say that the field satisfies "Moriya's axiom"</ref> एक [[परिमित क्षेत्र]] का सामान्यीकरण है। मानक [[स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] आम तौर पर पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (यानी [[गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र]]), लेकिन सिद्धांत समान रूप से लागू होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।<ref>As shown by Mikao Moriya {{harv|Serre|1979|loc=chapter XIII, p. 188}}</ref>
गणित में, '''अर्ध-सीमित क्षेत्र'''<ref>{{harv|Artin|Tate|2009|loc=§XI.3}} say that the field satisfies "Moriya's axiom"</ref> [[परिमित क्षेत्र]] का सामान्यीकरण है। मानक [[स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] सामान्यतः पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (अर्थात [[गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र]]), किंतु सिद्धांत समान रूप से प्रारम्भ होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।<ref>As shown by Mikao Moriya {{harv|Serre|1979|loc=chapter XIII, p. 188}}</ref>
 


== औपचारिक परिभाषा ==
== औपचारिक परिभाषा ==
 
अर्ध-परिमित क्षेत्र [[टोपोलॉजिकल समूह|टोपोलॉजिकल समूहों]] की समरूपता के साथ आदर्श क्षेत्र ''K'' है:
एक अर्ध-परिमित क्षेत्र [[टोपोलॉजिकल समूह]]ों की समरूपता के साथ एक आदर्श क्षेत्र ''K'' है
: <math>\phi : \hat{\mathbb Z} \to \operatorname{Gal}(K_s/K),</math>
: <math>\phi : \hat{\mathbb Z} \to \operatorname{Gal}(K_s/K),</math>
जहां के<sub>''s''</sub> K का [[बीजगणितीय समापन]] है (आवश्यक रूप से अलग करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार के<sub>''s''</sub>/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार [[क्रुल टोपोलॉजी]] दी गई है। समूह <math>\widehat{\mathbb{Z}}</math> परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में [[पूर्णांक]]ों की [[अनंत पूर्णता]] है।
जहां K, ''K<sub>s</sub>'' का [[बीजगणितीय समापन]] है (आवश्यक रूप से भिन्न करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार ''K<sub>s</sub>/K'' अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार [[क्रुल टोपोलॉजी]] दी गई है। समूह <math>\widehat{\mathbb{Z}}</math> परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की [[अनंत पूर्णता]] है।


यह परिभाषा यह कहने के बराबर है कि K का एक अद्वितीय (आवश्यक रूप से [[चक्रीय विस्तार]]) विस्तार K है<sub>''n''</sub> प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n की, और इन एक्सटेंशनों का मिलन K के बराबर है<sub>''s''</sub>.<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2 exercise 1, p. 192}}</ref> इसके अलावा, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के हिस्से के रूप में, एक जनरेटर एफ है<sub>''n''</sub> प्रत्येक गैल(K) के लिए<sub>''n''</sub>/K), और जनरेटर सुसंगत होने चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो F का प्रतिबंध<sub>''m''</sub> के को<sub>''n''</sub> F के बराबर है<sub>''n''</sub>.
यह परिभाषा कहने के समान है कि K के निकट प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का अद्वितीय (आवश्यक रूप से [[चक्रीय विस्तार]]) K<sub>''n''</sub> है और इन विस्तारों का संघ K<sub>''s''</sub> के समान है।<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2 exercise 1, p. 192}}</ref> इसके अतिरिक्त, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के भाग के रूप में, जनरेटर ''F<sub>n</sub>'' है प्रत्येक Gal(''K<sub>n</sub>''/''K'') के लिए, जनरेटर ''F<sub>n</sub>'' है, और जनरेटर को सुसंगत होना चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो F<sub>''m''</sub> से ''K<sub>n</sub>'' तक का प्रतिबंध F<sub>''n''</sub> के समान है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


सबसे बुनियादी उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, अर्थात् K का एक अद्वितीय चक्रीय विस्तार है<sub>''n''</sub> = जीएफ(''क्यू''<sup>n</sup>). के का संघ<sub>''n''</sub> बीजगणितीय समापन K है<sub>''s''</sub>. हम एफ लेते हैं<sub>''n''</sub> फ्रोबेनियस तत्व होना; यानी एफ<sub>''n''</sub>(एक्स) = एक्स<sup>क्यू</sup>.
सबसे मूलभूत उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है, अर्थात् ''K<sub>n</sub>'' = '''GF'''(''q<sup>n</sup>''), K<sub>''n''</sub> का संघ बीजगणितीय समापन ''K<sub>s</sub>'' है। हम ''F<sub>n</sub>'' को फ्रोबेनियस तत्व मानते हैं; अर्थात्, ''F<sub>n</sub>''(''x'') = ''x<sup>q</sup>'' है।


एक अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में [[औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला]] का वलय है। (ये केवल [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] हैं जिसमें हम नकारात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का एक अद्वितीय चक्रीय विस्तार है
अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में [[औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला]] का वलय है। (ये केवल [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] हैं जिसमें हम ऋणात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है:
: <math>K_n = \mathbf C((T^{1/n}))</math>
: <math>K_n = \mathbf C((T^{1/n}))</math>
प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका मिलन K का एक बीजगणितीय समापन है जिसे [[पुइसेक्स श्रृंखला]] का क्षेत्र कहा जाता है, और यह गैल (K) का एक जनरेटर है<sub>''n''</sub>/K) द्वारा दिया गया है
प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका संघ K का बीजगणितीय समापन है जिसे [[पुइसेक्स श्रृंखला]] का क्षेत्र कहा जाता है, और यह Gal(''K<sub>n</sub>''/''K'') जनरेटर द्वारा दिया जाता है:
: <math>F_n(T^{1/n}) = e^{2\pi i/n} T^{1/n}.</math>
: <math>F_n(T^{1/n}) = e^{2\pi i/n} T^{1/n}.</math>
यह निर्माण तब काम करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड ''C'' से बदल दिया जाता है।<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2, p. 191}}</ref>
यह निर्माण तब कार्य करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र ''C'' से परिवर्तित कर दिया जाता है।<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2, p. 191}}</ref>


 
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गणित में, अर्ध-सीमित क्षेत्र[1] परिमित क्षेत्र का सामान्यीकरण है। मानक स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत सामान्यतः पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (अर्थात गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र), किंतु सिद्धांत समान रूप से प्रारम्भ होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।[2]

औपचारिक परिभाषा

अर्ध-परिमित क्षेत्र टोपोलॉजिकल समूहों की समरूपता के साथ आदर्श क्षेत्र K है:

जहां K, Ks का बीजगणितीय समापन है (आवश्यक रूप से भिन्न करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार Ks/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार क्रुल टोपोलॉजी दी गई है। समूह परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में पूर्णांकों की अनंत पूर्णता है।

यह परिभाषा कहने के समान है कि K के निकट प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का अद्वितीय (आवश्यक रूप से चक्रीय विस्तार) Kn है और इन विस्तारों का संघ Ks के समान है।[3] इसके अतिरिक्त, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के भाग के रूप में, जनरेटर Fn है प्रत्येक Gal(Kn/K) के लिए, जनरेटर Fn है, और जनरेटर को सुसंगत होना चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो Fm से Kn तक का प्रतिबंध Fn के समान है।

उदाहरण

सबसे मूलभूत उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है, अर्थात् Kn = GF(qn), Kn का संघ बीजगणितीय समापन Ks है। हम Fn को फ्रोबेनियस तत्व मानते हैं; अर्थात्, Fn(x) = xq है।

अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का वलय है। (ये केवल औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं जिसमें हम ऋणात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है:

प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका संघ K का बीजगणितीय समापन है जिसे पुइसेक्स श्रृंखला का क्षेत्र कहा जाता है, और यह Gal(Kn/K) जनरेटर द्वारा दिया जाता है:

यह निर्माण तब कार्य करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र C से परिवर्तित कर दिया जाता है।[4]

टिप्पणियाँ

  1. ↑ (Artin & Tate 2009, §XI.3) say that the field satisfies "Moriya's axiom"
  2. ↑ As shown by Mikao Moriya (Serre 1979, chapter XIII, p. 188)
  3. ↑ (Serre 1979, §XIII.2 exercise 1, p. 192)
  4. ↑ (Serre 1979, §XIII.2, p. 191)


संदर्भ

  • Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155, Zbl 1179.11040
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, translated by Greenberg, Marvin Jay, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237, Zbl 0423.12016
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